保守力与非保守力及势能1
大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-5 保守力与非保守力
m' m m' m 引力的功 引力的功 WAB = −(−G r ) − (−G r ) B A
A点势能： 点势能： 且令E 设B点为无限远 即rB=∞ 且令 PB=0 点为无限远
m' m WAB = −G rA
= − ( E pB − E pA ) = E pA
功与路径无关，只决定于初末位置。 功与路径无关，只决定于初末位置。 第三章 动量守恒和能量守恒
4
} ⇒ dW
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W = ∫ Fdx = ∫
x1
x2
x1
1 2 1 2 − kxdx = −( kx2 − kx1 ) 2 2
5
第三章 动量守恒和能量守恒
W p → p0 = −( Ep0 − Ep ) = −∆Ep
E p ( x, y, z) =
∫
E p0 = 0
( x, y,z )
F ⋅ dr
任意一点的势能等于在保守力作用下 从该点到势能零点保守力所作的功
第三章 动量守恒和能量守恒 10
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
W AB = − ( E pB − E pA ) = − ∆ E P
引力的功 引力的功
m' m m' m WAB = −(−G ) − (−G ) rB rA
引力势能 引力势能
m' m Ep = −G r
弹性势能 弹性势能
弹力的功 弹力的功
W AB 1 1 2 2 = − ( kx B − kx A ) 2 2
保守力做功公式(一)
保守力做功公式(一)保守力做功公式在物理学中, 保守力做功公式是一个重要的概念。
保守力是指做功与路径无关的力，而做功则是力对物体做的功。
在这篇文章中，将介绍保守力做功公式以及一些相关的公式，并通过举例进行解释说明。
保守力和非保守力•保守力：保守力是指在特定路径下，力所做的功与路径无关。
它只与起点和终点的位置有关。
例如，重力和弹簧力都是保守力。
保守力与势能（potential energy）密切相关。
•非保守力：非保守力是指在特定路径下，力所做的功与路径有关。
摩擦力和空气阻力都是非保守力。
非保守力导致系统的机械能发生改变。
保守力做功公式保守力做功公式可以表示为：W=−ΔU其中： - W表示力所做的功； -ΔU表示势能的变化。
根据这个公式，如果势能增加，力所做的功为负；如果势能减少，力所做的功为正。
示例示例 1：重力做功考虑一个物体沿直线向上抛掷并上升到最高点。
在上升过程中，重力对物体做的功为负。
我们可以使用保守力做功公式来计算。
假设物体的质量为m，上升的高度为h，重力加速度为g。
在最高点，物体的势能为0。
因此，势能的变化为ΔU=−mgℎ其中h为负值。
根据保守力做功公式，重力对物体做的功为W=−(−mgℎ)=mgℎ可以看到，重力对物体做的功为正，这也符合我们的直觉。
物体上升时，重力做正功，输给了物体。
示例 2：弹簧力做功考虑一个弹簧振子，当振子从一个最大幅度位置经过过盪点后，达到另一个最大幅度位置。
在振子的运动过程中，弹簧力对振子做的功既正也负。
假设振子相对过盪点的位移为x，弹簧的劲度系数为k。
在过盪点，势能为0。
因此，势能的变化为ΔU=−12kx2根据保守力做功公式，弹簧力对振子做的功为W=−(−12kx2)=12kx2可以看到，当振子从最大幅度位置向过盪点运动时，弹簧力对振子做的功为正；当振子从过盪点向最大幅度位置运动时，弹簧力对振子做的功为负。
这也符合我们对弹簧振子运动过程的直观理解。
总结在这篇文章中，我们介绍了保守力做功公式以及与之相关的概念。
保守力与非保守力
非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。
非保守力包括耗散力和非耗散力两类.在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力，所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。
严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少,并转变为系统的热能或内能。
通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。
⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下,物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。
重力、弹力等属于保守力。
耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多.摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定,它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如,物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度,方向竖直向下,而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。
耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化.例如,空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加.③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。
保守力做正功，则物体系的势能减少；反之,则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定,能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件.系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒。
耗散力不象保守力，对于两个位置之间，力对物体做功没有确定的值，从而相应的两个位置之间没有一定的能量差。
保守力与非保守力及势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
3. 三种势能函数：
(1) 重力势能：
y y
E p ( y ) F重 d r
(0)
( mg ) ˆ j dy ˆ j
y
( y) 0
o
Ep( y )
mg
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
E p ( y ) mgy
m?????epr?f引?drf引mrrorep?0??mm????g2er?drerrreprmmepr?gorrmmepr?gr即
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
·1 ·
Chapter 3.力，其势能函数为何不同？它们
有何内在关系？ 3. 若选地表为万有引力势能零点，则 引力势能表达式如何？
?
