复变函数试题库完整

《复变函数论》试题库
梅一A111
《复变函数》考试试题（一）
1、 =-⎰=-1||0
0)(z z n z z dz
__________.（n 为自然数） 2.
=+z z 2
2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.
4.设
11
)(2+=
z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.
5.幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=
)0,(Re n z
z e s ________，其中n 为自然数.
9. z
z sin 的孤立奇点为________ .
10.若0z
是
)(z f 的极点，则___
)(lim 0
=→z f z z .
三.计算题（40分）：
1. 设
)2)(1(1
)(--=
z z z f ，求)(z f 在}
1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.
2. .cos 1
1||⎰=z dz z
3. 设
⎰
-++=C d z z f λ
λλλ1
73)(2，其中
}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +
4. 求复数
11
+-=
z z w 的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数
)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，
那么它在
D 内为常数.
2. 试证
: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两
个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.
《复变函数》考试试题（二）
二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z
2.
设
C
iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(2
2
2
，则
=+→)(lim 1z f i
z ________.
3. =-⎰=-1||0
0)(z z n
z z dz
_________.（n 为自然数）
4. 幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__________ .
5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.
6. 函数e z 的周期为__________.
7. 方程08323
5
=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.
8. 设2
11
)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.
9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.
10. ____)1,1
(Res 4=-z
z .
三. 计算题. (40分)
1. 求函数
)2sin(3
z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数
z 在正
实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
i z =处的值.
3. 计算积分：⎰-=i
i
z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）
的右半圆.
4. 求
dz
z z
z ⎰
=-2
2
)2
(sin π
.
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是
)(z f 在D 内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二. 填空题. (20分) 1. 设1
1
)(2+=
z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.
3. 若n n n
i n n z )1
1(12++-+=
，则=∞→n z n lim __________.
4. =+z z 2
2
cos sin ___________.
5. =-⎰=-1||0
0)(z z n z z dz
_________.（n 为自然数） 6. 幂级数
∑∞
=0
n n
nx
的收敛半径为__________.
7. 设1
1
)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.
8. 设
1-=z e ，则___=z . 9. 若0z
是
)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z .
10. ____)0,(Res =n z
z
e
.
三. 计算题. (40分)
1. 将函数12()z
f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.
2. 试求幂级数n
n n
z n
n ∑+∞
=!的收敛半径. 3. 算下列积分：
⎰-C z z z z
e )9(d 22，其中C 是1||=z .
4. 求
0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：
如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.
2. 设
)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数
R 及M ，使得当
R z ≥||时
n z M z f |||)(|≤，
证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）
二. 填空题. (20分) 1. 设i
z -=11
，则___Im __,Re ==z z .
2. 若ξ=∞
→n n z lim ，则=+++∞→n
z z z n
n (i)
21______________.
3. 函数e z 的周期为__________.
4. 函数2
11
)(z
z f +=
的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________.
7. 设
1|:|=z C ，则___)1(=-⎰C
dz z .
8. z
z sin 的孤立奇点为________.
9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z .
10. =)0,(Res n z
z
e _____________.
三. 计算题. (40分)
1. 解方程013
=+z .
2. 设1
)(2-=z e z f z
，求).),((Re ∞z f s
3. .)
)(9(2||2⎰=+-z dz i z z z
. 4. 函数()f z =z e z
111--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它
的阶数）.
四. 证明题. (20分)
1. 证明：若函数
)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解
析.
2. 证明0364
=+-z z 方程在2||1<<z 内仅有3个根.
《复变函数》考试试题（五）
二. 填空题.（20分） 1. 设
i z 31-=，则____,arg __,||===z z z .
2. 当___=z 时，z e 为实数.
3. 设1-=z e ，则___=z .
4.
z
e
的周期为___.
5. 设
1|:|=z C ，则___)1(=-⎰C
dz z .
6. ____)0,1
(Res =-z
e z .
7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。

8. 函数2
11
)(z
z f +=
的幂级数展开式为_________. 9. z
z sin 的孤立奇点为________.
10. 设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则
___)(1
=-⎰C n dz a z .
（n 为自然数） 三. 计算题. (40分)
1. 求复数1
1+-z z 的实部与虚部.
2. 计算积分：
z z I L
d R
e ⎰=，
在这里L 表示连接原点到1i +的直线段. 3. 求积分：I =
⎰+-π
θθ
202cos 21a a d ，其中0<a<1.
4.
应用儒歇定理求方程)(z z ϕ=，在|z|<1内根的个数，在这里
)(z ϕ在1||≤z 上解析，并且1|)(|<z ϕ.
