反函数及其应用

反函数及其应用

教学目标:了解原函数与反函数的相互关系及性质的应用。 教学重点:互为反函数的性质的应用。 教学过程:

一、 复习

反函数的定义及求函数反函数的方法？

对函数)(x f y =,B y A x ∈∈,,从)(x f y =中解出x ,设为)(y x ϕ=,若对于

B (值域)中任意一个元素y ,在A 中都有唯一的x 值与它对应,则称函数)(y x ϕ=是函数)(x f y =的反函数,记作)(1

x f

y -=.

由定义可知:从定义域到值域的一一映射函数,或定义域上的单调函数,才有反函数.

求反函数的方法:定义法即一求值域,二解(求出x ),三互换)(y x ↔.

二、 范例分析

例1:(1)函数122-+=x x y ,]2,[--∈A x 的反函数为]7,1[,12-∈-+-=x x y ;

(2)若函数)(x f y =的反函数为)(1

x f y -=,则1)12(+-=x f y 的反函数的解

析式为2

1)1(211+-=

-x f y . 例2: (1)已知2

11)(x

x f -=

)1(-

-=--f ; (2)若)(x f 的图像过点)0,2(,则)12(1

+-x f 的图像必经过点)2,2

1

(-;

(3)已知x x

x f +-=

121)(,函数)(x g 的图像与函数)1(1

+=-x f y 的图像关于直线

x y =对称,则2

5)5(-

=g . 分析:(3)由)1(1

+=-x f

y 得)(1y f x =+⇒1)(-=y f x .所以)1(1

+=-x f

y 的

反函数为1)(-=x f y ,故1)()(-=x f x g ,所以2

5

1)5()5(-=-=f g .

例3:(1)已知函数)(x f y =的反函数为)(1

x f

y -=,若方程02)(=-+x x f 与

02)(1

=-+-x x f

的根分别为α,β.则2=+βα.

(2)已知)1(2

1)(2

++=

x x x f )0(≥x 的反函数为)(1x f -.则不等式3)1(1

>+-x f

的解集为),2

9

(+∞.

分析:

(2)易知)(x f 是),0[+∞的增函数,∴)(1x f -在它的定义域)21

[∞+，也是增函数,

由29)

3(1211)3()]([3)1(11>⇒⎪⎩⎪

⎨⎧≥+≥+⇒>⇒>+--x f x x f x f f x f .

例4:已知函数2+=mx y 与3+=nx y 的图像关于直线x y =对称,求m ,n 的值.

分析:可从多方面分析得出多种解法.(2

3

,32-=-=n m ).

法一:由2+=mx y 解其反函数为m x m y 21-=,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

-

=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=233

2321n m m

n m ; 法二:易知)0,2(在3+=nx y 图像上,)0,3(在2+=mx y 图像上

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

-

=-

=⇒⎩⎨⎧=+=+∴2332032023n m n m ; 法三:令2)(+=mx x f ,则3)(1+=-nx x f .由x x f f =-)]([1解为

x nx m =++2)3(即x m mnx =++23恒成立,⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

-

=-=⇒⎩⎨

⎧=+=∴23320231n m m mn ; 法四:设点),(00y x 是2+=mx y 图像上任意一点,则点),(00x y 在3+=nx y 的

图像上⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

-

=-=⇒⎩⎨⎧=+=-∴233202301n m m mn .

练习与作业:

1、函数2)(2+-=tx x x f 在]2,1[上有反函数,求t 得取值范围.

2、求下列函数的反函数;

(1)1+=x e y )(R x ∈;(2)]1,(),32(log 22-∞∈+-=x x x y .

3、已知k a x f x -=)(的图像过点)3,1(,其反函数图像过点)0,2(,求)(x f 的解析式.

4、设函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=,且)12(-=x f y 的图像过点)1,2

1

(,

则)(1x f y -=的图像经过点.