构造判断矩阵的讲解(层次分析法)..
计量地理学第六章——层次分析法
二 基本过程
（三）构造判断矩阵（AHP决策分析中一个关键的步骤）
①判断矩阵表示针对上一层次中的某元素而言，评定该 层次中各有关元素相对重要性程度的判断。其形式如下：
二 基本过程
（三）构造判断矩阵
②其中，bij 表示对于Ak 而言，元素Bi 对Bj 的相对重要性 程度的判断值。
标度
1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数
3 1 / 3 1
3 1 / 3 1
0.405
W 2.466 1
0.105
W 0.637 0.258
λmax
n (AW )i i 1 nWi
0.318
1.936
0.785
3 0.105 3 0.637 3 0.258
3.037
三 计算方法
1、将判断矩阵每一列归一化
（二）建立层次结构模型
在这一个步骤中，要求将问题所含的要素进行分组，把每 一组作为一个层次，并将它们按照：最高层（目标层）——若 干中间层（准则层）——最低层（措施层）的次序排列起来。
最高层
表示解决问题的目的，即层次分析要达到的目 标
中间层
表示实现目标所涉及的因素、准则和策略等。 分为若干子层，如准则层、约束层和策略层。
所需要的定量化数据较少，但对问题的本质，问题所涉 及的因素及其内在关系分析得比较透彻、清楚。
缺点：存在着较大的随意性。 譬如，对于同样一个决策问题，如果在互不干扰、互不
影响的条件下，让不同的人同样都采用AHP决策分析方法进 行研究，则他们所建立的层次结构模型、所构造的判断矩阵 很可能是各不相同的，分析所得出的结论也可能各有差异。
法
1
2
n
n
Wi W i
层次分析法
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30
31
32
B题 眼科病床的合理安排 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就 诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务 。 我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。 该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病 、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只 需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做 一只，周三再做另一只。 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观 察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少 ，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排 问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对 全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却 越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高 对医院资源的有效利用。 问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
1
使用层次分析法的关键问题是要搞清楚问 题的背景和条件，要达到的目标、涉及的因素 和解决问题的途径与方案等等。这就需要将问 题概念化，构成概念之间的逻辑结构关系，即 层次结构模型，然后通过建立判断矩阵，进行 排序计算，最后就能得到满意的决策结果。 下面通过一个实际例子扼要介绍层次分析法的 基本原理和步骤。
层次分析法例题(3)
二、AHP 求解层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是一种定量与定性相结合的多目标决策分析法， 将决策者的经验给予量化，这在对目标（因素）结构复杂且缺乏必要数据的情况下较为实用。
（一）、建立递阶层次结构目标层：最优生鲜农产品流通模式。
准则层：方案的影响因素有：c 1自然属性、c 2经济价值、C 3基础设施、c 5政府政策。
方案层：设三个方案分别为：A i 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、A 2农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、A 3农业合作社一第三方物流企业一超市一消费者（本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区 ）。
A 3图3— 1递阶层次结构（二）、构造判断（成对比较）矩阵所谓判断矩阵是以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。
为目标层:G :最优生鲜农产品流通模式准则层:自然属性经济价值基础设施政府政策方案层:了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，弓I入1〜9的标度，见表3—1.为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为：（三）、层次单排序及其一致性检验层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。
对应于判断矩阵最大特征根入max的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和等于1）后记为W。
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。
由于入连续的依赖于a ij,则入比n大的越多，A 的不一致性越严重。
用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。
因而可以用入一n数值的大小来衡量A的不一致程度。
用一致性指标进行检验：CImax nCRCI RI用一致性指标进行检验：CI 工 n。
层次分析法
1. 层次分析法（The analytic hierarchy process, 简称AHP）用于解决评价类问题,例如：选择那种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀。
评价类问题可以用打分解决。
