光波的叠加

Ex
δ =π
π <δ <3π /2
δ =3π /2
3π /2<δ <2π
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
什么是拍现象？ 合成波的强度随时间和位置而变化的现
象称为“拍”。其频率称拍频 （Beat frequency）。
由两个频率接近、振幅相同、振动方 向相同且在同一方向传播的光形成的 光学拍。
听写说明：1？？ 2？？
合振动公式的意义




E( p) E1( p) E2( p) ..... En( p) En(P)
n
3. 同时，光的叠加原理也是介质介质对光波电磁
场作用的线性响应的一种反应。实质是波动微分
方程的必然结果。波动方程的线性性质，保证了
其解的叠加性。即解的叠加性构成了波的叠加原
令kz t 常数，得到v z t k
在时间域上：2
2 ：在空间域上 k
z或 t
在时间域上，位相变化2所需的时间:T 2。
在空间域上，位相变化2所走的距离: 2。 k
5.2 相速度和群速度
群速度(Group velocity)：等振幅面传播的速度
条件：频率相同，振动方向相互垂直的单色光波，其振动 方向分别平行x轴和y周，并沿z轴方向传播。考察在z轴方 向上任一点P处的叠加。
Ex＝a1 cos(kr1 t)，E y＝a2 cos(kr2 t)
E＝x0Ex＋y0Ey＝x0a1
cos(1
t )＋y0a2
cos(2
t ) Ey
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
由两个频率接近、振幅相同、振动方向相同且在 同一方向传播的光形成的光学拍。
合成的 光波
两个不同频率的光： E1＝a cos(k1z 1t)和E2 a cos(k2z 2t)
E＝E1＋E2＝2a cos(kmz mt)cos(kz t)
在波的传播路径上，对于介质不同点有不同振幅
两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的 单色光波的叠加将形成驻波。垂直入射的光波和
它的反射光波之间将形成驻波。
相反 波
E＝E1＋E2＝a cos(kz t)＋a cos(kz t ) 式中： 是反射时的位相差
入射波
反射波
三、驻波(Standing Wave)
二、两个频率相同、振动方向相同的单色光 波的叠加
2.1 三角函数的叠加
E1＝a1 cos(kr1 t)
S1
E2＝a2 cos(kr2 t)
S2
推导！ 说明！
令：kr1＝1，kr2＝2 E＝E1＋E2＝a1 cos(1 t)＋a2 cos(2 t) 得到的合振动： E＝Acos( t)
＝1－2

2
n(r1

r2 )
当1


时，
2

1
2

2
n(r1
r2 )

2

注意！是真 空中的波长
K
二、两个频率相同、振动方向相同的单色光 波的叠加
2.2 复函数的叠加
E1＝a1 exp[i(1 t)] E2＝a2 exp[i(2 t)]
a) 两个单 色波
b) 合成波 c) 合成波
的振幅 变化
d) 合成波 的强度 变化
五、两个不同频率的单色光波叠加—拍频的应用
I 2a2[1 cos 2(km z mt)]
拍频为2m 1 2
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另 一个未知的光频率2。
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
则有： E＝Acos(kz t)
合成的光强：I A2 4a2 cos2(kmz mt) 2a2[1 cos 2(kmz mt)]
A
m
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
E＝E1＋E2＝2a cos(kmz mt)cos(kz t)
合成的光强：I A2 4a2 cos2(kmz mt) 2a2[1 cos 2(kmz mt)]
Ex2 a12

Ey2 a22
2
Ex a1
Ey a2
cos(2

1 )

sin2 ( 2
1)
Ey
椭圆形状分析：(
Ey
a2
aEy1
,
2 1) Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ =0 Ey
0<δ <π /2 Ey
δ =π /2 Ey
π /2<δ <π Ey
不同φ 值的偏 振.
Ex
Ex
Ex
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt
常数，得： vg

m km

1 2 k1 k2

k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
在真空中传播时，波速相同，相速度和群速度相等。
在色散介质中传播时，不同频率的光波传播速度不同，合成
n
11-119
合振动公式的意义




