高等燃烧学

2Biblioteka 1/ 4()
Pr = 0.01~ 103
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解
定壁温时竖壁自然对流层流边界层的相似解
Pr →0 0.6Pr1/2 7.0 0.754 0.01 0.057 10 0.826 0.1 0.164 102 1.55 0.72 0.357 103 2.80 1.0 0.401 104 5.01 2.0 0.507 5.0 0.675
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解
速度分布
温度分布
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解
3. 换热计算
壁面热流密度为 壁面热流密度
∂t 1 Grx qw = −λ = −λ ( tw − t∞ ) Θ′ ( 0) ∂y y=0 x 4
1/ 4
h = q w / (t w − t ∞ )
另一方面，t对y的偏导数与定壁温相同，于是，变壁温下 变壁温下 的偏导数与定壁温相同 的能量方程变为， 的能量方程变为
∂Θ nΘ u + x ∂x ∂Θ ∂Θ v a + = ∂y ∂y 2
2
§8-3 变壁温下竖壁层流自然对流的相似解
经过与上类似的变换， 经过与上类似的变换，注意到， 注意到
Nu = hx
λ
=
1 2
−1/ 4 ′ Θ − ⇒ ⋅ =− Grx1/ 4 0 Nu Gr ( ) x
Θ ′ ( 0)
2
下表给出了不同Pr数下的计算结果。埃特对计算结果进 数下的计算结果 行了整理，得到下述关系式 下述关系式
Nu⋅ Gr
−1/ 4 x
3 2 Pr = 4 5 1 + 2 Pr1/ 2 + 2 Pr
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解
将以上各式代入运动方程和传热方程 运动方程和传热方程，经简化整理后有： 运动方程和传热方程
f ′′′ + 3 ff ′′ − 2 f ′2 + Θ = 0
Θ ′′ + 3Pr f Θ ′ = 0
相应的边界条件 边界条件为 边界条件
η = 0, f ( 0) = f ′( 0) = 0, Θ( 0) =1 η →∞, f ′( ∞) = 0, Θ( ∞) = 0
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解
描述自然对流强度的无因次数是格拉晓夫数 无因次数是格拉晓夫数Gr，其定义为
β g ∆tl 3 ul Gr = ∼ = Re2 2 ν ν
2
显然，自然对流中的 自然对流中的Gr1/2类似于强制对流中的雷诺数Re，其 表示流动过程的推动力（ 表示流动过程的推动力（惯性力或浮升力） 惯性力或浮升力）与流动过程的阻力 （粘性力） 粘性力）之比。 之比。 自然对流的强度也可以用瑞利 也可以用瑞利（ 也可以用瑞利（Ra）数或布西涅斯克（ 数或布西涅斯克（Bo） 数表示， 数表示，其相互关系如下：
4x
[− 3 f (0)] ⇒
Gr
1/ 4 x
=−
2
f (0 )
∂u = νGH 2 f ′′ ∂y
∂ 2u 3 = ν GH f ′′′ 2 ∂y
∂u GH (2 f ′ − ηf ′′) =ν ∂x 4x
∂Θ η = − Θ ′ ∂x 4 x
∂Θ = HΘ ′ ∂y
∂ 2Θ 2 = H Θ ′′ 2 ∂y
=
G (x ) 4x
η = yH (x ), ψ = νG (x ) f (η )
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解
由此可得， 由此可得，
u= ux /ν ∂ψ = νGHf ′ ⇒ = f′ 1/ 2 ∂y 2Grx
vw =
∂ψ νG (− 3 f + ηf ′) v=− = ∂x 4 x vw x / ν 3 νG
δt
aν ∼ l β g ∆tl 3
1/ 4
= Ra
−1/ 4
Nu =
hl
λ
∼ Ra1/ 4
对于低 低Pr数流体， 数流体，ν ≪ a ，其粘性阻力远小于流动惯性力， 其粘性阻力远小于流动惯性力， 可忽略不计， 可忽略不计，因此， 因此，热边界层内的流动主要取决于流动惯性力 与浮升力之间的平衡。同理可导得 与浮升力之间的平衡
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解
当Pr→0和Pr→∞时分别有 →∞时分别有
Nux = 0.6 ( Grx ⋅ Pr
2 1/ 4
)
4 = 0.6 Bo1/ x ,
Pr → 0
Pr → ∞
Nu x = 0.503 ( Grx ⋅ Pr )
1/ 4
4 = 0.503Ra1/ x ,