层次分析法 (The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T. L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法, 是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的, 它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构, 把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上, 从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。
在许多情况下, 决策者可以直接使用AHP进行决策, 极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性, 但其本质是一种思维方式, 它把复杂问题分解成多个组成因素, 又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构, 通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。
整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。
1.1模型介绍1.1.1引例高考结束了，小明该选择华科还是五武大？小明最关心四个方面：学习氛围0.4、就业前景0.3、男女比例0.2、校园景色0.19（权重和为1）（1）学习氛围：经查阅资料查到“学在华工，玩在武大，爱在华师”一句话，因此在学习氛围方面给华科0.7，给武汉大学0.3.（2）就业前景：搜索两所学校就业率差不多，因此在就业前景方面对两所学校均赋予0.5的权重。
（3）男女比例：经查询，华科男女比例2：1，武大1.35：1，因此武大0.7分，华科0.3分（4）校园景色：华科0.25分，武大0.75分整理权重表格：指标权重华科武大学习氛围0.40.70.3就业前景0.30.50.5男女比例0.20.30.7校园景色0.10.250.75华科最终的得分：0.7*0.4+0.5*0.3+0.3*0.2+0.25+*0.1=0.515分武大最终得分：0.3*0.4+0.5*0.3+0.7*0.2+0.75*0.1=0.485分1.1.2 模型1、关键词：打分法、确定评价指标、形成评价体系2、解决评价类问题，首先确定以下三个问题：（1）评价的目标是什么（2）为了达到这个目标有哪几种可选的方案（3）评价的准则或者说指标是什么（我们根据什么东西来评价好坏）。
构造判断矩阵的讲解
构造判断矩阵的讲解层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于处理决策问题的定量方法。
它通过将问题分解为一系列相互关联的准则和备选方案，并使用判断矩阵来定量评估它们之间的相对重要程度，从而帮助决策者进行决策。
一、构造判断矩阵的基本思想判断矩阵是用于量化准则和备选方案之间相对重要程度的工具。
构造判断矩阵的基本思想是通过比较两个元素之间的重要程度，将其转化为一个数值。
这个数值被称为重要性权重。
二、判断矩阵的构建过程1.确定准则和备选方案：首先，需要明确决策问题的准则和备选方案。
准则是衡量备选方案优劣的标准，备选方案是实施决策的可行选择。
2.构建层次结构：将准则和备选方案按照层次结构组织起来。
层次结构由若干层次组成，最顶层是目标层次，下一层是准则层次，最底层是备选方案层次。
3.定义判断矩阵：对于每一对元素，决策者根据其重要程度来填写判断矩阵的元素。
判断矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是准则或备选方案的个数。
4.判断矩阵的填写：对于准则层次的判断矩阵，决策者评价不同准则之间的相对重要程度，从1到9进行评分，其中1表示两个准则同等重要，9表示一个准则远远重要于另一个准则。
对于备选方案层次的判断矩阵，决策者评价不同备选方案之间的相对重要程度。
5.判断矩阵的一致性检验：进行一致性检验是为了保证判断矩阵的可靠性。
通过计算判断矩阵的最大特征值和一致性指标，确定判断矩阵是否通过一致性检验。
三、判断矩阵的数学原理判断矩阵是根据相对重要程度进行填写的。
根据AHP的原理，假设第i个准则对于第j个准则的相对重要程度为A(i,j)，那么相对重要程度满足以下两个条件：1.A(i,j)=1/A(j,i)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则i的重要程度互为倒数。
2.A(i,j)×A(j,k)=A(i,k)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则k的重要程度的乘积等于准则i相对于准则k的重要程度。
层次分析法-判断矩阵的构造-德尔菲法
德尔菲法实施注意事项
① 由于专家组成成员之间存在身份和地位上的差别以及其他社会原因， 有可能使其中一些人因不愿批评或否定其他人的观点而放弃自己的合理主张。 要防止这类问题的出现，必须避免专家们面对面的集体讨论，而是由专家单 独提出意见。 ② 对专家的挑选应基于其对企业内外部情况的了解程度。专家可以是第 一线的管理人员，也可以是企业高层管理人员和外请专家。例如，在估计未 来企业对劳动力需求时，企业可以挑选人事、计划、市场、生产及销售部门 的经理作为专家。 其他注意事项： （1） 为专家提供充分的信息，使其有足够的根据做出判断。例如，为 专家提供所收集的有关企业人员安排及经营趋势的历史资料和统计分析结果 等等。 （2） 所提问的问题应是专家能够回答的问题。 （3） 允许专家粗略的估计数字，不要求精确。但可以要求专家说明预 计数字的准确程度。 （4） 尽可能将过程简化，不问与预测无关的问题。 （5） 保证所有专家能够从同一角度去理解员工分类和其他有关定义。 （6） 向专家讲明预测对企业和下属单位的意义，以争取他们对德尔菲 法的支持。
中位数预测： 用中位数计算，可将第三次判断按预测值高低 排列如下： 最低销售量： 300 370 400 500 550 最可能销售量： 410 500 600 700 750 最高销售量： 600 610 650 750 800 900 1250 最高销售量的中位数为第四项的数字，即750。 将可最能销售量、最低销售量和最高销售量分 别按0.50、0.20和0.30的概率加权平均，则预测平 均销售量为： 600*0.5+400*0.2+750*0.3=695
德尔菲法
