2021届河北省高三上学期11月联合考试数学试题

21届河北省高三年级11月份联合考试
数学
考生注意：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，向量，数列，不等式，立体几何．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{ln(2)0}A x x =-，{
}
2
2950B x x x =--<，则A B ⋂=（ ） A ．(2,5) B ．[2,5) C ．[3,5) D ．(3,5)
2．在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，已知1339,210a a a q =+=，则q =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．函数1()1f x x =+
的图象在点11,22f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线斜率为（ ） A ．4 B ．4- C ．2 D ．2-
4．设,x y ∈R ，则“1x 且1y ”是“2
2
1x y +≥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是正方形11CDD C 的中心，点Q 在线段1AA 上，且11
3
AQ AA =，E 是BC 的中点，则异面直线,PQ DE 所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
6．已知
2sin 22sin 1
,(0,)1tan 3
αααπα+=-∈+，则cos sin αα-=（ ）
A ．3-
B ．3
C ．3-
D ．3
7．如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器．秦始皇统中国后，仍以商鞅所规定的制度
和标准统一全国的度量衡．经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（ ）
A ．5.4立方寸
B ．8立方寸
C ．16立方寸
D ．16.2立方寸
8．已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP 与BCP 的面积之比为（ ）
A ．2:1
B ．3:1
C ．3:2
D ．4:3
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知函数()cos()0,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
，
其图象相邻两条对称轴之间的距离为4
π，且直线12x π
=
是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为
2
π
B ．3182f π⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
C ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D ．点7,024π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 图象的一个对称中心 10．下列函数有两个零点的是（ ） A ．()e 1x
f x x =--B ．1
()|1|12
f x x x =+-
- C ．3
2
()331f x x x x =++-D ．()ln 2f x x x =-+
11．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄
金矩形12AB ABCD BC
⎛⎫
=
⎪⎝⎭中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形
CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；……；如此继续下去，这些弧就连接
成了斐波那契螺线．记弧,,BE EG GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（ ）
A ．l m n =+
B ．2m l n =⋅
C ．2m l n =+
D ．
111
m l n
=+ 12．设0.34log 0.5,log 0.5a b ==，则下列结论正确的是（ ） A ．0ab <B ．0a b +>C ．2(1)ab a +<D ．
22
116a b +> 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知正数a ，b 满足1ab =，则49a b +的最小值为______．
14．在ABC 中，90,3,2,C AC BC D ︒
∠===为BC 的中点，E ，F 都在线段AB 上，且AE EF
FB ==，
则DE CF ⋅=_______．
15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，P 是侧面11BCC B 内
一动点，HP =CP 的最小值为_______．
16．已知数列{}n a 满足{}1
112,(1)
,n n n n a a a n a ++=+-=的前n 项和为n S ，则61S =______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在①224,6n n a a S +-==，②353516,42a a S S +=+=，③222n n S a n =+三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，__________，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）
已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）当91,22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求函数()(3)y f x x =++的最值． 19．（12分）
在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，124AA AB ==，M ，N ，P 分别是11,,AD DD CC 的中点．
（1）证明：平面//MNC 平面1AD P ． （2）求直线DP 与平面MNC 所成角的正弦值． 20．（12分）
如图，在三棱锥A BCD -中，1
22
AB AD CD BC ===
=，E 为BC 的中点BD CD ⊥，且AE =．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ．
（2）求平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值． 21．（12分）