定壁温竖壁层流自然对流换热特性
§8-1自然对流传热控制方程
竖壁层流自然对流速度边界层和热边界层
§8-1自然对流传热控制方程
原则上讲，根据有关的边界条件即可对上述方程进行求解。 其中，动量方程式中的轴向压力梯度可根据外部势流区求得 动量方程式中的轴向压力梯度可根据外部势流区求得， 动量方程式中的轴向压力梯度可根据外部势流区求得， 即dp/dx=-ρ∞g，如果将压力项和体积力合并可写成(ρ∞−ρ)g。 对于常规介质的自然对流，常引入 Boussinesq假设，即： （1）除了引起流体运动的密度差外， 除了引起流体运动的密度差外，其它物性都为常数； 其它物性都为常数；（2） 密度差和温度差呈线性关系。 密度差和温度差呈线性关系。根据定义有：
v=− 1 ∂ψ νG [− (3 + n) f + (1 − n)ηf ′] ⇒ vw x1//ν (3 + n ) f (0) = = − 4 ∂x 4 x Grx 2
∂u νGH [2(1 + n ) f ′ − (1 − n )ηf ′′] = ∂x 4x
∂Θ 1 η = − (1 − n ) Θ ′ 4 x ∂x
β=
1 ∂v 1 ∂ρ 1 ρ∞ − ρ =− =− v ∂T p ρ ∂T p ρ T∞ − T
∂u ∂v ∂x + ∂y = 0 ∂u ∂u u v + =ν x y ∂ ∂ ∂t ∂t =α u + v ∂ x ∂ y
Nu ∼ Bo1/ 4
尺度分析目的即是获取上述Nu数与Ra数或Bo数的关系， 数的关系， 它们已得到了理论分析和实验结果的证实。 它们已得到了理论分析和实验结果的证实。
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解 2. 相似解
在定壁温且壁面无喷注的层流情况下，边界条件为 边界条件为
y = 0, u = v = 0 t = tw y → ∞, u → 0, t → t∞ x = 0, u = 0, t = t∞
u v ∼ l δt
v∼
u δt l
在能量方程中，取温度的尺度为∆t=tw−t∝，则等式左边对 流项的数量级分别为u∆t/l和v∆t/δt，它们的数量级是相等的。 对流项与导热项数量级关系为u∆t/l~a∆t/δt2，即
u ∼ al / δ t2
在动量方程中，惯性力、粘性力和浮升力的数量级分别为 u2/l、νu/δt2和βg∆t，如果流动受浮升力和惯性力支配 如果流动受浮升力和惯性力支配，则有 如果流动受浮升力和惯性力支配 u2/l~βg∆t，由此可得 1/ 2 u ∼ ( β gl ∆t )
β g ∆tl 3 Ra = Gr ⋅ Pr = νa
Bo = Ra ⋅ Pr=
β g ∆tl 3
a2
在自然对流传热过程中，表面传热系数的大小主要取决于热 表面传热系数的大小主要取决于热 边界层的厚度 h ∼ λ / δ t
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解
流体Pr数是一个影响热边界层内流体运动和传热规律的关 键热物理参数。对于高 高Pr数流体， 数流体，ν ≫ a，其粘性阻力远大于流 动惯性力， 动惯性力，因此， 因此，热边界层内的流动主要取决于流动阻力与浮 升力之间的平衡， 升力之间的平衡，则有νu/δt2~βg∆t，故
∂ (ρu ) ∂ (ρv ) + =0 ∂y ∂x ∂u ∂u dp ∂ ∂u + ρv =− + µ ρu − ρg ∂ x ∂ y dx ∂ y ∂ y ρc p u ∂t + ρc p v ∂t = ∂ λ ∂t ∂x ∂y ∂y ∂y
t − t∞ f (η ) = , Θ= 1/ 4 t w − t∞ Grx ν 4 4
ψ
为简单见，令： 为简单见
1 Gr Gr G (x ) = 4 x , H (x ) = x x 4 4
1/ 4 1/ 4
§8-1自然对流传热控制方程
自然对流是在重力场中由于密度差而引起的浮升力驱动 的流动， 的流动，因此， 因此，动量方程中的体积力不能忽略。 动量方程中的体积力不能忽略 在绝大多数情况下， 在绝大多数情况下，密度差是由温差引起， 密度差是由温差引起，所以， 所以，动量 方程与能量方程必须同时求解， 方程与能量方程必须同时求解，从这一点上来讲， 从这一点上来讲，自然对 流的求解比强制对流更复杂。 流的求解比强制对流更复杂 二维稳定自然对流边界层控制方程如下： 二维稳定自然对流边界层控制方程如下：
引进流函数 流函数ψ和相似变量 相似变量η，
u= ∂ψ ∂ψ , v=− ∂y ∂x
η=
y Grx x 4
1/ 4
式中，Grx为格拉晓夫数，其定义为 为格拉晓夫数 βg∆tx 3 Grx = ν2
§8-2 定壁温下竖壁层流边界层方程组的相似解
引入无因次流函数 无因次流函数f(η)和无因次温度 无因次温度Θ