华东师大版八年级数学下册 变量与函数教案
华师大版八年级下册数学教案：17.1 变量与函数
17.1 变量与函数课题变量与函数课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)认识变量、常量.(2)学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.2.过程与方法(1)经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己的观点.(2)逐步感知变量间的关系.3.情感、态度与价值观(1)积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.(2)形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重难点重点:1.认识变量、常量.2.用式子表示变量间的关系.难点:用含有一个变量的式子表示另一个变量.教学活动设计[来源:学。
科。
网Z。
X。
X。
K]二次设计课堂导入情景问题:一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米.行驶时间为t小时.1.请同学们根据题意填写下表:t/小时12345s/千米2.在以上这个过程中,变化的量是,不变化的量是.3.试用含t的式子表示s.通过本节课的学习,相信大家一定能够解决这些问题.探索新知合作探究自学指导自学课本并思考课堂导入中的几个问题.自我总结:以上问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实现实生活中有好多类似的问题,都是反映不同事物的变化过程,其中有些量的值是按照某种规律变化,其中有些量是按照某种规律变化的,如上例中的时间t、里程s,有些量的数值是始终不变的,如上例中的速度60千米/小时.合作探究1.每张电影票售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出205张,晚场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?2.在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长10 cm,每 1kg重物使弹簧伸长0.5 cm,怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度?设计意图:让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律,并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.续表探索新知合作探究探究结论:1.早场电影票房收入:150×10=1 500(元)日场电影票房收入:205×10=2 050(元)晚场电影票房收入:310×10=3 100(元)关系式:y=10x2.挂1 kg重物时弹簧长度:1×0.5+10=10.5(cm)挂2 kg重物时弹簧长度:2×0.5+10=11(cm)挂3 kg重物时弹簧长度:3×0.5+10=11.5(cm)关系式:L=0.5m+10通过上述活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量(variable),那么数值始终不变的量称之为常量(constant).教师指导1.归纳小结:常量与变量:在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量,数值保持不变的量叫做常量.2.方法规律:(1)变量和常量往往是相对的,相对于某个变化过程,比如s,v,t三者之间,在不同研究过程中,作为变量与常量的身份是可以相互转换的.(2)常量、变量与字母的指数没有关系,如S=πr2中,不能说自变量是r2.当堂训练1.分别指出下列各式中的常量与变量.(1)圆的面积公式S=πr2;(2)正方形的周长l=4a;(3)大米的单价为2.50元/千克,则购买的大米的数量x(kg)与金额y的关系为y=2.5x.2.写出下列问题的关系式,并指出常量和变量.(1)某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10 000元本金,按国家规定,取款时,应缴纳利息部分的20%的利息税,求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.(2)如图,每个图中是由若干盆花组成的图案,每条边(包括两个顶点)有(n+1)盆花,每个图案的花盆总数是S,求S与n之间的关系式.板书设计常量与变量1.什么是常量2.什么是变量3.常量与变量的区分教学反思课题变量与函数课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.(2)进一步理解掌握确定函数关系式.(3)会确定自变量取值范围.2.过程与方法(1)经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力.(2)通过从图或表格中寻找两个变量间的关系,提高识图及读表能力,体会函数的不同表达方式.3.情感、态度与价值观(1)积极参与活动、提高学习兴趣.(2)形成合作交流意识及独立思考的习惯.教学重难点重点:1.进一步掌握确定函数关系的方法.2.确定自变量的取值范围.难点:认识函数、领会函数的意义.教学活动设计二次设计课堂导入如图,水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆,它的面积随着半径的变化而变化;随着半径的确定而确定.在上述例子中,每个变化过程中的两个变量,当其中一个变量变化时,另一个变量也随着发生变化;当一个变量确定时,另一个变量也随着确定.你能举出一些类似的实例吗?从今天开始,我们就研究和此有关的问题——函数.探索新知合作探究自学指导问题:我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题.思考它们每个问题中是否有两个变量,变量间存在什么联系.探究内容中两个问题都有两个变量.问题(1)中,经计算可以发现:每当售票数量x取定一个值时,票房收入y就随之确定一个值.例如早场x=150,则y=1 500;日场x=205,则y=2 050;晚场x=310,则y=3 100.问题(2)中,通过实验可以看出:每当重物质量m确定一个值时,弹簧长度L就随之确定一个值.如果弹簧原长10 cm,每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm.当m=10时,则L=15,当m=20时,则L=20.其实,在一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量间的关系.(1)如图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?探索新知合作探究(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每个确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗?中国人口数统计表年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52我们通过观察不难发现在问题(1)的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量值为a时的函数值.从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.教师指导1.归纳小结:函数:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量值为a时的函数值.2.方法规律:对函数概念的理解,主要应该抓住以下三点:①有两个变量;②一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化;③自变量每确定一个值,函数有一个并且只有一个值与之对应(但可以有多个自变量数值对应一个函数值).当堂训练1.下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.(1)改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.(2)某村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.2.一辆汽车油箱现有汽油50 L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系式;(2)指出自变量x的取值范围;(3)汽车行驶200 km时,油桶中还有多少汽油?板书设计变量与函数1.函数的概念2.函数自变量的取值范围3.函数值教学反思课题平面直角坐标系课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念;认识并能画出平面直角坐标系;能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标.2.过程与方法[来源:学科网ZXXK]通过画坐标系、由点找坐标等过程,发展学生的数形结合意识、合作交流意识.3.情感、态度与价值观由平面直角坐标系的有关内容,以及由点找坐标,反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.教学重难点重点:1.理解平面直角坐标系的有关知识.2.在给定的平面直角坐标系中,会根据点的位置写出它的坐标.3.由观察点的坐标、纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系,说明坐标轴上点的坐标有什么特点.难点:1.横(或纵)坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究.2.坐标轴上点的坐标有什么特点的总结.教学活动设计二次设计课堂导入同学们,你们喜欢旅游吗? 假如你到了某一个城市旅游,那么你应怎样确定旅游景点的位置呢?如图给出一张某市旅游景点的示意图,根据示意图,回答以下问题:(1)你是怎样确定各个景点位置的?(2)“大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格?“碑林”在“中心广场”北、东各多少个格?(3)如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴,分别取向右、向上的方向为数轴的正方向,一个方格的边长看做一个单位长度,那么你能表示“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢?自学指导1.什么是数轴?2.平面直角坐标系、横轴、纵轴、横坐标、纵坐标、原点的定义和象限的划分.学生看书,教师巡视,教师督促每一位学生认真、紧张地自学,鼓励学生质疑问难.探索新知合作探究合作探究1.组织学生探究平面直角坐标系的相关知识点.【例】写出图中的多边形ABCDEF各顶点的坐标.2.想一想在例题中,(1)点B与点C的纵坐标相同,线段BC的位置有什么特点?(2)线段CE位置有什么特点?(3)坐标轴上点的坐标有什么特点?教师指导归纳小结:(1)认识并能画出平面直角坐标系.(2)在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标.(3)能适当建立直角坐标系,写出直角坐标系中有关点的坐标.(4)横(纵)坐标相同的点的直线平行于y轴,垂直于x轴;连接纵坐标相同的点的直线平行于x轴,垂直于y轴.(5)坐标轴上点的纵坐标为0;纵坐标轴上点的坐标为0.(6)各个象限内的点的坐标特征是:第一象限(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-).[来源:学科网ZXXK][来源:学+科+网]当堂训练1.D(2,-3)的横坐标是,纵坐标是,点D在第象限.2.如果点E的横坐标为0,那么点E在轴上.3.如果点F的纵坐标为0,那么点F在轴上.板书设计平面直角坐标系1.平面直角坐标系的定义2.横坐标、纵坐标3.象限教学反思。
华师大版八下数学17.1变量与函数17.1.1变量与函数说课稿
华师大版八下数学17.1变量与函数17.1.1变量与函数说课稿一. 教材分析华师大版八下数学17.1变量与函数是本册书的重要内容，它为学生提供了研究现实世界数量关系的基本工具。
本节课通过引入变量与函数的概念，让学生体会数学与实际生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识。
教材从生活实例出发，引导学生认识变量、常量、函数的概念，并通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握函数的性质。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于代数知识有一定的了解。
他们在日常生活中也接触过一些变量和函数的实际应用，如天气预报中的温度变化、手机话费套餐等。
