刚体习题

15. 长为 l 的均匀细杆，绕过其一端 O 并与杆垂 直的水平轴转动。设杆从水平位置由静止释放， 求当杆与水平线成 角时，杆的角速度。设转 轴光滑。
[解]解法一：应用刚体定轴转动的动能定理
以杆为研究对象，它受到重力 mg 和转轴的 作用力 N 。 由于转轴光滑，N不作功，所以只有 mg 作功。 当杆从水平位置落至题设的位置时，重力作功为
M (2m1m2 m2 ) g 2 T2 M m1 m2 2
m1 m2 若滑轮质量 m 0, T1 T2 , a g m1 m2
本题有利于理解“理想滑轮”的条件。
2. 一质量为m，长为l 的刚体棒悬挂于通过O点的 水平轴，若棒在铅直位置时用一水平力F作用于 距O为lˊ处。计算O轴对棒上端的作用力。
9、 一质量为m，半径为R的均匀圆盘放在粗糙 的水平桌面上，圆盘与桌面的摩擦系数为 ，圆 盘可绕过中心且垂直于盘面的轴转动，求转动 过程中，作用于圆盘上的摩擦力矩，以初角速 度ω0开始，旋转多长时间停止。
10、一转动惯量为I的圆盘绕一固定轴转动，起初 角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正 比，即M= －kω(k为正的常数)，求圆盘的角速度 从ω0变为0.5 ω0时所需的时间及在这一段时间内飞 轮转过的圈数。 11、三个完全相同的轮子可绕一公共轴转动，角 速度的大小都相等，但其中一轮的转动方向与另 外两个相反，如果使三个轮子靠近啮合在一起， 系统的动能与原来三个轮子的总动能相比，应该 B ________________ 。 （A）减少到1/3 （B）减少到1/9 （ C） 增大3倍； （D）增大9倍；（E）无法判断，
Ny
O
O
M i外z I z
Nx
i
1 2 Fl ml 3
lˊ
l
lˊ
C
Fi外 mac
i
mg
F F
l F N x macx mac m 2
N y mg macy macn m 2 l 0 2
l
3l N x F ( 1) 2l
r r
Lz = I z w
Ek = 1 I z w2 2 E p = mghc
A=
ò
q
q0
M z dq
P = Mzw
M 外z = I z b
A外 = E k - E k 0 d Lz M 外z = dt t ò M 外z dt = Lz - Lz 0
t0
1 mv2 2 E p = mgh r r b A = ò F dr a(L ) r r P r= F v Ek =
r r P = mv
r dv a = dt
A外 + A内 = E k - E k 0 r r dP F外 = d tr r t r ò F外dt = P - P0
t0
r F合 = m a
5. 长为 l 的均匀细杆，绕过其一端 O 并与杆垂直 的水平轴转动，设转轴光滑。设杆从水平位置 由静止释放，求： （1）水平位置处，杆的角速度和角加速度； （2）当杆与水平线成θ角时，杆的角速度和角 加速度。
7、质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两 个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘 心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴 的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳 子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所 示．求盘的角加速度的大小。
2r m 2m m r
m
8、一根质量为m、长为l 的均匀细杆，可在水 平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已 知细杆与桌面的滑动摩擦系数为 ，则杆转动 时受的摩擦力矩的大小为________________。
[解] 以圆盘和人组成的系统为研究对象, 以地面为参考系, 设人相对于圆盘的速度为vr ,圆盘绕固定铅直轴的角速度为ω , 系统受到的对铅直轴的外力矩为0, 系统对该轴的角动量守恒
rm (vr + wr ) +
t0
1 MR 2 w = 0 2
?
w
-
mrvr 1 mr 2 + MR 2 2
t0 mr q = 蝌 wdt = vr dt 1 0 0 2 2 mr + MR 2 mr 2p mr 2 = ?2p r 1 1 mr 2 + MR 2 mr 2 + MR 2 2 2
12、已知滑轮的半径为r，转动惯量为I，弹簧的 倔强系数k，问质量为m的物体落下h时的速率 =_______。（设开始时物体静止且弹簧无伸长。）
沿z 13、一刚体以每分钟60转绕 z轴做匀速转动( 轴正方向)。设某时刻刚体上一点P的位置矢量为
r 3 i 4 j 5 k
N y mg
3. 质量为M，长度为l 的均匀杆可绕水平轴O在 铅直面内自由转动。一质量为m 的小球以水平速 度v与杆的下端垂直相碰，碰后以vˊ反向运动。 因碰撞时间很短，杆可视为一直保持在竖直位置， 求碰撞后杆的角速度。 O [解] 以杆和小球组成的系统为研究对象,
以地面为参考系, 系统受到的对O轴的外力矩为0,系统 对该轴的角动量守恒
刚体定轴转动
角坐标 角速度 角加速度 角动量 转动动能 重力势能 力矩的功 功率 转动定律 动能定理 角动量定理
质点运动
r r dr v = dt r
dq w= dt
q
b =
dw dt
r vr= rw r r r vi = w ? ri w Ri v2 2 an = w r = r a = rb
t
N
O