( The end ) ·7 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
归纳：
1.重力势能： E p ( y ) mgy
1 2 2. 弹性势能： E p ( x ) kx 2
Ep( y )
1 E p ( x ) kx 2 2
o
x
·5 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
(3) 万有引力势能：
M
F引 m
E p ( r ) F引 d r
(r )
( )
o
r
Ep( ) 0
Mm ˆ r dr e ˆr ( G 2 )e r r
2. 势能函数选取应遵从的原则：
保守力与势能
内容摘要详细介绍保守力的特定性质证明以及常见的保守力种类。
定义势能函数，论证了几种常见势能的计算方法。
保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
关键词：保守力势能势能零点平衡AbstractDetailed introduction of specific properties conservative force proof and common conservative force types. The nature of the potential energy of physical meaning of a deep elaborated, demonstrates the potential of common calculation methodsKey words:Conservative force Potential energy Potential energy zero Balance内容摘要引言 (1)1.保守力 (2)1.1保守力的定义 (2)1.2保守力的性质 (2)1.3保守力的证明 (2)2.势能 (3)2.1势能的定义 (3)2.2势能的性质 (4)2.3势能零点 (5)2.4物体在势能场中的平衡 (7)3.几种常见势能的计算 (7)3.1引力势能 (7)3.2重力势能 (8)3.3弹性势能 (9)3.4电势能 (9)3.5分子势能 (10)4.结束语 (12)5.参考文献 (13)6.致谢 (14)引言保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
第 03章 2 次课 -- 动能定理 保守力和非保守力 功能原理
上海师范大学
3 /17
§3. 4 三、质点的动能定理
动能定理
外力F作用在质点上, 对质点做功, 质点的速率发生变化, 因此能量发生变化.
外力所做的功W与质点的能量有什么定量 关系吗?
dv 由 W F dr F cos dr Ft dr Ft ds 和 Ft m
A
dW F dr
W F r
A
W
B
B F dr F cosdr
r
是在力的作用下产生的位移.
W Fi dr Fi dr Wi
合力的功 = 各分力的功的代数和
i
W W1 W2 W3 Wi
5. .直角坐标系中的功
F Fx i Fy j Fz k； dr dxi dyj dzk
W Fx dx Fy dy Fz dz
6. 功的单位
Wx Wy Wz
1 /17
1J 1N m
上海师范大学
§3. 4 二、功率
12 /17
§3.5 四、势能曲线
保守力与非保守力 势 能
势能是空间位置的函数, 将这种函数用图形表示就称为势能曲线.
