函数的应用

函数的应用（新教材）

基础知识

知识点1 一次函数模型

形如y ＝kx ＋b 的函数为__一次函数模型__，其中k ≠0. 知识点2 二次函数模型

(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 2

4a (a ≠0)．

(3)两点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 知识点3 幂函数型模型

(1)解析式：y ＝ax α＋b (a ，b ，α为常数，a ≠0，α≠1)． (2)单调性：其增长情况由x α中的α的取值而定．

基础自测

1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m (单位：件)与每件的销售价x (单位：元)满足m ＝120－2x .若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为( B )

A ．30元

B ．45元

C ．54元

D ．越高越好

[解析] 设日销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(120－2x )，30≤x ≤60， 将上式配方得y ＝－2(x －45)2＋450， 所以当x ＝45时，日销售利润最大．

2．A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地．

(1)试把汽车与A 地的距离y (单位：千米)表示为时间x (单位：小时)的函数； (2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A 地100千米时x 的值．

[解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

60x ，x ∈[0，5

2

]，

150，x ∈(52，7

2]，

150－50(x －72)，x ∈(72，132

].

(2)当y ＝100时，60x ＝100或150－50(x －72)＝100，解得x ＝53或x ＝92.即当x ＝53或x ＝9

2

时汽

车距离A地100千米．

关键能力·攻重难

题型探究

题型一一次函数模型

例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？

[分析]设每天从报社买进报纸的数量为x份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x－250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x－250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域．

[解析]设每天应从报社买进x份报纸，由题意知250≤x≤400，设每月所获得的利润为y 元，根据题意得：

y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，y max＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元．[归纳提升]建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．

【对点练习】❶一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是(D)

A．y＝2t B．y＝120t

C．y＝2t(t≥0)D．y＝120t(t≥0)

[解析]因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y＝120t(t≥0)．

题型二二次函数模型

例2 A，B两城相距100 km，拟在两城之间距A城x km处建一发电站给A，B两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A城供电20亿度，每月向B城供电

10亿度．

(1)求x 的取值范围；

(2)把月供电总费用y 表示成关于x 的函数；

(3)发电站建在距A 城多远处，能使供电总费用y 最少？

[分析] 根据发电站与城市的距离不得少于10 km 确定x 的取值范围，然后根据正比例关系确定y 关于x 的函数解析式，最后利用配方法求得最小值． [解析] (1)x 的取值范围为{x |10≤x ≤90}．

(2)y ＝0.25×x 2×20＋0.25×(100－x )2×10＝5x 2＋5

2

(100－x )2(10≤x ≤90)．

(3)由于y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003，则当x ＝100

3时，y

取得最小值，y min ＝

50 000

3

. 故发电站建在距A 城100

3km 处，能使供电总费用y 最小．

[归纳提升] 二次函数模型的应用

根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．

【对点练习】❷ (2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：R (x )＝5x －1

2x 2(0≤x ≤5)，其中x 是年产量(单位：百

台)．

(1)将利润表示为关于年产量的函数； (2)年产量是多少时，企业所得利润最大？

[解析] (1)依题意得，利润函数G (x )＝(5x －12x 2)－(0.5＋0.25x )＝－1

2x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)．

(2)利润函数G (x )＝－1

2x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)，当x ＝4.75时，G (x )有最大值．故当年产量

为4.75百台时，企业所得利润最大． 题型三 幂函数模型

例3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． (1)分别写出两类产品的收益与投资额x 的函数关系式；