但学生对于抽象的函数概念和函数的性质的理解还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生活实例和具体操作，引导学生理解和掌握函数的概念和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解变量、常量、函数的概念，掌握函数的性质，能够运用函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用意识。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探讨的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：变量、常量、函数的概念，函数的性质。
2.教学难点：函数概念的理解，函数性质的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例教学、小组合作等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过生活实例引入变量和常量的概念，引导学生感知数学与生活的联系。
2.新课导入：介绍函数的概念，引导学生理解函数的定义和性质。
3.案例分析：分析具体实例，让学生理解函数的实际应用。
4.小组讨论：让学生分组讨论，探索函数的性质，培养学生合作学习的能力。
5.总结提升：教师引导学生总结本节课所学内容，加深对函数概念和性质的理解。
新版华东师大版八年级数学下册《17.1变量与函数》教学设计16
新版华东师大版八年级数学下册《17.1变量与函数》教学设计16一. 教材分析华东师大版八年级数学下册《17.1变量与函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究数学的关键章节。
本节内容通过引入变量与函数的概念，使学生了解现实生活中变量与函数的关系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材内容主要包括变量、函数的定义，函数的性质及函数图像的绘制等。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初中数学的基本知识，对数学概念有一定的理解能力。
但学生在学习过程中，可能对函数概念的理解存在一定的困难，需要教师在教学中进行引导。
此外，学生对计算机软件绘制函数图像的掌握程度不同，需要在教学过程中给予个别辅导。
三. 教学目标1.了解变量、函数的概念，掌握函数的性质。
2.能够运用函数知识解决实际问题。
3.学会使用计算机软件绘制函数图像。
四. 教学重难点1.函数概念的理解。
2.函数性质的掌握。
3.函数图像的绘制。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究变量与函数的关系。
2.使用多媒体教学，展示实际问题，激发学生学习兴趣。
3.利用计算机软件，让学生亲自动手绘制函数图像，加深对函数的理解。
4.分组讨论，合作学习，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实例，用于导入新课。
2.准备多媒体课件，展示函数图像。
3.准备计算机软件，让学生绘制函数图像。
4.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如气温变化、物体运动等，引导学生认识变量与函数的关系。
通过提问，让学生思考：什么是变量？什么是函数？激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍变量的概念，引导学生理解变量是如何表示事物的变化。
接着，讲解函数的定义，让学生了解函数是如何描述两个变量之间的关系。
通过多媒体展示函数图像，使学生对函数有更直观的认识。
3.操练（10分钟）让学生利用计算机软件，自己动手绘制一些简单的函数图像。
华师大版八下数学17.1变量与函数(第2课时)教学设计
华师大版八下数学17.1变量与函数（第2课时）教学设计一. 教材分析华师大版八下数学17.1变量与函数（第2课时）的内容主要包括函数的定义、函数的表示方法以及函数的性质。
本节课是学生在学习了初中阶段函数的基本概念和表示方法之后，进一步深入研究函数的性质，理解函数在实际问题中的应用。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过实例来帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于函数的基本概念和表示方法有一定的了解。
但是，对于函数的性质以及其在实际问题中的应用，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要通过实例来引导学生理解函数的性质，并能够将函数知识应用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解函数的定义，掌握函数的表示方法。
2.理解函数的性质，能够运用函数知识解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.函数的定义和表示方法。
2.函数的性质及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的性质。
2.利用多媒体辅助教学，通过动画和图片来展示函数的性质，增强学生的直观感受。
3.采用小组合作学习的方式，鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.相关实例材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾已学的函数知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用多媒体展示函数的定义和表示方法，引导学生理解函数的概念。
通过举例说明函数的性质，让学生初步感知函数的特性。
3.操练（20分钟）让学生分组讨论，选取实例分析函数的性质。
每组选取一个实例，从函数的定义、表示方法以及性质等方面进行深入分析，并总结出函数的特点。
4.巩固（10分钟）让学生通过做练习题的方式，巩固所学内容。
教师及时给予解答和指导，帮助学生掌握函数的知识。
5.拓展（10分钟）引导学生将函数知识应用到实际问题中，举例说明函数在生活中的应用。
新版华东师大版八年级数学下册《17.1变量与函数》教学设计16.
新版华东师大版八年级数学下册《17.1变量与函数》教学设计16.一. 教材分析华东师大版八年级数学下册《17.1变量与函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究数学的重要章节。
本节内容通过引入变量与函数的概念，使学生了解到数学中的变化规律，培养学生对函数思想的认知。
教材内容主要包括变量、常量的定义，函数的定义及表示方法，以及函数的性质。
本节课内容是学生学习函数相关知识的基础，对于学生来说具有重要的意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了初中数学的基本知识，对数学概念有一定的理解能力。
但学生在学习过程中，可能对变量、常量、函数等概念之间的联系和区别难以理解，需要教师在教学中进行引导。
另外，学生对于函数的表示方法及性质可能感到陌生，需要教师通过具体实例进行讲解，帮助学生掌握。
三. 教学目标1.了解变量、常量的概念，理解变量与函数的关系。
2.掌握函数的定义及表示方法，能够运用函数思想解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：变量、常量的定义，函数的定义及表示方法。
2.难点：函数性质的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究变量、常量、函数之间的关系。
2.运用实例分析法，通过具体例子讲解函数的定义及表示方法。
3.采用合作学习法，让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括变量、常量、函数的定义及表示方法等内容。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用函数思想解决问题。
3.准备黑板，用于板书重要知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学过的知识，如：什么是数学中的变化？什么是常量？以此引出本节课的主题——变量与函数。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示变量、常量的定义，以及函数的定义及表示方法。
在此过程中，教师需要解释清楚变量、常量、函数之间的关系，让学生理解函数的内涵。
华师大版数学八年级下册17.1《变量与函数》(第1课时)教学设计
华师大版数学八年级下册17.1《变量与函数》（第1课时）教学设计一. 教材分析《变量与函数》是华师大版数学八年级下册17.1节的内容，本节课的主要内容是让学生理解变量的概念，了解常量与变量的区别，以及函数的定义。
教材通过丰富的实例，让学生感受生活中的变量和函数，从而引出本节课的主题。
本节课的内容是学生学习数学的基础，对以后学习代数、几何等知识有着重要的影响。
二. 学情分析八年级的学生已经初步接触过变量，对常量和变量的概念有一定的了解。
但是，对于函数的概念以及变量与函数之间的关系，学生可能还比较模糊。
因此，在教学过程中，需要通过具体的实例让学生加深对变量、常量和函数的理解，并明确它们之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解变量的概念，了解常量与变量的区别，掌握函数的定义及其相关性质。
2.过程与方法：通过观察实例，培养学生抽象、概括的能力，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生体验数学与生活的密切联系，培养学生的数学兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 教学重难点1.重点：变量、常量与函数的概念及其关系。
2.难点：函数的定义及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，让学生感受变量和函数的存在，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、归纳和总结，培养学生的抽象思维能力。
3.合作学习法：小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于导入和巩固环节。
2.准备PPT，展示教材中的图片和实例。
3.准备练习题，用于课后巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如气温变化、物体运动等，引导学生观察和思考，让学生感受变量和函数的存在。
通过观察实例，引出本节课的主题——变量与函数。
2.呈现（10分钟）介绍变量的概念，解释常量与变量的区别。
然后，给出函数的定义，并通过PPT展示教材中的图片和实例，让学生理解和掌握函数的概念。
八年级数学下册171变量与函数1712变量与函数教案华东师大版
变量与函数图18.1.3x cm之间的函数关系式．之间存在怎样的大小关系？八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）A ．正方形B ．长方形C ．三角形D ．平行四边形【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性解答．【详解】解：三角形，正方形，平行四边形，长方形中只有三角形具有稳定性．故选C ．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．2．小李家去年节余50000元，今年可节余95000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为x 元，支出为y 元，则可列方程组为（ ） A ．5000085%11095000x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．50000115%90%95000x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．5000085%110%95000x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．5000085%110%95000x y x y -=⎧⎨-=⎩【答案】B【解析】根据题意可得等量关系：①去年的收入-支出=50000元；②今年的收入-支出=95000元，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设去年的收入为x 元，支出为y 元，由题意得：50000115%90%95000x y x y -=⎧⎨-=⎩， 故选：B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系． 3．在平面直角坐标系中，点(2018,2019)P -的位置所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】观察题目，根据象限的特点，判断出所求的点的横纵坐标的符号；接下来，根据题目的点的坐标，判断点所在的象限．【详解】∵点()2018,2019P -的横坐标是负数，纵坐标是正数，∴在平面直角坐标系的第二象限，故选:B．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)．4．已知等腰三角形的一个外角等于110︒，则它的顶角是（）A．70︒B．40︒C．70︒或55︒D．