四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外，处处不可微.
2. 设
)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个数R
及M ，使得当
R z ≥||时
n z M z f |||)(|≤，
证明:)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数.
《复变函数》考试试题（六）
1.
一、填空题（20分） 1. 若21
(1)1n n n z i n n
+=++-，则lim n z =___________. 2. 设
21
()1
f z z =+，则()f z 的定
义
域
为
____________________________.
3. 函数sin z 的周期为_______________________.
4. 2
2
sin cos z z +=_______________________. 5. 幂级数
n
n nz
+∞
=∑的收敛半径为________________.
6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点.
7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.
9. 方程53
2380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________.
10. 公式cos sin ix
e x i x =+称为_____________________.
二、计算题（30分）
1、2lim 6n
n i →∞
-⎛⎫
⎪⎝⎭
. 2、设2371
()C f z d z
λλλλ++=-⎰，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1z
e f z z =+，求Re ((),)s f z i .
4、求函数3
6
sin z z 在0z <<∞内的罗朗展式.
5、求复数1
1
z w z -=+的实部与虚部. 6、求3
i e
π
-的值.
三、证明题（20分）
1、 方程7
6
3
9610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.
2、 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，(,)v x y 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数.
3、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1
()
f z 的m 阶极点.
６．计算下列积分．（８分） (1)
2
2
sin ()2
z z
dz z π
=-⎰
； (2)
2
242
(3)z z dz z z =--⎰．
７．计算积分
20
53cos d π
θ
θ
+⎰
．（６分）
８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）
(1) 1(1)n
n
n i z ∞
=+∑； (2) 21(!)n
n n n z n
∞
=∑．
９．设3232
()()f z my nx y i x lxy =+++为复平面上的解析函数，试确定l ，
m ，n 的值．（６分）
三、证明题．
１．设函数()f z 在区域D 内解析，()f z 在区域D 内也解析，证明()f z 必为常数．（５分）
２．试证明0az az b ++=的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数．（５分）
试卷一至十四参考答案
《复变函数》考试试题（一）参考答案
二．填空题
1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩
； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5.
1
6. 整函数；
7. ξ；
8. 1
(1)!
n -； 9. 0；
10. ∞. 三．计算题.
1. 解 因为01,z << 所以01z <<
111()(1)(2)12(1)2
f z z z z z ==-
----001()22n
n n n z z ∞
∞===-∑∑. 2. 解 因为
2
2
2
12Re ()lim
lim 1cos sin z z z z s f z z z
π
ππ
π
→
→=
+
===--,
2
2
2
12Re ()lim
lim 1cos sin z z z z s f z z z
π
ππ
π
→-
→-=-
-
===-. 所以
22
2
1
2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-=
=+=⎰. 3. 解 令2
()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在
3z <内,
()
()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ=
=-⎰.
所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则
222222
122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b
w z z a b a b a b
-+-+=
=-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re(
)11(1)z a z a b -+=-+++, 22
12Im()1(1)z b
z a b -=+++. 四. 证明题.
1. 证明 设在D 内()f z C =.
令2
222
(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.
两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)
0(2)x x y
y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩
因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为
00
x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨
-=⎩. 消去x u 得, 22
()0x u v v +=. 1) 若22
0u v +=, 则 ()0f z = 为常数.
2)
若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =,
0y v =.
所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.
2.
证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的
z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.
由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅
角增加π. 所以
()f z =2
π
. 由已知所取分支在支割线上岸取正值,
于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2
π
,
故2
(1)i
f e
π
-==.
《复变函数》考试试题（二）参考答案
二. 填空题 1.1，2π
-
， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101
i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -.
6. 2k i π，()k z ∈.
7. 0；
8. i ±；
9. R ；
10. 0.
三. 计算题
1. 解 3212163
3
00
(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞
∞==--==++∑∑.
2. 解 令i z re θ
=.
则22
(),(0,1)k i
f z k θπ+===.
又因为在正实轴去正实值，所以0k =.
所以4
()i
f i e
π=.
3. 单位圆的右半圆周为i z e θ
=, 2
2
π
π
θ-≤≤
.
所以
222
2
2i
i i i
z dz de e
i ππ
θ
θππ
---
===⎰
⎰.
4. 解
dz z z
z ⎰
=-2
2
)
2
(sin π
2
)(sin 2ππ=
'
=z z i 2cos 2π
π=
=z z
i =0.
四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数).
令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====.
即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析.
(充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-,
因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以
,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.
比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故
()f z 在D 内为常数.