已知函数()|3|f x x a x =++，[1,2]x ∈，1
()42
1x
x g x a +=+⋅+，[1,2]x ∈．
（1）若3,()a f x -在[1,2]上的最大值与最小值之和为10，求a 的值；
（2）若对任意的1[1,2]x ∈，总存在2[1,2]x ∈，能使()()120f x g x +，求实数a 的取值范围． 22．（12分）
已知函数2
()e x
f x ax =-．
（1）设函数()()g x f x '=，讨论()g x 的单调性； （2）当(1,)x ∈+∞时，()2
e
f x >
恒成立，求a 的取值范围． 21届河北省高三年级11月份联合考试
数学参考答案
1．C 本题考查集合的运算，考查运算求解能力． 因为1{3},52A x x B x x ⎧⎫
==-
<<⎨⎬⎩
⎭
，所以{35}A B x x ⋂=<． 2．A 本题考查等比数列的性质，考查运算求解能力．
因为2
1329a a a ==，所以23a =．又3210a q +=，所以3210q q +=，解得2q =．
3．B 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．
因为1()1f x x =+
，所以211(),42f x f x '
'⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
．
4．A 本题考查常用逻辑用语的知识，考查推理论证能力． 因为1x 且1y 所以2
1x
且21y 1，所以2221x y +≥>；若22
1x y +，可取0,1x y ==-，不满足1
x 且1y ，所以前者是后者的充分不必要条件，选A ． 5．D 本题考查异面直线所成角的大小，考查空间想象能力．
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，PQ 在底面ABCD 的射影为AM ，可证DE ⊥平面AMPQ ，而
PQ ⊂平面AMPQ ，那么DE PQ ⊥，则异面直线,PQ DE 所成角的大小为90°．
6．C 本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．
因为
2sin 22sin 2sin cos (cos sin )2sin cos 1tan cos sin a αααααααααα++==++，所以12sin cos 3
αα=-， 且,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，又24(cos sin )12sin cos 3αααα-=-=
，所以cos sin αα-=
7．D 本题考查数学文化与空间几何体的表面积与体积，考查空间想象能力．
设内口宽为a 寸，则长为1.8a 寸，由2
2( 1.8) 1.833a a a ++=，整理得29281650a a +-=，解得3a =（55
9
a =-
舍去），故所求的容积为3(1.83)116.2⨯⨯⨯=立方寸． 8．A 本题考查平面向量的线性表示，考查运算求解能力． 由523AP PO OB OC =++化简得11
32
AP AB AC =
+，故
2E APC P C
S S =．
9．ACD 本题考查三角函数的性质，考查运算求解能力． 因为()f x 图象相邻两条对称轴之间的距离为
4
π，即()f x 的最小正周期为242π
π
⨯=，所以4ω=，即
()cos(4)f x x ϕ=+，A 正确；又直线12
x π
=
是其中一条对称轴，所以
,3
k k π
ϕπ+=∈Z ，即
,3
k k πϕπ=-∈Z ，由||2
πϕ<，得3
πϕ=-，所以()cos 43f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，从而
33cos 8
232f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以B 错误：由242,3k x k k ππππ--∈Z ，解得单调递增区间为,,26212k k k ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦
Z ，取0k =可知C 正确：由4,32x k k πππ-=-∈Z ，解得,424k x k ππ=-∈Z ，取1k =-可知D 正确．
10．BD 本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想．
对于选项A ，函数x
y e =与1y x =+的图象相切于点(0,1)，因此()1x
f x e x =--只有一个零点：对于选项B ，画出|1|y x =+和1
12
y x =
+的图象（图略）可知它们有两个交点；对于选项C ，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 在(,)-∞+∞上最多
只有一个零点；对于选项D ，因为1()x
f x x
'
-=
，易知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==，所以()f x 有两个零点．故答案为BD ． 11．AB 本题考查弧长的计算，考查运算求解能力．
不妨设1AB =
，则2BC =，所以121)4l π=
⨯⨯-=．因为3ED =
1(3
2(342m ππ-=
⨯⨯-=．同理可得14)24)42
n π
π=⨯⨯=．所以2111
,,2,
l m n m l n m l n m l n
=+=⋅≠+≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误． 12．ABD 本题考查指数、对数的运算及比较大小，考查推理论证能力． 易知0,0a b ><，所以A 正确：因为
0.50.50.511log 0.3log 4log 1.20a b +=+=<，即0a b
ab
+<，又0ab <，所以0a b +>，B 正确；又
0.5411log 0.31,log 0.52b a =>==-，所以1111
22
b a a +=->，从而
2(1)ab a +>，C 错误；又
()()22
60.50.52222
1110log 0.3log 44log log 263a b
+=+>>=，可知D 正确，综上，A ，B ，D 正确，C 错误．
13．12本题考查均值不等式的知识，考查运算求解能力．
4924912a b a b +⋅==．
14．
14
9
本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力．
如图，建立直角坐标系xOy ，则2414(0,1),2,,1,,2,,(1,)3333
D E F DE CF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝
⎭
，所以
414299
DE CF ⋅=-
=．
152本题考查立体几何的有关知识，考查空间想象能力．
