第二章拉普拉斯变换的数学方法
合集下载
第2章—拉普拉斯变换的数学方法
0
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
26
6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
26
6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
第二章 拉氏变换
n A A A A A k n 1 2 F(s) = + +L+ +L+ =∑ k s − p1 s − p2 s − pk s − pn k=1 s − pk
式中p 为方程F 个不同的根， 式中 1、 p2 、… pn为方程 2(s)=0的n个不同的根，它们可以是 的 个不同的根 实数也可以是复数。由于s→ →∞， 实数也可以是复数 。 由于 → pk时 |F(s)|→∞， 故这些根称为 →∞ 故这些根称为F(s) 的极点(pole)。 A1、A2、An…为待定系数。为了求出其中任何一 为待定系数。 的极点 。 为待定系数 个常数A 个常数 k，用(s−pk)乘上式的两边各项得 ： − 乘上式的两边各项得
本节的基本要求是掌握常用函数(直流或阶跃函 数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变换。掌握 用部分分式展开法求有理分式的原函数。
定义： 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换 求 (inverse Laplace transform)。 。 计算逆变换的一般公式是: 计算逆变换的一般公式是
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
ε (t)
A Ae- α t Ate- α t
δ (t)
sin ωt cos ωt
在线性集中参数电路中， 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式，对每 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质，将 所有部分分式的原函数代数相加， 所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的 原函数。 原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式
式中p 为方程F 个不同的根， 式中 1、 p2 、… pn为方程 2(s)=0的n个不同的根，它们可以是 的 个不同的根 实数也可以是复数。由于s→ →∞， 实数也可以是复数 。 由于 → pk时 |F(s)|→∞， 故这些根称为 →∞ 故这些根称为F(s) 的极点(pole)。 A1、A2、An…为待定系数。为了求出其中任何一 为待定系数。 的极点 。 为待定系数 个常数A 个常数 k，用(s−pk)乘上式的两边各项得 ： − 乘上式的两边各项得
本节的基本要求是掌握常用函数(直流或阶跃函 数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变换。掌握 用部分分式展开法求有理分式的原函数。
定义： 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换 求 (inverse Laplace transform)。 。 计算逆变换的一般公式是: 计算逆变换的一般公式是
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
ε (t)
A Ae- α t Ate- α t
δ (t)
sin ωt cos ωt
在线性集中参数电路中， 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式，对每 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质，将 所有部分分式的原函数代数相加， 所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的 原函数。 原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式
第二章 拉氏变换
m
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
拉氏变换公式
拉普拉斯变换的数学方法 微分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重微分
（2－21）
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
eas f ( )es d 0
eas F (s)
（2－24）
原函数平移 像函数乘以 e-s
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-8：求f(t)的象函数
f(t)
A
T O
f ’(t)
解：
t
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t) =Aε(t) -Aε(t-T)
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
解：f(t)=t
t
( )d
0
L[f(t)]= 1 1 ss
1 s2
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 衰减定理（复位移定理）
（2－23）
原函数乘以指数函数e-at像函数F(S)在复数域中作位移a
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 例2-7：求 et sint 的拉氏变换 解：直接用复位移定理得：
由于 δ(t)=dε(t)/dt
L[ (t)] L[d (t) / dt]
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重微分
（2－21）
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
eas f ( )es d 0
eas F (s)
（2－24）
原函数平移 像函数乘以 e-s
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-8：求f(t)的象函数
f(t)
A
T O
f ’(t)
解：
t