德尔菲法，又名专家意见法，是依据系统的程序，采用 匿名发表意见的方式，即团队成员之间不得互相讨论，不发 生横向联系，只能与调查人员发生关系，以反覆的填写问卷， 以集结问卷填写人的共识及搜集各方意见，可用来构造团队沟 通流程，应对复杂任务难题的管理技术。 德尔菲法是在20世纪 40年代由O．赫尔姆和N．达尔克首创，经过T．J．戈尔登和兰德 公司进一步发展而成的。德尔菲这一名称起源于古希腊有关太阳神阿 波罗的神话。传说中阿波罗具有预见未来的能力。因此，这种预测方 法被命名为德尔菲法。1946年，兰德公司为避免集体讨论存在的屈 从于权威或盲目服从多数的缺陷，首次用这种方法用来进行定性预测， 采用匿名发表意见的方式，即专家之间不得互用这种方法用来进行预 测，20世纪中期，当美国政府执意发动朝鲜战争的时候，兰德公司 又提交了一份预测报告，预告这场战争必败。政府完全没有采纳，结 果一败涂地,从此以后该方法被迅速广泛的采用。 德尔菲是古希腊地名。相传太阳神阿波罗(Apollo)在德尔菲杀死了一 条巨蟒，成了德尔菲主人。在德尔菲有座阿波罗神殿，是一个预卜未 来的神谕之地，于是人们就借用此名，作为这种方法的名字。 德尔 菲法最初产生于科技领域，后来逐渐被应用于任何领域的预测，如军 事预测、人口预测、医疗保健预测、经营和需求预测、教育预测等。 此外，还用来进行评价、决策、管理沟通和规划工作。
层次分析法—规划决策的工具
层次分析法—规划决策的工具随着社会的快速发展和全球化进程的加速，越来越多的组织和决策者面临着复杂多变的挑战。
在这个背景下，层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）作为一种系统化的决策工具，开始受到广泛。
本文将详细介绍层次分析法及其在规划决策中的应用。
规划决策是指根据组织的目标和资源，制定出一套具体的行动方案。
规划决策需要综合考虑各种因素，如政策、经济、社会和环境等。
在这个过程中，层次分析法能够将复杂的问题分解为多个层次，帮助决策者更加清晰地认识问题，从而做出更加科学、合理的决策。
层次分析法是一种结构化、系统化的决策方法，其核心是将一个复杂的问题分解为多个层次，如目标层、准则层和方案层等。
每个层次上的元素通过相互比较，确定其相对重要性，然后根据一致性检验进行排序。
根据每个元素的权重，得出方案层的优劣排序，为决策者提供依据。
层次分析法在规划决策中具有广泛的应用。
例如，在制定城市发展规划时，可以将城市的经济、社会和环境目标作为目标层，将不同的规划方案作为方案层，然后通过层次分析法对方案进行评估和排序。
在选择合作伙伴、制定军事策略等领域，层次分析法也发挥了重要作用。
与其他规划决策方法相比，层次分析法具有以下优点：系统性：层次分析法将问题分解为多个层次，使决策过程更加系统化、条理清晰。
定量性：层次分析法通过比较元素之间的相对重要性，并计算各元素的权重，使决策过程更加定量、精确。
可比性：层次分析法采用一致性检验对元素进行排序，保证不同方案之间的可比性。
虽然层次分析法在规划决策中具有许多优点，但也存在一些不足：主观性：层次分析法中的判断和权重分配往往基于专家或决策者的主观意见，这可能导致结果具有一定的主观性和片面性。
适用范围有限：层次分析法适用于多准则、多目标的问题，但对于某些复杂问题可能无法完全适用。
计算复杂度较高：层次分析法的计算过程可能较为复杂，尤其是当问题涉及的元素较多时，需要消耗大量计算资源。
层次分析法分析(AHP)及实例教程
设定评价标准
根据问题背景和目标，设定合理的评价标准，如 成本、效益、风险等。
识别关键因素和指标
关键因素识别
分析影响决策目标的关键因素，如市 场需求、技术水平、资源条件等。
指标选取
针对每个关键因素，选取具体的评价 指标，如市场份额、创新能力、资源 利用率等。
构建递阶层次结构图
目标层
准则层
将决策目标作为最高层， 表示解决问题的总体目标。
层次分析法分析 (AHP)及实例教程
目录
• 层次分析法(AHP)概述 • 构建层次结构模型 • 构造判断矩阵与权重计算 • 实例教程：以某企业投资决策为例 • AHP优缺点及改进方向 • 总结与展望
01
层次分析法(AHP)概述
AHP定义与发展历程
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的、系统化、 层次化的分析方法。它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，对各因素进行两两比较，构造 判断矩阵，进而计算各因素的权重，为决策问题提供定量依据。
对计算得到的权重进行一致性检 验，确保结果的合理性和准确性。
一致性检验与调整策略
一致性检验方法
通过计算一致性指标CI和随机一 致性指标RI，判断判断矩阵的一 致性。
调整策略
当判断矩阵不满足一致性要求时， 需要对判断矩阵进行调整，包括 调整元素值、重新构造判断矩阵 等方法，直至满足一致性要求。
注意事项
针对缺点提出改进措施
1 2
提高数据质量和数量
通过改进数据采集和处理方法，提高数据的质量 和数量，减少数据不准确和不完整对决策结果的 影响。
引入客观标准
在构建判断矩阵时，可以引入客观标准和量化指 标，减少主观判断对决策结果的影响。
层次分析法
19
（5）层次总排序 ）
各个方案优先程度的排序向量为：
0.263 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166 0.475 0.300 = 0.246 W = W ( 3)W ( 2)= 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.055 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668 0.099 0.456 0.110
1 Aw = 1 / 2 1 / 6
2 1 1/ 4
6 4 1
0 . 587 0 . 324 0 . 089
=
1 . 769 0 . 974 0 . 268
12
判断矩阵的一致性检验
λ 判断矩阵通常是不一致的，但是为了能用它的对应于特 征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应 在容许的范围内.如何确定这个范围？ CI=0 时A一致； CI = λ − n （1）一致性指标： n −1 CI 越大，A的不一致性程度 越严重。 （2）随机一致性指标RI：
常 规 思 维 过 程
确定这些准则在你心目中各占的比重多大； 确定这些准则在你心目中各占的比重多大；
就每一准则将三个地点进行对比； 就每一准则将三个地点进行对比；
将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。 将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。
4
1
目标层Z 景 层C 色
层
选择旅游目的地
的 目标
目标
费 用 住
居 食
饮 途
旅
的
层P
P 1
P2
P3
层次分析法中判断矩阵的构造问题
