第五章内生解释变量的处理
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Y2* 0 1Z1 2 Z 2 3Z3
实际获得：
Yˆ2 ˆ0 ˆ1Z1 ˆ2Z 2 ˆ3Z3 ˆ 2、ˆ 3应联合显著
工具变量
两阶段最小二乘： 第一阶段：内生解释变量对外生解释变 量及其自身工具变量作OLS，得到复工具 变量 Yˆ2 第二阶段：
Y1对Yˆ2和Z1作回归
工具变量
covZ, X 0
1
covZ,Y covZ, X
ˆ1
(Zi Z )(Yi Y ) (Zi Z )(X i X )
工具变量
该IV估计量也可以通过两个OLS来获得：
Xˆ ˆ0 ˆ1Z Y 0 1Xˆ u
所以，工具变量估计也可称为2SLS估计
工具变量
IV估计量的统计性质
设定模型
Y 0 1X1 v
内生的影响
n
X i1 X1 Yi
~1
i1 n
X i1 X1 2
i1
Yi 0 1 X i1 2 X i2 ui
n
X i1 X1 0 1 X i1 2 X i2 ui
i1
n
n
n
1
X i1 X1 2 2
➢ 有偏 ➢ 一致
如果不满足工具变量两个条件的任何一个，都 是非一致的
工具变量
例（Wooldridge）
真实模型：log(wage) 0 1educ 2abil u 设定模型：log(wage) 0 1educ v
存在正相关。 工具变量必须满足： （1）与教育相关 （2）与能力不相关
第五章 内生解释变量的处理方法
何为内生解释变量
背景 回归模型假定解释变量X为设计矩阵，以 保证X与随机误差项u不相关
如果某个解释变量与u相关，则称之为内 生解释变量
内生的影响
如果相关又会如何？？ 出现相关最常见的原因是遗漏变量，我 们以此为例来进行说明
内生的影响
真实模型：
Y 0 1X1 2 X 2 u
X1与u相关，为内生变量，为 区分内生与外生，记作 Y2 X 2为外生变量，记作 Z1
选择Y2的工具变量Z2，满足： 与Y2相关，与随机误差项不相关，与另 一外生解释变量不要高度相关
工具变量
在检验时，采用如下回归模型：
Y2 0 1Z1 2Z2 v
如果Z2系数显著不为0，则满足一个基本 条件，其含义是，控制其他外生解释变 量，相关性仍然存在。
工具变量
复工具变量——两阶段最小二乘2SLS
如果一个内生解释变量有多个满足基本 条件的工具变量，则它们的线性组合也 必然满足基本条件
与内生解释变量相关度最高的组合是最 好的IV
工具变量
Y1 0 1(Y2 ) 2 X 2 (Z1) u
有两个工具变量 Z 2、Z3 最优复工具变量：
工具变量
Wooldridge给出两个可能的IV：
❖ 母亲的受教育水平 ❖ 成长过程中兄弟姐妹数
工具变量
选择工具变量，需要验证它是否满足两 个条件，对于与X（内生变量）相关，可 以通过做X与Z的回归模型，对系数进行 检验，但对于与u不相关，则只能依靠理 论设定了！
工具变量
从一元扩展到多元
Y 0 1(Y2 ) 2 X 2 (Z1) u
X i1 X1 X i2
X i1 X1 ui
i1
i1
i1
n
n
2 X i1 X1 X i2
X i1 X1 ui
~1 1
i1 n
i1
n
X i1 X1 2
X i1 X1 2
i1
i1
内生的影响
n
2 X i1 X1 X i2
Hale Waihona Puke Baidu
E ~1 1
i1 n
X i1 X1 2
i1
E ~1 1 2~1
在两种情况下无偏：
2 0 ~1 0
内生的影响
偏误情况
2 0 2 0
X1 和 X2 正相关 正偏误 负偏误
X1 和 X2 负相关 负偏误 正偏误
内生的影响
如果遗漏变量与解释变量正相关，则解 释变量与随机误差项正相关
如果遗漏变量与解释变量负相关，则解 释变量与随机误差项负相关
两种方法解决问题的思路是完全不同的， 代理变量一般都是很差的工具变量（与u 相关）
2SLS如何解决的解释变量与u相关问题
Y2 Y2* v
Y2* 0 1Z1 2Z 2 3Z3是与u不相关部分
v是与u相关部分
Y1 0 1Y2* 2Z1 u 1v
工具变量
工具变量（IV）与代理变量（Proxy variable）
代理变量是与遗漏的不可观测变量相关， 从而可以作为其代理的变量
无论何种情况，系数估计都会出现偏误
工具变量
处理此类问题的一般方法是工具变量法 （instrumental variable）
Y 0 1X u
covX ,u 0
寻找一个变量Z，满足：
covZ,u 0 covZ, X 0
则称Z为X的工具变量
