2020-2021郑州市第四中学高一数学下期末第一次模拟试卷及答案

2020-2021郑州市第四中学高一数学下期末第一次模拟试卷及答案
一、选择题
1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
2．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
3．设集合{}1,2,4A =，{}
240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
4．已知集合{}
{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，7sin 4B =，574ABC S =△，则b =（ ） A ．3B ．7 C 15D 146．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要
条件
7．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ）
A ．(0,)+∞
B ．[)0,+∞
C ．[)0,4
D ．（0，4） 8．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）
A ．68
B ．67
C ．61
D ．60
9．已知0,0a b >>，并且
111,,2a b 成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4
C ．5
D ．9
10．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生 12．在ABC ∆中，2cos
(,b,22A b c a c c +=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形或直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
二、填空题
13．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．
14．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________．
15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b -…，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.
16．若21cos 34πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 17．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
18．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则n a n
的最小值为_______. 19．已知函数42,0()log ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________. 20．已知函数()2,01,0
x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________． 三、解答题
21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=.
（1）求角C 的值；
（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.
22．已知满足
(1)求的取值范围；
(2)求函数
的值域． 23．已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈
（I ）求2f 3π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
24．ABC ∆是边长为3的等边三角形，2BE BA λ=u u u r u u u r ,1(1)2
BF BC λλ=<<u u u r u u u r ,过点F 作DF BC ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．
（1）当23λ=时，设,BA a BC b ==u u u r r u u u r r ，用向量,a b r r 表示EF u u u r ； （2）当λ为何值时，AE FC ⋅u u u r u u u r 取得最大值，并求出最大值．
25．已知以点C 2(,)t t
（t ∈R ，t ≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．
（1）求证：△OAB 的面积为定值；
（2）设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．
26．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522
S a a a a =+=⨯==，选A. 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形．
【详解】
①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；
②90,BAC ABC ︒
∠=∴Q V 是直角三角形；
③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆Q 是直角三角形；
④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.
综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．
【点睛】
本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．
3．C
解析：C
【解析】
∵ 集合{}124A ，，=，{}
2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=
∴3m =
∴{}{}
{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 4．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
求解一元二次方程，得
{}
()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .
因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，
集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.
【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简sin5
sin2
A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c
，由
sin
4
B=，求得cos B，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】
由于
sin5
sin2
A c
B b
=，有正弦定理可得：
5
2
a c
b b
=，即
5
2
a c
=
由于在ABC
V
中，sin
4
B=
，
4
ABC
S=
△
1
sin
24
ABC
S ac B
==
V
，
联立
5
2
1
sin
24
sin
a c
ac B
B
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
，解得：5
a=，2
c=
由于B
为锐角，且sin B=
，所以
3
cos
4
B==
所以在ABC
V中，由余弦定理可得：2222cos14
b a
c ac B
=+-=
，故b=（负数舍去）
故答案选D
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．6．B
解析：B
【解析】
若l m
⊥，因为m垂直于平面α，则//
lα或lα
⊂；若//
lα，又m垂直于平面α，则l m
⊥，所以“l m
⊥”是“//
lα的必要不充分条件，故选B．
考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
7．C
解析：C
【解析】
当0
k=时，不等式210
kx kx
-+>可化为10
>，显然恒成立；当0
k≠时，若不等式210
kx kx
-+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点，则2
40
k
k k
>
⎧
⎨
=-<
⎩V
解得：04
k
<<，综上k的取值范围是[)
0,4，故选C.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案．
【详解】
当1n =时，112S a ==-；
当2n ≥时，()()()2
2141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩
； 所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，
()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L . 故选：B ．
【点睛】
本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.
9．D
解析：D
【解析】 ∵111,,2a b
成等差数列， (
)11114144559a b a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++= ⎪⎝⎭
，…， 当且仅当a =2b 即33,2
a b ==
时“=“成立， 本题选择D 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 10．D
解析：D
【解析】
【分析】
分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论.
【详解】
函数()lg f x x x =的定义域为{}
0x x ≠，定义域关于原点对称， ()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项； 当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项.
故选：D.
【点睛】
本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．
【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n =+()n *∈N ，
若8610n =+，则15n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．
【点睛】
本题主要考查系统抽样.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】 根据正弦定理得到
1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2
C π=，得到答案.
【详解】 2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B C C
++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，
sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=. 故选：A .
【点睛】 本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题
13．36π【解析】三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半
解析：36π
【解析】
三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，
若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9，
可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ，
可得112932
r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3.
球O 的表面积为：2436r ππ= .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 14．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为
解析：14
【解析】 概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111122=14OAB
S S ∆⨯⨯=正方形
15．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】
从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有 解析：725
【解析】
【分析】
由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -…所有可能情况，代入公式得到结果。

【详解】
从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，则||1a b -…的情况有：()0,0，()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()7,7，()8,8，()9,9，()0,1，()1,0，()1,2，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,3，()4,5，()5,4，()5,6，()6,5，()6,7，()7,6，()7,8，()8,7，()8,9，()9,8共有28种，所以28710025
P =
=. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题。