2.
即
要
证
“
任
一
n
次方程
101100
(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.
证
明
令
1011()0
n n n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=,
取
10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪
⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭
, 当z 在:C z R =上时, 有
111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.
()f z =.
由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程1
0110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++=
与 00n
a z = 有相
同个数的根. 而 00n
a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n
次方程在z R < 内有n 个根.
《复变函数》考试试题（三）参考答案
二.填空题.
1.{}
,z z i z C ≠±∈且; 2. 2()k i k z π∈; 3. 1ei -+; 4. 1;
5. 21
01
i n n π=⎧⎨
≠⎩;
6. 1;
7. i ±;
8. (21)z k i π=+;
9. ∞; 10. 1
(1)!
n -.
三. 计算题.
1. 解 1
2
2
2
20
11(1)2!!n z
n z z e z z z n -+∞
==+++⋅⋅⋅=∑.
2. 解 11
!(1)11
lim lim lim()lim(1)(1)!n n n n n n n n n n c n n n e c n n n n +→∞→∞→∞→∞+++=⋅==+=+.
所以收敛半径为e .
3. 解 令 22()(9)z e f z z z =-, 则 2001
Re ()99
z z z e s f z z ====--.
故原式022Re ()9
z i
i s f z ππ===-
.
4. 解 令 962
()22f z z z z =-+-, ()8z z ϕ=-.
则在:C 1z =上()()f z z ϕ与均解析, 且()6()8f z z ϕ≤<=, 故
由儒歇定理有
(,)(,)1N f C N f C ϕϕ+=+=. 即在 1z < 内, 方程只有一个根.
四. 证明题.
1. 证明 证明 设在D 内()f z C =.
令2
222
(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.
两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)
0(2)x x y
y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩
因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为
00
x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨
-=⎩. 消去x u 得, 22
()0x u v v +=. 1) 2
2
0u v +=, 则 ()0f z = 为常数. 2)
若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =,
0y v =.
所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.
2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时,
()
1!()!(0)2n
k k k
z r k f z k Mr f dz z r π+=≤≤⎰.
于是由r 的任意性知对一切k n >均有()
(0)0k f =.
故0
()n
n n
k f z c z
==
∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.
《复变函数》考试试题（四）参考答案
.
二. 填空题. 1.
12, 12
; 2. ξ; 3. 2()k i k z π∈; 4.
20
(1)(1)n n
n z
z ∞
=-<∑; 5. 整函数;
6. 亚纯函数;
7. 0;
8. 0z =;
9. ∞; 10.
1
(1)!
n +.
三. 计算题. 1.
i i z i z i
i z k k i k z z 232135sin 35cos
1sin cos 2
3
213sin 3cos 2
,1,03
2sin 32cos
1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=πππππππ
πππ解
2. 解 11Re ()12z z z e e s f z z ====+, 111Re ()12
z z z e e
s f z z -=-=-==
+-. 故原式1
1
1
2(Re ()Re ())()z z i s f z s f z i e e ππ-==-=+=-.
3. 解 原式2
2Re ()295
z i
z i
z i s f z i
z π
ππ=-=-===
-.
4. 解 z e z
111--=)1(1-+-z z
e z e z ，令0)1(=-z e z ，得i k z z π2,0==， ,2,1±±=k
而 z z z
z z z z z z ze e e z e e z z e +--=-+-=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 000
21
lim 0-=++-=→z z z z z ze e e e 0=∴z 为可去奇点
当i k z π2=时，01),0(≠+-≠z
e z k
而
[]0
212)1(≠=+-=='
-i
k z ze
e
i k z z
e
z
z
z
ππ i k z π2=∴为
一阶极点. 四. 证明题.
1. 证明 设()()F z f z =, 在下半平面内任取一点0z , z 是下半平面内异于0z 的点, 考虑
000000000
()()()()()()
lim lim lim z z z z z z F z F z f z f z f z f z z z z z z z →→→---==---. 而0z , z 在上半平面内, 已知()f z 在上半平面解析, 因此
00()()F z f z ''=, 从而()()F z f z =在下半平面内解析.
2. 证明 令()63f z z =-+, 4
()z z ϕ=, 则()f z 与()z ϕ在全平面解析,
且在1:2C z =上, ()15()16f z z ϕ≤<=,
故在2z <内11(,)(,)4N f C N C ϕϕ+==.
在2:1C z =上, ()3()1f z z ϕ≥>
=,
故在1z <内22(,)(,)1N f C N f C ϕ+==.