70︒或40︒【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质定理与三角形的内角和定理，分两种情况：①若等腰三角形顶角的外角等于110°，②若等腰三角形底角的外角等于110°，分别求出答案即可．【详解】①若等腰三角形顶角的外角等于110°，则它的顶角是：180°-110°=70°，②若等腰三角形底角的外角等于110°，则它的顶角是：180°-2×(180°-110°)=40°，∴它的顶角是：70︒或40︒．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理与三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．5．公式表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度.表示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（）A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P【答案】A【解析】试题分析：A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬；故选A考点:一次函数的应用6．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180B．220C．240D．300【答案】C【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．【详解】∵等边三角形的顶角为60°，∴两底角和=180°-60°=120°；∴∠α+∠β=360°-120°=240°；故选C ．【点睛】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题.7．若实数m 、n 满足|m ﹣3|+（n ﹣6）2＝0，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．9 【答案】B【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 、n 分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：|m ﹣3|+（n ﹣6）2＝0，∴m ﹣3＝0，n ﹣6＝0，解得m ＝3，n ＝6，当m ＝3作腰时，三边为3，3，6，336+=，不符合三边关系定理；当n ＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝1．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形，灵活根据等腰三角形的性质进行分类讨论是解题的关键.8．已知A （x 1，3），B （x 2，12）是一次函数y ＝﹣6x+10的图象上的两点，则下列判断正确的是（ ） A ．12x x <B ．12x x >C ．12x x =D ．以上结论都不正确【答案】B【分析】根据一次函数y ＝−6x ＋10图象的增减性，以及点A 和点B 的纵坐标的大小关系，即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y ＝−6x ＋10的图象上的点y 随着x 的增大而减小，且3＜12，∴x 1＞x 2，故选B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键．9．化简2111x x x +--的结果是( ) A ．x+1 B ．11x + C ．x ﹣1 D ．1x x - 【答案】A【分析】根据分式的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式＝2211(1)(1)11111x x x x x x x x x -+--===+---- 故选：A.【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握计算法则是解题关键.10．如图，分别以ABC ∆的边AB ，AC 所在直线为对称轴作ABC ∆的对称图形ABD ∆和ACE ∆，150BAC ∠=︒，线段BD 与CE 相交于点O ，连接BE 、ED 、DC 、OA ．有如下结论：①90EAD ∠=︒；②60BOE ∠=︒；③OA 平分BOC ∠；其中正确的结论个数是（ ）A ．0个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】根据轴对称的性质以及全等三角形的性质对每个结论进行一一判断即可．【详解】解：∵△ABD 和△ACE 是△ABC 的轴对称图形，∴∠BAD=∠CAE=∠BAC ，AB=AE ，AC=AD ，∴∠EAD=3∠BAC −360°=3×150°−360°=90°，故①正确；∴∠ABE=∠CAD=12×(360°−90°−150°)=60°， 由翻折的性质得，∠AEC=∠ABD=∠ABC ，又∵∠EPO=∠BPA ，∴∠BOE=∠BAE=60°，故②正确；在△ACE 和△ADB 中，AE AB CAE BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ADB ，∴S △ACE =S △ADB ，BD=CE ，∴BD 边上的高与CE 边上的高相等，即点A 到∠BOC 两边的距离相等，∴OA 平分∠BOC ，故③正确；综上所述，结论正确的是①②③，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题11．如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，PD ⊥OA 于点D ，CE 垂直平分OP ，若∠AOB=30°，OE=4，则PD=______．【答案】1【解析】过点P 作PF ⊥OB 于点F ，由角平分线的性质知：PD=PF ，所以在直角△PEF 中求得PF 的长度即可．【详解】解：如图，过点P 作PF ⊥OB 于点F ，∵点P 是∠AOB 的角平分线上一点，PD ⊥OA 于点D ，∴PD=PF ，∠AOP=∠BOP=12∠AOB=15°． ∵CE 垂直平分OP ，∴OE=OP ．∴∠POE=∠EPO=15°．∴∠PEF=1∠POE=30°．∴PF=12PE=12OE=1． 则PD=PF=1．故答案是：1．【点睛】考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，由已知能够注意到PD=PF 是解决的关键． 12．分解因式：2312x -=____________．【答案】()()322x x +-【分析】先提取公因式，再用公式法完成因式分解.【详解】原式()()23(4)322x x x =-=+- 【点睛】第一步，提取公因式；第二步，公式法；第三步，十字相乘法；三项以上的多项式的因式分解一般是分组分解.13．一个数的立方根是4，则这个数的算术平方根是_________.【答案】8【解析】根据立方根的定义，可得被开方数，根据开方运算，可得算术平方根．【详解】解：34= 64，= 1.故答案为：1．【点睛】本题考查了立方根，先立方运算，再开平方运算．14．如图，20,30,50A B C ︒︒︒∠=∠=∠=,则ADB ∠的度数为_____________；【答案】100°【分析】根据三角形的外角性质计算即可．【详解】解：∠BEA是△ACE的外角，∴∠BEA=∠A+∠C=70°，∠BDA是△BDE的外角，∴∠BDA=∠BEA+∠B=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．15．若分式222xx+-有意义，则x的取值范围是__________.【答案】x≠1【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】∵分式222xx+-有意义，∴x-1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．16．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为_____．【答案】45°．【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，可得出∠2＝∠3，∠1＝∠4，故∠1+∠2＝∠3+∠4，由此即可得出结论．【详解】解：过点B作BD∥l，∵直线l∥m，∴BD∥l∥m，∴∠4＝∠1，∠2＝∠3，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠ABC，∵∠ABC＝45°，∴∠1+∠2＝45°．故答案为：45°．【点睛】此题考查了平行线的性质．解题时注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．17．节能减排，让天更蓝、水更清.已知某企业2015年单位GDP的能耗约为2.5万吨标煤，2017年的能耗降为1.6万吨标煤.如果这两年该企业单位GDP的能耗每年较上一年下降的百分比相同，那么这个相同的百分比是____________．【答案】20%【分析】2017年单位GDP的能耗=2015年单位GDP的能耗×（1-年下降的百分比）2，把相关数值代入即可．【详解】解：设每年比上一年下降的百分比为x，依题意得即所列的方程为2.5（1-x）2=1.1．解，得1120% 5x==，25 4x=（不合题意，舍去）故答案为：20%【点睛】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．三、解答题18．（1）化简2222 1244a b a ba b a ab b---÷+++（2）解方程 21333x x x--=-- （3）分解因式 228168ax axy ay -+-【答案】（1）b a b-+；（2）无解；（3）()28a x y -- 【分析】（1）直接根据分式知识化简即可；（2）去分母然后解方程即可；（3）先提公因式，再根据完全平方因式分解即可.【详解】解：（1）()()()2221a b a b a a a b b b --+++-· =21a b a b-++ =()()2a b a b a b+--+ =()()2a b a b a b+-++ =b a b-+； （2）21333x x x -+=-- 2139x x -+=-3x =检验：把x=3代入得：x-3=0，则x=3为方程的增根，故原方程无解；（3）原式=228168ax axy ay -+-=()2282a x xy y--+=()28a x y --.【点睛】 本题是对计算的综合考查，熟练掌握分式化简，分式方程及因式分解是解决本题的关键.19．为厉行节能减排，倡导绿色出行，我市推行“共享单车”公益活动．某公司在小区分别投放A 、B 两种不同款型的共享单车，其中A 型车的投放量是B 型车的投放量的54倍，B 型车的成本单价比A 型车高20元，A 型、B 型单车投放总成本分别为30000元和26400元，求A 型共享单车的成本单价是多少元？【答案】A 型共享单车的成本单价是200元【分析】设A 型共享单车的成本单价是x 元，则B 型共享单车的成本单价是（x ＋20）元，然后根据题意列出分式方程，即可求出结论．【详解】解：设A 型共享单车的成本单价是x 元，则B 型共享单车的成本单价是（x ＋20）元 根据题意可得30000526400420x x =•+ 解得：200x =经检验：200x =是原方程的解．答：A 型共享单车的成本单价是200元．【点睛】此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．20．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为x n +，得24(3)()x x m x x n -+=++， 则224(3)3x x m x n x n -+=+++， 343n m n +=-⎧∴⎨=⎩， 解得，721n m =-⎧⎨=-⎩， ∴另一个因式为7x -，m 的值为21-．仿照例题方法解答：（1）若二次三项式2922x x --的一个因式为2x +，求另一个因式；（2）若二次三项式225x bx +-有一个因式是25x -，求另一个因式以及b 的值．【答案】（1）另一个因式为11x -；（2）另一个因式为1x +，b 的值为3-【分析】（1）设另一个因式为x n +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论；（2）设另一个因式为x a +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论．【详解】解：（1）设另一个因式为x n +，得2922(2)()x x x x n --=++， 则()2292222x x x n x n --=+++，29222n n +=-⎧∴⎨=-⎩， 解得，11n =-，∴另一个因式为11x -．（2）设另一个因式为x a +，得()()22525x bx x x a +-=-+， 则()22252255x bx x a x a +-=+--， 2555a b a -=⎧∴⎨-=-⎩， 解得，13a b =⎧⎨=-⎩， ∴另一个因式为1x +，b 的值为3-．【点睛】此题考查的是已知二次三项式和它的一个因式，求另一个因式，掌握例题中的方法和对应系数法是解决此题的关键．21．