带电粒子在复合场中运动专题训练卷

带电粒子在电场与磁场衔接中运动专项训练卷考试范围：电场与磁场；命题人：王占国；审题人：孙炜煜
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
试卷第2页，总48页
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 一、计算题（题型注释）
1．（21分）
图中左边有一对平行金属板，两板相距为d ，电压为V ；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为0B ，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。

图中右边有一边长为a 的正三角形区域EFG （EF 边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面朝里。

假设一系列电荷量为q 的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF 边中点H 射入磁场区域。

不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG 后，从边界EF 穿出磁场，求离子甲的质量。

（2）已知这些离子中的离子乙从EG 边上的I 点（图中未画出）穿出磁场，且GI 长为
3
4
a 。

求离子乙的质量。

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。

【答案】 （1）032qaBB d m V ⎫
=⎪⎭
（2）
04qaBB d
m V
'=
（3）所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：EF 边上从O 到I '点。

EG 边上从K 到I 。

【解析】（21分）
（1）由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有
00qvB qE =
①
式中，v 是离子运动的速度，0E 是平行金属板之间的匀强电场的强度，有
0V E d
=
②
由①②式得
0V v B d
=
③
在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动。

设离子甲质量为m ，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
2
v qvB m r
=
④
式中，r 是离子甲做圆周运动的半径。

离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为O ：这半圆刚好与EG 边相切于K ，与EF 边交于P 点。

在EOK ∆中，OK 垂直于EG 。

由几何关系得
12a r -= ⑤
由⑤式得
32r a ⎫=⎪⎭
⑥
联立③④⑥式得,离子甲的质量为
032qaBB d m V ⎫
=
⎪⎭ ⑦
（2）同理，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
2
v qvB m r '='
⑧
式中，'m 和'r 分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。

离子乙运动的圆周的圆心'O 必在E H 、两点之间，又几何关系有
22
2
332cos 604242a a r a a r a a r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
'''=-+----︒ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⑨
由⑨式得
1
4
r a '=
⑩
联立③⑧⑩式得，离子乙的质量为
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04qaBB d
m V
'=
（11）
对于最轻的离子，其质量为/2m ，由④式知，它在磁场中做半径为r/2的匀速圆周运动。

因而与EH 的交点为O ，有
32OH a ⎫=⎪⎭ （12）
(2)当这些离子中的离子质量逐渐增大到m 时，离子到达磁场边界上的点的位置从O 点
沿HE 边变到I '点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从K 点沿EG 边趋向于I 点。

K 点到G 点的距离为
2
KG =
（13） (3)所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：EF 边上从O 到I '点。

EG 边上从K 到I 。

2．如图所示，x 轴上方有一匀强磁场，方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B ，x 轴下方有一匀强电场，电场强度大小为E ，方向斜向上方，且与y 轴夹角θ为45°。

现有一质量为m 、电量为q 的正离子，以速度v 0由y 轴上的A 点沿y 轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x 轴上的C 点进入电场区域，经过C 点时的速度方向与x 轴夹角为45°。

不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大。

求： （1）C 点的坐标；
（2）离子从A 点出发到第三次穿越x 轴的运动时间。

【答案】（1）磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动，故有
r
v m qvB 2
=，①
同时有qB
m
v r T ππ22=
=
② 粒子运动轨迹如图所示，由几何知识知，
x C ＝－（r ＋r cos450）＝qB
mv
2)22(+-
，③
故，C 点坐标为（qB
mv
2)22(+-
，0）。

④
（2）设粒子从A 到C 的时间为t 1，由题意知
qB
m
T t π45851=
= ⑤ 设粒子从进入电场到返回C 的时间为t 2，其在电场中做匀变速运动， 由牛顿第二定律和运动学知识，有
ma qE = ⑥ 及202at v =， ⑦
联立⑥⑦解得 qE
mv t 0
22=
⑧ 设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t 3，由题意知
qB
m
T t 2413π=
= ⑨ 故而，设粒子从A 点到第三次穿越x 轴的时间为
qE
mv qB m t t t t 0
321247+
=
++=π ⑩
【解析】略
3．如图所示，水平方向的匀强电场的场强为E ，场区宽度为L ，紧挨着电场的是垂直纸面向外的两个匀强磁场区域，其磁感应强度分别为B 和2B ，三个场的竖直方向均足够长。

