带电粒子在复合场中运动专题训练卷

带电粒子在电场与磁场衔接中运动专项训练卷考试范围：电场与磁场；命题人：王占国；审题人：孙炜煜

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

试卷第2页，总48页

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明 一、计算题（题型注释）

1．（21分）

图中左边有一对平行金属板，两板相距为d ，电压为V ；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为0B ，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a 的正三角形区域EFG （EF 边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q 的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF 边中点H 射入磁场区域。不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG 后，从边界EF 穿出磁场，求离子甲的质量。

（2）已知这些离子中的离子乙从EG 边上的I 点（图中未画出）穿出磁场，且GI 长为

3

4

a 。求离子乙的质量。

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。 【答案】 （1）032qaBB d m V ⎫

=⎪⎭

（2）

04qaBB d

m V

'=

（3）所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：EF 边上从O 到I '点。EG 边上从K 到I 。 【解析】（21分）

（1）由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有

00qvB qE =

①

式中，v 是离子运动的速度，0E 是平行金属板之间的匀强电场的强度，有

0V E d

=

②

由①②式得

0V v B d

=

③

在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动。设离子甲质量为m ，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有

2

v qvB m r

=

④

式中，r 是离子甲做圆周运动的半径。离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为O ：这半圆刚好与EG 边相切于K ，与EF 边交于P 点。在EOK ∆中，OK 垂直于EG 。由几何关系得

12a r -= ⑤

由⑤式得

32r a ⎫=⎪⎭

⑥

联立③④⑥式得,离子甲的质量为

032qaBB d m V ⎫

=

⎪⎭ ⑦

（2）同理，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有

2

v qvB m r '='

⑧

式中，'m 和'r 分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。离子乙运动的圆周的圆心'O 必在E H 、两点之间，又几何关系有

22

2

332cos 604242a a r a a r a a r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

'''=-+----︒ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⑨

由⑨式得

1

4

r a '=

⑩

联立③⑧⑩式得，离子乙的质量为

试卷第4页，总48页

04qaBB d

m V

'=

（11）

对于最轻的离子，其质量为/2m ，由④式知，它在磁场中做半径为r/2的匀速圆周运动。因而与EH 的交点为O ，有

32OH a ⎫=⎪⎭ （12）

(2)当这些离子中的离子质量逐渐增大到m 时，离子到达磁场边界上的点的位置从O 点

沿HE 边变到I '点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从K 点沿EG 边趋向于I 点。K 点到G 点的距离为

2

KG =

（13） (3)所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：EF 边上从O 到I '点。EG 边上从K 到I 。

2．如图所示，x 轴上方有一匀强磁场，方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B ，x 轴下方有一匀强电场，电场强度大小为E ，方向斜向上方，且与y 轴夹角θ为45°。现有一质量为m 、电量为q 的正离子，以速度v 0由y 轴上的A 点沿y 轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x 轴上的C 点进入电场区域，经过C 点时的速度方向与x 轴夹角为45°。不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大。 求： （1）C 点的坐标；

（2）离子从A 点出发到第三次穿越x 轴的运动时间。

【答案】（1）磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动，故有

r

v m qvB 2

=，①

同时有qB

m

v r T ππ22=

=

② 粒子运动轨迹如图所示，由几何知识知，

x C ＝－（r ＋r cos450）＝qB

mv

2)22(+-

，③

故，C 点坐标为（qB

mv

2)22(+-

，0）。④

（2）设粒子从A 到C 的时间为t 1，由题意知

qB

m

T t π45851=

= ⑤ 设粒子从进入电场到返回C 的时间为t 2，其在电场中做匀变速运动， 由牛顿第二定律和运动学知识，有

ma qE = ⑥ 及202at v =， ⑦

联立⑥⑦解得 qE

mv t 0

22=

⑧ 设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t 3，由题意知

qB

m

T t 2413π=

= ⑨ 故而，设粒子从A 点到第三次穿越x 轴的时间为

qE

mv qB m t t t t 0

321247+

=

++=π ⑩

【解析】略

3．如图所示，水平方向的匀强电场的场强为E ，场区宽度为L ，紧挨着电场的是垂直纸面向外的两个匀强磁场区域，其磁感应强度分别为B 和2B ，三个场的竖直方向均足够长。一个质量为m ，电量为q 的带正电粒子，其重力不计，从电场的边界MN 上的a

点由静止释放，经电场加速后进人磁场，穿过中间磁场所用的时间t 0=

qB m 6π，进入右边

磁场后能按某一路径再返回到电场的边界MN 上的某一点b ，途中虚线为场区的分界面。求：

（1）中间场区的宽度d ；

（2）粒子从a 点到b 点所经历的时间t ；

（3）当粒子第n 次返回电场的MN 边界时与出发点之间的距离S n 。