Ep mgz
1 E p kx 2 2
m'm Ep G r
Ep
Ep
O
Ep
x
O
重力势能曲线
z
x
O
弹性势能曲线
引力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
v v0 e
t 0
x
dt
W b (0 e
3-5保守力与非保守力_势能
陨石在“天外”时 rA
时，E pA＝0
落到地面时， rB=6.4×106 m
WAB
GmM 6.67 1011 5 103 6 1024 11 3.110 ( J ) 6 rB 6.4 10 19
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
5）保守力的功等于势能增量的负值
重力 弹力
WGAB (mgy2 mgy1 ) ( E p 2 E p1 )
WeAB
可统一写成
1 2 1 2 ( kx2 kx1 ) ( E p 2 E p1 ) 2 2 W保 E p ( E p 2 E p1 )
L
f 保 dr 0
保守力的环流为零（保守力沿任意闭合路径 的线积分叫做保守力的“环流”）。 描述矢量场基本性质的方程形式。
8
3-5 保守力与非保守力 势能
证明第二种表述： f 保 dr 0
L
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F保
1
L
f 保 dr
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
讨论
1）只有保守力才有相应的势能 2）势能属于有保守力作用的体系（质点系） (对应一对内力作功之和) 3）势能与参考系无关(与相对位置有关) 4）质点系的内力可分为 保守内力 (作功与路径无关) 非保守内力 (作功与路径有关) 耗散力
10
3-5 保守力与非保守力 势能
3-5 保守力与非保守力 势能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一. 重力作功与重力势能
dr dxi dyj
WG
B A
G mgj
y
y1 y2
保守力和非保守力关系的简答题
保守力和非保守力关系的简答题保守力和非保守力是物体受到的两类力，它们在物理过程中起着重要的作用。
保守力是指在物体的位移过程中所做的功与路径无关，只与起点和终点的位置有关的力。
具体而言，在一个闭合环路中，如果一个力沿着任意一条路径绕回起点所做的功为零，则这个力是保守力。
反之，非保守力则是指在物体的位移过程中，所做功与路径有关的力。
保守力与非保守力的主要区别在于所做的功是否与路径有关。
对于保守力，物体在环路中的位移过程中，不论物体沿着怎样的路径运动，当回到起点时所做的功都是相同的。
换句话说，保守力是沿闭合环路的势能之梯度施加的，其中势能是由于位置而产生的。
例如，重力和弹簧力是典型的保守力。
在这些情况下，物体在环路中的总机械能始终保持不变。
非保守力与保守力不同，所做的功与路径有关。
不同的路径导致了所做的功的差异。
典型的非保守力包括摩擦力、阻力和涡旋力等。
摩擦力在物体相对于另一个表面移动时产生热量，所以它不是沿着闭合环路所做的，因此不是保守力。
涡旋力是一种旋转的非保守力，例如涡旋状流体中的湿气漩涡。
阻力是运动物体所受到的空气或流体的阻碍力，它同样也是非保守力。
保守力和非保守力之间存在一定的关系。
首先，任何一个非保守力可以被视为多个保守力的总和。
这是因为非保守力是路径相关的，可以通过微分位移的积分来计算相对于起点的总工作量。
而在每个微分位移中，可以将非保守力分解为垂直于位移方向的保守力和与位移方向平行的非保守力的两个分量。
这样，通过对各个微分位移的作用力进行积分，可以得到总的作用力，即非保守力。
另外，保守力和非保守力都可以通过势能来描述。
保守力是由势能施加的力，而非保守力没有明确定义的势能。
对于保守力，势能可以通过对力的势能函数进行积分得到。
当力是非保守力时，由于无法定义势能，因此无法使用势能来描述非保守力。
总的来说，保守力和非保守力是两种不同类型的力，它们在物体的位移过程中起着不同的作用。
保守力与物体的机械能有关，而非保守力则会改变物体的机械能。
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系是一个基本的物理原理，它描述了一个物体在受到保守力作用下，其势能的变化与所受的保守力所做的功之间的关系。
首先，我们来定义保守力。
保守力是一个与路径无关的力，它只与物体的位置有关。
这意味着，如果一个物体沿着一个闭合回路运动，受到的保守力所做的总功为零。
常见的保守力有重力和弹性力。
当一个物体受到保守力作用时，它的势能会发生变化。