一个质量为m ，电量为q 的带正电粒子，其重力不计，从电场的边界MN 上的a
点由静止释放，经电场加速后进人磁场，穿过中间磁场所用的时间t 0=
qB m 6π，进入右边
磁场后能按某一路径再返回到电场的边界MN 上的某一点b ，途中虚线为场区的分界面。

求：
（1）中间场区的宽度d ；
（2）粒子从a 点到b 点所经历的时间t ；
（3）当粒子第n 次返回电场的MN 边界时与出发点之间的距离S n 。

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【答案】（1）d =
（2）
23m
t Bq
π= （3）n
S =
【解析】 4．（18分）如图，带电量为+q 、质量为m 的粒子（不计重力）由静止开始经A 、B 间电场加速后，沿中心线匀速射入带电金属板C 、D 间，后粒子由小孔M 沿径向射入一半径为R 的绝缘筒，已知C 、D 间电压为U 0，板间距离为d ，C 、D 间与绝缘筒内均有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度分别为B 0、B ． （1）（6分）求粒子在C 、D 间穿过时的速度v 0； （2）（6分）求A 、B 间的加速电压U ； （3）（6分）粒子与绝缘筒壁碰撞，速率、电荷量都不变，为使粒子在筒内能与筒壁碰撞4次（不含从M 孔出来的一次）后又从M 孔飞出，求筒内磁感应强度B （用三角函数表示）．
【答案】（1）0
00dB U v =
（2）2022
02mU U qB d
= （3）0
0'2tan(5
mU B qB dR π
=
【解析】
（1）∵粒子在C 、D 间做匀速运动,则：
Eq=B 0qv 0……．．．2分 而d
U E 0
=
……．．．2分 有：粒子在C 、D 间的速度0
00dB U v =
……．．．2分
（2）粒子在A 、B 间加速过程有： 2
012
qU mv =
……．
．．2分 在C 、D 间匀速运动有： qE=qv 0B 0 ……．．．2分
且E=U 0/d ……．．．1分 解得：2
022
02mU U qB d = ……．．．1分
（3）带电离子在圆形磁场中运动的可能轨迹如图:
由（1）得：0
00U v B d
=
离子在圆形磁场中有：20
0v qv B m r
=．1分
所以00
0mv mU B qr B dqr
=
=
……．．．1分 如图所示：tan
2
r R θ
=
由几何知识易知： 5θ=2n π，n=1或2 ……．．．2
分
第一种情况：25πθ=
，则t a n 5r R π
=，所以0000
tan()
5mU mU B B dqr qB dR π==……．．．1分 第二种情况：θ´=45
π， 则2'tan
5r R π
=，
所以00
00
'2'tan()
5
mU mU B B dqr qB dR π==
……．．．1分 5．如图所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E ，一质量为m ，电荷量为-q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出，射出之后，第二次到达x 轴时，它与点O 的距离为L ，求此粒子射出的速度v 和运动的总路程s.(重力不计)
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【答案】圆周运动半径 2
L
r =
1分 洛伦兹力提供圆周运动向心力 r
v m Bqv 2
= 3分
解得 m
qBL
v 2=
1分 电场中做匀变速直线运动 al v 22= 2分 m
qE
a =
2分 解得 mE
L qB l 82
2= 1分
运动的总路程 mE
L qB L
l r s 4222
2+
=+=ππ 2分 【解析】略
6．如图所示，在xoy 坐标平面的第一象限内有一沿y 轴正方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场，现有一质量为m 、电量为+q 的粒子（重力不计）从坐标原点O 射入磁场，其入射方向与y 的方向成45°角。