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t) =Aε(t) -Aε(t-T)
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
解：f(t)=t
t
( )d
0
L[f(t)]= 1 1 ss
1 s2
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 衰减定理（复位移定理）
（2－23）
原函数乘以指数函数e-at像函数F(S)在复数域中作位移a
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 例2-7：求 et sint 的拉氏变换 解：直接用复位移定理得：
由于 δ(t)=dε(t)/dt
L[ (t)] L[d (t) / dt]
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
02第二章拉氏变换的数学方法
02第二章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析、通信工程等领域。
本文将介绍拉氏变换的数学方法，包括拉氏变换的定义、性质和常见的拉氏变换对列表。
一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时间域函数转换为频率域函数的数学工具。
对于一个连续时间函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中s是复变量，通常为一个复平面上的点。
拉氏变换可以将一个函数从时间域表示转换为频率域表示，提供了一种更便于分析和处理的数学工具。
二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性质、平移性质、尺度性质等。
下面简要介绍几个常用的性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意常数a和b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 平移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这些性质使得我们能够利用拉氏变换进行函数的变换和计算，简化了分析过程。
三、常见的拉氏变换对列表拉氏变换对列表是一些常见的函数及其在拉氏变换下的变换对。
常见的拉氏变换对列表如下：1.常数函数：L{1}=1/s2.单位阶跃函数：L{u(t)}=1/s3.单位冲激函数：L{δ(t)}=14. 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为实数5. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)6. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)7. 方波函数：L{rect(t/T)} = (T/s) * sin(Ts/2)8. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)，其中a为正数这些变换对可以通过拉氏变换的定义进行推导得到，可以用于解决各种信号与系统的分析和计算问题。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 s
三、单位斜坡函数
0 t<0 r (t ) t t≥0 r (t ) 的拉氏变换
L[r (t )] t e dt
st 0
r (t )
f (t )
o
图2-2-3 单位斜坡函数
t
1 st 1 st (te ) e dt s s 0 0
（令t a 则） f ( )
0 s ( a )
a
e
as
0
d 0 f ( )e e d as f ( )e s d
sa s
e F (s)
eas 。 这个性质表明， f (t a)的象函数F (s)等于f (t )的象函数乘以指数因子
2 L[ f (t )] s F (s)
L[ f ( n) (t )] s n F (s)
7 积分性质
若 则
L[ f (t )] F (s)
L[
0
F ( s) f ( 1) (0) f (t )dt] s s
其中 f
推论：
(-1)
(0) f (t )dt
d n f (t ) n n 1 n2 L[ ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f (0) f n dt
( n 1)
2
(0)
当 f (0) f (0) f (0) f ( n1) (0) 0
L[ f (t )] sF (s)
第一节 拉氏变换的定义
一、拉氏变换定义 对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]（简称拉氏变换） 或F(s)定义为 （2-1-1） 式中，s为复数，s=σ+ ј ω， f(t)称为原函数， F（s）为象函数。习惯 上以小写字母表示原函数，以其对应的大写字母表示象函数。 二、函数进行拉氏变换的条件 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 在t<0时， f (t ) 0 ； 在t≥0的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
第二章 拉普拉斯变换
t
的 Fourier 变换
两点说明
(1) 像函数 F ( s ) 的存在域一般是一个右半平 Re s c 面 即只要复数 s 的实部足够大就可以了。 ,
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零，
(1)
(2) (3)
[1] = [ u ( t ) ]
[ ( t ) ] 1; [t m ]
s m!
m 1
1 s
;
(4)[eat源自]1 sa
2
;
s ; .
(5)
Γ ( m 1) s
m 1
[ cos a t ]
[
sin a t
;
(6)
]
s a a s a
2
2
2
特点 变换的结果均为分式函数。
3、复数的向量表示法 4、复数的三角表示法 5、复数函数
首页
上页
返回
下页
结束
铃
2
1、复数域
1.1 虚单位:
实例 : 方程 x 1 在实数集中无解
2
.
对虚数单位的规定:
( 1 ) i 1;
2
(2) i 可以与实数进行四则运算
3
虚数单位的性质:
i i;
1 4 2 2
i 1;
4n 2
1,
i
4n 3
i.
4
1.2 复数的代数形式的定义:
对于 x , y R , 称 z x yi 或 z x iy 为复数 .