已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥EC ，AC=CE ，∠B=∠EDC,求证：BC=DE【答案】证明见解析【分析】根据由两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△ABC ≌△CDE ，由全等三角形的性质即可得到BC=DE ．【详解】证明：∵AB ∥EC ，∴∠A=∠ECA ，在△ABC 和△CDE 中A ECAB EDC AC CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABC ≌CDE （AAS ），∴BC=DE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即对应角相等、对应边相等）．22．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ．（1）尺规作图：过顶点A 作△ABC 的角平分线AD ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD 上任取一点E ，连接BE 、CE ．求证：△ABE ≌△ACE ．【答案】（1）如图所示,见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法即可解答；（2）根据AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD ＝∠CAD ，再由∠ABC ＝∠ACB 证得AB ＝AC ，即可证明△ABE ≌△ACE （SAS ）．【详解】（1）如图所示：（2）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，∵在△ABE 和△ACE 中AB AC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACE （SAS ）．【点睛】此题考查角平分线的作图方法，角平分线定理的应用，熟记定理内容并熟练应用解题是关键.23．如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.【答案】见解析【分析】连接AC ．首先根据勾股定理求得AC 的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180° 【详解】证明：连接AC.∵AB=20，BC=15，∠B=90°，∴由勾股定理,得AC 2=202+152=625又CD=7，AD=24，∴CD 2+AD 2=625，∴AC 2=CD 2+AD 2∴∠D=90°，∴∠A+∠C=360°−180°=180°【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多边形内角与外角，借助辅助线方法是解决本题的关键24．先化简，再求值：223211(1)131x x x x x x -++⋅-+---，其中x=1． 【答案】11x -；1【分析】先因式分解，再约分，化简，代入求值．【详解】解：原式=()()()2131111311x x x x x x x x +--⎛⎫⋅-+ ⎪+----⎝⎭ ＝111x xx x +--- ＝11x -当x=1时，原式＝1121=-【点睛】本题考查分式计算题，一般需要熟练掌握因式分解，通分，约分的技巧．(1)因式分解一般方法：提取公因式:()ma mb mc m a b c ++=++；公式法：()()22a b a b a b -=+-, （平方差公式）；()2222?a ab b a b ±+=±, （完全平方公式）；十字相乘法：(x+a)(a+b)=()2x a b x ab +++ ． (1)分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(1)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去．注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式．（3）通分：先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子．注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积．（4）易错示例：1+111a a a a a a +=+=;22111a a a a a a a++=+=． 25．计算题：（1）÷（2）21)(2++【答案】（1）4；（2 【分析】（1）原式利用二次根式除法法则计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值．【详解】解：（1）原式＝＝2﹣1+3＝4；（2）原式＝133-+1+4﹣3＝73＝73. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算律，注意乘法公式的运用.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．实数5是（ ） A ．整数 B ．分数C ．有理数D ．无理数【答案】D【解析】根据无理数的定义：无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，即可判定. 【详解】由题意，得5是无理数，故选：D . 【点睛】此题主要考查对无理数的理解，熟练掌握，即可解题.2．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】由BF ∥AC ，AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠得∠ADB=90︒；利用AD 平分∠CAB 证得△ADC ≌△ADB 即可证得DB=DC ；根据DE AC ⊥证明△CDE ≌△BDF 得到DE DF =. 【详解】∵DE AC ⊥,BF ∥AC, ∴EF ⊥BF ，∠CAB+∠ABF=180︒， ∴∠CED=∠F=90︒，∵AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠， ∴∠DAB+∠DBA=12(∠CAB+∠ABF)=90︒， ∴∠ADB=90︒，即AD BC ⊥，③正确； ∴∠ADC=∠ADB=90︒， ∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD, ∵AD=AD, ∴△ADC ≌△ADB, ∴DB=DC ，②正确；又∵∠CDE=∠BDF ，∠CED=∠F ， ∴△CDE ≌△BDF, ∴DE=DF ，①正确； 故选：D. 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义. 3．等式33=11x x x x --++成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x 的范围．【详解】由题意可知：3010x x -≥⎧⎨+>⎩, 解得：3x , 故选B ． 【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件. 4．如图，设k ＝乙图中阴影部分面积甲图中阴影部分面积（a ＞b ＞0），则有（ ）A ．k ＞2B ．1＜k ＜2C ．112k << D ．102k <<【答案】C【解析】由题意可得：22()()()()a a b a a b ak a b a b a b a b--===-+-+，∴11a b b k a a +==+， 又∵0a b >>， ∴112k<<， ∴12k k <<，即112k <<. 故选C.5．数据按从小到大排列为1，2，4，x ，6，9，这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数是（ ） A ．4 B ．5C ．5.5D ．6【答案】D【解析】试题分析：因为数据的中位数是5，所以（4+x ）÷2=5，得x=1，则这组数据的众数为1．故选D ． 考点：1.众数；2.中位数．6．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，点P 是AD 的中点，若AC 的垂直平分线经过点D ，8DC =，则BP =（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质可得8AD DC ==，再根据直角三角形斜边中线定理即可求得答案． 【详解】解：∵AC 的垂直平分线经过点D ， ∴8AD DC ==，∵90ABC ∠=︒，点P 是AD 的中点， ∴118422BP AD ==⨯=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线定理．7．下列四个图形是四款车的标志，其中轴对称图形有几个 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，所以第2个，第3个图是轴对称图形.故选B.8．某商场对上周某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表所示：颜色黄色绿色白色紫色红色数量（件）120 150 230 75 430经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识的（）A．平均数B．中位数C．众数D．平均数与众数【答案】C【解析】试题解析：由于销售最多的颜色为红色，且远远多于其他颜色，所以选择多进红色运动装的主要根据众数．故选C．考点：统计量的选择．9．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．10°B．20°C．50°D．70°【答案】B【分析】要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数.【详解】解：∵要使木条a与b平行，∴∠1=∠2，∴当∠1需变为50 º，∴木条a至少旋转：70º-50º=20º.故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.10．若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（）A．180°B．720°C．1080°D．540°【答案】B【解析】设多边形的边数为n，∵多边形的每个外角都等于60°，∴n=360°÷60°=6，∴这个多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．故选B点睛:由一个多边形的每个外角都等于60°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．二、填空题11___________．【答案】18，根据立方根的定义即可求解．8=，8的立方根是1，故答案为：1．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为____________【答案】60 13【分析】先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【详解】∵直角三角形的两直角边长分别为5和12，13=∵直角三角形面积S＝12×5×12＝12×13×斜边的高，∴斜边的高＝51260 1313⨯=．故答案为：60 13．【点睛】本题考查勾股定理及直角三角形面积，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 13．函数21x y x -=+的自变量x 的取值范围是___________ 【答案】2x ≥【分析】根据二次根式的性质和分母的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的取值范围．【详解】由题意得2010x x -≥⎧⎨+≠⎩ 解得2x ≥ 故答案为：2x ≥． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和分母的意义，掌握被开方数大于或等于0，分母不等于0是解题的关键． 14．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，若剪去∠A 得到四边形BCDE ，则∠1＋∠2＝______．【答案】240.【详解】试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°． 考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．15．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；正确的个数是______个．【答案】1【分析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．【详解】解：①根据角平分线的做法可得AD 是∠BAC 的平分线，说法①正确； ②∵∠C=90°，∠B=10°， ∴∠CAB=60°， ∵AD 平分∠CAB ， ∴∠DAB=10°， ∴∠ADC=10°+10°=60°， 因此∠ADC=60°正确； ③∵∠DAB=10°，∠B=10°， ∴AD=BD ，∴点D 在AB 的中垂线上，故③说法正确， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的判定，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC 度数是解题关键．16．如图，BE ⊥AC ，垂足为D ，且AD ＝CD ，BD ＝ED.