E( p) E1( p) E2( p) ..... En( p) En(P)
n
1. 波的叠加原理表明了光波传播的独立性。一个 光波的传播方向不会因为其他光波的存在而受到 影响。
2. 两个光波在相遇后又分开，每个光波仍保持原 有的特点（频率、波长、振动方向等），按照原 理的传播方向继续前进。
叠加结果：
E＝E1＋E2＝2a
cos(k
z＋
2
)
cos
(t－
2
)
波腹的位置： kz m
2
A 2a
波节的位置： kz (m－ 1 )
2
2
A0
入射波
在波的传播路径上，
对于介质不同点有不
同振幅。
反射波
若入射波和反射波振幅不等，则合成波=驻波+行波
四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加
5.1 光学拍； 5.2 群速度和相速度
第五节 光波的叠加, Superposition of waves
条件，适用条件： 两个（或多个）光波在空间相遇时。发生光波的叠 加现象。一般说，频率、波长、振幅和位相都不相 同的光波的叠加，情况是很复杂的。 本课程讨论的是：只限于频率相同或者频率相差很 小的单色光波的叠加。这种情况下，可以用数学表 达式描述其叠加结果。 单色光波包括有：单色平面波，单色球面波，单色 柱面波。
思考提： 光学拍，条件之一是要频率接近。则，如果频率相差 大，会有什么现象以及会有什么用途？-查阅清华大 学精仪系张书连教授的研究。
5.2 相速度和群速度
1）相速度（Phase velocity） ：等位相面传播的速度 合成的光波： E 2a cos(km z mt)cos(kz t)
式中：A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2 ) tg a1 sin1 a2 sin2 a1 cos 1 a2 cos 2
2.3 对叠加结果的分析：（主要对象为合成的光强）
说明！I＝A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2 )
合振动的大小和方向随时间变化， 合振动矢量末端运动轨迹方程为：

Ex
2a 2
Ex2 a12

E
2 y
a22
2 Ex a1
Ey a2
cos(2

1 )

sin2 ( 2

1 )
tg2 2a1a2 cos
a12 a22
2 1
2a 1
不同φ 值的偏 振.
四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加
光波的叠加
Leabharlann Baidu五节 光波的叠加, Superposition of waves
一、波的叠加原理 1.1 说明即条件，适用性；1.2 线性叠加性，叠加原理
二、两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加 2.1 代数加法 ； 2.2 复数方法； 2.3 相幅矢量加法
三、驻波 驻波的形成与特点
四、两个频率相同、振动方向相互垂直的单色光波的叠加 4.1 合成光波偏振态的分析； 4.2 椭圆偏振参量间的关系 五、两个不同频率（但频率接近）的单色光波的叠加
波形在传播过程中会不断地变化，相速度和群速度便不同了。
本课内容回顾
1、波的叠加原理 2、两个频率相同、振动方向相同的单色光波叠加 3、驻波（频率同、振动方向同、传播方向相反） 4、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波叠加 5、光学拍（小频率差、振动方向同、传播方向同、 振幅同） 6. 相速度和群速度 参考“习题指导册”， P.98 表7-5
式中：
1 2 ， 2
m

1
2 2
k k1 k2 2
km

k1
k2 2
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
合成波的强度变化
合成的光波： E＝E1＋E2＝2a cos(km z mt)cos(kz t)
令
A 2a cos(kmz mt)
理的基础。
注意：两个或者多个满足波动方程的光波同时存
在时，总的波场是这些光波的直接叠加。
合振动公式的意义




E( p) E1( p) E2( p) ..... En( p) En(P)
n
4. 波动方程的线性性质，限制了叠加原理只在 入射光强较弱的情况下成立。当光波强度 很大 （1012 V/m 的激光）时，介质将产生非线性效 应，介质对光的响应也是非线性的，线性叠加 原理也不再适用。
一、波的叠加原理
1、波的叠加现象 2、波的叠加原理
波的叠加原理：两个（或多个）波在相遇点产生 的合振动是各个波单独在该点产生的振动的矢量 和。波的叠加服从叠加原理，光波也同样。叠加 原理是波动光学的基本原理。
合振动公式

E( p) E1( p) E2( p) ..... En( p) En(P)
得到的合振动：E＝Aexp[i( t)] Aei(t) 式中：A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2 ) tg a1 sin1 a2 sin2 a1 cos1 a2 cos2
说明！结论一样！
总结：p.325
三、驻波(Standing Wave)
当＝ 2m时，有 cos 1
2
I＝I MAX 4I0
当＝ (m 1)2，有 cos 0
2
2
I＝IMIN 0
（m 0，1，2，)
a1 a2 a
A2 4a2 cos2
2
合成光强的大小取决于位相差 ＝1－2
光程差： ＝n(r1 r2 )； 分析叠加结果的重要物 理量