层次分析法中判断矩阵的构造问题作者：储敏学位授予单位：南京理工大学1.参考文献2.郭亚军综合评价理论与方法 20023.秦寿康综合评价原理及应用 20034.王雪华两种层次结构化决策方法的理论与应用研究--AHP与AIM 20005.王莲芬.许树柏层次分析法引论 19906.Saaty T L The Analytic Hierarchy Process 1980ler G A The magical number seven,plus or minus two:Some limits on our capacity for processing information 19568.左军层次分析法中判断矩阵的间接给出法 1988(10)9.徐泽水层次分析法中构造判断矩阵的新方法 1997(zk)10.徐泽水层次分析法新标度法 1998(10)11.舒康.梁镇伟AHP中的指数标度 1990(01)12.汪浩.马达层次分析法标度评价与新标度方法 1993(05)13.侯岳衡.沈德家指数标度及其与几种标度的比较[期刊论文]-系统工程理论与实践 1995(10)14.P J M Van Laarhoven.W Pedrycz A Fuzzy Extension of Saaty's Priority Theory 1983(03)15.许若宁.翟晓燕层次分析法中Fuzzy判断矩阵的建立及其排序 1988(05)16.王绪柱.刘进生.魏毅强模糊判断矩阵的一致性及权重排序 1995(01)17.诸克军.张新兰.肖荔瑾FuzzyAHP方法及应用[期刊论文]-系统工程理论与实践 1997(12)18.曹纯模糊AHP中权重向量的一种新算法[期刊论文]-西北民族学院学报(自然科学版) 1999(1)19.James J Buckley.Thomas Feuring.Yoichi Hayashi Fuzzy hierarchical analysis revisited 200120.Ruoning Xu Fuzzy least-squares priority method in the analytic hierarchy process 200021.许若宁Fuzzy判断矩阵的一致性修正[期刊论文]-数学研究与评论 2003(1)22.刘进生.魏毅强.王绪柱区间数判断矩阵的建立及其权重计算 1993(03)23.魏毅强.刘进生.王绪柱不确定型AHP中判断矩阵的一致性概念及权重[期刊论文]-系统工程理论与实践 1994(4)24.张吉军区间数的排序方法研究[期刊论文]-运筹与管理 2003(3)25.穆增超.郭小宣区间判断矩阵的一种新的排序方法[期刊论文]-汉中师范学院学报 2003(3)26.高洁.盛昭瀚可拓层次分析法研究[期刊论文]-系统工程 2002(5)27.骆正清关于层次分析法中判断矩阵间接给出法的讨论 1993(03)28.骆正清.杨善林层次分析法中几种标度的比较[期刊论文]-系统工程理论与实践 2004(9)29.徐泽水关于层次分析中几种标度的模拟评估[期刊论文]-系统工程理论与实践 2000(7)30.Malcolm Beynon An analysis of priority values from alternative comparison scales within AHP 200231.骆正清层次分析法中判断矩阵构造的新方法[期刊论文]-电子科技大学学报 1999(5)32.赵玮.岳德权AHP的算法及其比较分析 1995(01)33.章志敏.赵继超层次分析的广义梯度特征向量法[期刊论文]-经济数学 2000(4)34.王应明.徐南荣优化理论在层次分析法中的应用 1991(02)35.柴巧珠层次分析法的改进最小二乘排序法 1993(03)36.陈宝谦层次分析的两种新排序方法 1990(02)37.金菊良.魏一鸣.付强.丁晶计算层次分析法中排序权值的加速遗传算法[期刊论文]-系统工程理论与实践 2002(11)38.雷功炎关于将相对熵用于层次分析的简单注记 1995(03)39.E U choo.W C Wedley A common framework for deriving preference values from pairwise comparison matrices 200440.Chiclana F.Herrera F.Herrera-Viedma E Integrating three representation models in fuzzy multipurpose decision makingbased on fuzzy preference relation 199841.Tanino T Fuzzy preference orderings in group decision making 198442.陈守煜系统模糊决策理论与应用 199443.徐泽水模糊互补判断矩阵排序的一种算法[期刊论文]-系统工程学报 2001(4)44.樊治平.姜艳萍.肖四汉模糊判断矩阵的一致性及其性质[期刊论文]-控制与决策 2001(1)45.肖四汉.樊治平.王梦光Fuzzy判断矩阵的一致性研究[期刊论文]-系统工程学报 2001(2)46.樊治平.胡国奋模糊判断矩阵一致性逼近及排序方法[期刊论文]-运筹与管理 2000(3)47.姜艳萍.樊治平基于模糊判断矩阵的一种方案排序方法[期刊论文]-东北大学学报(自然科学版) 2000(4)48.肖四汉具有不同形式偏好信息的群决策理论与方法研究 200149.姜艳萍.樊治平一种用于模糊判断矩阵排序的χ2方法[期刊论文]-东北大学学报（自然科学版） 2000(5)50.樊治平.李洪燕.胡国奋一类Fuzzy判断矩阵及方案排序的目标规划方法[期刊论文]-东北大学学报 2000(1)51.徐泽水互补判断矩阵的两种排序方法--权的最小平方法及特征向量法[期刊论文]-系统工程理论与实践 2002(7)52.Jiang Y P.Fan Z P.Wang X R A lagrange multiplier ranking method for the fuzzy judgement matrix 200153.孔松泉.达庆利.徐泽水互补判断矩阵排序的广义χ2法[期刊论文]-东南大学学报(自然科学版) 2002(4)54.韦振中致判断矩阵与一致模糊矩阵的关系[期刊论文]-广西民族学院学报(自然科学版) 2001(2)55.宋光兴.杨德礼模糊判断矩阵排序向量的确定方法研究[期刊论文]-模糊系统与数学 2004(2)56.Y H Chen.Wen-june Wang.Chih-Hui Chiu New estimation method for the membership values in Fuzzy sets 20001.期刊论文骆正清.杨善林层次分析法中几种标度的比较-系统工程理论与实践2004,24(9)提出了用保序性、一致性、标度均匀性、标度可记忆性、标度可感知性、标度权重拟合性等标准,综合评价层次分析法中的不同标度;并用上述标准对现有的几种标度进行了比较,结论是:对单一准则下的排序,各种标度法都具有保序性,因而建议使用1～9标度;对精度要求较高的多准则下的排序问题,建议使用指数标度e0/5～e8/5 或e0/4～e8/4.2.学位论文占济舟关于层次分析法中标度问题的研究2005层次分析法(AHP)是由美国运筹学家，匹兹堡大学T.L.Saaty教授于20世纪70年代中期提出的，一种将决策者的定性判断和定量分析相结合的科学决策方法。