当粒子运动到电场中坐标为（3L ，L ）的P 点处时速度大小为v 0,方向与x 轴正方向相同。

求： （1）粒子从O 点射入磁场时的速度v ；
（2）匀强电场的场强E 0和匀强磁场的磁感应强度B 0. （3）粒子从O 点运动到P 点所用的时间。

【答案】若粒子第一次在电场中到达最高点P ，则其运动轨迹如图所示。

（2分）
（1）设粒子在O 点时的速度大小为v ，OQ 段为圆周，QP 段为抛物线。

根据对称性可知，粒子在Q 点时的速度大小也为v ，方向与x 轴正方向成45°角，可得： V 0=vcos45° (2分) 解得：v=2v 0 (1分)
（2）在粒子从Q 运动到P 的过程中，由动能定理得： -qEL=
21mv 02-2
1mv 2
(2分) 解得：E=qL
mv 22
（1分）
又在匀强电场由Q 到P 的过程中， 水平方向的位移为01x v t =（1分） 竖直方向的位移为0
12
v y t L =
=（1分） 可得X QP =2L ，OQ=L （2分）
由OQ=2RCOS45°故粒子在OQ 段圆周运动的半径：R=22
L 及mv R Bq =得002mv B qL
=。

（3分）
（3）在Q 点时，v
y =v 0tan45°=v 0 (1分)
设粒子从Q 到P 所用时间为t 1,在竖直方向上有：t 1=
2/0v L =0
2v L
(2分) 粒子从O 点运动到Q 所用的时间为：t 2=
4v L
π (1分)
则粒子从O 点运动到P 点所用的时间为：t 总=t 1+t 2=
02v L +04v L π=0
4)8(v L π+ (3分) 【解析】略
7．如图所示的区域中，左边为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B ，右边是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于OC 且垂直于磁场方向．一个质量为m 、电荷量为-q 的带电粒子从P 孔以初速度V 0沿垂直于磁场方向进人匀强磁场中，初速度
方向与边界线的夹角θ＝600
，粒子恰好从C 孔垂直于OC 射入匀强电场，最后打在Q 点，已知OQ ＝ 2 OC ， 不计粒子的重力，求：
( l )粒子从P 运动到Q 所用的时间 t 。

( 2 )电场强度 E 的大小
( 3 )粒子到达Q 点时的动能E kQ
【答案】(1)画出粒子运动的轨迹如图示的三分之一圆弧 (O 1为粒子在磁场中圆周运动的圆心）：∠PO 1 C=120°
设粒子在磁场中圆周运动的半径为r ，
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qB mv r r
v
m B qv 0
2
0=
=……………………2分
r+rcos 60°= OC=x O C=x=3r/2 …………………………2分 粒子在磁场中圆周运动的时间qB
m
T t π32311=
=
……………………1分 粒子在电场中类平抛运动 O Q=2x=3r ……………………1分
qB m
v r v x t 332002=
==
…………………………………………1分
粒子从P 运动到Q 所用的时间qB
m
)(t t t π32321+
=+= …………………………1分 (2) 粒子在电场中类平抛运动22222121t m
qE at x == ……1分 202t v x =……1分 解得03
1
Bv E =
…………………1分 (3)由动能定理qEx mv E KQ =-2
021…………2分
解得粒子到达Q 点时的动能为
2
0mv E KQ =……1分
【解析】略
8．如图所示，在y ﹥0的空间存在沿y 轴正方向的匀强电场；在y ﹤0的空间存在垂直xOy 平面向里的匀强磁场。

