数学模型数学建模 第一次作业 入门实验

1、数学建模入门作业

1、贷款问题

小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。

(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？

(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？

(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三

年还清贷款。但条件是:

(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款

额的1/2；

(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总

额10%的佣金。

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

解答：

（1）根据题意设A k为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额

则有，第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额×月利率+第k-1个月的欠款额-每个月的还款额

即第k个月的欠款额：A k= A k－1（1+r）－x，k=1，2，……，N （1）

其中N为贷款的总月数，A0为最初贷款额；

由方程（1）容易推出

A1 = A0(1 + r ) x;

A2 = A1(1 + r ) x = A0(1 + r )2- x[(1 + r ) + 1];

第k 个月的还款金额为

A k = A 0（1+r ）k －x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1] = 0(1)1(1)(1)1k k

r A r x r +-+-+- （2） 贷款总月数为N ，也就是说，第N 个月的欠款额为0，即A N ＝0，在方程（2）中令N=k ，导出每月的还款额

00(1)(1)1

n n A r r x A r r +=>⋅+-，可见每个月的还款额一定大于贷款额×月利率。 综上所述

将r ＝0.006，n ＝240，A 0＝2×105代入可计算出每月还款额x=1574.70元，共还款1574.70×240＝377928.00元，共计付利息177928.00元。

（2）在贷款满5年后，根据题意有k ＝5×12=60，代入公式计算可得到则一次付款额A 60＝173034.90元。

（3）根据题意从银行调整利率后算起，A 0=173034.90，n=15×12=180，r ＝0.008，由此可以得到x ＝1817.33元，即每月的还款额应为1817.33元。

（4）根据题意，提前3年还完贷款则为17年还完贷款。

如果小王夫妇不请请这家借贷公司帮助还款，则每月的还款额约为1574.7元，则总共的还款额为1574.7×12×20＝377928元。

如果小王夫妇请这家借贷公司帮助还款，根据题意，每半个月付款一次，即每月付款2次，一次付款额是原付给银行还款额的1/2，还需考虑付给借贷公司的佣金，因此总的还款额是1574.699×0.5×17×12×2+200000×10%＝341238.60元。 因此，小王夫妇应该请这家借贷公司帮助还款。

2、冷却定律与破案

按照Newton 冷却定律，温度为T 的物体在温度为To (To

时内均为21.1℃,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说:“下午张某一直在办公室，下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？

解答：

首先根据Newton 冷却定律列出其方程：

)(0T T k dt

dT -=， （1） 式中T 为系统的温度，0T 为环境的温度，t 为客观时间，k 为散热系数。

若尸体温度按照牛顿的冷却定律来变化，设)(t T 表示t 时刻尸体的温度，并记晚上8点20分为t=0时刻。则根据实测数据有

C T C T 4.31)1(,6.32)0(==， （2）

推理一下：假设受害者死亡时体温是正常的，即C T 37)0(=，如果知道C t T .37)(=的解，则可以知道t 0。

由方程（1）得其通解

kt e C T t T +=0)(， （3）

式中C T 1.210=为被害者家的温度，即环境温度。根据方程（2）确定常数C 和散热系数k ，于是有

6.321.21)0(0=+=⨯k e C T ，

4.311.21)1(1=+=⨯k e C T ，

解方程组得，5.11=C ，11.0103ln 115ln ≈-=k ，代入方程（3）

t e t T 11.05.111.21)(+=， （4）

当C t T

.37)(=时，该方程的解为 95.20-≈t h 2-≈h 57min

所以，被害者的死亡时间约为：

8：20- 2：57 =5：23；

这也就是说，被害人的死亡时间约为5：23，张某有足够长的时间可以作案，因

此张某不能被排除在嫌疑犯之外。

3、锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理由即可）

(1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？

解答：

可以将两个过程叠加在一起，看作两个人同时从起点和终点出发，，所以必在中间某一时间两人相遇，相遇点即为同一时刻经过路径中的同一地点。

(2)甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻表是如何安徘的？

解答：

此人100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站，也就意味着他有90%的可能是乘了“乙到甲”车次，10%的可能是乘了“甲到乙”车次。如果他在十分钟的前一分钟之间的任意时刻到达丙站，那么他将乘坐到达的“甲到乙”车，如果他在十分钟的后九分钟之间的任意时刻到达丙站，那么他将乘坐达到的“乙到甲”车。也就是说，“乙到甲”比“甲到乙”要迟9分钟这样的分配在全天时刻表中都是如此，可以实现“100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站”的结果。

(3)张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A 市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？