层次分析法具体应用及实例
层次分析法步骤与实例1 层次分析法的思想：将所有要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要到达的总目标，将问题分为不同的组成因素，并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较排序.2 次分析法的步骤：3 以一个具体案例进行说明：【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。
除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构 在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。
为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。
但问题绝不这么简单。
通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。
假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。
根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。
很明显，这两个方案于所有准则都相关。
将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。
同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A 、B 、C 、D 。
代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。
代表不同因素。
这样构成的递阶层次结构如下图。
目标层A准则层B准则层C措施层D图1 递阶层次结构示意图2.构造判断矩阵（成对比较阵）并赋值根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。
层次分析法例题
二、AHP 求解层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是一种定量与定性相结合的多目标决策分析法，将决策者的经验给予量化，这在对目标（因素）结构复杂且缺乏必要数据的情况下较为实用。
（一）、建立递阶层次结构目标层：最优生鲜农产品流通模式。
准则层：方案的影响因素有：1c 自然属性、2c 经济价值、3c 基础设施、5c 政府政策。
方案层：设三个方案分别为：1A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、2A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、3A 农业合作社一第三方物流企业一超市一消费者(本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区)。
。
图3—1 递阶层次结构（二）、构造判断(成对比较)矩阵所谓判断矩阵昰以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。
为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1～9的标度，见表3—1.目标层：准则层：方案层：表3—1 标度值为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为：（三）、层次单排序及其一致性检验层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。
a，则λ比n 大的越多，A 的不一致性越严重。
用最大特征值对由于λ连续的依赖于ij应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。
因而可以用λ―n数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
用一致性指标进行检验：max 1nCI n λ-=-。
其中max λ是比较矩阵的最大特征值，n 是比较矩阵的阶数。
层次分析法判断矩阵
层次分析法判断矩阵层次分析法判断矩阵程序先确定判断矩阵；然后用以下程序就好了：%层次分析法的matlab程序%%%%diertimoxingyiclc,cleardisp(输入判断矩阵);% 在屏幕显示这句话A=input(A=);% 从屏幕接收判断矩阵[n,n]=size(A);% 计算A的维度，这里是方阵，这么写不太好x=ones(n,100);% x为n行100列全1的矩阵y=ones(n,100);% y同xm=zeros(1,100);% m为1行100列全0的向量m(1)=max(x(:,1));% x第一列中最大的值赋给m的第一个分量y(:,1)=x(:,1);% x的第一列赋予y 的第一列x(:,2)=A*y(:,1);% x的第二列为矩阵A*y(:,1)m(2)=max(x(:,2));% x 第二列中最大的值赋给m的第二个分量y(:,2)=x(:,2)/m(2);% x的第二列除以m(2)后赋给y的第二列p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));% 初始化p，i，k为m(2)-m(1)的绝对值while k>p% 当k>p是执行循环体i=i+1;% i 自加1x(:,i)=A*y(:,i-1);% x的第i列等于A*y的第i-1列m(i)=max(x(:,i));% m的第i个分量等于x第i列中最大的值y(:,i)=x(:,i)/m(i);% y的第i列等于x的第i列除以m的第i个分量k=abs(m(i)-m(i-1));% k等于m(i)-m(i-1)的绝对值enda=sum(y(:,i));% y的第i列的和赋予aw=y(:,i)/a;% y的第i 列除以at=m(i);% m的第i个分量赋给tdisp(权向量:);disp(w);% 显示权向量wdisp(最大特征值:);disp(t);% 显示最大特征值t %以下是一致性检验CI=(t-n)/(n-1);% t-维度再除以维度-1的值赋给CIRI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];% 计算的标准CR=CI/RI(n);% 计算一致性if CR摘要在定性问题的决策中，ＡＨＰ是一种优秀的方法，其基础是对评价对象的两两比较，并用比较结果构造判断矩阵，而这些都依赖于决策者选用的偏好关系。
层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子和软件操作说明)