如图，作1HG BB ⊥交1BB 于点G ，则11B G =．因为HP =2GP =，所以点P 的轨迹是以G
为圆心，2为半径的圆弧，所以CP 的最小值为22CG -=-．
16．962本题考查数列的有关知识，考查逻辑推理能力．
由题知，当n 为奇数时，1n n a a n ++=，于是1234561,3,5,a a a a a a +=+=+=，
所以606030
135599002
S ⨯=+++
+=
=．又因为当n 为偶数时，1n n a a n +-=，且11n n a a n -+=-，
所以两式相加可得1121n n a a n +-+=-，于是3123n n a a n +++=+两式相减得314n n a a +--=．所以
61215462a =+⨯=，故6190062962S =+=．
17解：选①
由24n n a a +-=，可知数列{}n a 的公差为2， 2分
又26S =，可得1126a a ++=，得12a =， 4分 所以2n a n =，2n S n n =+． 6分 可知
211111(1)1
n S n n n n n n ===-+++， 8分 数列1n S ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和为111
111
1122311
n n n -+-++
-=-++． 10分 选②
设数列{}n a 的公差为d ，则由353516,42a a S S +=+=，得112616,
81342,
a d a d +=⎧⎨
+=⎩ 2分
解得12,
2,
a d =⎧⎨
=⎩ 4分
所以2n a n =，2n S n n =+， 6分 可知
211111(1)1
n S n n n n n n ===-+++， 8分 数列1n S ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和为111
111
1122311
n n n -+-++
-=-++． 10分 选③
当1n =时，12a =， 2分
当2n =时，2228S a =+，解得2d =， 4分 所以22,n n a n S n n ==+， 6分 可知
211111
(1)1
n S n n n n n n ===-+++， 8分
数列1n S ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前n 项和为111
111
1122311
n n n -+-++
-=-++． 10分 评分细则：
（1）不管补充的条件是哪个，只要算出22,n n a n S n n ==+这一步都得6分；写出111
1
n S n n =-+累计得8分，直到算出最后的正确答案得10分． （2）其他解法根据评分标准依步骤给分． 18．解：（1）由图可知，3,
34T A ==，所以26
T ππω==， 2分 所以()3sin 6f x x πϕ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
． 因为332f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，所以32,622k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，则2,4k k πϕπ=+∈Z ． 4分 因为0ϕπ<<，所以4
π
ϕ=
． 5分
故()3sin 6
4f x x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭． 6分
（2）函数()(3)3sin (3)646
4y f x x x x πππ
π⎛⎫⎡⎤=++=++++
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
7
3sin 6sin 64646
12x x x πππππ
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 9分
因为91,22x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦，所以72,61263x ππππ⎡⎤
+∈-⎢⎥⎣⎦
． 10分
所以当
76
122x π
ππ+
=，即1
2
x =-时，y 取最大值6； 当
76
126x π
ππ+
=-，即9
2
x =-时，y 取最小值3-． 12分 评分细则：
（）第一问中，写出6
π
ω=
得2分，写出2,4
k k π
ϕπ=
+∈Z ，累计得4分，求出4
π
ϕ=
，累计得5分，
正确写出函数的解析式累计得6分；
（2）第二问中，写出76sin 612y x ππ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，累计得9分，写出72,61263x ππππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
，累计得10分，最后正确求出结果得满分；
（3）其他情况根据评分标准酌情给分．
19．（1）证明：因为M ，N ，P 分别是11,,AD DD CC 的中点，
所以11//,//MN AD CN PD ． 1分
又1AD ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，
所以1//AD 平面 MNC ， 3分
同理1//PD 平面MNC ， 4分
又111AD PD D ⋂=，
所以平面//MNC 平面1AD P ． 5分
（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，
(0,2,2)P ，(1,0,0)M ，(0,0,2)N ，(0,2,0)C ，
(0,2,2),(1,0,2),(1,2,0)DP MN MC ==-=-． 6分
设平面 MNC 的法向量为(,,)n x y z =，
则20,20,
MN n x z MC n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 8分 令1z =，得(2,1,1)n =． 9分
设直线DP 与平面MNC 所成角为θ，
则||3sin |cos ,|3
||||DP n DP n DP n θ⋅===， 11分
所以直线DP 与平面MNC 所成角的正弦值为
3， 12分 评分细则：
（1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分；
（2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，得1分，计算出平面的法向量得3分，整个题解答完全正确得满分；
（3）若用传统做法，作出直线与平面所成的角得1分，简单证明得2分，整个题解答完全正确得满分．
20．（1）证明：取BD 的中点为O ，连接OA ，OE ，
因为,4,2BD CD BC CD ⊥==，
所以BD OB ==
1分 又2AB AD ==，所以BD AO ⊥，且1AO =． 2分