所以f ϕ+在12z <<内仅有三个零点, 即原方程在12z <<内仅有三个根.
《复变函数》考试试题（五）参考答案
一. 判断题. 1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√. 二. 填空题. 1.2,
3
π-
,
1+; 2.
2(,)a k i k z a π+∈为任意实数;
3. (21)k i π+, ()k z ∈;
4. 2,()k i k z π∈;
5. 0;
6. 0;
7. 亚纯函数; 8.
20
(1)(1)n n
n z
z ∞
=-<∑; 9. 0;
10. 21
01i n n π=⎧⎨≠⎩
.
三. 计算题.
1. 解 令z a bi =+, 则
222222
122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b
w z z a b a b a b -+-+=
=-=-=-+++++++++.
故 2212(1)Re(
)11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z b
z a b
-=+++. 2. 解 连接原点及1i +的直线段的参数方程为 (1)01z i t
t =+≤≤, 故{}11001Re Re[(1)](1)(1)2
c i
zdz i t i dt i tdt +=++=+=⎰⎰⎰.
3. 令i z e θ
=, 则dz d iz
θ=. 当0a ≠时
212()(1)
12cos 1()z a az a a a z z a z
θ----+=-++=
, 故11()(1)z dz I i z a az ==--⎰, 且在圆1z <内1()()(1)
f z z a az =--只以
z a =为一级极点, 在1z =上无奇点, 故
211
Re (),(01)11z a z a
s f z a az
a ===
=
<<--, 由残数定理有 2
122Re (),(01)1z a I i s f z a i a ππ===≤<-.
4. 解 令(),f z z =- 则(),()f z z ϕ在1z ≤内解析, 且在:C 1z =上, ()1()z f z ϕ<=,
所以在1z <内, (,)(,)1N f C N f C ϕ+==, 即原方程在 1z <内只有一个根. 四. 证明题. 1.
证
明
因
为
22(,),(,)0
u x y x y v x y =+≡, 故
2,2,0x y x y u x u y v v ====.
这四个偏导数在z 平面上处处连续, 但只在0z =处满足..C R -条件,
故()f z 只在除了0z =外处处不可微.
2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时,
()
1!()!(0)2n
k k k
z r
k f z k Mr f
dz z r π
+=≤
≤⎰
. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()
(0)0k f =.
故0
()n
n n
k f z c z
==
∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.
《复变函数》考试试题（六）参考答案
二、填空题：1. 1ei -+ 2. 1z ≠± 3. 2π 4. 1 5. 1
6. 1m -阶
7. 整函数
8. 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题： 1.
解：因为
21,66
i -==< 故2lim(
)06
n
n i →∞
-=. 2.
解：
13,i +=
1()
()2C f f z d i z
λλπλ∴=
-⎰
2371
.C d z
λλλλ++=-⎰ 因此 2
()2(371)f i λπλλ=++ 故2
()2(371)f z i z z π=++
1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+.
3.解：211
()
12z z e e z z i z i =⋅+++-
Re ((),).2i
e s
f z i ∴=
4.解：321
3
(1)()sin ,(21)!n n n z z n +∞
=-=+∑ 363
60sin (1).(21)!
n n n z z z n ∞
-=-∴=+∑
5．解：设z x iy =+, 则2222
11(1)211(1)z x iy x y yi
w z z iy x y --++-+===+++++. 2222
22
1
2Re ,Im .(1)(1)x y y
w w x y
x y
+-∴==
++++ 6
．解：3
1
cos()sin()(1).332
i e
i π
ππ-=-+-=
四、1. 证明：设6
73()9,()61,f z z z z z ϕ==+-
则在1z =上，()9,
()1618,f z z ϕ=≤++= 即有()()f z z ϕ>.
根据儒歇定理，()f z 与()()f z z ϕ+在单位圆内有相同个数的零点，而()f z 的零点个数为6，故7
6
3
9610z z z ++-=在单位圆内的根的个数
为6.
2.证明：设(,)v x y a bi =+，则0x y v v ==, 由于()f z u iv =+在内D 解析，因此(,)x y D ∀∈有 0x y u v ==, 0y x u v =-=.
于是(,)u x y c di ≡+故()()()f z a c b d i =+++，即()f z 在内D 恒为常数.
3.证明：由于0z 是()f z 的m 阶零点，从而可设
0()()()m
f z z z
g z =-，
其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠， 于是
0111
()()()
m
f z z z
g z =⋅- 由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ，在1D 内恒有()0g z ≠，因此
1()
g z 在内1D 解析，故0z 为
1
()
f z 的m 阶极点.。