Cij赋值 1 3 5 7 9
1/3 1/5 1/7 1/9
对于上述例子，假定企业 领导对于资金使用这 个问题的态度是：首 先是提高企业技术水 平，其次是改善员工 物质生活，最后是调 动员工的工作积极性。 则准则层对于目标层 的判断矩阵A-B为：
A
B1
B2
B3
B1 1 1/5 1/3
B2
5
1
3
B3 3 1/3 1
（6）决策
企业领导根据上述分析结果，决定各种考虑 方案的实施先后次序，或者决定分配企业留 成利润的比例。
算例
有5个指标：X1对X2明显重要；X1对X3强烈重要； X1对X4同等重要；X1对X5稍不重要。采用AHP方法 计算指标权重。
①列出判断矩阵
1 5 7 1
1/5
1
层次B B1
层次C
0.105
C1
0.491
C2
0.232
C3
0.092
C4
0.138
C5
0.046
B2 0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.263
B3 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094
0
总排序W 3 b j c ij j1 0.157 0.164 0.393 0.113 0.172
根据矩阵理论可知，如果λ满足：
则λ为A的特征值，并且对于所有aiA i=x1 ，有x
n
i n
i1
显然，当矩阵具有完全一致性时，1maxn
其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性
时，则有1maxn，其余特征根λ2，λ3，λn有如下
关系：
n
i nmax
层次分析法判断矩阵的构成方法及比较
运用层次分析法（’()*+,-./0120)3,31(.4351)66， *24）确定权重系数，大体可分为四个步骤：
!建立复杂问题的递阶层次结构。 "构造两两比较的判断矩阵。 #由判断矩阵计算被比较元素的相对权重。 $计算各层元素的组合权重。 其中"是将人的比较判断量化的过程，受人的主 观因素影响很大，而判断矩阵又是计算权重的根据，是
与另一个指标相比，其重要性等级相差的级数为信息；
而数值比较法只是利用数值的比值为信息。
"345要求填写矩阵时采用“,$0”之间的正整 数及其倒数，简易表格法满足该特点；而数值比较法构 造的阵中万存方在数非据正整数倒数。
优序图（567879787:;"6*，简称 5:）是美国人 5<=< >??9+,01’年首次提出的，在我国目前尚未推广。它 也是建立在两两比较的基础之上，调查表中表格的设 计与原始矩阵相同，只是不采用“,$0”标度。它用“,” 表示行比列相对重要，用“&”表示行比列相对不重要， 用“&!.”表 示 行 与 列 同 等 重 要。 金 新 政〔%〕在《 优 序 图 和层次分析法在确定权重时的比较研究及应用》一文 中，详细阐述了优序图的优点，即省时、省力、易操作。 他也同时提到，由于优序图中只有“,，&，&!.”三个数字 来表示何者为优，对程度描述不足，因此适合于大样本 的调查。
（表%、表8），以此说明两种方法的区别与联系。 对表%、8的结果，做如下分析：
（$）从一致性程度考虑，数值比较法稍优： 由矩阵理论可知〔;〕，若 + 阶判断矩阵! 的最大
特征值比+ 大得越多，! 的不一致程度就越严重；相 反，!?,@越接近于 + 时，! 的一致性程度就越好。当 !?,@:+ 时，! 为完全一致阵。计算二者的 !?,@：数
(完整版)层次分析法的计算步骤
8.3.2 层次分析法的计算步骤一、建立层次结构模型运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次大体上可分为3类1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。
这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。
为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。
例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1所示的层次结构模型。
图8.1再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：图6 .2图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。
然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。
如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。
层次之间可以建立子层次。
子层次从属于主层次的某个因素。
它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。
层次分析法的计算步骤(可编辑修改word版)
8.3.2 层次分析法的计算步骤一、建立层次结构模型运用AHP 进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次大体上可分为3 类1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。
这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。
为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9 个，若多于9 个时，可将该层次再划分为若干子层。
例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1 所示的层次结构模型。
图8.1再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：图 6 .2图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP 所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。
然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。
如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。
层次之间可以建立子层次。
子层次从属于主层次的某个因素。
它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。
构造判断矩阵的讲解(层次分析法).
b ij bij /
②
k 1
bkj .........( i,
n
j 1,2,...,n)
将归一化的判断矩阵按行相加：