实部 记做：Rez=x
第二章拉氏变换的数学方法
第二章拉氏变换的数学方法拉普拉斯变换（Laplace transform）是一种积分变换方法，用于求解线性常系数微分方程组的初值问题。
它是法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）于18世纪末发展起来的。
拉普拉斯变换在工程和物理学中有着广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理中。
拉普拉斯变换将一个时间函数f(t)（t为实数）转换为一个复变函数F(s)（s为复数），可以表达为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt其中，s是复平面上的一个复数，而e^(-st)为拉普拉斯变换的核函数。
拉普拉斯变换的定义域是右半平面Re(s) > 0，当Re(s)=0时，定义域为共轭虚轴Im(s)=0。
这是为了保证积分的绝对收敛性。
拉普拉斯变换有许多基本的性质和定理，其中包括线性性、平移性、尺度性、微分性等。
利用这些性质，我们可以对不同类型的函数进行拉普拉斯变换，从而求解常系数线性微分方程组的初值问题。
在应用拉普拉斯变换求解微分方程组时，首先将微分方程转化为代数方程。
假设我们要求解一个线性常系数微分方程组：a0y^(n) + a1y^(n-1) + ... + an-1y' + any = f(t)其中，a0, a1, ..., an 为常数，y^(n)表示y的n阶导数，f(t)为所给激励函数。
对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质和核函数的定义，将方程转化为代数方程：[a0s^nY(s) - a0s^(n-1)y(0) - a0s^(n-2)y'(0) - ... - a0y^(n-1)(0)] + [a1s^(n-1)Y(s) - a1s^(n-2)y(0) - a1s^(n-3)y'(0) - ... - a1y^(n-2)(0)] + ... + [an-1sY(s) - an-1y(0) - an-2y'(0) - ... - y(0)] + [anY(s) - y(0)] = F(s)其中，Y(s)为未知函数y(t)的拉普拉斯变换，y(0),y'(0),...,y^(n-1)(0)为初始值条件，F(s)为激励函数f(t)的拉普拉斯变换。
02拉普拉斯变换
拉普拉斯（Pierre Simon Laplace， 1749-1827），法国著名的天文学 家和数学家。
6
机械控制工程基础
一、拉氏变换
设有一个定义在[0,∞)区间的时间函数f（t）， 其拉普拉斯变换式定义为：
F ( s ) L[ f (t )] f (t ) e d t
st 0
教学重点
1. 典型函数拉氏变换推导 2. 拉氏变换的主要性质 3. 部分分式法求拉氏反变换
2
机械控制工程基础
2-1 复数和复变函数
一、复数的概念
s j
二、复数的表示方法
1.点表示法 jω
ω1
s1 1 j1
σ
0
1
σ
3
机械控制工程基础
2.向量表示法
jω
r1 | s1 | 1 1
udv uv vdu
12
机械控制工程基础
4、指数函数的拉氏变换
f (t ) e
at 0
at
L[e ] e e dt e
at st 0
( s a )t
1 dt sa
f (t) e
2t
1 F(s) s2
13
机械控制工程基础
5、正弦函数sinωt的拉氏变换
a=constant>0
令： at 即可证明。 例
1 L e F s s 1 a t a L e aF as as 1
t
或利用公式
L[e
at
t a
f (t )] F (s a)
1 a ( s 1/ a) as 1
第二章拉普拉斯变换
page 3
第二章 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t)，,则t 0 的拉普f (拉t) 斯变换定义为
控 制
L[ f (t)] F(s) f (t) estdt 0
工
程
基 础
象函数(Image Function)
原函数(Original Function )
page 4
制 工
2
程
基 础
cost 1 (e jt e jt )
2
page17
第二章 拉普拉斯变换
三、使用MATLAB符号运算工具箱进行拉氏变换
MATLAB提供了 laplace（）函数来实现拉氏变换。
例2-1 求解函数 ebt cosat c 的拉氏变换。
控 制
解：输入以下命令
工
程 %L0201.m
A s2
eTs
1 eTs
seTs
page24
第二章 拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,L f t f t estdt 0
控 制
T f testdt 2T f testdt n1T f t estdt
第二章 拉普拉斯变换
（六）正弦函数
正弦函数（Sine Function）的数学表达式为
r(t) sin t (t≥0)
控 式中， 为正弦函数的角频率。
制
工 程 基
其拉氏变换为 L[sin t] sin t estdt 0
础
1 (e jt ejt )est d t 2j 0
s2 2
u(t或) 1(t)来表示。 其变化曲线
0
t
控 如图2-1-2所示。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
F ( s ) ⋅ e st ds
（2-2）
2-3 典型时间函数的拉氏变换
1 (t
)=
⎧0 , ⎨ ⎩1,
t < 0 t ≥ 0
∞
f t
) (
1
L [1(t ) ] = ∫
∞Байду номын сангаас
0
e − st 1(t ) ⋅ e dt = − s
− st
0
1 = s
t
图2-5 单位阶跃函数
δ (t ) = ⎨
⎧∞ , ⎩ 0,
7． 幂函数 幂函数 t 的拉氏变换式为
n
s s + ω2
2
