运筹学 八章 图与网络分析

2、顶点的次
次：图中的点V，以V为端点的边的个数，称为V的次， 记为d(V)。
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍， 即设边数为q ，则Σd(vi)=2q ，其中viV
奇点：次为奇数的点。否则称为偶点。
任一图中，奇点的个数为偶数。
一笔划： 可以一笔划：没有或仅有两个奇次点的图形 如没有奇次点：任取一点，它既是起点又是终点。 两个奇次点：分别选为起点和终点。
w(T)=Σwij
(vi,vj)∈T
如果支撑树T*的权w(T*)是G的所有支撑树的权中最小者，则称T*是G的 最小生成树（最小支撑树，简称最小树） w(T*)=min w(T)
2）求最小树的方法： 方法一(避圈法) 开始选一条最小权的边，以后每一步中，总从未被 选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取的边不构成圈。 方法二(破圈法) 任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边。在余下 的图中，重复这个步骤，一直到一个不含圈的图为止，这时的图便是 最小树。 例 用破圈法求下图的最小树
V7 6 4 V8 2 V9 4
6
V4 4 2 V5 3 V2
2
V6 4 V3
4
V1
一、最短路算法
1、情况一： wij≥0(Dijkstra算法) 原理：Bellman最优性定理 方法：图上作业法（标号法）；双标号法（表的形式） 标号：对于点V,若已求出V1到Vi的最短值，标号（αi,βi) αi ：表示V1到Vi的最短路值 βi:表示最短路中最后经过的点
习题
• P8.10 • P8.11
8.4 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧 上的容量，问：该网络的最大流量是多少？ v1 3 1 v3
21 (0，Vs) v1 31
22
44 45
89
62 24 47 v3 (31, V1) 34 32 v5 (62,V1)
v6
这样，可建立本例的网络模型。于是，该问题就 可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。
用Dijkstra标号法，求得最短路为 v 1 v 3 v 6 即第一年初购置的设备使用到第三年初予以更新， 然后一直使用到第五年末。这样五年的总费用最 少，为78。
3、生成树：设图T=(V,E’) 是图G（V，E）的子图，如果图T=(V, E’) 是一个树，则称T是G的一个支撑树。 4、寻找生成树的方法 1）破圈法：在图中任取一个圈，从圈中去掉任一边，对余下的图重复 上述操作，即可得到一个支撑树。 2）避圈法：每一步选取与已选的边构不成圈的边，直到不能继续为止。 （深探法＋广探法－阅读内容） 5、最小生成树 1）最小支撑树：如果T=(V,E’) 是G的一个支撑树，称E’中所有边的权 之和为支撑树T的权，记为w(T)，即
习题：
• P8.7 • P8.8 • P8.9
引例：
8.3 最短路问题
如下图中V1：油田，V9：原油加工厂
求使从V1到V9总铺路设管道最短方案。
用图论来解释最短路问 题：在一个赋权有向图 D（V，A，w）中，其 中始点V1，终点Vt，求 从V1到Vt的一条路，使 其为V1到Vt的所有路中 总权值最小的路。
标号法步骤：
1）给V1标号(0, Vs) 2）把所有顶点分成两部分，X：已标号的点；X’未标号的点
考虑与已标号点相邻的弧是存在这样的弧（ Vi ，Vj ）, Vi ∈ X, Vj ∈ X’ 若不存在，此问题无解，否则转3）
3）选取未标号中所有入线的起点与未标号的点Vj进行计算:min{αi + wij}= αj 并对其进行标号(αj, Vi)，重复2）
3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点.