在AOE 中，11,2EO CD AE =
== 所以222AO OE AE +=，即OE AO ⊥，从而CD AO ⊥， 3分
又,CD BD BD AO O ⊥⋂=，所以CD ⊥平面ABD ． 4分 因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ． 5分
（2）解：由（1）知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB ，OE ，OA 的方向为x ，y ，z 轴正方
向建立空间直角坐标系O xyz -，则B ，(C ，(D ，(0,0,1)A ，
(1)AC =--，(BC =-． 6分
设(,,)m x y z =是平面ABC
的法向量，可得20,20,
y z y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =
，得(1,3,m =． 8分
设()111,,n x y z =是平面ACD 的法向量，因为(0,2,0),(3,2,1)DC AC ==-
-，
则111120,20,
y y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩令
11x =，得(1,0,n =．10分 设平面ABC 与平面ACD 所成的锐二面角为θ
，则1cos |cos ,|7m m
θ=〈〉==ABC 与平面ACD ． 12分 评分细则： （1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分；
（2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得1分，计算出相关向量坐标，得1分，计算出平面的法向量各得2分，整个题完全正确得满分； （3）若用传统做法，作出二面角的平面角得1分，简单证明得2分，整个题解答完全正确得满分．
21．解：（1）因为3a -，33x ，
所以30x a +≥．从而()4f x x a =+． 2分
由于()f x 在[1,2]上是增函数，所以(1)(2)10f f +=，
即4810a a +++=，解得1a =-， 4分
（2）由题知min max ()()0f x g x +． 5分
易知()|3|f x x a x =++在,3a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． 6分 令2x t =，则当[1,2]x ∈时，[2,4]t ∈，且1242
121x x y a t at +=+⋅+=++． 7分 若记2()21h t t at =++，[2,4]t ∈，则max max ()()h t g x =，且知函数()h t 的开口向上，对称轴是
t a =-． 8分
①当3a -，即3a ≥-时，min ()(1)|3|14f x f a a ==++=+,max ()(2)178g x g a ==+,
所以41789210a a a +++=+，解得73a -，又因为3a -，所以73
a -； 9分
②当6a -≥，即6a -时，min ()(2)|6|24f x f a a ==++=--，max ()(1)54g x g a ==+， 所以454310a a a --++=+，解得13
a -，又因为6a -，所以此时a 无解； 10分 ③当36a <-<，即63a -<<-时，min ()33a a f x f ⎛⎫=-
=- ⎪⎝⎭，max ()(1)54g x g a ==+， 所以11545033a a a -++=+≥，解得1511
a -，又因为63a -<<-，所以此时a 无解． 11分 综上所述，实数a 的取值范围是7,3⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭． 12分 评分细则：
（1）第一问中，会去掉绝对值得到()4f x x a =+给2分，全部正确的得4分；
（2）第二问中，写到min max ()()0f x g x +这一步累计得5分，会判断()f x 的单调性，累计得6分，通过换元法写出；221y t at =++，累计得7分，第一次分类讨论正确写出73
a -，累计得9分，第二次分类讨论判断a 无解，累计得10分，第三次分类讨论判断a 无解．累计得11分，正确写出a 的取值范围得满分； （3）其他情况根据评分标准依步骤给分．
22．解：（1）由已知得2()()2g x f x e ax '==-，所以2
()2g x e a '=-． 1分
①当0a 时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增． 2分
②当0a >时，令()0g x '>，则ln2x a >；令()0g x '<，则ln2x a <．
所以()g x 在(,ln 2)a -∞上单调递减，在(ln 2,)a +∞上单调递增．
综上所述，当0a 时，()g x 在R 上单调递增；
当0a >时，()g x 在(,ln 2)a -∞上单调递减，在(ln 2,)a +∞上单调递增． 4分 （2）()22,(1,)2x x
e f x e ax x a x x '⎛⎫=-=-∈+∞ ⎪⎝⎭．
令()0f x '
=，得2x
e a x =． 5分
设()2x e h x x =，则2
(1)()2x x e h x x '-=． 6分 当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()h x 的值域是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
． 7分 当2e a 时，()0f x '=没有实根，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)2e f x f e a
>=-，符合题意． 9分 当2e a >时，(1)2
e h a =<， 所以()h x a =有唯一实根()001x x >，即()0
f x '=有唯一实根0x ， 10分
当()01,x x ∈时，()0,()f x f x '<在()01,x 上单调递减，
所以()(1)2
e f x f e a <=-<，不符合题意． 11分 综上所述，2e a
，即a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦． 12分 评分细则： （1）第一问中，求出()2x
g x e a '=-得1分，正确讨论0a 的情形得1分，正确讨论0a >的情形累计得4分： （2）第二问中，只要得到2(1)()2x x e h x x '-=，得2分，求出()h x 的值域是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，得1分，讨论2e a 的情形．累计得9分，讨论2
e a >的情形，累计得11分．正确解完本题得满分； （3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．。