大学物理 毕奥-萨伐尔定律

同理，任意形状的载流导线视为无数小段电流组成。
只须知道小段电流产生磁场的规律，理论上可求出 任意电流激发的磁场分布。
毕奥－萨伐尔定律～小段电流产生磁场的规律；～ 与点电荷的场强公式在静电场的地位相当。
可以把任意载流导体分成许多电流元;而整个 载流导体所产生的磁场,是这些电流元产生磁场的 叠加. ----实验加理论推导毕奥--萨伐尔定律
2. 点P的磁感应强度的大小
电荷速度与该特定方向垂直时受到的磁力最大。Fm
点P磁感应强度的大小 B = F
B
3. 点P的磁感应强度的指向
q0v⊥
v
B、v、F 满足右螺旋关系： 正试探电荷所受洛伦兹力大小为
F Fm
B
F = q0vB sinθ
θv
F = q0v × B
v⊥
∴B = F q0v sinθ
Idl × r3
r
真空磁导率
μ0 = 4π×10−7 N⋅ A−2
Idl dB
r
I
dB
P* θ
r Idl
11
7.3.2 毕奥-萨伐尔定律的应用
基本步骤
(1) 将电流分解为无数个电流元 Idl
I
dl
(2) 由电流元求dB (据毕—萨定律)
dB
θp r
(3) 将 dB 在坐标系中分解，并用磁场叠加原理做对称
磁现象的发现要比电现象早得多。公元前六、七 世纪（春秋战国时期），就发现磁石吸铁现象；
东汉时期，发明了磁性指南器具～“司南”；十 一世纪北宋时，发明了“指南针”。
明朝郑和七下西洋比哥仑布早半世纪
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•目前还无法获得磁单极～磁极不能单独存在。
S
N
S
NS
N
S N S N S NS N
SN SN SN SN SN SN SN SN
R
o
I
r
若线圈为N匝，每匝的电
B
流仍为I,则圆心O点处
x
*p x
B = μoNI
2R
15
B
=
μo R2 I 2( R2 + x 2 )32
（3）x >>R
圆电流环中心的场强
(R2 + x2)32 ≈ x3
B
=
μ0 IR 2 2x3
= μ0 IS 2π x3
= μ0 m 2π x 3
x
p
x
IR
式中：S = π R 2 ～圆环电流的圆面积
定义：磁距 m = ISen
其与电流的流向遵守右手螺旋定则。
S en
I
m
m = ISe B =
μo 2π
m x3
= μo 2π
m x3 en
n
注意：只有圆电流的面积S很小，或者场点距圆电流
很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子
[附]:电偶极子在中垂线 E = −Pe
上无穷远处的电场强度：
4πε 0 ro3
z = −r0 cotθ,r = r0 / sinθ
dz = r0dθ / sin2θ
z
D θ2
dz
θ
r
z
I
x o r0
C θ1
dB
*P y
∫ B =
μ o I ⋅ rodθ ⋅ sin θ L 4π sin 2 θ ⋅ ro 2 / sin 2 θ
∫ = μo I θ2 sin θ ⋅ dθ
4πro θ1
γ=1 ρ
第七章 稳恒磁场
4
第七章 稳恒磁场
静止的电荷周围存在电场，而运动的电荷周围不但 有电场而且还存在磁场～电磁场。
本章着重讨论稳恒电流(或相对参考系以恒定速度运
动的电荷)激发稳恒磁场～不随时间变化的磁场的规律
和性质。
主要内容
①引入描述磁场的基本物理量～磁感强度 B；
②介绍电流激发磁场的规律～毕奥—萨伐尔定律；
∫ B
= μoI ⋅ cosα ⋅ 4πr 2
dl
=
μo
R2
I
I
2( R2
+
x2
3
)2
B
=
μo R2 I 2( R2 + x 2 )32
得出圆电流环，在其轴上 一点的磁场，磁场方向与 电流满足右手螺旋法则。
讨 论（1）若线圈有 N 匝
B
=
N （2 x2
μ0 IR 2 + R2）32
（2）x = 0 圆电流环中心的场强 B = μ 0 I 2R
μ0I
4πr
B 延长线上： = o
例2：求载流圆线圈在其轴上的磁场。
Y Id l
r
dB ⊥
ϕ
dB
解：建立坐 标分割电流。
R
IO Z
ϕα
x
p dB//
p
X sinθ = 1
dB = μoI dl 4π r 2
由毕奥－萨
伐尔定律：
dB
=
μ0 4π
Idl × r r3
dB// = dBcosα dB⊥ = dBsinα
=
μoI 4πro
(cos θ 1
−
cos θ 2 )
B 的方向沿 x 轴的负方向
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z
D θ2
I
xo
C θ1
I
B
=
μ0 I 4 π r0
(cos θ1
−
