高一数学必修一第三章-小结

于指数函数.
3 2
④ x 增大到一定数值时, 指数函数最快, 对数函数最慢.
1
-o1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-2
“直线上升,
指数爆炸,
对数增长.”
-3 -4
4. 函数应用 (1) 从图表中获取数据信息. (2) 求已给函数模型中的常量, 确定函数. (3) 根据所获数据的规律建立函数模型. (4) 画散点图, 选择函数模型, 求出所选模型
2
x
自我检测题
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检测题
一、选择题(每小题只有一个正确选项)
1. 方程x-1=lgx必有一个根的区间是( )
(A) (0.1, 0.2) (B) (0.2, 0.3) (C) (0.3, 0.4) (D) (0.4, 0.5)
2.
函数y=
(
1 2
) x 与函数y=lgx的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是(
=-23t2+23t- 3;
当 t>2 时, f(x) = 122 3 = 3.
Ax
2. 如图, △OAB是边长为 2 的正三角形, 记
△OAB位于直线 x=t (t>0) 左侧的图形的面积为 f(t),
试求函数 f(t) 的解析式, 并画出函数 y=f(t) 的图象.
解: 其面积分为三种情况:
y
|2.515625-2.5234375|≈0.0078 <0.01,
6. 借助计算器或计算机, 用二分法求函数 f(x) =
lgx 和 f(x) = 1 的交点的横坐标 (精确到 0.1).
x
解:
交点的横坐标即方程
lg
x
=
1 x
的根,
由图象知两函数只有一个交点.
y
设 f(x)=lgx-1x,
f(1) =-1, f(2)≈-0.2, f(3)≈0.14,
经过离A地200 km的C地. 假设列车匀速前进, 试画出
列车与C地的距离关于时间的函数图象.
解: 先写出函数关系式: A 200 C 300
B
设列车的速度为 v km/h, 经过 t h后列车距C地
的距离为 y km. AC段: y=200-vt, 0≤vt≤200.
画函数图象如下:
y
CB段: y=vt-200,
以后每年元旦都这样存, 则到2007年年底, 这个人的银行存款共有 (精确到0.01万元) ( )
(A) 7.14万元 (B) 7.58万元 (C) 7.56万元 (D) 7.50万元
6. 若方程 ax-x-a=0有两个解, 则a的取值范围是 ( )
(A) (1, +∞)
(B) (0, 1)
(C) (0, +∞)
2
P
P
P
P
O
O
O
O
(A)
(B)
(C)
(D)
分析: 由图象看出在前半周时, y 随 x 的增加
而增加; 后半周, y 随 x 的增加而减小.
由上判断可能选 B 或 C.
而 B 中, 点 P 在某一边上运动时, y 随 x 是线性
增长, 图象应是线段. 所以应选 C.
3. 列车从A地出发直达500 km外的B地, 途中要
当 0<t≤1时, f(x) = 12|OD||DC|,
B
C
= 12t
3t =
3 2
t
2;
当 1< t得≤函2时数, 的f(解t) 析= 式S△为OA:B - S△ADC
yo
D
x=t
Ax
当ft(>t2)=画时-图,233象2f3t(2x如t)2+=图212:= = = 32- 1 2 t 3 -22 - 33 31 t22 =(((+ 2 (3 0t1- 2- 3t.21 2 tt)3)|tA 1- 23 ))(.2 |3 D |- ;D 2 33to)|C1
单价
单价
答: 图(A)中的
曲线是厂商希望的.
因为产品数量随着 o 单价的增加而增大, (A)
产值就有很大的增加.
数量 o
数量
(B)
图(B)中的曲线是客户希望的. 因为产品数量随着 单价的降低而增加, 客户可降低购买成本.
2. 如图, △OAB是边长为 2 的正三角形, 记
△OAB位于直线 x=t (t>0) 左侧的图形的面积为 f(t),
是否小于精确度e .
(4) 若满足精确度, 则取区间内任一数为近 似根; 若不满足精确度, 再重复上面的步骤.