mg
mg
6. 长为l 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为 Ml 2/3，开 始时杆竖直下垂，如图所示，有一质量为m的子 弹以水平速度v0射入杆上A点，并嵌在杆中， OA=2l /3，求： （1）子弹射入后瞬间，杆的角速度ω为多少? （2）杆上摆的最大角度为多少?
T2 m2 g
M T1 T
m1
1
a
m1 g
对定滑轮
1 rT1 rT2 Mr 2 2 且有 a r
(m1 m2 ) g 可得 M (m1 m2 )r 2
M (2m1m2 m1 ) g 2 T1 M m1 m2 2
(m1 m2 ) g a M m1 m2 2
E0 0
至杆与水平线夹角为 时
1 2 l E I mg sin 2 2
1 2 l I mg sin 0 2 2
所以
3g sin l
解法三：应用转动定理

iz
Iz z
m gl 1 2 1 2 d d 1 2 d cos m l m l ml 2 3 3 d dt 3 d 3 g 0 d 0 2 l cosd 1 2 3g sin 2 2 l 3g sin l
2
a
x
由垂直轴定理可得
1 J z J x J y m( a 2 b 2 ) 12
b
l A mg sin 2
在此期间，杆的动能的增量
1 2 Ek Ek 0 I 0 2
N

O
Байду номын сангаас
mg
由动能定理
1 2 mg I l sin 2 2
mg
1 2 将I ml 代入, 得 3
3g sin l
解法二：应用刚体定轴转动的机械能守恒定律 以杆和地球为一系统。 由于轴光滑，则作用于杆的外力N不作功，而地 球和杆的相互作用力为保守内力，所以杆的机械能守 恒。选择水平位置为杆的势能零点，开始时
16. 质量为m 的矩形均匀薄板,长为a 宽为b ,求它 对通过板的几何中心并与板面垂直的z 轴的转动 惯量。
y
a
z b
x
y
解：薄板位于xOy面内。
x
a z b y
Jx Jy
a 2 a 2
m 1 2 y bdy ma ab 12
2
同理:
b 2 b 2
m 1 x adx mb2 ab 12
1. 一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的定滑 轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物体， 假设绳不能伸长，并忽略轮轴的摩擦，绳与滑轮 无相对滑动。求定滑轮转动的角加速度和绳的张 力。
M
m2
m1

T2
a
m2
解：分别对物体和滑轮进行 受力分析，如图 对 m1 对 m2
m1 g T1 m1a T2 m2 g m2a
1 2 lmv = - lmv ¢+ Ml w 3 3m (v + v ¢ ) ? w Ml
l m v vˊ

4. 一均匀圆盘，质量为M，半径为R，可绕铅直 轴自由转动，开始处于静止状态。一个质量为m 的人，在圆盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对 于圆盘匀速走动。求当人在圆盘上走完一周回到 盘上原位置时，圆盘相对于地面转过的角度。
，则该时刻P点的 v =_________。
14.一个物体可否具有角动量而无动量（为0）？ 可 ____________ （填可、否）； 一个物体可否具有动量而无角动量（为0）？ 可 ____________ （填可、否）； 一个物体可否具有动量而无机械能（为0）？ 可 ____________ （填可、否）； 一个物体可否具有机械能而无动量（为0）？ ____________ （填可、否）。 可