势能是描述物体位置所具有的能量。
根据势能的定义，势能的变化可以通过将物体从一个位置移动到另一个位置时保守力所做的功来计算。
根据物体在保守力作用下的势能变化，我们可以得出以下关系：
势能变化 = -保守力所做的功
这个关系可以解释为，当保守力对物体做正功时，物体的势能减少；反之，当保守力对物体做负功时，物体的势能增加。
这个关系也可以用数学公式来表示。
假设物体在从位置A移动到位置B时，保守力所做的功为W_AB，物体在位置A的势能为U_A，位置B
的势能为U_B，则势能变化为：
ΔU = U_B - U_A = -W_AB
其中，ΔU表示势能变化。
需要注意的是，这个关系只适用于保守力。
非保守力所做的功不能简单地与势能变化相联系。
非保守力所做的功还需要考虑其他能量转化形式，比如热能、摩擦力等。
总结起来，保守力做功和势能变化之间存在着简单的关系。
势能变化等于保守力所做的功的负值。
这个关系对于理解物体在保守力作用下的运动和能量转化非常重要。
动能定理
m1
ex Fi
in m i m2 Fi
系统内质点受力
非保守内力
W外 W保内 W非保内 Ek Ek 0
W保内 （Ep Ep 0 ) W外 W非保内 （Ep Ek ) ( Ep 0 Ek 0 )
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
用动能定理求功 2-28题
W
x
0
3 Fdx (3 2 x)dx
0
3 0
W (3 x x 2 )
18 J
1 2 W m 0 18 J 2 6m/s
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
r
W F d r F1 d r F2 d r W1 W2
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
功的单位：1 J=1 N· m
量纲：dim W ML2 T 2
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
2-38题 第一过程动量守恒
m ( M m)V
1 2 第二过程机械能守恒 E P ( M m)V 2 2 2 m EP 选择答案：B 2( M m)
2-39题
m11 m22 选择答案：D 1 1 E p m11 m2 2 2 2
如：万有引力、重力、弹性力。
物体沿任意闭合路径运动一周时, 保守力对它所 做的功为零 。
电势能的保守性质和非保守性质
电势能的保守性质和非保守性质电势能是物体在电场中由于位置发生变化而具有的能量。
在物理学中，电势能可以分为保守性质和非保守性质两类。
本文将详细探讨电势能的这两种性质。
一、电势能的保守性质保守性质是指电势能在一个闭合路径上的变化与路径无关。
换句话说，无论物体如何从起点到终点经过怎样的路径，最终的电势能的变化都是相同的。
这种性质与电场的势能相关。
1.1 等势面和等势线在静电场中，电势能与电场强度成正比。
等势面是指在任意一点上具有相同电势能的点所组成的曲面，其通常被认为是一个密闭曲面。
而等势线则表示相同电势能的点在二维平面上的连续曲线。
1.2 电势能与电位的关系电势能与电场强度之间存在着直接的关系。
在电场中，电势能的变化量等于电荷在电场中移动的过程中所进行的功。
而电场中单位正电荷所具有的电势能称为电势，常用符号V表示。
因此，电势能的改变可以通过电位差来描述。
1.3 路径独立性定理路径独立性定理是电势能保守性质的重要推论。
它指出，在保守力场中，完成从一个位置到另一个位置的电势能变化只与这两个位置有关，与路径无关。
这一定理为我们计算电势能变化提供了极大的便利。
二、电势能的非保守性质与电势能的保守性质不同，非保守性质是指电势能在一个闭合路径上的变化与路径有关。
这种性质与与摩擦力、涡旋电场等相关。
2.1 摩擦力与非保守性质在存在有摩擦力的情况下，物体移动的路径会影响其电势能的变化。
由于摩擦力的存在，物体在移动的过程中会损失部分电势能，而这个损失的能量会转化为其他形式的能量，如热能。
2.2 非保守力与非保守性质在电场中，非保守力也会影响电势能的变化。
非保守力是指与路径相关的力，如摩擦力和涡旋电场。
当物体在非保守力的作用下移动时，电势能的变化将与路径有关，从而呈现出非保守性质。
2.3 路径依赖性定理路径依赖性定理是体现电势能非保守性质的一个重要原理。
它指出，在非保守力场中，完成从一个位置到另一个位置的电势能变化与路径有关，不同的路径将导致不同的电势能变化。
3-5+保守力与非保守力+势能
物理学教程 （第三版）
一 万有引力、重力、弹性力做功的特点
1） 万有引力做功
以m'为参考系，m 的位置矢量为
r.
