2020届高中数学分册同步讲义(必修5) 第2章 专题突破二 数列的单调性和最大(小)项

专题突破二 数列的单调性和最大(小)项

一、数列的单调性

(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．

(2)判断单调性的方法

①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．

例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1

(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性． 解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1

. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2

， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)

＝－3(n ＋1)(n ＋2)

＜0. ∴a n ＋1＜a n .

∴数列{a n }是递减数列．

方法二 设x 1＞x 2≥1，则

f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫－2＋3x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2＋3x 2

＋1 ＝

3x 1＋1－3x 2＋1 ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)

， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，

∴f (x 1)－f (x 2)＜0，

即f (x 1)＜f (x 2)，

∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，

∴a n ＝f (n )为递减数列．

反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意

x 1

跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －

1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列． 证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)

＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)

＝－3×2n －2＋4×3n －1

＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，

∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，

∴12×⎝⎛⎭

⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.

∴{a n }是递增数列．

二、求数列中的最大(或最小)项问题

常见方法：

(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．

(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧

a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．

例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019

，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019

， 则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．

因为44< 2 019<45，

故数列{a n }在0

2 019－ 2 018x － 2 019

的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.

所以最大项与最小项的项数分别为45,44.

反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．

跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n ，则{a n }的最大项是( )

A ．a 3

B ．a 4

C ．a 5

D ．a 6

答案 C 解析 f (x )＝411－2x 在⎝

⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数． 且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.

∴{a n }的最大值为a 5.

例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．

解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.

∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．

(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94

，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.

反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．

跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭

⎫－12，34 解析 设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增． 当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12

. ∴－a ＜12即a ＞－12

. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34

. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34

. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭

⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．

解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9

，且n ∈N *，