wi
③ 对向量
j 1
bij.........( i
n
1,2,...,n)
T归一化：
wi ( w1, w2,...,wn)
wi wi /
所得的
j 1
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过
一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则
要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。 一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1
及随机一致性指标的数值表，对
A 进行检验的过程。
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根=5.073
检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；
若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。
4.计算总排序权向量并做一致性检验 计算最下层对最上层总排序的权向量。 利用总排序一致性比率
a1CI1 + a2CI 2 + L + amCI m CR a1 RI1 + a2 RI2 + L + am RIm
w j .........( i
n
1,2,...,n)
w ( w1, w 2,...,wn) T 即为所求得特征向量，亦即
判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数）
层次单排序和一致性检验
（二）一致性检验
定义
一致性指标C.I.为：
CI
max n
n 1
一般情况下，若C.I. ≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值 是可以接受的。
层次分析法例题资料讲解
层次分析法例题专题：层次分析法一般情况下，物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价。
如果 仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价系统方案的 优劣，显然是十分困难的。
尤其是物流系统的社会经济评价很难作出精确的定 量分析°层次分析法(Analytical Hierarchy Process)由美国著名运筹学家萨蒂(T.L. Saaty)于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实用的定性 分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。
目前，该方法在国内已得到 广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方 案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及评比等方面。
它既是一 种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、实用的决策方法。
♦层次分析法的基本原理人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。
这 时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。
假设有n 个物品，其真实重量用 W1 , W2,--W n 表示。
要想知道W1 , W2,--W n 的值，最简单的就 是用秤称出它 们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵 A 。
W/叫/讥zWVV.VVPW/1V如果用物品重量向量W=[W1，W2右乘矩阵A,则有:由上式可知，n 是A 的特征值，W 是A 的特征向量。
根据矩阵理论, 矩阵A 的唯一非零解，也是最大的特征值。
这就提示我们，可以利用求物/W2 /W2叫/W]叫/叫/W]W1"'2/ W] W’r / us• • •/w” • • •■nw 2/ W]叫/ “2 叫=nW品重量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W。
从而确定最重的物品。
将上述n个物品代表n个指标（要素），物品的重量向量就表示各指标（要素）的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。
构造判断矩阵的讲解(层次分析法)课件
根据对两两比较结果，参 照相对重要程度，对每一 层次各元素的相对重要性 进行评估，构造两两比较 判断矩阵。
根据判断矩阵计算对于上 一层某元素而言，本层次 有关元素的重要性次序的 权值，即层次单排序。然 后进行一致性检验。
计算某一层次所有元素对 最高层（总目标）的相对 重要性权值，即层次总排 序。
根据层次总排序进行决策 。
02
构造判断矩阵
判断矩阵的定义与元素取值
定义
判断矩阵是层次分析法中，将决策问题分解成不同的组成因 素，并根据因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不 同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。
元素取值
判断矩阵的元素$a_{ij}$表示对于上一层元素$U$，下层元素 $u_{i}$与$u_{ j}$之间的相对重要性。通常采用1-9标度法或 其倒数（1-9的倒数）进行赋值，表示两元素间相对重要性的 比例。
判断矩阵
通过比较因素之间的相对 重要性，构造出判断矩阵
。
特征向量
计算判断矩阵的特征向量 ，得到各因素相对于上层
因素的权重。
一致性检验
对判断矩阵进行一致性检 验，确保权重分配合理。
层次总排序的计算步骤
层次单排序
对每个判断矩阵进行单排序，得 到各因素相对于上层因素的权重 。
层次总排序
将各层单排序的结果逐层汇总， 得到最底层因素相对于目标层的 权重。
对判断矩阵的权重分配主观性较大
02
层次分析法的权重分配主要依赖于专家的主观判断，因此有时
候会存在较大的主观性。
对复杂问题的处理能力有限
03
对于一些特别复杂的问题，层次分析法的处理能力可能有限，
需要结合其他方法进行解决。
未来研究方向与应用前景
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为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一 致性检验。
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