m' 对2
er
r方向单
位矢量
m
A
r(t)
dr
m' r(t dt)
m移动dr时，F做元功为
O
dW
F
dr
G
m' m r2
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第三版）
二 保守力和非保守力
Ø 保守力: 力所做的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功
W
(G
m' m ) rB
(G
mr'Am)
重力功 W (mgy B mgy A )
弹力功
W
F
dr
(1 2
kx
2 B
F
1 kx 2
Ø 非保守力: 力所做的功与路径有关 .（例如摩擦力）
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第三版）
三 势能 势能曲线
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
W (mgyB mgyA)
引力功
W
(G
m'm) rB
(G
mr'Am)
弹力功
W
(
1 2
kx
2 B
1 2
kx
2 A
)
Ep mgz
引力势能
Ep
G
m' m r
2.3 保守力、非保守力和势能
m'm
dW F dr G r3 r dr
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
（3）万有引力作功
说明：r
dr
r
dr
cos
rdr
m'm
m' m
dW F dr G
r3
r dr G
r2
dr
m 由A 点移动到B点时F作功为
W
dw
rB
rA
G
m' m r2
dr
m
A
r (t)
保守力、非保守力 和势能
一、几种常见力作功的特点
（1）弹性力作功
F kxi
dW
F
dx
kxi dxi
o
kxdx
F
x
xA xB
W
dw
xB kxdx
xA
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（2）重力作 功
P mgk
dr
dxi
dyj
dzk
W
B
P
d r
zB mgdz
A
zA
(mgz B mgz A )
z
zA A
zB
mg
B
o
y
x
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（3）万有引力作功
以
m' 为参考系，m
的位置矢量为 r
.
m'对 m 的万有引力为
F
G
m' m r3
4_4保守力与非保守力 势能
三. 保守力
以上通过讨论分析重力、万有引力、弹簧弹性力以及摩擦 力等各种类型力做功的特点，引入保守力与非保守力的概念。
若力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置， 与质点经过的路径无关，具有这种性质的力称为保 守力。（也可称作有势力）. 与保守力相对的称为非保守力：作功与路径有关 的力称为非保守力（nonconservative force） ，或耗散力
对M，内力做功 ：
4 – 4
保守力与非保守力 势能
2. 万有引力作功 Work done by universal gravitation B
AAB f dr
rA
rB
dr
m2
r dr
m1
1 1 Gm1 m 2 ( ) rB rA
Gm Gm m 1m 2 2 1 r dr dr 3 rAr r r2 A
rBr
B
r
f
A
A dA AdA
Gm1 m2 f r 3 r
r dr rdr
可见，万有引力作功与路径无关，只与始末位置有关。
4 – 4 A dA
保守力与非保守力 势能
dA
A dA A dA cos
A
r2
dA cos
AdA
4 – 4
保守力与非保守力 势能
一 力 场：
1. 场力：
F F (r )
质点所受的仅与质点位置有关的力.
例如：静电力，弹簧弹性力等.
2. 力场：存在场力的空间 .
例如：存在均匀电场的空间即为均匀力场.
3. 有心力：质点所受力的作用线总通过某一点，则该力
称为有心力（该点称为力心）. 例如：万有引力，弹簧弹性力等.
第四章动能和势能(2)学习内容4.4保守力与非保守力势能4.5功能
第四章 动能和势能（2）学习内容： 4.4 保守力与非保守力 势能 4.5 功能原理和机械能守恒定律所做的工作：1.学习力场，保守力，非保守力势能等概念。
2.讨论机械能的 变化规律――功能原理和机械能守恒定律。
4.4 保守力与非保守力，势能。
在力学中，一谈到动能，往往同时需要考虑物体的势能。
势能概念是在 保守力概念基础上提出的。
所以在具体讨论势能概念之前我们先来学习力场，保守力和非保守力等概念。
（一） 力场一般情况下，质点所收到的外力可表现为：(,,)F F t r v = （1）如果F 只与质点的位置有关，即 ()(,,)V F r F x y z ==（2）则称F 为场力，即F 为空间坐标的单值矢量函数并 把场力F 存在的空间叫做力场。
物理“场”――物质存在的一种形式。
它具有动量和能量。
在经典理学中认为：力具有超距作用，力场概念仅限于（2）式所描述的力场。
常见的力场有：○1重力场，且在不太大的 时间◎◎◎ 范围内有场力：*F maW mg =-=W mg =＝恒量 ○2静电场：静电场力（库仑力） ：314q qF r r οοε=∏电场强度：314q E r rοοε=∏ ○3平行板电容器中的静电场 场强：E =恒量F`（x ，y ，z ） YXF （x ，y ，z ）RR` Z○4弹簧弹性力――――场力显然，○2和○4两种情况下，质点所受力的作用线始终通过某一固定点，称该力为有心力，并称该O 为力心。
另外，上述各力都只与质点的位置有关，所以，都是场力。
