正态分布及其应用(1)

实际分布
人数
百分数(％)
87
72.50
114
95.00
118
98.33
理论分布(%)
68.27 95.00 99.00
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四、正态分布的应用
医疗卫生领域中有很多的指标是服从或近 似服从正态分布。
如：同性别同年龄正常儿童的身高、体重， 同性别健康成人的红细胞数以及实验中的 随机误差等一般都服从正态分布。
较。
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Байду номын сангаас16
① 计算u=（132.0-143.05）/5.82= -1.90 查表得，( u)= ( -1.90)=0.0287
②
X us
X ±1.00s
X ±1.96s X ±2.58s
身高范围(cm)
137.23～148.87 131.64～154.46 128.03～158.07
例、某市120名12岁男童身高的例子中已求得均
数为 143.05cm，标准差s=5.82cm。设该资料服
从正态分布，试求① 该地12岁男童身高在132cm
以下者占该地12岁男童总数的比例，② 分别求
X ±1s、X ±1.96s和 X ±2.58s范围内12岁男童占
该组儿童总数的实际百分数，并与理论百分数比
4
正态分布图形： 对称的钟型（在均数处最高） 两侧逐渐下降 两端在无穷远处与横轴无限接近。
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二、正态分布的特征
f
=1 =1.5 =2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
不同标准差 的正态分布示意
一般情况下，我们用N(,2)表示均数为，方差
为2的正态分布。 可编辑ppt
标准化变换公式： u X
正态分布的概率密度函数方程就简化为标 准正态分布的概率密度函数方程：
(u)
1
2
eu2
2
，(-∞＜
u
＜+∞)
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对其定积分：
(u) 1
u
eu2 2du
2
式中 (u)为标准正态变量u的累计分布函数， 反映了横轴自-∞到u的正态曲线下面积，也 就是下侧累计面积(概率)。
有一些指标不服从正态分布，但经过变量 变换后，能近似服从正态分布。
如：对数正态分布
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（一）估计频率分布
例、若由某项研究得某地婴儿出生体重为 3100g，标准差为300g，试估计该地区当年出 生低体重儿（出生体重≤2500g）所占比例。
利用正态分布的对称性，求(1.60)=1-(-1.60) 则（-∞，1.60）范围内面积为10.0548=0.9452。
（-1.20，1.60）范围内的面积
D=0.9452-0.1151=0.8301。
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注意点二
对于非标准正态分布，求曲线下任意（X1， X2）范围内的面积，可先作标准化变换， 再借助标准正态分布表求得。
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特征一 正态分布是一单峰分布，高峰位置
在均数X= 处。
特征二 正态分布以均数为中心，左右完全 对称。
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特征三 正态分布取决于两个参数，即均数
和标准差。
为位置参数， 变大，则曲线沿横轴 向右移动； 变小，曲线沿横轴向左移动。
为形态参数，表示数据的离散程度， 若小，则曲线形态“瘦高”；大，则曲
引入标准化变换后，对于其他任何正态分
布 N ( , 2 ) 都可以借助标准正态分布表估计
任意（X1，X2）范围内的频数比例。
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例、已知u1=-1.76，u2=-0.25，求标准正态曲 线下（-1.76，-0.25）范围内的面积。
查附表1，得（-∞，-1.76）范围内的面积为 0.0392，（-∞，-0.25）范围内的面积为 0.4013，则（-1.76，-0.25）范围内的面积 D=0.4013-0.0392=0.3621。
线形态“矮胖” 。
特征四 有些指标不服从正态分布，但通过
适当变换后服从正态分布，如对数正态分
布。
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特征五 正态分布曲线下的面积分布是有规律 的。
用F(X)代表横轴自-∞到X间曲线下面积，即
下侧累计面积(概率)。
X
FX
1
X2
e 22 dX
2
曲线下（X1，X2）两个数值之间的面积则可
第五节 正态分布及其应用
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1
正态分布
重要的概率分布，统计分析方法的基础。 医学研究中的多数观察指标服从或近似服
从正态分布； 很多统计方法建立在正态分布的基础之上； 很多其他分布的极限为正态分布。
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2
一、正态分布的概念和图形
（a）
（b）
（c）
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（d）
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正态分布的概率密度函数为：
③曲线下面积常用规律：
在区间（ -， +）内的曲线下面积为68.27%； 在区间（ -1.64， +1.64）内的面积为89.90%， 在区间（ -1.96， +1.96）内的面积为95.00%； 在区间（ -2.58， +2.58）内的面积为99.00%。
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三、标准正态分布
将正态分布变量作标准化变换，就得到均 数为0，标准差为1的标准正态分布 （standard normal distribution）
以用 F X2 与 F X1 的差值求得 ：
DFX2
FX1
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X2 X1
1
X2
e22 dX
2
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无论，取什么值，正态分布密度曲线下
的面积分布有以下几个规律：
①正态密度函数曲线与横轴间的面积恒等于1 或100%；
②正态分布是对称分布。其对称轴为直线X=， X>与X<范围内曲线下面积相等，各占50%；
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注意点一
附表1中只列出了曲线下从-∞到0范围内的 面积
对于u>0的范围面积，利用正态分布的对称 性，通过(u) =1-(-u)来求曲线下的面积。
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例、已知u1= -1.20，u2=1.60，求标准正态曲线 下（-1.20，1.60）范围内的面积。
查附表1，得（-∞，-1.20）范围内的面积为 0.1151，（-∞，-1.60）范围内的面积为0.0548，
f (X)
1
(X)2
e 22 , (-∞＜ X ＜+∞)
2
式中，有4个常数， 为总体均数， 为总体
标准差，π为圆周率，e为自然对数的底，其
中，为不确定的常数，π，e为固定常数，
仅X为变量，代表图形上横轴的数值，f(X)为
纵轴数值。当给定和，就可绘制出一条正态
分布曲线。正态分布曲线是一簇曲线。
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