L[t n ] = ∫ t n e − st dt
0
∞
采用换元法，令 u = st , t =
u 1 , dt = du ，得 s s
∞ 0
L[t n ] = ∫
式中
u n −u 1 1 ∞ e ⋅ du = n +1 ∫ u n e− u du n 0 s s s
续 表 2-1 序号 −1 1−ζ
2
f (t )
e
− ζω n t
F ( s)
2
sin ω n 1 − ζ t − ψ
(
)
s s + 2ζωn s + ωn
2 2
17
ψ = tan
−1
1−ζ
2
ζ
− ζω n t
1−
1 1−ζ
2
e
sin(ω n 1 − ζ t + ψ )
2
18
ψ = tan
−1
ωn
L [t ] = ∫
=∫
复变函数——拉普拉斯变换
定的函数可写为 F(s) f (t) estdt 0
我们称上式为函数 f (t) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ [ f (t)]
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数 f (t) 叫做
的拉氏逆变换,象原函数, f (t) ℒ 1 F(s)
2.1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t) 满足下列条件:
Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
Ⅱ 当 t 的 f (t) 增长速度不超过某一指数
函数,亦即存在常数 M 0,及 C 0 ,使得
f t Mec t 0 t
成立,则函数 f (t) 的拉氏变换F(s) f (t) estdt 0
在半平面 Res >C上一定存在.此时右端的积
ℒ
1
F
(s) s
t
f (t)dt
0
ℒ1 F(s) tf (t)
ℒ1
s
F
(s)ds
f (t) t
例11
已知 F
s
1
s s 1
求 f (t)
解：
F s
1
s s 1
1 1 s s 1
所以 f t 1 et
例12
已知F
s
s
1 2
1
e
s
求 f (t)
解：
ℒ
1
1 s2 1
sin
t
ℒ1[est0 F (s)] f (t t0 ), t0 1
31
3
22
32
所以 f t 2e2 t cos 3t 1 e2 t sin 3t
3
2.4 拉氏变换的卷积与卷积定理
2.4.1 [0,) 上的卷积定义
我们称上式为函数 f (t) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ [ f (t)]
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数 f (t) 叫做
的拉氏逆变换,象原函数, f (t) ℒ 1 F(s)
2.1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t) 满足下列条件:
Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
Ⅱ 当 t 的 f (t) 增长速度不超过某一指数
函数,亦即存在常数 M 0,及 C 0 ,使得
f t Mec t 0 t
成立,则函数 f (t) 的拉氏变换F(s) f (t) estdt 0
在半平面 Res >C上一定存在.此时右端的积
ℒ
1
F
(s) s
t
f (t)dt
0
ℒ1 F(s) tf (t)
ℒ1
s
F
(s)ds
f (t) t
例11
已知 F
s
1
s s 1
求 f (t)
解：
F s
1
s s 1
1 1 s s 1
所以 f t 1 et
例12
已知F
s
s
1 2
1
e
s
求 f (t)
解：
ℒ
1
1 s2 1
sin
t
ℒ1[est0 F (s)] f (t t0 ), t0 1
31
3
22
32
所以 f t 2e2 t cos 3t 1 e2 t sin 3t
3
2.4 拉氏变换的卷积与卷积定理
2.4.1 [0,) 上的卷积定义
数学物理方法拉普拉斯变换法
达朗贝尔公式 例3 求解无限长传输线上的电报方程 RGU ( LG RC)U t LCU tt U xx 0 U |t 0 ( x),U t |t 0 ( x) 解 作函数变换 U ( x, t ) e
(参§7.3)
LG RC 2 LC
u ( x, t ) 定解问题变为
对泛定方程进行拉普拉斯变换,初始条件由二阶导数定理,结果为
p2u p a2uxx b2u 0
非齐次常微分方程的通解为:
u ( x; p) Ae
x p 2 b 2 / a
Be
x p 2 b 2 / a x a p 2 b 2
1 ( x) e 1 ( x) e ( ) p ( )d ( ) p ( )d 2 2 2 2 2a 2a p b p b
x a p 2 b 2
x 2 2 p b a
10
第二个中括号与第一个比较, ( ) 代替
( ) 且多了个因子 P,先对第一个反演,得到原函数,把 改为 对t求导就得到
第二个的原函数. 由附录二公式30,可得 x p 2 b 2 e a ( x )2 1 J b t 2 0 p 2 b2 a2
1 p L f (at ) f ( ) a a
L f t t0 e pt0 f ( p)
L e t f t f ( p )
L f1 t f 2 t f 1 ( p) f 2 ( p)
（5）延迟性定理
（6）位移性定理
x 2 2 x p b p 2 b 2 e a x e a 1 1 ( )d ( )d 2a x 2a p 2 b 2 p 2 b2 x 2 2 x p b p 2 b 2 e a x e a 1 1 p ( )d p ( )d 2a x 2a p 2 b 2 p2 b2
拉普拉斯变换的数学方法ppt课件
L[t]
test dt t est
( est )dt
0
s0 0 s
0
est s
dt
1 s2
est
0
1 s2
；.