一个带负电的粒子（质量为m ，电荷量为q ，不计重力），从y 轴上P(0,b)点平行于x 轴的初速度v 0射入电场，经过x 轴上的N(2b,0)点。

求：（1）粒子经过N 点时的速度大小和方向。

（2）已知粒子进入磁场后恰好通过坐标原点O ，则粒子在磁场中运动的时间为多少?
【答案】(1) x=v 0t (2) R=2b 2
y=at 2／2 qvB=mv 2
/R
v y =at=v 0 B=mv/qR=mv 0/qb
v 2=v 20+v 2
y =2v 0 t=3T/4=6□m/4qb=3□b/2v 0
方向与x 轴正方向成450
角 【解析】缺图 9．在如图17所示的坐标系中，x 轴沿水平方向，y 轴沿竖直方向.第二象限内存在沿 y 轴负方向的匀强电场，在第三象限内存在垂直 xy 平面（纸面）向里的匀强磁场.一质量为m 、电量为q 的带正电粒子（不计重力），从y 轴上的A 点以v 0的初速度沿x 轴负方向进入第二象限，之后到达x 轴上x ＝ – 2h 处的B 点，带电粒子在 B 点的速度
方向与x 轴负方向成 450
角，进入第三象限后粒子做匀速圆周运动，恰好经过y 轴上y ＝ –2h 处的C 点。

求：
⑪ 粒子到达B 点时速度大小；
⑫ 第二象限中匀强电场的电场强度的大小；
⑬ 第三象限中磁感应强度的大小和粒子在磁场中的运动时间.
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【答案】⑪ 粒子在第二象限做类平抛运动, 由题意可知：粒子到达B 点时的速度大小为02v v =
（3分）
⑫ 在B 点，v 与x 轴负方向成450
.
所以： v y = v x = v 0 （1分） 又： v y = qEt/m （3分）
联立可得匀强电场的电场强度的大小 E = mv 02
/2qh （2分） ⑬ 粒子运动轨迹如图所示.
由几何关系得： h R 2=
（3分）
由洛仑兹力提供向心力可得：qvB = mv 2
/R （3分） 联立可得磁感应强度的大小：qh
mv B 0
= （2分） 粒子在磁场中的运动时间：
21v h
qB m T t ππ=
== （3分） 【解析】略 10．电量为q 质量为m 的负粒子，由静止从电场边界上O 点进入如图所示的电场、磁场，电场强度为E ，磁感强度为B ，电场宽度为L ，磁场足够大。

（不计带电粒子重力） 1）求带电粒子从O 点出发后第一次到达电磁场边界时的速度； 2）求带电粒子从O 点出发后到第二次到达电磁场边界时的时间；
3）求带电粒子从O 点出发后到第三次到达电磁场边界过程中经过的路程；
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【答案】（1）2
21mv qEL =
，解得m
qEL
v 2=（3分） （2）在电场中：qE mL
t 21=
，（2分）；在磁场中：qB
m t π=2，（2分） qB
m qE mL t t t π+=
+=221（1分） （3）在电场中：L s 31=（2分）；在磁场中：q
mEL
B qB
mv
s 22π
π=
=
（2分） q
mEL
B L s s s 2321π
+
=+=（1分） 【解析】略
11．如图所示，在平面直角坐标系XOY 内，第I 象限存在沿Y 轴正方向的匀强电场，第IV 象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小设为B 1（未知），第III 象限内也存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场B 2（未知）。

一质量为m 的电子（电量为e ，不计重力），从Y 轴正半轴上Y=h 处的M 点，以速度v 0垂直于Y 轴射入电场，经X 轴上X=
h 3
3
2处的P 点进入第IV 象限磁场，然后从Y 轴上Q 点进入第III 象限磁场，OQ ＝OP ，最后从O 点又进入电场。

（1）求匀强电场的场强大小E ；
（2）求粒子经过Q 点时速度大小和方向； （3）求B 1与B 2之比为多少。

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【答案】（1）电子在电场中做类平抛运动
h t v x 3320==-------（1分） 22
1
at h =-------（1分） m
eE
a =
-------（1分） 解得：； eh
mv E 232
= ------------------------------（2分）
（2）画出电子在磁场中运动的轨迹图，
0y v at == ∴02v v ==--------------（2分）
3tan 0
==
v v y θ ∴θ=60°--------------（1分）
∴ ∠OPO 1＝30° 又 ∵OQ ＝OP 由几何关系得∠OQO 1＝∠OPO 1＝30°
∴ 粒子到达Q 点时速度方向与y 轴正向成60°-------------（2分） （3）由几何关系得h op r r 33
2
30sin 30cos 11==︒+︒ ∴h r )33
2
2(1-= ----------------------------------- （2分） 又1
112eB mv eB mv r =
=
进入B 2后， 由几何关系得：h OP OQ r 33230cos 22===︒ ∴h r 3
2
2= -------- （2分） 又2022eB mv r =
∴63
31221+==r r B B （或=3
31-）---------------（2分）
【解析】略
12．如图所示，在xOy 平面的第一象限有一匀强电场，电场强度大小未知，电场的方向平行于y 轴向下；在x 轴和第四象限的射线OC 之间有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向外。