cosБайду номын сангаасθ2
)
B
×
P
y
无限长载流长直导线
θ1 → 0 θ2 → π
B = μ0I
2 π r0
半无限长载流长直导线
B
θ1
→
π 2
θ2 → π
BP
=
③反映磁场性质的基本定理～磁场的高斯定理 和安培环路定理；
④磁场对运动电荷、电流的作用力～洛伦兹力、安培力。
本章研究方法与静电场非常相似，可有意识地对比。
常用的数学知识：①矢量叉乘 ②微积分(定积分)
引言：基本磁现象 一、基本磁现象(magnetic phenomenon) ①我国是发现并最早应用磁现象的国家；
因为各电流元产生的磁场方向 相同，磁场方向垂直纸面向里所 以只求标量积分。磁场方向垂直
z
D θ2
lr
B ro
纸面向里。 dB 方向均沿
x 轴的负方向
∫ ∫ B =
dB =
μ0 4π
Idz sinθ CD r 2
dz
θ
r
z
I
x o r0
C θ1
dB
*P y
∫ ∫ B =
dB =
μ0 4π
Idz sinθ CD r 2
磁场---磁铁或电流周围存在的一种能显示 磁力的物质。
磁场最基本的性质：
①磁场对磁铁、电流、运动电荷均有磁作用力；
即磁场对磁极有力的作用；磁极与磁极之间的 作用是通过磁场来实现的。
7
②载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对其 作功。
③与电场一样，磁场也是一种场类物质。
•下面借助于磁场中的小磁针来描述磁场方向：
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圆形载流导线在其平面通过圆心的轴线上所激发的
磁场方向只有沿轴的分量，垂直于轴的分量和为零。
B = Bx = ∫ dB cosα
x
∵ dB
=
μo I 4πr 2
dl;
dBx
∵r2 = x2 + R2
α
×P
dB
dB⊥
∵cosα = R = R
r
R2 + x2
代入以上积分不变量：
r x
α
O R Idl
磁感应强度是描述磁场强弱 的位置点函数。
9
同样可用磁力线或磁感应线形象地描绘磁场 (磁感应强度)的分布。
I
I
I
电流与磁感强度成右手螺旋关系
I
10
§7-3 毕奥－萨伐尔定律(Biot-Savart’s law)
在计算静电场时，先确定点电荷的场强公式；
对任意形状的带电体视为点电荷的集合，用点电荷 场强公式＋场强叠加原理，求电场分布。
j ⋅ dS = 0
s
♦ 恒定电流
导体中各点电流密度 j 的方向和大小都不随时间变化
的电流，称为恒定电流（又称稳恒电流）
∫ 电流的连续性方程
j ⋅ dS = − dqint
S
dt
对于恒定电流，任意时刻进入任意封闭面的电流线的 条数，与穿出封闭面的电流线的条数相等
∫ S j ⋅ dS = 0
这是恒定电流条件 恒定电流线是无头无尾的闭合曲线
{ 电子(-):绕核旋转，自旋
•物质由分子组成，分子
原子核(+):质子、中子
•电子的运动形成电流，激发磁场。一个分子可能含 多个原子，每个原子又可含多个电子。
一个分子所有运动着的电子激发的磁场，从总的效 果看，相当于一个环形电流所激发的磁场，此环形 电流～分子电流
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分子电流产生的磁场在轴线上；其方向用右手定 则判定。
电流与磁体的本源只有一个：电荷的运动
结论：从微观上看，磁力都是运动电荷之间的相互作 用的表现。
运动电荷周围空间里存在着磁场，置于其中的另一个 运动电荷受到的磁力实际上是该磁场对它的作用。
运动电荷
磁场
运动电荷
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二、磁感应强度 (magnetic induction)
v B+
用磁感应强度描述磁场， –
p E
电偶极矩 Pe = ql
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（4)如果园电流仅为一部分，对应的角度 I 为 θ，其圆心处的磁感应强度为：
一 毕奥－萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)
1.电流元 Id l
在载流导线上截取一线元 dl ，电流元的大小为Idl ；
方向：线元dl 电流流向。其为矢量。
2.毕奥－萨伐尔定律内容
Idl
I
表述：电流元 Idl 在空间 P 点
产生的磁场 dB 为：
dB
=
μ0 4π
Idl sinθ r2
dB
=
μ0 4π
dt
dt
= nqu ⋅ dS
引入面元矢量
电流密度矢量
若有几种载流子 dS = dS en
∑ j = niqiui