若∠ABC ＝54°，则∠E ＝________°.【答案】27【解析】∵BE⊥AC，AD=CD ， ∴AB=CB，即△ABC 为等腰三角形， ∴BD 平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE=12∠ABC=27°， 在△ABD 和△CED 中，AD CD ADB CDE BD ED ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ , ∴△ABD ≌△CED （SAS ）， ∴∠E=∠ABE=27°. 故答案是：27. 17．观察下列等式：第1个等式：a 11=，第2个等式：a2=第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=，…按上述规律,回答以下问题：(1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________=1-【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a 11=，第2个等式：a 2=第3个等式：a3，第4个等式：a42=，……∴第n==（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-=121n +++=11n +-；故答案为：11n +-． 【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题 三、解答题18．先化简223211(1)131x x x x x x -++⋅-+---，然后从13x -≤≤的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值． 【答案】化简结果：11x -；当0x =时，值为： 1.- 【分析】先计算乘法与括号内的减法，最后算减法，把使原分式有意义的字母的值代入即可得到答案．【详解】解：223211(1)131x x x x x x -++⋅-+---23(1)11()(1)(1)311x x x x x x x x -+-=•-++---- 11.111x x x x x +=-=--- 1,3,x x ≠±≠ 13,x -≤＜ 且x 为整数， ∴ 当0x =时，原式 1.=-【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键，特别要注意的是选择字母的值一定使原分式有意义．19．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE ＝AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE ＝AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问：DE ，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝BE－AD，证明见解析【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；（2）与（1）证法类似可证出∠DAC=∠BCE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，从而有DE=CE-CD=AD-BE；（3）与（1）证法类似可证出∠DAC=∠BCE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，于是有DE=CD-CE=BE-AD．【详解】（1）证明：∵AD⊥MN,BE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠DAC＋∠DCA＝90°∵∠ACB＝90°∴∠ECB＋∠DCA＝90°∴∠DAC＝∠ECB在△ACD和△CBE中，∵DAC ECBADC CEB AC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△CBE(AAS)∴CE＝AD, CD＝BE∵DE＝CE＋CD∴DE＝AD＋BE（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE-CD=AD-BE；（3）DE＝BE－AD．证明如下：证明：证明：∵AD⊥MN,BE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠DAC＋∠DCA＝90°∵∠ACB＝90°∴∠ECB＋∠DCA＝90°∴∠DAC ＝∠ECB在△ACD 和△CBE 中，∵DAC ECB ADC CEB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE(AAS)∴CE ＝AD, CD ＝BE∴DE=CD-CE= BE-AD ；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．20．某班为准备半期考表彰的奖品，计划从友谊超市购买笔记本和水笔共40件．在获知某网店有 “双十一”促销活动后，决定从该网店购买这些奖品．已知笔记本和水笔在这两家商店的零售价分别如下表，且在友谊超市购买这些奖品需花费125元．（1）班级购买的笔记本和水笔各多少件？（2）求从网店购买这些奖品可节省多少元？【答案】（1）笔记本15件，水笔25件；（2）20元.【分析】（1）可设购买笔记本x 件，购买水笔y 件，根据题意建立方程组即可；（2）依据题意分别求出笔记本和水笔单个零售价的优惠价格再进行相加即可求得.【详解】（1）设购买笔记本x 件，购买水笔y 件，依题意有4052125x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得x 1525y =⎧⎨=⎩， 答：购买笔记本15件，水笔25件.（2）15×（5-4）+25×(2-1.8)=20. 答：从网店购买这些奖品可节省20元.【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系并列出二元一次方程组进行求解.21．先化简，再求值：211(1)22a a a --÷++，在a ＝±2，±1中，选择一个恰当的数，求原式的值． 【答案】11a -，1 【分析】对括号内的分式通分化简、用平方差公式因式分解，再根据整式的乘法和整式的除法法则进行计算，再代入a 的值进行计算.【详解】211(1)22a a a --÷++ ()()212211a a a a a +-+=++-11a =- 当2a =时，原式1121==-. 【点睛】本题考查的是分式的混合运算－化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则.22．某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知AC BC 8m ==，A 30∠=，CD AB ⊥于点D ．（1）求ACB ∠的大小；（2）求AB 的长度．【答案】（1）120°；（2）83【详解】解：（1）30AC BC A =∠=︒，，30A B ∴∠=∠=︒ 180A B ACB ∠+∠+∠=︒ACB ∴∠=180︒-30-30=120︒（2）AC BC CD AB =⊥，2AB AD ∴=在Rt ADC 中，308A AC ∠=︒=，．·cos 8AD AC A ∴===)2m AB AD ∴==23．已知12y y y =+，1y 与()1x -成反比例，2y 与x 成正比例，且当2x =时，14y =，2y =．求y 关于x 的函数解析式． 【答案】41y x x =-- 【分析】根据题意设出反比例函数与正比例函数的解析式，代入y=y 1+y 2，再把当x=2时，y 1=4，y=2代入y 关于x 的关系式，求出未知数的值，即可求出y 与x 之间的函数关系式． 【详解】根据题意，设111k y x =-，()22120y k x k k =≠、． 12y y y =+，121k y k x x ∴=+-， 当2x =时，14y =，2y =，11242k k k =⎧∴⎨+=⎩， 14k ∴=，21k =-，41y x x ∴=--． 【点睛】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义及用待定系数法求函数的解析式的知识点，只要根据题意设出函数的关系式，把已知对应值代入即可．24．分解因式：4ab 2﹣4a 2b ﹣b 1．【答案】﹣b （2a ﹣b ）2【分析】提公因式﹣b ，再利用完全平方公式分解因式．【详解】解：4ab 2﹣4a 2b ﹣b 1＝﹣b （4a 2﹣4ab+b 2）＝﹣b （2a ﹣b ）2．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．。
华师大版八下数学17.1变量与函数17.1.2变量与函数教学设计
华师大版八下数学17.1变量与函数17.1.2变量与函数教学设计一. 教材分析华东师范大学出版社八年级下册数学第17.1节“变量与函数”是学生在学习了代数基础知识后的进一步拓展。
本节内容主要包括变量的概念、函数的定义及其相关性质。
通过本节课的学习，学生能理解变量与函数的基本概念，掌握函数的表示方法，为后续学习函数的性质和图象打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但学生在学习过程中，对于一些抽象的概念和定义容易产生混淆，因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例来理解变量与函数的概念，从而提高学生的理解和应用能力。
三. 教学目标1.理解变量、常量的概念，能正确区分两者。
2.掌握函数的定义，了解函数的表示方法。
3.能运用函数的概念解决实际问题，提高学生的应用能力。
四. 教学重难点1.重点：变量、常量的概念，函数的定义及其表示方法。
2.难点：函数概念的理解和应用。
五. 教学方法采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法。
通过实例引入概念，引导学生主动探究，合作交流，从而提高学生的理解能力和动手能力。
六. 教学准备1.准备相关实例，用于引导学生理解和掌握概念。
2.设计好练习题，用于巩固所学知识。
3.准备课件，辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入变量和常量的概念，例如：某商品的原价是100元，现进行8折优惠，求优惠后的价格。
让学生思考：原价和优惠后的价格是什么？它们之间的关系如何表示？2.呈现（10分钟）讲解变量的概念，介绍常量和变量的区别。
通过课件展示实例，让学生直观地理解变量和常量的含义。
同时，引入函数的定义，讲解函数的表示方法，如解析式、表格法和图象法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个函数实例，并用不同的方法表示出来。
讨论结束后，每组汇报成果，其他组进行评价。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
华东师大版八年级下册17.1变量与函数 教案设计
第17章函数及其图象17.1 变量与函数一、教学目标(一)知识储备点1.通过直观感知,领悟常量、变量、函数的意义.2.了解函数的三种表示方法.3.学会求已知函数自变量的取值范围.4.学会求给定函数的函数值.(二)能力培养点经历对熟悉的具体事例数量关系的探索过程,•体验函数是刻画事物变化规律的常用方法,初步形成用函数描述事物变化规律的习惯.二、教学设想1.重点、难点、疑点重点:在具体的问题情境中,探究出相应的函数关系式.难点:对函数概念和对应思想的理解.疑点:从图象、表格中获取有用的信息.2.课型及基本教学思路课型:新授课.教学思路:问题情境━━概念归纳━━解决问题━━例题演示.三、媒体平台1.教具学具准备教具:多媒体一台学具:三角板一副、几何练习本一本、剪刀一把,正方形卡片若干张.2.多媒体课件撷英(1)课件资讯利用多媒体制作“试一试”中问题1、问题2、问题3、问题4和例题等幻灯片；“圆的面积与半径的关系”课件、“涂方格子”课件、“重叠部分面积”课件(•华东师范大学出版社教学光盘).(2)素材储备利用幻灯片1、2、3、4、5展现“试一试”中问题1、2、3、4和例题,插入相应的对话框和图片;课件:涂方格子、重叠部分面积等.四、课时安排2课时.五、教学设计第1课时(一)本课目标1.初步学会从图形(或图象),表格中获取有用信息.2.了解常量、变量、函数的意义,了解函数的三种表示方法.3.能够列出简单问题的函数解析式.(二)教学流程1.情境导入观察情境图(利用多媒体演示情境图),并思考:情境图中哪些物体是运动变化的?怎样刻画这些物体运动变化的规律?2.课前热身(1)怎样刻画路程、速度和时间之间的规律?(2)怎样刻画圆的面积与它的半径之间的规律?(3)银行里怎样展示存款期限与相应的存款利率之间的规律的?3.合作探究(1)整体感知如何利用数学知识定量刻画事物的运动变化规律呢?•数学家们经过很长时间的探索和研究,发现引入了函数的知识来表示这个动态过程.从本节课开始我们将学习这一部分知识.(2)四边互动互动1师:利用幻灯片1演示问题1.如图17-1-1是所示某地一天内的气温变化图.温度T(℃)时间t(时)看图回答:(1)这一天的6时、10时和14时的气温分别为多少?(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?(3)这一天中,什么时段气温在逐渐上升?什么时段气温在逐渐降低?