工具变量
IV估计量
covZ,Y 1 covZ, X covZ,u covZ,u 0
实际获得：
Yˆ2 ˆ0 ˆ1Z1 ˆ2Z 2 ˆ3Z3 ˆ 2、ˆ 3应联合显著
工具变量
两阶段最小二乘： 第一阶段：内生解释变量对外生解释变 量及其自身工具变量作OLS，得到复工具 变量 Yˆ2 第二阶段：
Y1对Yˆ2和Z1作回归
工具变量
covZ, X 0
1
covZ,Y covZ, X
ˆ1
(Zi Z )(Yi Y ) (Zi Z )(X i X )
工具变量
该IV估计量也可以通过两个OLS来获得：
Xˆ ˆ0 ˆ1Z Y 0 1Xˆ u
所以，工具变量估计也可称为2SLS估计
工具变量
IV估计量的统计性质
设定模型
Y 0 1X1 v
内生的影响
n
X i1 X1 Yi
~1
i1 n
X i1 X1 2
i1
Yi 0 1 X i1 2 X i2 ui
n
X i1 X1 0 1 X i1 2 X i2 ui
i1
n
n
n
1
X i1 X1 2 2
➢ 有偏 ➢ 一致
如果不满足工具变量两个条件的任何一个，都 是非一致的
工具变量
例（Wooldridge）
真实模型：log(wage) 0 1educ 2abil u 设定模型：log(wage) 0 1educ v
存在正相关。 工具变量必须满足： （1）与教育相关 （2）与能力不相关
第五章 内生解释变量的处理方法
何为内生解释变量
背景 回归模型假定解释变量X为设计矩阵，以 保证X与随机误差项u不相关
如果某个解释变量与u相关，则称之为内 生解释变量
内生的影响
如果相关又会如何？？ 出现相关最常见的原因是遗漏变量，我 们以此为例来进行说明
内生的影响
真实模型：
Y 0 1X1 2 X 2 u
X1与u相关，为内生变量，为 区分内生与外生，记作 Y2 X 2为外生变量，记作 Z1
选择Y2的工具变量Z2，满足： 与Y2相关，与随机误差项不相关，与另 一外生解释变量不要高度相关
工具变量
在检验时，采用如下回归模型：
Y2 0 1Z1 2Z2 v
如果Z2系数显著不为0，则满足一个基本 条件，其含义是，控制其他外生解释变 量，相关性仍然存在。
工具变量
复工具变量——两阶段最小二乘2SLS
如果一个内生解释变量有多个满足基本 条件的工具变量，则它们的线性组合也 必然满足基本条件
与内生解释变量相关度最高的组合是最 好的IV
工具变量
Y1 0 1(Y2 ) 2 X 2 (Z1) u
有两个工具变量 Z 2、Z3 最优复工具变量：
工具变量
Wooldridge给出两个可能的IV：
❖ 母亲的受教育水平 ❖ 成长过程中兄弟姐妹数
工具变量
选择工具变量，需要验证它是否满足两 个条件，对于与X（内生变量）相关，可 以通过做X与Z的回归模型，对系数进行 检验，但对于与u不相关，则只能依靠理 论设定了！
工具变量
从一元扩展到多元
Y 0 1(Y2 ) 2 X 2 (Z1) u
X i1 X1 X i2
X i1 X1 ui
i1
i1
i1
n
n
2 X i1 X1 X i2
X i1 X1 ui
~1 1
i1 n
i1
n
X i1 X1 2
X i1 X1 2
i1
i1
内生的影响
n
2 X i1 X1 X i2
Hale Waihona Puke Baidu
E ~1 1
i1 n
X i1 X1 2
i1
E ~1 1 2~1
在两种情况下无偏：
2 0 ~1 0
内生的影响
偏误情况
2 0 2 0
X1 和 X2 正相关 正偏误 负偏误
X1 和 X2 负相关 负偏误 正偏误
内生的影响
如果遗漏变量与解释变量正相关，则解 释变量与随机误差项正相关
如果遗漏变量与解释变量负相关，则解 释变量与随机误差项负相关
两种方法解决问题的思路是完全不同的， 代理变量一般都是很差的工具变量（与u 相关）
2SLS如何解决的解释变量与u相关问题
Y2 Y2* v
Y2* 0 1Z1 2Z 2 3Z3是与u不相关部分
v是与u相关部分
Y1 0 1Y2* 2Z1 u 1v
工具变量
工具变量（IV）与代理变量（Proxy variable）
代理变量是与遗漏的不可观测变量相关， 从而可以作为其代理的变量
无论何种情况，系数估计都会出现偏误
工具变量
处理此类问题的一般方法是工具变量法 （instrumental variable）
Y 0 1X u
covX ,u 0
寻找一个变量Z，满足：
covZ,u 0 covZ, X 0
则称Z为X的工具变量
工具变量
IV估计量
covZ,Y 1 covZ, X covZ,u covZ,u 0