b a
c y 442
max -=；
例1．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2
的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
解：经过时间t 后，自行车做匀速运动，其位移为Vt S =1， 汽车做匀加速运动，其位移为：2
22
1at S =
两车相距为：2
22
12
3621t t at Vt S S S -=-=-=∆ 这是一个关于t 的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS 有最大值。 当有最大值时S ，s a b t ∆=-⨯-=-
=)(2)
2/3(26
2 )(6)
2/3(4604422
m a
b a
c S m =-⨯-=
-=
∆
二．利用三角函数求极值
如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=2
1Asin2α，在α=45º时，y 有极值2
A
。
对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф)
例2．如图一(1)所示,底边AB 恒定为b,当斜面与底边成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?
设夹角为θ时，斜面长为S ，物体质量为 m ，沿斜面方向的加速度为a ，所用时间为t ，
受力分析如图一（2）所示，据题意有：θcos b
S =…………① 由运动学和牛顿第二定律有： 22
1
at S =…………②
mgsin θ=ma …………③
联立①②③式解得：θ
θ
θ2sin 4cos sin 22g b
g b
a
S
t =
==
可见，在90°≥θ≥0°内，当sin θ=1时，即2θ=90°，θ=45°时，有最短时间：g
b t 4min =
例3．如图4所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置
时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?
[解析]：设圆弧半径为R ，当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时，速度为V ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定有：
R
V
m
mg N mgR mV 22cos cos 2
1
=-=θθ 解得小球对小车的压力为：N=3mgcos θ，其水平分量为：N x =3mgsin θcos θ=θ2sin 2
3mg
b
图一(1)
图一(2)
图4
根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f= N x =θ2sin 2
3mg
可以看出：当sin2θ=1,即θ=45º时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：f max =mg 2
3。
例4．如图3－2－4所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾
角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝3
3.重力加速度g 取10 m/s 2.
(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小．
(2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？
【解析】 (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得
L ＝v 0t ＋1
2at 2①
v ＝v 0＋at ②
联立①②式，代入数据得 a ＝3 m/s 2③ v ＝8 m/s.④
(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与
斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得
F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ⑤
F sin α＋F N －mg cos θ＝0⑥ 又F f ＝μF N ⑦ 联立⑤⑥⑦式得
F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋ma cos α＋μsin α⑧
由数学知识得
cos α＋33sin α＝23
3sin(60°＋α)⑨
由⑧⑨式可知对应F 最小的夹角 α＝30°○
10 联立③⑧⑩式，代入数据得F 的最小值为 F min ＝133
5 N ．⑪
例5：一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻 绳水平，然后无初速度的释放，如图6所示，小球在运动至轻绳 达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最 大值？
解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为： P=mg υcosα=mgυsinθ ①
小球从水平位置到图中C 位置时，机械能守恒有：
2
2
1cos mv mgL =
θ ② 解①②可得：θθ2sin cos 2gL mg P = 令y=cosθsin θ
)sin sin cos 2(2
1
)sin cos 2(2
1
sin cos 222422θθθθθθθ⋅⋅=
=
=y
2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又 根据基本不等式abc c b a 3≥++，可知：
当且仅当θθ2
2sin cos 2=，y 有最大值
3
3cos cos 1cos 222=
-=θθθ：得由 结论：当3
3
cos =
θ时，y 及功率P 有最大值。
三．利用均值定理法求极值（适用于x
x y 1+=的情况）
图6
B