生:首先独立思考,再小组交流、讨论,然后举手回答.师:在这个变化过程中,任选时刻t的一个确定值,温度T•有几个值和这个时刻相对应?生:独立思考后和同桌交流,举手回答.明确师生共同归纳:在该图形(或图象)中,任取一个时刻t的一个确定值,温度T都有唯一的一个值和该时刻t相对应.互动2师:利用幻灯片2演示问题2.银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率.┌─────┬────┬───┬────┬───┬────┬────┐│存期x │三月│六月│一年│二年│三年│五年│├─────┼────┼───┼────┼───┼────┼────┤│年利率y(%)│ 1.7100 │1.8900│ 1.9800 │2.2500│ 2.5200 │2.7900 │└─────┴────┴───┴────┴───┴────┴────┘观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.生:逐个举手回答,不断补充完善.师:观察上述表格,在上述变化过程中,任取存期x的一个确定的值,年利率y有几个值和它对应?生:讨论并回答问题.明确师生共同归纳:从表格中可以看出,任取一个存期x的一个确定值,年利率y都有唯一的一个值和该存期x相对应.互动3师:利用幻灯片3演示问题3.如图17-1-2所示的收音机刻度盘的波长和频率分别是用米和千赫兹为单位表刻的.下表是一些对应的数值.图17-1-2┌───────┬──┬──┬───┬──┬───┐│波长L(米) │300 │ 500│ 600 │000 │1500 │├───────┼──┼──┼───┼──┼───┤│频率f(千赫兹) │1000│ 600│ 500 │300 │ 200 │└───────┴──┴──┴───┴──┴───┘观察表格,你发现L与f之间存在怎样的规律?波长L越长,频率f将怎样变化?生:举手回答问题.师:观察表格,在上述变化过程中,任取波长L的一个确定值,频率f有几个值和它对应?生:独立思考后,举手回答.明确师生共同归纳:结论与问题1、2相同.互动4师:利用幻灯片4演示问题4,并播放“圆的面积与半径的关系”课件.如果用r表示圆的半径,S表示圆的面积,则S与r满足的关系是:S=_____.•利用这个关系式填写下表:┌──────┬─┬──┬─┬──┬───┬──┐│半径r(厘米) │ 1│ 1.5│ 2│ 2.6│ 3.2 │…│├──────┼─┼──┼─┼──┼───┼──┤│面积S(厘米2)│││││││└──────┴─┴──┴─┴──┴───┴──┘从表格中你发现:圆的半径越大,它的面积就_______. 生:完成上述空格,并和同桌交流结果.师:在上述变化过程中,任取圆的半径r 的一个确定值,其面积S•有几个值和它相对应? 生:思考交流后举手回答.明确 师生共同归纳:结论与问题1、2、3相同. 互动5师:在问题1、2、3、4中,分别涉及几个可以取不同值的量(变量)?•把它们一一说出来. 生:讨论交流.师:同学们能够把问题1、2、3、4•中反映变化过程的共同规律用自己的语言概括归纳出来吗?生:独立尝试后,交流讨论.明确 师生共同归纳得出下列结论:(利用多媒体展示或板演)在某个变化过程中,可以取不同的值叫做变量,保持不变的量叫做常量.在霜个变化过程中,有两个变量x 和y,对于变量x 的每一个值,变量y•都有唯一确定的值和它相对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,或称y 是x 的函数. 互动6师:根据问题1、2、3、4,说说函数有哪些表示方法? 生:交流讨论后,举手回答,不断补充完善.明确 师生共同归纳:函数通常有三种表示方法. (1)解析法,例如问题3中的f=300000l,问题4中的S=2r . (2)列表法,例如问题2、3中的表格. (3)图象法,例如问题1中的气温曲线. 互动7师:利用多媒体演示例题内容.小明为了表示爷爷吃过晚饭后,出门散步、报亭看报、回家的过程,绘制了爷爷离家的路程S(米)与外出的时间(分)之间的关系图(如图17-1-3所示),请根据这个关系图回答下列问题.图17-1-3t(分)S(米)400402510(1)这个关系图反映了哪几个变量之间的关系?(2)任取变量t 的一个值,变量S 有几个值与它对应,变量S 是t 的函数吗? (3)报亭离爷爷家多远?爷爷在报亭看了多长时间的报? (4)爷爷出门、返回的平均速度分别是多少? 生:在合作交流的基础上,举手逐个回答问题.明确 确定两个变量之间的相依关系是否是函数,必须把握住函数的概念. 4.达标反馈课堂自侧(多媒体演示)(1)指出下列变化关系中,哪些y 是x 的函数?哪些不是?说出你的理由.①xy=2;(是) ②x 2+y 2=10;(否) ③x+y=5;(是) ④│y │=3x+1;(否)⑤y=x 2-4x+5;(是)(2)写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量. ①等腰三角形的顶角度数y 与底角度数x 的关系式;②时速为110千米的火车行驶的路程y(千米)与行驶的时间x(小时)•之间的关系式; ③底边长为10的三角形的面积y 与高x 之间的关系式;④某种弹簧原长20厘米,每挂重物1千克,伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(•厘米)与所挂上的重物x(千克)之间的关系式;⑤某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0.2升水,•饮水机中剩余水量-y(升)与放水时间x(分)之间的关系式.答案:①y=180-2x ②y=110x ③y=5x ④y=20+0.2x ⑤y=20-0.2x 5.学习小结 (1)内容总结 意义函数 表示法 解析法 列表法图象法 (2)方法归纳函数是表示事物运动变化的常用方法. (三)延伸拓展 1.链接生活“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点……用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则如图17-1-4所示的图象中与故事情节相吻合的是 (D)AS 2S 1tSBS 2S 1tSCS 2S 1tSDS 2S 1tS2.实践探索 ①实践活动⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩取长为40厘米的铝丝一根,弯折成矩形,通过测量,找出使面积最大时,矩形相邻两边的长度.②巩固练习课本练习第2题、第3题;习题18.1第1题和第4题.(四)板书设计:┌──┬───────────┬───────┐││课题:变量与函数(1) │││例题│常量、变量、函数的意义│多媒体演示内容│││函数的表示方法││└──┴───────────┴───────┘。
华师大版八下数学17.1变量与函数17.1.1变量与函数教学设计
华师大版八下数学17.1变量与函数17.1.1变量与函数教学设计一. 教材分析华师大版八下数学17.1变量与函数是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步学习高级数学知识的重要章节。
本节内容主要向学生介绍变量与函数的概念、性质和应用。
通过本节内容的学习，学生能够理解变量的意义，掌握函数的定义和表示方法，以及了解函数在实际生活中的应用。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了初中数学的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但部分学生可能对抽象的数学概念理解较困难，对函数的实际应用价值认识不足。
因此，在教学过程中需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量的概念，掌握函数的定义和表示方法，了解函数在实际生活中的应用。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：变量与函数的概念、性质和应用。
2.难点：函数的表示方法，以及函数在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量与函数的概念，让学生在具体的情境中感受和理解知识。
2.启发式教学法：引导学生主动思考、发现问题、分析问题和解决问题。
3.小组合作学习：鼓励学生之间相互讨论、交流，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和巩固环节。
2.准备PPT课件，用于呈现知识点和引导学生的思考。
3.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活实例，如气温变化、商品价格变动等，引导学生观察和思考这些现象背后的数学规律。
让学生认识到这些现象都可以用变量和函数来描述。
2.呈现（15分钟）讲解变量与函数的概念、性质和表示方法。
通过PPT课件展示，让学生直观地了解函数的图像和表达式。
变量与函数(1)教案(华东师大版初二下)doc初中数学
变量与函数（1）教案（华东师大版初二下）doc初中数学知识技能目标1.把握常量和变量、自变量和因变量〔函数〕差不多概念；2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系. 过程性目标1.通过实际咨询题，引导学生直观感知，领会函数差不多概念的意义；2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，连续探究数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.教学过程一、创设情境在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的咨询题．咨询题1如图是某地一天内的气温变化图．看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分不为多少？任意给出这天中的某一时刻，讲出这一时刻的气温．(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐步升高？什么时段的气温在逐步降低？解(1)这天的6时、10时和14时的气温分不为－1℃、2℃、5℃；(2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；(3)这一天中，3时～14时的气温在逐步升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐步降低．从图中我们能够看到，随着时刻t〔时〕的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？二、探究归纳咨询题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为〝整存整取〞的存款方式规定的年利率：观看上表，讲讲随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．解 随着存期x 的增长，相应的年利率y 也随着增长．咨询题3 收音机刻度盘的波长和频率分不是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：观看上表回答：(1)波长l 和频率f 数值之间有什么关系?(2)波长l 越大，频率f 就________．解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即lf ＝300 000，或者讲 l 300000=f ． (2)波长l 越大，频率f 就 越小 ．咨询题4 圆的面积随着半径的增大而增大．假如用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积那么S 与r 之间满足以下关系：S ＝_________．利用那个关系式，试求出半径为1 cm 、1.5 cm 、2 cm 、2.6 cm 、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表：由此能够看出，圆的半径越大，它的面积就_________．解 S ＝πr 2．圆的半径越大，它的面积就越大．在上面的咨询题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．那个地点显现了各种各样的量，专门值得注意的是显现了一些数值会发生变化的量．例如咨询题1中，刻画气温变化规律的量是时刻t 和气温T ，气温T 随着时刻t 的变化而变化，它们都会取不同的数值．像如此在某一变化过程中，能够取不同数值的量，叫做变量(variable )．上面各个咨询题中，都显现了两个变量，它们互相依靠，紧密相关．一样地，假如在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，关于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就讲x 是自变量(independent variable )，y 是因变量(dependent variable )，现在也称y 是x 的函数(function )．表示函数关系的方法通常有三种：(1)解析法，如咨询题3中的l300000=f ，咨询题4中的S ＝π r 2，这些表达式称为函数的关系式．(2)列表法，如咨询题2中的利率表，咨询题3中的波长与频率关系表．(3)图象法，如咨询题1中的气温曲线．