3. 几种函数模型的增长特点
① x 很小时, 对数函数
增速最快, 但是负值.
y
y=2x
② x 很小时, 直线快于
8 y=x2 y=2x
7
幂函数和指数函数.
6
5
③ x 较小时, 幂函数快
4
y=log2x
(D)
二、填空题
7. 函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0, +∞)上增长较快的一个是
.
8. 若方程x3-x+1=0在区间(a, b) (a, b是整数, 且b-a=1)上有一根, 则a+b=
.
9. 某商品进货单价为30元, 按40元一个销售, 能卖40个; 若销售单价每涨1元, 销售量减少一个, 要
(3)
h 增加先 h 增加先 慢后快. 快后慢.
to
t
(4)
h 直线型 先慢后快.
5. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 2x34x2-3x+1=0 的最大的根 (精确到 0.01).
解: 设 f(x)=2x3-4x2-3x+1, 算得几组函数值如下:
x -2 -1 0 1 2 3 f(x) -25 -2 1 -4 -5 10 由表知函数在 (-1, 0), (0, 1), (2, 3) 内各有一根, 最大根在 (2, 3) 内.
解: 若存货量大于 0, 则能维持市场供应; 反之, 则不能, 需进行生产.
∵ f(1) =17, f(2) =8, f(3) = -37,
∴ 两个月后就应开始生产. 答: 下次生产应在两个月后开始.
B组
1. 经济学家在研究供求关系时, 一般用纵轴表示 产品价格 (自变量), 而用横轴表示产品数量 (因变量). 下列供求曲线, 哪条表示厂商希望的供应曲线, 哪条 表示客户希望的需求曲线? 为什么?
)
(A) 1.3 (B) 1.4 (C) 1.5 (D) 1.6
3. 如果一个立方体的体积在数值上等于V, 表面面积在数值上等于S, 且V=S+1, 那么这个立方体
的一个面的边长(精确度0.01)约为( )
(A) 5.01 (B) 5.08 (C) 6.03 (D) 6.05
4. 实数a, b, c是图象连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数, 且满足a<b<c, f(a)·f(b)<0, f(b)·f(c)<0,
这个梯形周长 y 和腰长 x 间的函数解析式, 并 A E O
B
求出它的定义域.
解: 周长 y = 4+2x+DC
作DE⊥AB于E,
得 DC=4-2AE.
在Rt△ADB中, DA2 = AE·AB,
即 x2 = 4AE, AE=x42, 得DC =4-2x42. y=4+2x+4-2x42
=-12x2+2x+8.
时,
求 t 的值.
解: Hale Waihona Puke Baidu1) 函数变为 N=N0(e1l)t,
1 el
1,
∴ 指数型函数 减函数.
N=N0(e1l)t 是(-∞,
+∞)上的
8. 某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规
律是 N=N0e-lt, 其中 N0, l 是正的常数.
(1) 说明函数是增函数还是减函数;
(2) 把 t 表示为原子数 N 的函数;
中的常量, 建立函数式.
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复习参考题 A组
1. 若函数 f(x) 唯一的一个零点同时在区间 (0, 16)、 (0, 8)、(0, 4)、(0, 2)内, 那么下列命题中正确的是(C )
(A) 函数 f(x) 在区间 (0, 1) 内有零点 (B) 函数 f(x) 在区间 (0, 1) 或 (1, 2) 内有零点 (C) 函数 f(x) 在区间 [2, 16) 上无零点 (D) 函数 f(x) 在区间 (1, 16) 内无零点
则函数y=f(x)在区间(a,c)上的零点个数为( )
(A) 2 (B) 奇数 (C) 偶数 (D) 至少是2
5. 假设银行1年定期的年利率为2%. 某人为观看2008年的奥运会, 从2001年元旦开始在银行存款1
万元, 存期1年, 第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存一年定期存款,
试求函数 f(t) 的解析式, 并画出函数 y=f(t) 的图象.