12
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换为：
L[eat ] eatest dt e(sa)t dt
00e(sa)t1sa 0 sa
；.
13
2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为：
sin t 1 (e jt e jt )
2j
其拉氏变换为：
L[sint]
sin t estdt
0
s2
2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为：
其拉氏变换为：
cost 1 (e jt e jt )
2
L[cost]
G(s) s2 1
( 2 2 1) j2
；.
6
G(s) K (s z1) (s zm ) (s p1) (s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
；.
时域的微分方程 拉氏变复换数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
；.
3
引言 复数和复变函数
（1）复数的概念
s j, 其中，,
数。 j 1
为虚单位。
均为实
（2）复数的表示法
点表示法 向量表示法
s j,
s r 2 2
arctan
第2章第1节拉普拉斯变换
lim f ( t ) lim s F ( s )
t
AEEC
航空工程实验中心
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 L1 [ F ( s )] 。由F(s) 可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实 部。接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。
0
0 t
f 2 ( ) d f1 (t )e st dt
令t , 则 L[ f1 (t ) f 2 ( ) d ]
0
0
f 2 ( ) d f1 ( )e s ( ) d
0
0
f 2 ( )e
s
1
即：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 1 1 ( 1) 1 ( 2 ) 2 L[ f (t )dt ] 2 F ( s ) 2 f (0) f (0) s s s 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 1 n L[ f (t )dt ] n F ( s) s 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
L[ h(t )] sL[ h(t )] h(0)
1 1 1 1 L[ h(t )] L[ h (t )] h(0) L[ f (t )] h(0) s s s s 1 1 1 F ( s ) f ( 0) s s
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点；
at f (t) Me
（2）当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：
2019/3/11
该条件使得积分绝对值收敛。
8
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
2、拉氏反变换 已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作：
L [e ] e e dt e(sa)t dt
at at st 0 0
e(sa)t 1 s a 0 s a
2019/3/11 13
2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为：
1 j j t sin t ( e t e ) 2 j
st st e e st L [t] te dt t ( )dt 0 s 0 0 s
2019/3/11
0
est 1 st 1 dt 2 e 2 0 s s s
12
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t) e
at
指数函数的拉氏变换为：
2019/3/11 28
2.5 拉氏反变换的数学方法
拉氏反变换的数学方法有： (1) 查表法－简单象函数； (2) 有理函数法－需要复变函数的留数定理； (3) 部分分式法－复杂的象函数简化为几个简单的部分分式 之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数； (4) 利用MATLAB求解。
2019/3/11
6. 微分定理
若 时 间 函 数 ft ( ) 的 拉 氏 变 换 为 F ( s ) ， 且 其 一 阶 导 数 f ' ( t ) 存 在 ， 那 么
L [ f ' ( t ) ] s F ( s ) f ( 0 ) 其 中 f ( 0 ) 是 时 间 正 向 趋 近 于 零 时 的 ft ( ) 值 。
控制工程理论基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
2019/3/11
1
提纲
2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程
2019/3/11
2
拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 是分析研究线性动态系统的有力工具。 时域的微分方程
L1[F(s)]
定义为如下积分：
j 1 st f( t ) L [ F ( s )] F ( s ) e ds j 2 j 1
(2－2)
其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。
2019/3/11
9
2.3 典型时间函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 定义为：
L [ ( )() g d ] F ( s )( G s ) ft
t 0
2019/3/11
27
2.5 拉氏反变换的数学方法
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 1 为拉氏反变换。记为 。 L [F (s )] 由F(s)可按下式求出