16．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数 解析：78
【解析】
【分析】
根据诱导公式,将三角函数式21cos 34πα⎛⎫-
= ⎪⎝⎭化简可得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα⎛⎫+
⎪⎝⎭
即可得解. 【详解】 因为21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 化简可得1cos 624ππα⎛⎫--= ⎪⎝⎭,即1cos 264ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ 由诱导公式化简得1sin 64πα⎛
⎫-
= ⎪⎝⎭ 而sin 26πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
cos 22
6π
πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
cos 26πα⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
由余弦的二倍角公式可知cos 26πα
⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ 212sin 6πα⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
2
17
1248
⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭
故答案为: 78
【点睛】
本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.
17．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱 解析：
92
π 【解析】
设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，
外接球直径为34427923,πππ3382
R V R ====⨯=. 【考点】 球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
18．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案
解析：
41
5
. 【解析】
【分析】
根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入n
a n
中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】
因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,
3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,
累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,
2(1)22
n n
n n -=⨯
=- 而121,a =
所以2
21n a n n =-+,
则221211n a n n n n n n
-+==+-, 因为21
()1f n n n
=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254
n a n ==, 当5n =时,
418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为
41
5. 故答案为:41
5
【点睛】
本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.
19．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题
解析：-1或2 【解析】 【分析】
根据函数值的正负，由1
[()]02
f f a =-<，可得()0f a >，求出()f a ，再对a 分类讨论，代入解析式，即可求解. 【详解】
当0x ≤时，()0,f x >1
[()]02
f f a =-
<， 411
[()]log (()),()22
f f a f a f a ∴==-∴=，
当41
0,()log ,22
a f a a a >==∴=， 当1
0,()2,12
a
a f a a ≤==∴=-， 所以1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】
本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.
20．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值
解析：-3 【解析】 【分析】
先求()f a ，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果. 【详解】
()()()102f a f f a +=⇒=-
当a>0时，2a=-2,解得a=-1，不成立 当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3 【点睛】
求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
三、解答题
21．(1) 3
C π
=.(2) .
【解析】 【分析】
（1）根据题意，由余弦定理求得1
cos 2
C =
，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得6
2
A π
π
<<
，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，
由余弦定理可知，222cos 1
22
a b c C ab +-==，
又∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
（2）由正弦定理可知，24
3
sin sin 3sin 3
a b A B
π===，即443sin ,3sin 33
a A
b B == ∴43(sin sin )3a b A B +=
+423sin sin 33A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎦ 23sin 2cos A A =+4sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
又∵ABC ∆为锐角三角形，∴02
2032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<
⎪⎩
，即，
则
23
6
3A π
π
π<+
<
，所以234sin 46A π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，
综上+a b 的取值范围为(23,4]. 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 22．(1) (2)
【解析】
试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令
，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最
值，得到值域.
试题解析： 解：(1) 因为
由于指数函数
在上单调递增
(2) 由（1）得
令，则
，其中
因为函数开口向上，且对称轴为
函数在
上单调递增
的最大值为，最小值为
函数
的值域为
. 23．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππ
ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】
（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-x cos x ， ＝﹣cos2x 3-x ， ＝﹣226sin x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
， 则f （
23π）＝﹣2sin （
436
ππ
+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6
f x x π
=-+
． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得
3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 解得
2,6
3
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈，
所以，()f x 的单调递增区间是2[,
]63
k k k ππ
+π+π∈Z ，． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简，以及函数
的性质，是高考中的常考知
识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数
的性质求解．
24．（1）4233
a b -+r r ；（2）9
16
【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）由题意可知：23
BF b =
u u u r
r ，且2
323BF =⨯=u u u r ，
4BE =u u u r ，故4433
BE BA a ==u u u r u u u r r ，
4233EF BF BE a b =-=-+u u u r u u u r u u u r r r
（Ⅱ）由题意，3,33BF FC λλ==-u u u r u u u r
， 6,63BE AE λλ==-u u u r u u u r
，
2279
(63)(33)cos60922
AE FC λλλλ⋅=--︒=-+-u u u r u u u r
当
27
32924
λ=-=-⨯1(,1)2
∈时， AE FC ⋅u u u r u u u r 有最大值9
16．
、
25．（1）证明见解析（2）圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5 【解析】 【分析】
（1）先求出圆C 的方程（x －t ）2＋
2
2
)y t
-（＝t 2＋24
t
，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB 的面积为定值；（2）根据21
2
t =t 得到t ＝2或t ＝－2，再对t 分类讨论得到圆C 的方程． 【详解】
（1）证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋
2
4t . 设圆C 的方程是（x －t ）2＋
2
2
)y t
-（＝t 2＋2
4t ， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝
4t
； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，
所以S △OAB ＝
12OA ·OB ＝12×|2t |×|4
t
|＝4， 即△OAB 的面积为定值．
（2）因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12
. 所以
21
2
t =t ，解得t ＝2或t ＝－2.
当t ＝2时，圆心C 的坐标为（2，1），OC
此时，圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d
C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两
点．
符合题意，此时，圆的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5.
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为（－2，－1），OC C 到直线y ＝－2x ＋4的距
离d
>.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去．
所以圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5. 【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
26．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x 的值.
试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，
0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.30．
（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12="36" 000．
（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，
解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
【考点】
频率分布直方图
【名师点睛】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。