椭圆的定义与标准方程(公开课)完整1ppt课件
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.
练一练 求下列椭圆中a , b , c的值，以及焦点坐标。
(1)百度文库x2 y2 1 4
解：椭圆方程具有形式
其中 a2,b1 故 ca2b2413
两焦点坐标为 ( 3,0),( 3,0)
.
(2)4x2y2 4
解：化为标准方程
y2 x2 1 4
其中
a2,b1
故 ca2b2413
两焦点坐标为 (0, 3)和(0, 3)
yM M
y
F2(0 , c)
F1
O
(-c,0)
F2 x
(c,0)
x2 y2 1(ab0) a2 b2
O
X
F1(0,-c)
y2 a2
bx22
1(ab0)
1.左边是两个分式的平方和，右边是1。 2.三个参数a、b、c满足a2=b2+c2 。 3.x2与y2的分母哪个大，则焦点在哪一条轴上。
.
口答（判断下列椭圆焦点的位置， 并计算a、b、c的大小）
F1
O
则F1(c,0)、F2(c,0) .
x F2
由椭圆的定义得
|M 1| F |M 2| F 2 a
因为 | MF 1 | ( x c ) 2 y 2 , | MF 2 | ( x c ) 2 y 2 ,
所以 (xc)2y2(xc)2y22a
.
椭圆的标准方程
x2 a2
by22
1(ab0)
浩瀚无穷的宇宙
.
.
商州区中学 胡倩
生活中处处有椭圆 你会画椭圆吗？
.
实验
1.取一条细绳，绳长不变。 2.把绳子的两端固定在板上的两点F1、F2 3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看
看画出的图形
M
F1
F2
| MF1|+ | MF2 |= 常数 .
椭圆的定义
定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和为 定值 (大于| F1F2 |)的点的集合叫作椭圆.
1.
x2 52
y2 32
1，
2.
x2 42
y2 62
1，
.
例1 如图:求满足下列条件的椭圆方程
|P1F ||P2F |1,0| F1F2 |8
解：椭圆具有标准方程
x2 a2
y2 b2
1
由已知 2c8,2a10
因此 c4,a5, b 2 a 2 c 2 2 5 1 6 9
所以椭圆的标准方程方程为 x 2 y 2 1 25 9
.
小结
一个定义： 椭圆的定义
二类方程:
x2 a2
y2 b2
1ab0
y2 a2
bx22
1(ab0)
.
作业：课本Ｐ68 习题3-1 A组 1题 2题 练习：课本P63 练习1 思考：课本P63 思考交流
.
.
M
F1
F2
焦点：F1、F2 焦距：| F1F2 |
.
定义中的常数 为什么要大于 焦距| F1F2 | 1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
.
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
.
如何推导椭圆的标准方程？
yy y
y
y
M
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段 所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
.
y
设M (x, y)是椭圆上任意一点，
M(x , y)
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， M与F1和F2的距离的和为2a(2a>2c)
其中 b2 = a2 - c2
焦点坐标：F1( -c , 0 ) , F2( c , 0 )
.
如何推导焦点在y轴上的 椭圆的标准方程呢？
yM
y
F2(0 , c)
M
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
O
X
F1(0,-c)
x2 y2 1(ab0) y2 x2 1(ab0)
a2 b2
a2 b2
.
椭圆的标准方程的特点：
练一练 求下列椭圆中a , b , c的值，以及焦点坐标。
(1)百度文库x2 y2 1 4
解：椭圆方程具有形式
其中 a2,b1 故 ca2b2413
两焦点坐标为 ( 3,0),( 3,0)
.
(2)4x2y2 4
解：化为标准方程
y2 x2 1 4
其中
a2,b1
故 ca2b2413
两焦点坐标为 (0, 3)和(0, 3)
yM M
y
F2(0 , c)
F1
O
(-c,0)
F2 x
(c,0)
x2 y2 1(ab0) a2 b2
O
X
F1(0,-c)
y2 a2
bx22
1(ab0)
1.左边是两个分式的平方和，右边是1。 2.三个参数a、b、c满足a2=b2+c2 。 3.x2与y2的分母哪个大，则焦点在哪一条轴上。
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口答（判断下列椭圆焦点的位置， 并计算a、b、c的大小）
F1
O
则F1(c,0)、F2(c,0) .
x F2
由椭圆的定义得
|M 1| F |M 2| F 2 a
因为 | MF 1 | ( x c ) 2 y 2 , | MF 2 | ( x c ) 2 y 2 ,
所以 (xc)2y2(xc)2y22a
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椭圆的标准方程
x2 a2
by22
1(ab0)
浩瀚无穷的宇宙
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商州区中学 胡倩
生活中处处有椭圆 你会画椭圆吗？
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实验
1.取一条细绳，绳长不变。 2.把绳子的两端固定在板上的两点F1、F2 3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看
看画出的图形
M
F1
F2
| MF1|+ | MF2 |= 常数 .
椭圆的定义
定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和为 定值 (大于| F1F2 |)的点的集合叫作椭圆.
1.
x2 52
y2 32
1，
2.
x2 42
y2 62
1，
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例1 如图:求满足下列条件的椭圆方程
|P1F ||P2F |1,0| F1F2 |8
解：椭圆具有标准方程
x2 a2
y2 b2
1
由已知 2c8,2a10
因此 c4,a5, b 2 a 2 c 2 2 5 1 6 9
所以椭圆的标准方程方程为 x 2 y 2 1 25 9
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小结
一个定义： 椭圆的定义
二类方程:
x2 a2
y2 b2
1ab0
y2 a2
bx22
1(ab0)
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作业：课本Ｐ68 习题3-1 A组 1题 2题 练习：课本P63 练习1 思考：课本P63 思考交流
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M
F1
F2
焦点：F1、F2 焦距：| F1F2 |
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定义中的常数 为什么要大于 焦距| F1F2 | 1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
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1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
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如何推导椭圆的标准方程？
yy y
y
y
M
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段 所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
.
y
设M (x, y)是椭圆上任意一点，
M(x , y)
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， M与F1和F2的距离的和为2a(2a>2c)
其中 b2 = a2 - c2
焦点坐标：F1( -c , 0 ) , F2( c , 0 )
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如何推导焦点在y轴上的 椭圆的标准方程呢？
yM
y
F2(0 , c)
M
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
O
X
F1(0,-c)
x2 y2 1(ab0) y2 x2 1(ab0)
a2 b2
a2 b2
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椭圆的标准方程的特点：