有一质量为m ，带有电荷量+q 的质点由电场左侧平行于x 轴射入电场。

质点到达x 轴上A 点时，速度大小为v,速度方向与x 轴的夹角ϕ，A 点与原点O 的距离
试卷第14页，总48页
为d 。

接着质点进入磁场，并垂直于磁场边界的OC 射线飞离磁场。

不计重力影响。

若OC 与x 轴的夹角为ϕ，求 （1）磁感应强度B 的大小
（2）匀强电场的场强E 的大小。

【答案】（1）B=
ϕ
s in aq mv
（2）qd
v m E 2
cos sin ϕϕ=
【解析】略
13．如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强
度B 1=0.40T ，方向垂直纸面向里，电场强度E=2.0×105
V/m ，PQ 为板间中线．紧靠平行板右侧边缘xOy 坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 2
的匀强磁场，磁场边界AO 和y 轴的夹角∠AOy=45°．一束带电量q=8.0×10-19
C ，质量
m=8.0×10-26
kg 的正离子从P 点射入平行板间，沿中线PQ 做直线运动，穿出平行板后从y 轴上坐标为（0，0.2m ）的Q 点垂直y 轴射入磁场区.（正离子重力不计） （1）离子运动的速度为多大？
（2）要使离子都不能打到x 轴上，AOy 区域内磁感应强度大小B 2应满足什么条件？ （3）若AOy 区域内磁感应强度大小B 2介于0.25T 到0.5T 之间，试求正离子经过x 轴时的区域范围．
【答案】（1）设正离子的速度为v ，由于沿中线PQ 做直线运动，则有qE qvB =（2分）
代入数据解得 v=5.0×105
m/s （1分）
（2）如图所示，由几何关系可知使离子不能打到x 轴上的
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最大半径1r
（2分）
设使离子都不能打到x 轴上，最小的磁感应强度大小为B 0，
则
2
01
v qvB m r = （1分）
代入数据解得 00.60B T = （1分）
则 220.60(B 0.60)B T T ≥>或 （1分）
（3）当20.5B T =,由2
22
v qvB m
r = 得r 2=0.10m （1分）
由轨迹可知，则离子经过x 轴上的N 点，ON=r 2=0.10m （2分） 当20.25B T =,由2
23
v qvB m
r = 得r 3=0.20m （1分） 由轨迹可知，离子经过x 轴上的M 点，
3（2分）
则离子经过x 轴时的区域范围为0.10x m x ==
至 （1分） 【解析】略 14．（16分）在如图所示的直角坐标中，x 轴的上方有与x 轴正方向成45°角的匀强电场，场强的大小为E ＝2×104
V/m 。

x 轴的下方有垂直
于xOy 面的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B ＝1×10
－
2
T 。

把一个比荷为8102⨯=m
q C/kg 的正电荷从y 轴上坐标为（0，1）的A 点处由静止释放。

电荷所受的重力忽略不计，求：
（1）电荷从释放到第一次进入磁场时所用的时间t ；
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（2）电荷在磁场中的偏转半径； （3）电荷第三次到达x 轴上的位置。

【答案】（16分）解：（1）带电粒子沿电场方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：Eq=ma
到进入磁场的位移为m S 2=
而 22
1at S =
代入数据得：6102-==
a
s
t s （4分） （2）射入磁场时的速度为：s m at v /10226
⨯== 方向与电场线方向相同
由R v m qvB 2= 得210
1102210212
6
8=⨯⨯⨯⨯==-qB mv R m （4分） （3）第二次到达X 轴的坐标为（-1，0）；设第三次到达X 轴时与第二次到达轴的
距离为L ，由于射入电场时速度与电场方向垂直，做类平抛运动。

