2019-2020学年河北省唐山市第一中学高一上学期期中考试数学试题

唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（） A. [3，+∞）B. （3，+∞）C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A 【解析】 因为2{|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{}121(1,)x B x +==-+∞，所以[3,)B C A =+∞；故选A.2.若a =log 20.5，b=20.5，c=0.52，则a ，b ，c 三个数的大小关系是（ ） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜aC. a ＜c ＜bD.c ＜a ＜b 【答案】C 【解析】a=log 20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1， 则a ＜c ＜b ，3.函数ln ()x x f x x=的图像是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】首先由函数解析式可知函数()ln x x f x x=为奇函数，故排除A,C ，又当0x > 时，()lnxln x f x x x== ，在()0,∞+ 上单调递增，故选B 4.幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为( )A. 2或1-B. 1-C. 2D. 2-或1【答案】B 【解析】由题意得2211130m m m m m ⎧--=⇒=-⎨+-<⎩，选B. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.5.若函数()y f x =的定义域是(]0,4，则函数()2()()g x f x f x =+的定义域是（ ）A. (]0,2B. (]0,4 C. (]0,16D.[)(]16,00,16-U【解析】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系列不等式进行求解即可. 【详解】∵函数()f x 的定义域为(]0,4，∴由20404x x <≤⎧⎨<≤⎩，得02x <≤， 则函数()g x 的定义域为(]0,2， 故选:A.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件. 6.在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A. (2,1)-- B. (1,0)-C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求函数值判断1(0)02f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭即可求解 【详解】∵函数()43xf x e x =+-在R 上连续且单调递增， 且0(0)320f e =-=-<，102123102f e e ⎛⎫=-==-> ⎪⎝⎭， ∴1(0)02f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭， ∴函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C ．【点睛】本题考查函数零点存在性定理，熟记定理应用的条件是关键，属于基础题.7.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1f x x =+，则当0x <时，()f x 表达式是（ ）A. (1x -+B. (1xC. (1x -D.(1x -【答案】D 【解析】 【分析】若0x <，则0x -≥，利用给出的解析式求出()f x -，再由奇函数的定义即()()f x f x =--，求出()f x .【详解】设0x <，则0x -≥，Q 当0x ≥时，()(1f x x =，()((11f x x x ∴-=-+=--， Q 函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴=--，()(1f x x ∴=，故选D .【点睛】本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用，属于中档题. 本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．8.函数()f x 在R 上单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ） A. [2,2]- B. [1,1]-C. [0,4]D. [1,3]【答案】D 【解析】 分析】根据奇函数()f x ，可得()()111f f -=-=，再由()f x 单调性，求得2x -的范围，解得x 的范围.【详解】因为()f x 为奇函数，且()11f =-， 所以()()111f f -=-=， 因为函数()f x 在R 上单调递减， 所以1(2)1f x -≤-≤， 可得121x -≤-≤， 所以13x ≤≤，故满足要求的x 的取值范围为[]1,3. 故选D.【点睛】本题考查奇函数的性质，根据函数的单调性解不等式，属于简单题. 9. 已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ）A. )+∞B. )+∞C. (3,)+∞D.[3,)+∞【答案】C 【解析】 试题分析：0,()()a b f a f b <<=Q ，01,a b ∴<<<所以()lg ,()lgb f a a lga f b lgb ==-==，所以由()()f a f b =得lg lg a b -=，即lg lg lg()0+==a b ab ，所以1ab =，1b a =，令2()2h a a b a a=+=+，因为函数()h a 在区间(0,1)上是减函数，故()(1)3h a h >=，故选C ． 考点：对数函数性质，函数单调性与最值． 【此处有视频，请去附件查看】10.已知函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩…，若对任意的1x ，2x ，且12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1,)+∞B. [1,8)C. (4,8)D. [4,8)【答案】D 【解析】 【分析】 先根据()()12120f x f x x x ->-判断出()f x 的单调性，再由每段函数的单调性以及分段点处函数值的大小关系得到不等式组，求解出a 的范围即可. 【详解】因为()()12120f x f x x x ->-，可知()f x 在 R 上是增函数，所以1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-+⎪⎩…，解得48a ≤<.故选D .【点睛】（1）通过分段函数的单调性求解参数范围，不仅要注意到每段函数的单调性，同时对分段点处多段函数的函数值大小关系要确定好； （2）若对任意的1x ，2x ，且12x x ≠都有()()()121200f x f x x x -><-或者()()()()()121200x x f x f x --><，可得到()f x 是增（减）函数.11.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ） A. [1,2)B. []12，C. [1+)∞，D.