选 择 旅 游 地设要CCCCCC12345 比i A:较C各j 准11C1a1则//21/i343jC1,C1111A C12////,252…57(,aCinj7C)1243对n3n 目,标a 1C53i11/Oj42的01重,1153/Ca要35ji性AA稍现a1~是i成加上j正对分述互比析成反较就对阵阵发比
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因 素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排 序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所 谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。 定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
定理：n 阶正互反阵A的最大特征根 n, 当且仅当 =n
时A为一致阵
由于λ 连续的依赖于aij ，则λ 比n 大的越多，A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不 一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
对
将
w~w~i i归j
w~ij (
w1
,
w2
i 1
,...,
wn
)
T，即为近似特征根（权向量）
i1
d. 计算
1 n ( Aw ) i n i1 wi
，作为最大特征根的近似值。
1 例： A 1/ 2
2 1
6 4
0.089
0.268
1 (1.769 + 0.974 + 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, max=3.009
2. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量， 经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
构造判断矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性 的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提 出：一致矩阵法，即： 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸 因 判断素矩相阵互是比表较示的本困层难所，有以因提素高针准对确上度一。层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。
n
bijbij/ bk.j...i.,j. .1 .,2 .,(.n .)., k1
② 将归一化的判断矩阵按行相加：
wi nbij.....i. ..1.,2(,..n .),
j1
③ ④
对向量wi (w1,w2,..w .n ,)T归一化：
n
w iw i/wj.....i ..1,.2.,(..n.),
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性 CI 越大，不一致越严重
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
较矩阵有问题
层次单排序和一致性检验
对判断矩阵求其相对应的特征向量Ｗ，即
ＢＷ＝λmax Ｗ
其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，···，Ｗn）就是对应于n个要素的相 对重要度，即权重系数。
计算权重 系数的方 法
和积法
方根法
（1）和积法 ① 将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性 之类。
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
… 小石块Wn
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a.
将A的每一列向量归一化得：w~ij
aij
n
/ aij
b. c.
显然，随着n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到n的影响，使 用随机性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出 了500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。
平均随机一致性指标
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
j1
所得的 w(w 1,w 2,..w .n),T即为所求得特征向量，亦即
判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数）
层次单排序和一致性检验
（二）一致性检验
定义 一致性指标C.I.为：
CI max n
n1
一般情况下，若C.I. ≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值 是可以接受的。
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 按行求和 1.760
0.364
0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
0.587
1.769
归一化 0.324 w Aw 0.974
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。
建立判断矩阵
例如：如果C为购一台满意的设备，P1为功能强，P2为价格低，P3为维修容易。通 过对P1，P2和P3的两两比较后做出的判断矩阵P如下：
P1
P2
P3
P1 1
1/3
2
P2 3
1
5
P3 1/2
1/5
1
功能强 价格低 易维修
衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是 否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下 关系，则称判断矩阵具有完全一致性。
基本概念
什么是权重（权系数）？
在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn
的线性组合： z n
w1 x1
+
w2 x2
+L+
wn xn
其中 wi 0, wi .1 则 w , w ,..., w 叫各因素对于目
标Z的权重， i1
1
2
n
w ( w1 , w2 ,..., wn ) T 叫权向量.