1
j 1C st f ( t ) L [ F ( s )] ( s ) e ds ( t 0 ) F C j 2 j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须 是一种能直接查到的原函数的形式。
2.4 拉氏变换的性质
1. 线性性质－线性变换
L [ K f ( t ) K f ( t )] K L [ f ( t )] K L [ f ( t )] 1 1 2 2 1 1 2 2 K F ( s ) K F ( s ) 1 1 2 2
(2-3)
2019/3/11
16
2.4 拉氏变换的性质
若 ft ( ) 的 拉 氏 变 换 为 F () s , 则 对 任 一 常 数 a ( 实 数 或 复 数 ） ， 都 有
a t L [ e ft ( ) ] F ( s a )
（ 26 － ）
复 数 域 位 移 定 理 的 应 用 ：
t Le [ a s i n t] 2 2 ( s a ) n ! a t n Le [ t ] n 1 ( s a )
19
2.4 拉氏变换的性质
3. 周期函数的拉氏变换
设f(t)是以T为周期的周期函数，即：
f( t n T )f() t
则f(t)的拉氏变换为：
1 T s t Lf [ () t ] f () t e d t s T 0 1 e
2019/3/11
20
2.4 拉氏变换的性质
4. 复数域位移定理(也称衰减定理)
25
2.4 拉氏变换的性质
10. tf(t)的拉氏变换
若 L [ f() t] F () s, 则 函 数 t f() t的 拉 氏 变 换 为 d L [ t f() t] F () s d s ( 2 1 7 )
11. f(t)/t的拉氏变换
若 Lf [ () t ] F () s, 则 函 数 f() t /t 的 拉 氏 变 换 为 f() t L [ ] F () sd s s t
st
14
2.3 典型时间函数的拉氏变换
7 幂函数（作业）
其拉氏变换为：
n ! L [ t] t e dt n 1 0 s
n n st
例：
L [t2] 2 ! 2 3 3 s s
常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏 变换。
2019/3/11 15
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
T T s s 4 4 4 4 2 2 F ( s ) L [f( t )] 2 2 2 2e 2 2e 2 2esT Ts Ts Ts Ts T s 4 sT 2 2( 1 2 e 2 e ) Ts 2019/3/11
( 2 1 8 )
2019/3/11
26
2.4 拉氏变换的性质
12. 卷积定理 函数f(t)和g(t)的卷积定义为：
t ) g () d f ( t ) g ( t ) f(
t 0
其中，函数f(t)和g(t)满足：当t<0时， f(t)=g(t)=0
拉氏变换的卷积定理：若 函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在的 条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且：
29
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。
例 1： 1 1 1 1 F ( s ) ( ) ( s a )( s b ) b a s a s b
at bt e e 则 f( t) b a 1 例2：求 F(s) s2(s 1 ) 的逆变换。 1 1 1 1 F (s ) 2 2 s (s 1 ) s s s 1 解：
2019/3/11
7
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
1、拉氏变换 有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作： L[f(t)]或F(s)， 并定义为：
L [ f ( t )] F ( s ) t ) e dt f(
st 0
(2－1)
f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：
拉氏变换
复数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
2019/3/11
3
引言 复数和复变函数 （1）复数的概念
s j ,
数。 j 1
其中， ,
均为实
为虚单位。 （2）复数的表示法 s j , 点表示法 2 2 arctan 向量表示法 s r r (cos j sin ) 三角函数表示法 s j j e cos j sin s re 指数表示法 2019/3/11 4
利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
1 1 sT 1 sT L [ f ( t )] e ( 1 e ) Ts Ts Ts
2019/3/11
18
例2.4 求图2－11所示三角波的拉氏变换。
图示三角波函数表达为：
T T f( t )f ( t )f ( t )f ( t )f ( t T ) 1 1 1 1 2 2 4 4 T 4 T 4 2t 2( t ) 2( t ) 2( t T ) T T 2 T 2 T
0, t 0 1(t) 1, t 0
单位阶跃函数的拉氏变换为：
st 1 e st L [ 1 ( t )] 1 ( t ) e dt 0 s0 s
2019/3/11 10
2.3 典型时间函数的拉氏变换
2 单位脉冲函数 定义为： , t 0 (t) 0, t 0 单位脉冲函数的重要性质：
2. 实数域的位移定理－延时定理
as L [ f ( t a )] e F ( s )
(2-4)
其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延 迟a秒的延时函数，且：
f( t a ) 0 , t a
2019/3/11
17
例2.3 图2－10所示方波的拉氏变换。
图示方波函数表达为：
f (t) f1(t) f1(t T) 1 1 1 (t) 1 (t T) T T
（ 2 － 8 ）
7. 积分定理
假设 f (t )的拉氏变换 F ( s )，则 t F (s) L[ f (t ) dt ] 0 s