与此相反：洛仑兹力 F q E q V B =+⨯ 与V 有关摩镲力：F kV =-或F N μ=非主动力，由运动状态及其他外力而定。
都不是场力。
加速参考系的惯性力：*F ma =- 与 W m g =相类似。
离心惯性力：()()bx y a A F ar F i F j axi ayj ==++⎰⎰*2f mv r λ=- ⇒有心力科氏奥里力 *`2k f mv ω=⨯ 不是场力。
3-5 保守力和非保守力概述
保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始末 位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1.万有引力作功 如图,设万有引力存在于质 量为m和m`物体之间， m`物 体相对不动，m 物体在 m`物 体的引力场中从 A 点沿任意 路径移到 B 点。两个质点之 间在引力作用下相对运动时 ,
0
保守力 重 力 弹 力
势能（E p ） mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep
0
势能曲线 h
Ep
kx
2
x=0
Ep
0 0
x r
引 力
mM G r
r=∞3.势能和保守力的关系： 势来自是保守力对路径的线积分，EP＝
b
a
F dl
F
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
er
dr
r dr
B
m
r
rA
rB
m'
A
以 m 所在处为原点, m 指向 m 的方向为矢径的 正方向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。则万 有引力对质点所作的功为：
1 dW F dr Gmm 2 er dr r
er
er dr │ er │ │ dr │ cos │ dr │ cos dr
dW mg dr mgdy
W mgdy
y1 y2
m
y y1 y2
mg
mg ( y2 y1 ) mg ( y1 y2 )
3. 弹性力作功
o 可见，重力是保守力。
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一 端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。
保守力和非保守力
4
二、质点在保守力场中的势能
A重 (mgy mgy ) 2 1
1 2 1 2 A弹 ( kx 2 kx1 ) 2 2
Mm Mm A引 [(G ) (G )] r2 r1
保守力作功可以表示为由质点的位置决定的某 种潜在能量（势能）的减少。
1 2 E p ( x) kx c 2
（2）弹性势能
弹性 0 势点一般选在弹簧的原长 x=0 处。则
1 E p (0) k 0 2 c 0 2
c0
6
得到
1 2 E p ( x ) kx 2
Mm c （3）万有引力势能 E p (r ) G r Mm c0 E p () G c 0
保守力
质点在保守力场中的势能
1
一、几种力的功 （1）重力作功 y2 A重 F重 dr mgdy
y1
y 1 o
2
F重 mgj
x
(mgy2 mgy ) 1
z
（2）弹性力作功（原长处为原点）
A弹
x2 F弹 dr kxdx
得到
Mm E p (r ) G r
三、已知保守力场确定势能函数
由 若
b
a
F dr E pa E pb
Epb 0
( 0)
则 E pa a
F dr
7
r 1 2 k Ek mv 2 2r k kr0 k （2） Er r 2 dr r 2 dr r r r
例1、一质量为m 的质点在指向圆心的平方反 比力 F=-k/r2 的作用下作半径为 r 的圆周运动， 求（1）此质点的动能。（2）如取距圆心无穷 远处为势能零点，求它的势能。 2 解（1） F k2 m v r
3–2 保守力与非保守力做功特点 势能
首页
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下页
末页
退出
*五、势能曲线
势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线。
E p mgy
Ep
Ep
Ep
1 2
kx
2
Ep G
Ep
O
Mm r
r
y
O
O
x
重力势能线
y 0, E p 0
弹性势能曲线
x 0, E p 0
首页
引力势能曲线
r , Ep 0
上页 下页 末页 退出
2
A
m'm m'm W (G ) (G rB rA
F dr
ACB
F dr
)
ADB
首页 上页 下页 末页 退出
F dr
ACB
F dr
ADB
B
F dr
L
F dr
ACB
下页 末页 退出
( x, y,z )
上页
首页
四、重力势能和引力势能的关系
取坐标如图，取y=h0 处为重力势能零点。h处的重 势能为：
Ep G Mm ( R h0 ) G Mm ( R h)
y h h0 O R
1 1 GMm (R h ) ( R h) 0 GMm
利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保 守力的大小和方向。 当物体受一维保守力作用时
dA dE p
dA F cosdx Fx dx
dE p dx
Fx
保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导 数的负值。
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(
r
)
G
Mm r
( Ep( ) 0 )
( The end )
