数学归纳法复习(例题及解析)

数列的通项以及用归纳法证明不等式

例 在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2+n 个数成等差数列．记.,21321n n n n b b b B a a a a A +++== ．求：

（1）求数列}{n A 和}{n B 的通项；

（2）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．

分析：本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．

解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，

,221123121=⨯======∴+--- k n k n n n a a a a a a a a

))(())()((121231212

a a a a a a a a a a A n n n n n n ---=∴ .22,2)21(n n n n A =∴=⨯= 2,,,,,,1321n

b b b b 成等差数列，

,3211=+=+∴n b b

.2

32)(1n n b b B n n =+=∴ 所以数列}{n A 的通项22n

n A =，数列}{n B 的通项.23n B n =

（2）,4

9,2,23,22222n B A n B A n n n n n

n ==∴== 要比较n A 与n B 的大小，只需比较22n n B A 与的大小，也就是比较当7≥n 时，n 2与24

9n 的大小． 当7=n 时，41110494949,12822=⨯==n n ，知.4

922n n > 经验证，9,8==n n 时，均有2492n n >成立，猜想，当7≥n 时有,4

922n n >下面用数学归纳法证明：

（ⅰ）7=n 时已证24

92n n > （ⅱ）假设)7(≥=k k n 时不等式成立，即24

92k k >，好么

].1)2()1[(4

9]12)1[(4949222222221--++=-=++=⋅>⋅=+k k k k k k k k k ,)1(4

9]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722+>--++∴>--≥-∴≥k k k k k k k k k 故21)1(,4

92+>+k k ．即1+=k n 时不等式也成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）当7≥n 时，24

92n n >成立，即.,22n n n n B A B A >∴> 说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．

猜想数列通项、利用归纳法证明不等式

例 设数列}{n a 满足,,3,2,1,121 =+-=+n na a a n n n

（1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；

（2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有（ⅰ）;2+≥n a n

（ⅱ）.2

111111121≤++++++n a a a 分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．

解：（1）由21=a 得,3112

12=+-=a a a

由,32=a 得,4122223=+--a a a

由43=a ，得.5133234=+-=a a a 由此猜想n a 的一个通项公式：).1(1≥+=n n a n

（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：

①当213,11+=≥=a n ，不等式成立．

②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么，,31)2)(2(1)(1+≥+-++≥+-=+k k k k k a a a k k k 也就是说，当1+=k n 时，.2)1(1=+≥+k a k

根据①和②，对于所有1≥n ，有.2+≥n a n

（ⅱ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（ⅰ），对2≥k ，有