j = nqu
i
dS
j
dI = j ⋅ dS
S
通过任意曲面S的电流
I = ∫S j ⋅dS = ∫S jcosθ dS
电流密度：细致描述导体内空间各点电流的分布
方向： j 该点正电荷运动方向
v
N
N
-+
N
Si
S
S
成功解释现象：
磁中性
①磁铁具有磁性和被磁化；
②磁铁在外磁场中受到的力矩作用；
③为什么不存在磁单极 总之：无论是磁铁，还是导线中的电流，它们的磁 效应均起源于电流(即运动的电荷), 磁场力是电荷之间 的另一种力。
§7-1 磁场、磁感应强度
一、磁场
SN 磁铁 电流
磁场
SN 磁铁 电流
3
7.1.2 欧姆定律
一、欧姆定律的微分形式
理论上可以证明：当保持金属的温度恒定时，金属中
的电流密度 j 与该处的电场强度E 成正比
j =γE
其倒数称 为电阻率
ρ=1 γ
电导率
U1 E
U2
JS l
I
I = JS
=
U
1－
R
U
2
＝U
1－
l γ
U S
2
J = γ U1－ U 2 = γ E l
R= ρ⋅ L S
性分析，以简化计算步骤
dB
(4) 对 dB 积分求 B = ∫dB 叠加原理：
Idl
r
∫ ∫ ∫ Bx = L dBx , By = L dBy , Bz = L dBz
矢量合成：B = Bxi + By j + Bzk
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
×
7
Idl × 3
R
6
×
4
5
1、5点 ：dB = 0
当通有电流I长直导线，
各处小磁针指向各异。
I
说明：小磁针所受磁力不 同；但其某一点，其 指向总是确定的。
S
S
N
N
规定： 小磁针受磁力作用后，静止时，其N极所 指方向即为该点磁场的方向。
♦ 安培的分子电流假说
内部的分子电流的方向按一定 的方式排列整齐——磁体
小结：磁体与磁体之间，磁体与电流之间，以及电流 与电流之间的磁现象，或者可以说一切磁现象都可归 结为电流的磁效应。
单位时间内通过闭合曲面向外流 出的电荷，等于此时间内闭合曲面
dS
j
内电荷的减少量 .
S
dI = j ⋅dS = jdScosα
I = ∫s j ⋅ dS
∫ j ⋅ dS = − dQi
s
dt
I
I1
I2 S
若闭合曲面 S 内的电荷 dQi / dt = 0 不随时间而变化，有
∫ 恒定电流
−I+I1 +I2 = 0
3、7点
：dB
=
μ 0 Idl 4π R2
2、4、6、8 点 ：
dB
=
μ0 Idl 4π R2
sin
450
dB =
μ0 4π
Idl × er r2
毕奥－萨伐尔定律
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二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
I
例1 载流长直导线的磁场.
dl θ
解
dB
=
μ0 4π
Idz sinθ r2
dB =
μ0 4π
Idl × er r2
×
q
以矢量 B表示。
FL
分析运动点电荷在磁场中所受洛伦兹力
1.任一点P的磁感应强度的方向 当试探电荷q0以速度v沿某特定直线通过磁场
中的点P时，作用于它的洛伦兹力总等于零，与 试探电荷的电量和运动速率无关。这条特定直线 是点P的磁场自身的属性，称为零力线。
洛伦兹力总等于零的方向规定为点P的磁感应 强度的方向
7.1.1 电流 电流的连续性方程
一、电流 电流密度 电流场
电流定义为通过截面S 的电荷随时间的变化率
I = dq
S
dt
+ +
+ +
dq = nq(udt S)
+
+
I I = nquS
u 为电子的漂移速度大小
dq = nq(udtdS cosθ )
1
dI = dq = nq(udtdS cosθ ) = nqudS cosθ
大小：单位时间内过该点且垂直于正电 荷运动方向的单位面积的电荷
在大块导体中，电流分布复杂
j ( x, y, z) 组成一个矢量场
——电流场 引入电流线来描述电流场的分布
S2 S1
电流线上每一点的切线方向与该 点电流密度的方向相同，曲线的 疏密程度代表电流密度的大小
j1 ≠ j2
2
二 电流的连续性方程 恒定电流条件
磁性、极性和极性的不可分割性
二、电流的磁效应
早期人们认为电现象和磁现象互不相干，直到 十九世纪初，才发现二者的联系。
1.载流直导线的磁效应
从1807年～1820年4月，丹麦物理学家奥斯特发 现：载流直导线周围的磁铁会受到力的作用而发生偏 转。
三、磁性的起源～物质磁性的电本质
安培假说：（1822年）
①一切磁现象都是电流产生的（或运动电荷） ②磁铁的磁性是分子电流产生的。 这一假说又称分子环流假说。