咨询题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant )，如咨询题3中的300 000，咨询题4中的π等．三、实践应用例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?解 (1)平均身高是146.1cm ；(2)约从14岁开始身高增加专门迅速；(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．例2 写出以下各咨询题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C 与半径r 的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s 〔千米〕和所用时刻t 〔时〕的关系式；(3)n 边形的内角和S 与边数n 的关系式．解 (1)C ＝2π r ，2π是常量，r 、C 是变量；(2)s ＝60t ，60是常量，t 、s 是变量；(3)S ＝(n －2)×180，2、180是常量，n 、S 是变量．四、交流反思1.函数概念包含：(1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系．2.在某个变化过程中，能够取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x 和y ，关于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就讲x 是自变量，y 是因变量．3.函数关系三种表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．五、检测反馈1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．2.分不指出以下各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm ，它的面积S (cm 2)与这边上的高h (cm)的关系式是h S 25 ； (2)假设直角三角形中的一个锐角的度数为α，那么另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α ；(3)假设某种报纸的单价为a 元，x 表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总价y 〔元〕与x 间的关系是：y ＝ax ．3.写出以下函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y 〔元〕与学生数n 〔个〕的关系；(2)打算购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n〔个〕与单价a〔元〕的关系．4.填写如下图的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．假设用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式．。
华师大版八下数学17.1变量与函数17.1.1变量教学设计
华师大版八下数学17.1变量与函数17.1.1变量教学设计一. 教材分析华东师范大学版八年级下册数学第17章《变量与函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究数学概念和数学思想的重要章节。
本章主要介绍变量的概念，函数的定义及其性质，以及函数图像的绘制方法。
通过本章的学习，使学生能够理解变量与函数的基本概念，掌握函数的性质和图像的绘制方法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了实数、代数式、方程等基础知识，具备一定的逻辑思维和抽象思维能力。
但学生在学习过程中，可能对变量的概念理解不够深入，对函数的性质和图像的绘制方法存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解变量与函数的关系，通过实例使学生感受函数的性质，并通过动手操作，使学生掌握函数图像的绘制方法。
三. 教学目标1.理解变量的概念，掌握常量和变量的区别。
2.理解函数的定义，掌握函数的表示方法。
3.掌握函数的性质，能够分析实际问题中的函数关系。
4.掌握函数图像的绘制方法，能够绘制简单的函数图像。
四. 教学重难点1.变量与函数的概念及其关系。
2.函数的性质及其应用。
3.函数图像的绘制方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例理解变量与函数的关系。
2.利用数形结合的方法，使学生直观地感受函数的性质。
3.采用动手操作的教学方法，让学生通过绘制函数图像，加深对函数性质的理解。
4.小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学实例，用于引导学生理解变量与函数的关系。
2.准备函数图像的绘制工具，如函数图像软件或板书。
3.准备一些实际问题，用于巩固学生对函数性质的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾已学的实数、代数式、方程等基础知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）介绍变量的概念，引导学生理解常量和变量的区别。
八级数学下册：变量与函数教案(华东师大版)
18.1变量与函数【教案目的】了解常量和变量的意义，了解函数的三种表达方式.通过对实际问题中数量之间互相依存关系的探索，理解函数概念.学会用函数思想去进行描述、研究其变化规律.学会识别函数.能根据实际情景列出函数关系式.【知识重点】感受变化过程中存在的函数关系【教案过程】一、知识整理1．一般的，如果在一个变化过程中有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.2．表示函数关系的方法通常有三种：解读法、列表法和图象法.3．在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量.取值始终不变的量叫做常量. 二、实例引入例1 日气温变化图图18.1.1是某日的气温变化图．看图回答：教师：根据这张图，你能否得到某个时刻的温度？学生1：凌晨3点时，温度为零下3摄氏度．学生2：上午7点，温度为1摄氏度．学生3：下午4点，温度为4摄氏度．教师：在哪一段时间内，温度是上升的？学生4：从凌晨3点起，到下午2点止，这期间温度是持续上升的．教师：在这张图中，主要体现了那些数量的变化？学生5：有温度的变化；学生6：还体现了时间的变化．结论：从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．每一个时间t，都有一个唯一的气温T与之对应．例2 高尔夫球的轨迹演示高尔夫球的动画，并将之抽象为上面右图所示的轨迹．打开文件“2 轨迹.gsp”演示效果．教师：我们用l标识高尔夫球飞行的水平举例，用h标识高尔夫球的飞行高度．此时高度h随着水平距离l的变化而变化．请几位学生分别找出几组对应值，填入表格：结论：随着水平距离l的变化，高度h也随之变化．每一个水平距离l都有唯一的高度h与之对应．例3 水中的波纹把一块小石头投入池塘中，就会激起一阵阵的波纹．打开文件“3 波纹.htm”演示效果．三、引出函数概念，并加以巩固教师：以上实例的变化过程中，都有一些数量在变化，这样的量我们称为变量．如果在过程中，保持不变的就称为常量．一般的，如果在一个变化过程中有两个变量，例如x 和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.在实例1中，时间t是自变量，气温T是因变量，对于时间t的每一个值，气温T都有唯一的值与之对应，称气温T是时间t的函数．在实例2中，水平距离l 是自变量…… （以下略）带领学生，在每一个实例中重新巩固“自变量”、“因变量”、“函数”的概念． 四、函数的几种表达方式五、课堂活动运行“04 现象.gsp ”，演示效果：△ABC 的高AD 平移，底部BC 不动．教师：请同学们观察在屏幕上这个变化过程中，有哪些是变量？这些变量之间是否存在函数关系？如果存在函数关系，你准备用什么方法来表示这样的函数关系？评注：这个课堂活动主要是巩固前面所学习的函数关系，学生在观察屏幕，寻找变量的过程中，自觉的运用函数的观念来看这个运动的图像，增强应用数学的意识． 六、其他请学生根据自己的生活经验来举出一个例子，并将之表达出来.评注：这个活动要求学生在本课前作一些准备工作.请每一位同学在课前都在预习的基础上，仿照课本上的问题，自己去身边寻找几个变量之间变化的关系，并设法记录下来.在课上请同学来讲讲自己身边的这些变化关系，分析表达的形式，变量和常量，自变量和因变量.但是同学有些可能找出来的并不是我们这里所说的函数关系，在课上要注意辩析清楚.【小结与作业】小节：本课主要学习了用函数的观念来分析一个变化的过程，同学在平时要多注意留意身边的现象，多尝试用数学的眼光去观察、分析． 作业：1. 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 2. 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量: (1)圆的周长C 与半径r 的关系式。
17.1变量与函数-华东师大版八年级数学下册教案
17.1 变量与函数-华东师大版八年级数学下册教案一、教材内容概述变量和函数是数学基础中的重要概念。
变量是指一个数值可能发生变化的量，函数是指一个或多个自变量和一个因变量之间的对应关系。
本章主要介绍变量和函数以及它们的应用。
具体来说，第一节介绍变量的概念及应用；第二节介绍函数的概念及其表示法；第三节介绍函数图象的基本知识；第四节介绍利用函数解答实际问题。
二、教学目标1.理解变量和函数的概念及其应用；2.熟练掌握函数的基本表示法；3.掌握函数图象的基本知识；4.能够利用函数解答实际问题。
三、教学重点1.理解变量和函数的概念及其应用；2.熟练掌握函数的基本表示法；3.掌握函数图象的基本知识。
四、教学难点1.能够利用函数解答实际问题；2.掌握函数图象的基本知识。
五、教学过程1. 导入新知识通过举例子的方法导入新知识。
例如，讲解变量时，可以举出温度、体积等实际情况，提醒学生这些物理量的大小是不断变化的。
2. 讲解变量和函数的概念及其应用介绍变量的概念及应用，阐述变量的特征及分类。
然后进入函数的概念及应用，介绍函数的定义及其基本性质。
最后讲解如何用函数解决实际问题。
3. 熟练掌握函数的基本表示法介绍函数的基本表示法，包括解析式、函数表、图象等基本表达形式，提高学生对函数表达形式的认识和运用能力。
4. 掌握函数图象的基本知识讲解函数图像的定义及基本特征，例如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
同时，介绍函数图像的绘制方法，让学生在掌握基本知识的基础上，对函数图像有一个直观的认识。
5. 利用函数解答实际问题通过例题和课堂练习，让学生掌握利用函数解答实际问题的方法和技巧。
六、教学方式本节课程采用讲授、练习交替进行的方式进行教学。
七、教学评价本节课程以变量和函数为主要内容，旨在让学生掌握基本概念及其运用。
通过实际例题的引导，让学生理解变量和函数的应用价值。
在教学过程中，采用交替的方式进行教学，以确保学生能够顺利掌握各个知识点。
八年级数学下册教案-17.1 变量与函数1-华东师大版
《18.3.1一次函数》授课流程授课工具：多媒体授课目标：1、知识与技能：①让学生经历对具体情境的探究过程，通过实例观察、比较、探索、归纳得出一次函数概念。
②理解一次函数与正比例函数的联系和区别。
③培养学生独立思考与合作交流的能力。
初步发展他们抽象思维能力和发展他们的数学应用能力。
2、过程与方法：①能根据实际条件，分清两个变量间的关系，列出一次函数解析式②能在探索一次函数活动中发现并提出数学问题，初步体会在解决问题的过程中与他人合作、交流的重要性。
3、情感与态度目标：①体验函数与人类生活的密切联系，增强对函数学习的求知欲.②体验数学充满着探索性和创造性，从而培养学生对学习数学的兴趣。
授课重点：1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。
授课难点：理解函数的概念，并且充分理解一次函数中k的意义。
授课内容：一、导入通过“马拉车”的形象概述（其中“马”代表自变量，“车”代表因变量，来强调函数中因变量的唯一性），回忆函数的定义。
并用一场“累死马”的事故贯穿始终，增强本节课的趣味性，提升学生的好奇心。
二、新授1、在学习函数定义的基础上，进一步引出一次函数的定义，联想一元一次方程来理解“一次”的含义。
一般地，解析式都用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数。
一次函数通常可以表示为y=kx+b 的形式，其中k 、b 是常数，k ≠0 。
2、引出一次函数定义后一定要时时强调k ≠0的意义。
①思考一下：为什么强调k ≠0呢？原因：假如k=0，解析式右边就不是含有自变量的一次整式了。
②猜一猜：240+=xy （x 是自变量）是一次函数吗？为什么？ 12+=x y （x 是自变量）是一次函数吗？3、引出正比例函数的定义。
特别地，当b=0时，一次函数y=kx （常数k ≠0），也叫做正比例函数。
例如：y=3x 就是正比例函数。
4、思考：一次函数和正比例函数之间的关系。
关系：正比例函数是特殊的一次函数。
新版华东师大版八年级数学下册《17.1变量与函数》说课稿16.