则有：2
102
145sin at L =
1045cos vt L =（4分） 解得L=8m
电荷第三次到达x 轴上的点的坐标为（7，0）（4分）
【解析】略
如图，真空室内竖直条形区域I 存在垂直纸面向外的匀强磁场，条形区域Ⅱ（含I 、Ⅱ区域分界面）存在水平向右的匀强电场，电场强度为E ，磁场和电场宽度均为L 且足够长，M 、N 为涂有荧光物质的竖直板。

现有一束质子从A 处连续不断地射入磁场，入射方向与M 板成60︒夹角且与纸面平行，质子束由两部分组成，一部分为速度大小为v 的低速质子，另一部分为速度大小为3v 的高速质子，当I 区中磁场较强时，M 板出现两个亮斑，缓慢改变磁场强弱，直至亮斑相继消失为止，此时观察到N 板有两个亮斑。

已知质子质量为m ，电量为e ，不计质子重力和相互作用力，求：
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15．此时I 区的磁感应强度；
16．到达N 板下方亮斑的质子在磁场中运动的时间；
17．N 板两个亮斑之间的距离．
【答案】
15．
eL mv B 23=
16．
v
L t 94π=
17．Ee mL v L 23322+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-= 【解析】（1）此时低速质子速度恰好与两场交界相切且与电场方向垂直，在磁场中运动半径为R1
12
R v m evB = ①
L R R =+0
1160cos ②
由①②得
eL mv B 23=
③
（2）低速质子在磁场中运动时间
v R t 321
π=
④
由②④得
v L t 94π=
⑤
试卷第18页，总48页
（3）高速质子轨道半径 123R R = ⑥
由几何关系知此时沿电场线方向进入电场，到达N 板时与A 点竖直高度差
)60sin 1(021-=R h ⑦
低速质子在磁场中偏转距离
1260sin R h = ⑧
在电场中偏转距离
t v h '
=3 ⑨
在电场中时间 t ' ,2
21t a L '
=
⑩
ma eE = ○11
由②⑥⑦⑧⑨⑩ ○11 得
亮斑PQ 间距 321h h h h ++=Ee mL
v L 23322+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ○12
评分标准：①～○12 每式一分
如图所示,在xoy 坐标平面的第一象限内有一沿y 轴正方向的匀强电场,在第四象限内有一垂直于平面向内的匀强磁场,现有一质量为m 带电量为q 的带负电粒子(重力不计)从电场中坐标为(3L ，L )的P 点沿x 轴负方向以速度0v 射入，从O 点沿着与y 轴正方向成045夹角射出,求:
试卷第19页，总48页
18．粒子在O 点的速度大小. 19．匀强电场的场强E .
20．粒子从P 点运动到O 点所用的时间. 【答案】 18．
02v v ，=得
19．qL
mv E 220
=
20．
042v L
v L π+
【解析】(1)粒子运动轨迹如图所示,设粒子在P 点时速度大小为v ,OQ 段为四分之一圆弧,QP 段为抛物线,根据对称性可知,粒子在Q 点的速度大小也为v ,方向与x 轴正方向成450
.可得
0045cos /v v = 02v v ，=得
(2)Q 到P 过程,由动能定理得2
022
121mv mv qEL -=
即qL
mv E 220
=
(3)在Q 点时,00
045tan v v v y == 由P 到Q 过程中,竖直方向上有:ma qE =
试卷第20页，总48页
12v L
a
v t y =
=
水平方向有:L t v x 2101==则 OQ = 3L -2L = L
得粒子在OQ 段圆周运动的半径L R 2
2
=
Q 到O 的时间:0
24241v L v R
t ππ== P 到O t=
042v L v L π+
如图所示，在x-o-y 坐标系中，以（r ，0）为圆心，r 为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里。