[2+)∞，【答案】A 【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a 的取值需令真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，且函数u=x 2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减． 详解：令u=x 2﹣2ax+1+a ，则f （u ）=lgu ，配方得u=x 2﹣2ax+1+a=（x ﹣a ）2 ﹣a 2+a+1，故对称轴为x=a ，如图所示：由图象可知，当对称轴a ≥1时，u=x 2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上单调递减， 又真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，二次函数u=x 2﹣2ax+1+a 在（﹣∞，1]上单调递减， 故只需当x=1时，若x 2﹣2ax+1+a ＞0， 则x ∈（﹣∞，1]时，真数x 2﹣2ax+1+a ＞0， 代入x=1解得a ＜2，所以a 的取值范围是[1，2） 故选A ．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[],a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12.已知函数2log (1)(1,3)()4,[3,)1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩，则函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为（ ） A. 1 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】令()1f x =得112x =-，21x =，35x =，令()[()]10g x f f x =-=，作出图象如图所示：由图象可得，当1()2f x =-时无解，当()1f x =时有3个解，当()5f x =时有1个解，综上所述函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为4，故选C ．【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及函数的零点、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程22210x mx m -+-=的一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】()1,2 【解析】试题分析：设22()21f x x mx m =-+-，由题意得()()()()0010{2030f f f f ><<>，解不等式得实数m 的取值范围是()1,2考点：一元二次方程根的分布 14.若函数11()2xy m -=+存在零点，则m 的取值范围是__________.【答案】【解析】试题分析：解：设11()2xy m -=+，因为1100()12t x t -=≥∴<≤，所以函数函数11()2xy m -=+存在零点时，则满足m 的取值范围是-1≤m ＜0，故答案为考点：函数的零点点评：本题考查函数的零点，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．15.当x ∈（1，3）时，不等式x 2+mx+4＜0恒成立，则m 的取值范围是 ． 【答案】（﹣∞，﹣5]． 【解析】【详解】利用函数f （x ）=x 2+mx+4的图象， ∵x ∈（1，3）时，不等式x 2+mx+4＜0恒成立， ∴，即，解得m≤﹣5．∴m 的取值范围是（﹣∞，﹣5]． 故答案为（﹣∞，﹣5]．16.已知函数()2142f x x x =+-D ，当x D ∈时，()f x m ≤恒成立，则实数m 的取值范围是__________ 【答案】[5,)+∞ 【解析】 【分析】首先根据偶次根式满足的条件，求得函数的定义域，之后根据当x D ∈时，()f x m ≤恒成立，得到max ()f x m ≤成立即可，根据函数的单调性求得函数的最大值，最后求得结果. 【详解】令420-≥x ，解得2x ≤，所以函数的定义域为(,2]-∞， 当x D ∈时，()f x m ≤恒成立，即为max ()f x m ≤成立，又因为()21f x x =+是增函数， 故max ()(2)5f x f ==，所以5m ≥， 故答案是[5,)+∞.【点睛】该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围的求解问题，涉及到的知识点有函数的定义域的求法，恒成立转化为函数的最值，应用函数的单调性求函数的最大值，最后求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：（1）0110.753270.064160.018-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭；（2）5log 3333322log 2log log 8259-+-． 【答案】(1) 485(2)-7 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算法则，求出表达式的值即可． （2）利用对数的运算法则求解即可． 【详解】（1）原式()()3133443415151480.41161218102102105-=-++=-++=-++=； （2）原式25log 933332log 4log log 8259=-+-339log 489log 9929732⎛⎫=⨯⨯-=-=-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力．18.已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ． （1）当2m =时，求A B U 、()R A B ⋂ð； （2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围． 【答案】(1){|27}B x x A -<≤⋃=，(){|21}RA B x x =-<<Ið；(2)()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】 （1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B U 的值，由补集定义可得{|1R A x x =<ð或7}x >，进而由交集的定义计算可得()R A B ⋂ð，即可得答案； （2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：①、当A =∅时，有123m m ->+，②当A ≠∅时，有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案．【详解】根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<， 则{|27}B x x A -<≤⋃=，又{|1R A x x =<ð或7}x >，则(){|21}R A B x x =-<<I ð； （2）根据题意，若A B A =I ，则A B ⊆，分2种情况讨论：①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-，②当A ≠∅时， 若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<， 综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.19.已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--,且. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（Ⅲ）当1a >时，求使()0f x >的x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}|11x x -<<.（Ⅱ）()f x 为奇函数.（Ⅲ）{}1|0x x <<.【解析】【详解】解: （Ⅰ）()log (1)log (1)a a f x x x =+--,则10,{10.x x +>->解得11x -<<. 故所求定义域为{}|11x x -<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的定义域为{}|11x x -<<,且()log (1)log (1)a a f x x x -=-+-+[]log (1)log (1)a a x x =-+--()f x =-,故()f x 为奇函数.（Ⅲ）因为当1a >时，()f x 在定义域{}|11x x -<<内是增函数， 所以1()011x f x x+>⇔>-. 解得01x <<.所以使()0f x >的x 的取值范围是{}1|0x x <<. 20.已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数． （1）求b 的值； （2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) 1b = (2) 减函数，证明见解析；(3) (,1)-∞-．【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质令(0)0f =，求解b 即可．（2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．【详解】（1）∵()f x 在定义域R 上是奇函数，所以(0)0f =，即102b a-+=+，∴1b =， 经检验，当1b =时，原函数是奇函数．（2）()f x 在R 上是减函数，证明如下：由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，∴12220x x -<，又()()1221210x x ++>，∴()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，∴函数()f x 在R 上是减函数．（3）因()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)f kx f x >--， 由（2）知()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-， 即对任意1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有212x k x -<恒成立， 由2212112x x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 令1t x =，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可设2()2g t t t =-，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴min ()(1)1g t g ==-，∴1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-．【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．21.“绿水青山就是金山银山”，随着我国经济的快速发展，国家加大了对环境污染的治理力度，某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察，发现该厂产生的废气经过过滤排放后，过滤过程中废气的污染物数量P 千克/升与时间t 小时间的关系为0kt P P e -=，如果在前5个小时消除了10%的污染物，（1）10小时后还剩百分之几的污染物 （2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1小时）参考数据：ln 20.69=，ln0.90.11=-【答案】(1) 81% (2) 32小时．【解析】【分析】（1）根据条件可得50.9k e -=，从而有100.81t e -=，得出结论；（2）令55()0.5tkt k e e --==，取对数得出t 的值．【详解】（1）由题意可知5000.9k P e P -⋅=，故50.9k e -=，∴100.81k e -=，即10t =时，00.81P P =．故10小时后还剩81%的污染物．（2）令0.5kt e -=可得55()0.5t k e -=， 即50.90.5t =，∴0.9log 0.55t =， 即0.95ln 0.55ln 250.69t 5log 0.532ln 0.9ln 0.90.11-⨯====≈． 故污染物减少50%需要花32小时．【点睛】本题考查了函数值的计算，考查对数的运算性质，准确理解题意，整体代入运算是关键，属于中档题．22.设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）．（1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式12f （x 2）—f （x ）＞12f （3x ）． 【答案】（1）0；（2）见解析；（3）{x|x&lt;0或x&gt;5}【解析】【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f （0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f （x ）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等211()()(3)22f x f x f x ->的解集即可． 试题解析：（1）令0x y ==，得(0)(00)(0)(0)f f f f =+=+，∴(0)0f =定义域关于原点对称y x =-，得()()(0)0f x f x f +-==，∴()()f x f x -=∴()f x 是奇函数211()()(3)22f x f x f x ->，()()232f x f x f x ->（）， 即232f x f x f x （）（）＞（），+- 又由已知得：()()2(2)232f x f x f x x f x =∴->（）， 由函数f x （）是增函数，不等式转化为223250x x x x x ->∴->．，∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．【方法点睛】解决抽象函数问题常用方法：1．换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；2．方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题； 3．待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；4．赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；5．转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；6．递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；7．模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见的特殊模型：。