新版华东师大版八年级数学下册《17.1变量与函数》说课稿16.一. 教材分析华东师大版八年级数学下册《17.1变量与函数》这一节的内容，主要介绍了变量与函数的概念。
通过这一节的学习，使学生能够理解变量与函数之间的关系，掌握函数的定义及其基本性质，能够运用函数的观点解决一些实际问题。
在教材中，通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了代数基础知识，对变量、函数的概念有一定的了解。
但学生对函数的定义及其性质的理解还不够深入，需要通过本节课的学习加以巩固。
同时，学生对实际问题中的函数关系分析能力有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握函数的定义及其基本性质，能够运用函数的观点解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 说教学重难点1.教学重点：函数的定义及其基本性质。
2.教学难点：函数关系在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合学习平台、练习软件等现代教育技术手段，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习旧知识，引入变量与函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生自主探究函数的定义及其基本性质，培养学生独立思考的能力。
3.合作交流：学生分组讨论，分享学习心得，互相解答疑惑，教师巡回指导。
4.教师讲解：针对学生自主学习、合作交流过程中遇到的问题，进行讲解和解答。
5.实践应用：列举实际问题，让学生运用函数的观点进行分析，提高学生解决问题的能力。
6.总结提升：对本节课的主要内容进行总结，强调函数在实际生活中的重要性。
7.布置作业：布置适量练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
华师大版数学八年级下册17.1《变量与函数》(第2课时)教学设计
华师大版数学八年级下册17.1《变量与函数》（第2课时）教学设计一. 教材分析《变量与函数》是华师大版数学八年级下册17.1章节的第二课时，本节课主要内容是让学生掌握函数的定义及其相关概念，理解函数的性质，并能够运用函数解决实际问题。
教材通过实例引入函数的概念，引导学生探究函数的性质，进而掌握函数的表示方法。
本节课的内容是学生进一步学习初中数学的基础，对于培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了代数基础知识，对变量、方程等概念有一定的了解。
但函数概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际生活例子，让学生感受函数的存在，从而更好地理解函数的概念。
三. 教学目标1.了解函数的定义及其相关概念，理解函数的性质。
2.学会用函数表示实际问题，能够运用函数解决简单问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.函数的定义及其相关概念。
2.函数的性质。
3.函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过生活实例引入函数概念，引导学生探究函数性质，激发学生学习兴趣，培养学生的独立思考能力和团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和数学案例。
2.制作PPT，展示函数的图像和性质。
3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例引入函数的概念，如：气温随时间的变化。
引导学生思考：如何用数学语言描述这个现象？从而引出函数的定义。
2.呈现（10分钟）展示PPT，讲解函数的定义及其相关概念，如自变量、因变量、函数值等。
通过PPT动画展示函数的图像，让学生直观地感受函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的数学案例，探究函数的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
教师选答部分学生的作业，讲解错误之处，巩固所学知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《变量与函数》教案
教学目标
知识与技能
理解函数的概念，了解变量与常量以及自变量的意义.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会求自变量的取值范围，会根据自变量的取值求函数的值.
过程与方法
经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
情感、态度与价值观
通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.通过教学活动，培养学生乐于探究，合作学习的习惯，培养学生努力解决问題的进取心.
教学重点
函数的概念和函数自变量的取值范围.
教学难点
求函数自变量的取值范围.
教学设计
一、导入新课
问题1下图是某地一天内的气温变化图.
1.这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温是多少吗？
2.这一天中，最髙气温是多少？最低气温是多少？
3.这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
从图中我们可以看出，随着时间t（时）的变化，相应的气温T℃也随之变化.
问题2小蕾在过14岁生日的时候，看到爸爸为她记录的各周岁的体重，如课本P29问题2表：
观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重
增加较快？
问题3 收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m )和千 赫兹(kHz )为单位标刻的.下面是一些对应的数值（如课本P29问题三图）：
同学们是否会从表格中找出波长λ与频率f 的关系呢？
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积，则S 与r 之间满足下列关系：
S =πr 2，你能算出半径为1cm 、l .5cm 、2cm 、2.6cm 时圆的面积吗？
二、讲授新课
1.常量和变量
在上述问题中分别有几个量？分别指出每个问题中的各个量.
第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化. 第2个问题中，有两个变量，一个是年龄，另一个是体重，体重随着年龄的变化而变化. 第3个问题中的λ与f 是变量，而它们的积等于300000是常量.
第4个问题中，S 和r 是变量，而π、2是常量.
常量:在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量.
变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.
2.函数的概念
上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：
在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有唯一的温度与之对应，t 是自变量，T 是因变量(T 是t 的函数).
在上述的第2个问题中，给出周岁的一个值，就可以得到变量体重的一个值，且唯一，周岁是自变量，体重是周岁的函数.
在上述的第3个问题中，λf = 300000，即λ=f
300000，给出一个f 的值，变量λ有唯一值与之对应，f 是自变量，λ是因变量 (λ是f 的函数).
在上述第4个问题中，S =πr 2，给出变量r 的一个值，便可以得到变量S 唯一值和它对应，
r 是自变量，S 是因变量(S 是r 的函数).
函数的概念:如果在一个变化过程中，有两个变量，假设X 与Y ，对于X 的每一个值，Y 都有唯一的值与它对应，那么就说X 是自变量，Y 是因变量，此时也称Y 是X 的函数.
要引导学生在以下几个方面加强对于函数概念的理解.
变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于X 的每一个值，Y 都有唯一的值与它对
应，如果Y 有两个值与它对应，那么Y 就不是X 的函数.例如y 2=x .
3.表示函数的方法
(1)解析法，如问题3、问题4中的λ=f
300000，S =πr 2，这些表达式称为函数的解析式. (2)列表法，如问题2、3中的周岁与体重关系，波长与频率关系.
(3)图象法，如问题1中的气温与时间的曲线图.
三、例题讲解
例1 等腰三角形顶角的度数y 是底角度数x 的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.
例2 如图，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，CA 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与M 重合，让△ABC 向右移动，最后点A 与点N 重合.
（1）试写出两图形重叠部分的面积y （cm2）与线段MA 的长度x （cm ）之间的函数关系式.
（2）当点A 向右移动1cm 时，重叠部分的面积是多少？
四、课堂练习
课本第30页练习第1、2、3题，课本第32页练习第1、2、3题.
五、课堂小结
1.关于函数的定义的理解应注意两个方面，其一是变化过程中有且只有两个变量，其二是对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应.对于实际问题，同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系，即列出函数关系式.
2.通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数.
六、课后练习
课本第33页习题17.1至4题.。