在y>r 的足够大的区域内 ，存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E 。

从O 点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r 。

已知质子的电荷量为q ，质量为m ，不计质子所受重与及质子间相互作用力的影响。

21．求质子射入磁场时速度的大小：
22．若质子沿x 轴正方向射入磁场，求质子从O 点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间。

【答案】
21．
22．
【解析】
23．．如图所示，在坐标系xoy 平面内，在x ＝0和x ＝L 之间的区域中分布着垂直纸面向里的匀强磁场和沿x 轴正方向的匀强电场，磁场的下边界PQ 与x 轴负方向成45°，磁感应强度大小为B ，电场的上边界为x 轴，电场强度大小为E 。

一束包含着各种速率的比荷为q m
的粒子从Q 点垂直y 轴射入磁场，一部分粒子通过磁场偏转后从边界PQ 射出，进入电场区域，带电粒子重力不计。

（1）求能够从PQ 边界射出磁场的粒子的最大速率；
（2）若一粒子恰从PQ 的中点射出磁场，求该粒子射出电场时的位置坐标
【答案】
试卷第22页，总48页
【解析】略
24．如图所示，在平面坐标系xOy 内，第II 、III 象限内存在沿y 轴正方向的勻强电场，电场强度大小为第I 、IV 象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场.一带正电的粒子从第III 象限中的Q( —2L, — L)点以速度v 0沿x 轴正方向射出,恰好从坐标原点O 进入磁场，然后又从y 轴上的P(-2L,0)点射出磁场.不计粒子重力，求：
(1) 粒子在磁场中做圆周运动的半径r (2) 粒子的比荷
和磁场的磁感应强度大小B;
(3) 粒子从Q 点出发运动到P 点所用的时间t.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
25．（20分）如图所示，在坐标系xOy所在平面内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标O1（a , 0），圆内分布有垂直xOy平面的匀强磁场。

在坐标原点O处有一个放射源，放射源开口的张角为90°，x轴为它的角平分线。

带电粒子可以从放射源开口处在纸面内
朝各个方向射出，其速率v
、质量m、电荷量+q均相同。

其中沿x轴正方向射出的粒子
恰好从O1点的正上方的P点射出。

不计带电粒子的重力，且不计带电粒子间的相互作用。

（1）求圆形区域内磁感应强度的大小和方向；
（2）a．判断沿什么方向射入磁场的带电粒子运动的时间最长，并求最长时间；
b．若在y≥a的区域内加一沿y轴负方向的匀强电场，放射源射出的所有带电粒子运动过程中将在某一点会聚，若在该点放一回收器可将放射源射出的带电粒子全部收回，分析并说明回收器所放的位置。

【答案】（1）设圆形磁场区域内的磁感应强度为B，带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力提供向心力：
试卷第24页，总48页
2
v qvB m R
=
其中R =a
则：mv
B qa
=
由左手定则判断磁场方向垂直于xOy 平面向里 （6分）
（2）沿与x 轴45°向下射出的带电粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图，根据几何关系粒子离开磁场时速度方向沿y 轴正方向，∠OO 3Q =135º。

设该带电粒子在磁场中运动的时间为t ，根据圆周运动周期公式得：2πR
T v
= 所以：3π4a
t v
=
（8分） （3）设某带电粒子从放射源射出，速度方向与x 轴的夹角为α，做速度v 的垂线，截取OO 4=a ，以O 4为圆心a 为半径做圆交磁场边界于M 点。

由于圆形磁场的半径与带电粒子在磁场中运动的半径均为a ，故OO 1MO 4构成一个菱形，所以O 4M 与x 轴平行，因此从放射源中射出的所有带电粒子均沿y 轴正方向射出。

带电粒子在匀强电场中做匀减速直线运动，返回磁场时的速度与离开磁场时的速度大小相等方向相反，再进入磁场做圆周运动，圆心为O 5，OO 4O 5N 构成一平行四边形，所以粒子在磁场中两次转过的圆心角之和为180°，第二次离开磁场时都经过N 点。