o
( mg )ˆj dy ˆj
y
b
E pa F保 d r
a
P. 5 / 12 .
mg
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
P. 6 / 12 .
3. 三种势能函数：
y
(1) 重力势能：
y
(0)
E p( y ) F重 d r
( y)
0
( mg )ˆj dy ˆj
二、势能
保守力作功与路径无关，常用势能函数来计算。
① 质点系。势能属于系统。
1. 引入势能条件： ② 保守力作功。
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
2. 势能函数选取应遵从的原则：
P. 3 / 12 .
设 保守力将物体从a移至b点，势能函数Ep应满足：
b
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
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Chapter 3. 守恒定律
一、保守力
作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
P. 2 / 12 .
保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。
力 非保守力：作功与路径有关的力。
常见保守力：重力、弹簧弹力、万有引力、电场力等。
( )
E p( r ) F引 d r
(r)
(
r
G
Mm r2
)eˆ r
dr
eˆ r
Ep(
x
)
1 2
kx 2
M
F引 m
r
o
r
Ep( ) 0
Ep( y)
E
p
(
x
)
1 2
kx 2
即：选择弹簧原长时弹性势能
o
x
为零，则弹性势能总是为正。
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
(x)
0
( kx )iˆ dx iˆ
x
F弹
o
Ep(0 ) 0
xx
Ep(
x
)
1 2
kx 2
Ep( y)
E
p
(
x
)
1 2
kx 2
即：选择弹簧原长时弹性势能
o
x
为零，则弹性势能总是为正。
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
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(3) 万有引力势能：
归纳：
P. 11 / 12 .
1.重力势能： E p ( y ) mgy
( Ep(0 ) 0 )
2.
弹性势能 Ep(0 ) 0 )
3. 万有引力势能：E
E
p(
r
)
G
Mm r
p
(
r
)
Ep(Gr ) o
Mm r
( Ep( ) 0 )
r
即：选择无穷远处引力势能
E
p
(
r
)
y
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
mg o
Ep( y)
E p( y ) mgy
o
y
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
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(2) 弹性势能：
(0)
E p( x ) F弹 d r
(x)
0
( kx )iˆ dx iˆ
b
W保 E p ( Epb Epa ) F保 d r
a
令：Epb 0(即势能零点)，则
b
E pa F保 d r
a
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
3. 三种势能函数：
y
(1) 重力势能：
y
(0)
E p( y ) F重 d r
( y) 0
W保 E p ( Epb Epa ) F保 d r
a
令：Epb 0(即势能零点)，则
① 质点系。势能属于系统。
1. 引入势能条件： ② 保守力作功。
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
2. 势能函数选取应遵从的原则：
P. 4 / 12 .
设 保守力将物体从a移至b点，势能函数Ep应满足：
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(3) 万有引力势能：
( )
E p( r ) F引 d r
(r)
(
r
G
Mm r2
)eˆ r
dr
eˆ r
E
p(
r
)
G
Mm r
即：选择无穷远处引力势能
M
F引 m
o
r
Ep(r )
o
E
p
(
r
)
G
Mm r
r
Ep( ) 0
r
为零，则引力势能总是为负。
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
G
Mm r
为零，则引力势能总是为负。
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
归纳：
P. 12 / 12 .
1.重力势能： E p ( y ) mgy
( Ep(0 ) 0 )
2.
弹性势能：E
p(
x
)
1 2
kx 2
( Ep(0 ) 0 )
3.
万有引力势能：E
p
x
F弹
o
Ep(0 ) 0
xx
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
Ep( y)
E p( y ) mgy
o
y
Chapter 3. 守恒定律 作§者3.：6 杨保茂守田力与非保守力、势能
P. 8 / 12 .
(2) 弹性势能：
(0)
E p( x ) F弹 d r