则由V、E构成的二元组合G=(V， E)就是图。 子图：已知图G1（V1，E1）若V1 ﹤V， E1 ﹤ E ; 图G=(V， E)的子图 则称图G1（V1，E1）是
若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。 多重边：图中某两点之间有多余一条的边，称之为多重边。 多重图：含有多重边的图。 简单图：无环、无多重边的图。
2、中国邮路问题：给定一个连通图G，每边有非负权l(e)，要求一 条回路过每边至少一次，且满足总权最小。
8.2 树（是最简单又十分重要的图）
例如：比赛中的相遇情况、组织结构图、家庭树
1、定义：一个无圈的连通图称为树。
2、树的性质：
1）图G是树的充分必要条件是任意两 个顶点之间有且只有一条链。
2）在树中去掉任意一条边则构成一个 不连通图，不再是树；在树中不相邻的 两点之间添加一条边，恰好形成了一个 圈，也就不再是树。 3）树中顶点的个数为P，则其边数必 为P-1。
vs 到所有点的最短路也是一棵生成树，但不是最小生成树
2、情况二： wij≤0（逐次逼近法）
设从V1到Vj(j=1,2,…,t)的最短路长为P1j V1到Vj无任何中间点 V1到Vj中间最多经过一个点 V1到Vj中间最多经过两个点 ……. V1到Vj中间最多经过t-2个点 终止原则： 1）当P1j（k）= P1j（k+1）可停止，最短路P1j*= P1j（k） 2）当P1j（t-1）≠P1j（t-2）时，再多迭代一次P1j（t） ，若P1j（t） = P1j（t-1） ， 则原问题无解，存在负回路。 P1j（t-1）= min{ P1i（t-2）+wij} P1j（1）= wij P1j（2）= min{ P1i（1）+wij} P1j（3）= min{ P1i（2）+wij}
二、连通图
1、链：给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k-1)，则称为一条联结vi1和vik的链，称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。 2、圈：链(vi1,vi2,…,vik)中，若vi1=vik,，则称之为一个圈。 3、简单链：若链(vi1,vi2,…,vik)中，点vi1,vi2,…,vik都是不同 的，则称之为简单链。 4、连通图：图G中，若任何两个点之间，至少有一条链。否 则为不连通图。
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新设备”这 种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi, vj)表示 “第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以 wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。
(21，V1) v2
32 63
(44,V1) v4 27
37 (78,V3)
图论的产生：1736年的“哥尼斯堡七桥
问题”——十八世纪的东普鲁士哥尼斯堡城
哥尼斯堡七桥问题的网络分析
8.1 图与网络的基本知识
一、图与网络的基本概念
1、图及其分类 由一些点及一些点的连线所组成的图形。若V={V1,V2,…, Vn}是空间n个点 的集合; E= { e1,e2,…, em}是空间m个边的集合,满足: 1)V非空 2)E中每一条线ei是以V中两个点Vs,Vt为端点
步骤 v1 1 2 3 0*
例9：（图8－31）
v2 ∞
4*
v3 ∞
6
v4 ∞
v5 ∞
v6 ∞
v7 ∞
∞
v8 ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17
最短 前向 路 结点 0
4 6 8 9 13 14 15 v1 v1 v2 v2 v5 v5
∞ 9 9 9*
∞ 8 8*
∞ ∞ ∞ 13 13 *
6*
∞ ∞ 14 14 14*
称矩阵A为网络G的权矩阵。如P239，例2 3、对于图G=（V，E）， ∣V ∣=n,构造一个矩阵A=（aij）n×n,其中： aij= 1（vi,vj）∈E 0 其他
称矩阵A为图G的邻接矩阵。如P239，例3
四、欧拉回路与中国邮路问题
1、欧拉回路与道路：连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次 且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路，经过每边 一次且仅一次，则称这条回路为欧拉回路，具有欧拉回路的图也 称欧拉图。 仅当无向连通图G中无奇点时是欧拉图，仅当恰有两个奇点时为欧拉 道路； 仅当有向连通图G中每个顶点的出次等于入次时是欧拉图，仅当两个 顶点外，其余每一个顶点的出次等于入次，且这两个顶点中，一 个顶点出次多1，另一个顶点入次多1时为欧拉道路；
v2 例：
v1 -3
V1 V
1 2 3 4 5
4 -2 v 3
6 v6 -3 2 7
V
5
v5 3
4 -1 v7
V8 P1j(1) P1j(2) P1j(3) P1j(4) P1j(5) P1j(6)
2 5
v8
4
v4
V
2
V3
V4
V6
V7
0
2
0
5
-2 0
-3
0
2 6 5
0
2 0
0
2 0
0
2 0
0
2 0
三、图的矩阵表示
1、赋权图：给图G=(V,E) ，对G中的每一条边[vi,vj]，相应地有一个数wij， 则称这样的图G为赋权图，wij称为边[vБайду номын сангаас,vj]上的权。
2、网络（赋权图）G=（V，E），其边（vi,vj）有权wij, 构造矩阵A=（aij） n×n,其中：
aij= wij（vi,vj）∈E 0 其他
分类：
无向图：G（V，E）点集+边集 弧：点与点之间有方向的边，叫做弧。弧集：A={a1,a1,…,am} 有向图：由点及弧所构成的图，记为D=(V,A)，V,A分别是D的点集合和弧集合。 环：某一条孤起点=终点，称为环。 基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所有弧上的箭头，所得到的无
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