故收集器应放在N 点，N 点坐标为（2a ，0）。

（6分）
【解析】略 26．（16分）如图所示为某一仪器的部分原理示意图，虚线OA 、OB 关于y 轴对称，A 90OB ∠=︒， OA 、OB 将xOy 平面分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，区域Ⅰ、Ⅲ内存在水平方向的匀强电场，电场强度大小相等、方向相反。

带电粒子自x 轴上的粒子源P 处以速度v 0沿y 轴正方向射出，经时间t 到达OA 上的M 点，且此时速度与OA 垂直。

已知M 到原点Ｏ的距离OM = a ，不计粒子的重力。

求：
（1）匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）为使粒子能从M 点经Ⅱ区域通过OB 上的N 点，M 、N 点关于y 轴对称，可在区域Ⅱ内加一垂直xOy 平面的匀强磁场，求该磁场的磁感应强度的最小值和粒子经过区域Ⅲ到达x 轴上Q 点的横坐标；
（3）当匀强磁场的磁感应强度取（2）问中的最小值时，且该磁场仅分布在一个圆形区域内。

由于某种原因的影响，粒子经过M 点时的速度并不严格与OA 垂直，成散射状，散射角为θ，但速度大小均相同，如图所示，求所有粒子经过OB 时的区域长度。

【答案】（1）qt mv E 0=
（2）（t v
2
30，0）（3）22v 0tsin θ 【解析】（1）粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，
t m
qE
v x =
（1分） v x = v 0 （1分） 解得qt
mv E 0
=
（1分） (2) 粒子在Ⅰ区域内在y 方向上的位移y 1= v 0t （1分） OM=2y 1=2v 0t （1分）
粒子在Ⅱ区域内做匀速圆周运动，其轨道半径R ≤OM 1=2v 0t （1分）
又因为R
v
m B qv M M 2
= （1分）
qR mv B M =
≥t v q v m 0022=qt
m ，即B min =qt m （1分）
粒子进入Ⅲ区域后，其运动轨迹NQ 与PQ 对称，则OQ=OP=t v t v x 02+=t v
2
30 所以Q 点的坐标为（
t v 2
30
，0） （1分） 速度方向沿负y 方向 （1分）
（3）该圆形磁场区域的半径r 等于其轨迹圆半径R ，即r ＝R ＝2v 0t （2分） 所有粒子出磁场时速度方向平行，其落点在直线OB 上的GH 两点之间，如图（2分）
试卷第26页，总48页
GH ＝２rsin θ=22v 0tsin θ （2分）
27．在xoy 平面直角坐标系的第Ⅰ象限有射线OA ，OA 与x 轴正方向夹角为30°，如图所示，OA 与y 轴所夹区域存在y 轴负方向的匀强电场，其它区域存在垂直坐标平面向外的匀强磁场；有一带正电粒子质量m ，电量q ，从y 轴上的P 点沿着x 轴正方向以v 0的初速度射入电场，运动一段时间沿垂直于OA 方向经过Q 点进入磁场，经磁场偏转，过y 轴正半轴上的M 点再次垂直进入匀强电场。

已知OP = h ，不计粒子的重力。

⑪求粒子垂直射线OA 经过Q 点的速度v Q ；
⑫求匀强电场的电场强度E 与匀强磁场的磁感应强度B 的比值；
⑬粒子从M 点垂直进入电场后，如果适当改变电场强度，可以使粒子再次垂直OA 进入磁场，再适当改变磁场的强弱，可以使粒子再次从y 轴正方向上某点垂直进入电场；如此不断改变电场和磁场，会使粒子每次都能从y 轴正方向上某点垂直进入电场，再垂直OA 方向进入磁场……求粒子从P 点开始经多长时间能够运动到O 点？
【答案】⑪
00230sin v v =︒⑫0v B E
=⑬0
)910332(
v h π+ 【解析】⑪设垂直OA 到达Q 点的速度为v Q ，将速度分解为水平方向的v 0和竖直方向的
v y ，如图所示，则
v y ＝
00330tan v v =︒，（2分） v Q ＝00
230sin v v =︒
（2分）。