第三章流体运动学
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➢ 控制体：由空间点组成。
拉格朗日简介
法国数学家、物理学家。1736年1月25 日生于意大利西北部的都灵，1813年4月 10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵 学校当数学教授。
1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日 发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中 应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去 柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成 了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力 学体系。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 rrrr
速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
二、 流线与迹线
（一）流线 1.定义：表示某瞬时流动方向的曲线，曲线上各质点的流速 方向均与该曲线相切 。
属欧拉法的研究内容
强调的是空间连续质点而不是某单个质点 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线
2、流线的几个性质：
通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线 不能相交和分支。
u y t
uy x
dx uy dt y
dy dt
uy z
dz dt
az
duz dt
uz t
uz x
dx uz dt y
dy dt
uz z
dz dt
或
ax
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
拉格朗日观点是重要的
流体力学最常用的解析方法
§3-2流场的基本概念
一、 恒定流与非恒定流
恒定流 ：流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化 ， 即
x, y, z
0
t
非恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变
化 ，即
x, y, z,t
0 t
恒定流
非恒定流
对于恒定流， 只存在迁移加 速度
× 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用
Euler法的优越性：
1.利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
2.采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容 易。
ax(a,b, c,t)
2 x(a,b, c,t) t 2
ay
a y (a,b, c,t)
2 y(a,b, c,t) t 2
2z(a,b, c,t)
az az (a,b, c,t)
t 2
2.Euler法（欧拉法）
基本思想：
布哨法
✓考察空间每一点上的物理量及其变化。
✓空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
二、研究流体运动的两种方法
1.Lagrange法（拉格朗日法）
跟踪法
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运 动过程中的各物理量及其变化规律。
初始时刻的位置坐标 (a, b, c) 区分不同流体质点
任意时刻的运动坐标 (x, y, z)
a，b，c为Lagrange变量， 不是空间坐标函数，是流体 质点的标号。
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点加速度：
a
dV
V
(V )V
dt t
当地加速度
迁移加速度
第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的，称为当地加速度。
第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间 点的变化而产生的，称为迁移加速度。
Lagrange法优缺点
√ 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程
独立变量：
空间点坐标 (x, y,，z) 时间(t)的函数，也
表示流体质点的位移。
(x, y, z,t)
运动要素表示为：
u u(x, y, z,t) p p( x, y, z, t)
加速度
ax
d百度文库x dt
u x t
ux x
dx ux dt y
dy ux dt z
dz dt
ay
duy dt
3.在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原 因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。
两种方法的比较
Lagrange法
分别描述有限质点的轨迹
表达式复杂
Euler法
同时描述所有质点的瞬时参数
表达式简单
不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布
不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
§3-1研究流体运动的方法
一、基本概念
➢ 流 场：充满运动流体的空间
➢ 流体质点：由无数流体分子所组成的质量微团，有 大小和形状且随时间不断改变。 ➢ 空间点：是几何位置点，无大小和形状，不随时 间改变。 ➢ 系统：无数个流体微团的集合。
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
拉格朗日简介
法国数学家、物理学家。1736年1月25 日生于意大利西北部的都灵，1813年4月 10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵 学校当数学教授。
1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日 发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中 应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去 柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成 了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力 学体系。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 rrrr
速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
二、 流线与迹线
（一）流线 1.定义：表示某瞬时流动方向的曲线，曲线上各质点的流速 方向均与该曲线相切 。
属欧拉法的研究内容
强调的是空间连续质点而不是某单个质点 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线
2、流线的几个性质：
通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线 不能相交和分支。
u y t
uy x
dx uy dt y
dy dt
uy z
dz dt
az
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拉格朗日观点是重要的
流体力学最常用的解析方法
§3-2流场的基本概念
一、 恒定流与非恒定流
恒定流 ：流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化 ， 即
x, y, z
0
t
非恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变
化 ，即
x, y, z,t
0 t
恒定流
非恒定流
对于恒定流， 只存在迁移加 速度
× 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用
Euler法的优越性：
1.利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
2.采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容 易。
ax(a,b, c,t)
2 x(a,b, c,t) t 2
ay
a y (a,b, c,t)
2 y(a,b, c,t) t 2
2z(a,b, c,t)
az az (a,b, c,t)
t 2
2.Euler法（欧拉法）
基本思想：
布哨法
✓考察空间每一点上的物理量及其变化。
✓空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
二、研究流体运动的两种方法
1.Lagrange法（拉格朗日法）
跟踪法
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运 动过程中的各物理量及其变化规律。
初始时刻的位置坐标 (a, b, c) 区分不同流体质点
任意时刻的运动坐标 (x, y, z)
a，b，c为Lagrange变量， 不是空间坐标函数，是流体 质点的标号。
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点加速度：
a
dV
V
(V )V
dt t
当地加速度
迁移加速度
第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的，称为当地加速度。
第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间 点的变化而产生的，称为迁移加速度。
Lagrange法优缺点
√ 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程
独立变量：
空间点坐标 (x, y,，z) 时间(t)的函数，也
表示流体质点的位移。
(x, y, z,t)
运动要素表示为：
u u(x, y, z,t) p p( x, y, z, t)
加速度
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3.在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原 因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。
两种方法的比较
Lagrange法
分别描述有限质点的轨迹
表达式复杂
Euler法
同时描述所有质点的瞬时参数
表达式简单
不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布
不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
§3-1研究流体运动的方法
一、基本概念
➢ 流 场：充满运动流体的空间
➢ 流体质点：由无数流体分子所组成的质量微团，有 大小和形状且随时间不断改变。 ➢ 空间点：是几何位置点，无大小和形状，不随时 间改变。 ➢ 系统：无数个流体微团的集合。
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。