解: 其面积分为三种情况:
当 0<t≤1时, f(x) = 12|OD||DC|,
= 12t
3t =
3 2
t
2;
当 1< t ≤2时, f(t) = S△OAB - S△ADC
y B
C
D
o x=t
=1 223-1 2|A|D |D|C =3-1 2(2-t) 3(2-t)
2.5625
(2.5, 2.5625)
2.53125
(2.5, 2.53125) 2.515625
(2.515625, 2.53125) 2.5234375
(2.515625, 2.5234375)
f(中点)
-0.25 4.09 1.74 0.70 0.21 -0.02 0.09
最大根为 x≈2.52.
o1
x
于是知交点在(2, 3)内.
6. 借助计算器或计算机, 用二分法求函数 f(x) = lgx 和 f(x) = 1 的交点的横坐标 (精确到 0.1).
x
解: 设 f(x)=lgx-1x, f(2)≈-0.2<0, f(3)≈0.14>0,
区间
(2, 3) (2.5, 3) (2.5, 2.75) (2.5, 2.625) (2.5, 2.5625)
分析: 由题设知, 零点必在区间(0, 2)内.
∴[2, 16)上定无零点. y
C 选项正确.
o 24 8
16 x
2. 点P从点O出发, 按逆时针 y
方向沿周长为 l 的图形运动一周,
O、P 两点连线的距离 y 与点 P 走
过的路程 x 的函数关系如图, 那么 o l l x
点 P 所走的图形是( C )
梯形的腰需大于 0, 而小于如图的AP,
AP = 2 2, ∴定义域为 (0, 2 2).
8. 某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规
律是 N=N0e-lt, 其中 N0, l 是正的常数.
(1) 说明函数是增函数还是减函数;
(2) 把 t 表示为原子数 N 的函数;
(3) 当 N
=
N0 2
中点
2.5 2.75 2.625 2.5625
f(中点)
-0.002 0.08 0.04 0.02
|2.5-2.5625|≈0.06 <0.1, ∴交点的横坐标为 x≈2.5.
7. 如图, 有一块半径为 2 的半圆形钢板,
P
计划剪裁成等腰梯形ABCD形状, 它的下底AB D
C
是⊙O的直径, 上底CD的端点在圆周上. 写出
5. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 2x34x2-3x+1=0 的最大的根 (精确到 0.01).
解: 设 f(x)=2x3-4x2-3x+1, f(2) = -5<0, f(3) =10<0,
区间
中点
(2, 3)
2.5
(2.5, 3)
2.75
(2.5, 2.75)
2.625
(2.5, 2.625)
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章 小结
本章小结
知识要点 复习参考题 自我检测题
1. 方程的根与函数的零点 函数 y = f(x) 的零点 方程 f(x) = 0. 若 f(a)·f(b)<0, 则 f(x) 在(a, b)内必有零点. 若 y=f(x) 是区间 [a, b] 上的单调函数, 且
f(a)·f(b)<0, 则 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有 一个零点.
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2. 用二分法求方程近似根
(1) 求使 f(a)·f(b)<0 的单调区间 (a, b). (2) 取 a, b 的中点 x1, 判断 f(x1)f(a) 与 f(x1)f(b) 的正负. (3) 取积为负的两数的区间, 判断区间长度
200≤vt≤500.
300 200
则 y=v2t-02-0v0t0((02v0t 0t2v05)v00).0 o
200 v
500
t
v
4. 设计4个杯子的形状, 使得在向杯中匀速注水
时, 杯中水面的高度 h 随时间 t 变化的图象分别与下
列图象相符合.
h
h
h
h
o
t
(1)
h随x直 线型升高.
o
to
(2)
(3) 当 N
=
N0 2
时,
求 t 的值.
解: (2)
N=N0e-lt
e-lt
=
N N0
,
-lt=lnN N0,
t=-l1lnN N0,
t=l 1(lN n 0-ln N ).
(3)
当N
=
N0 2
时,
t=l1(lN n0-lnN 20)=
1
l
ln2.
9. 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市 场供应. 若公司本次新产品生产开始 x 月后, 公司的 存货量大致满足模型 f(x)=-3x3+12x+8, 那么下次生产 应在多长时间后开始?