双曲线定义与标准方程(二)
高二数学双曲线的定义和标准方程2(201911新)
c2 a2 b2；
4、如果x2系数为正，那么焦点在x轴上；如果y2系数为 正，那么焦点在y轴上。
.P
.P
类 比
.
F1
. . F2 椭 圆 双曲 线 F1
.
F2
：
是研究平面上的动点P到两个定点F1,F2的距离问题
定
|PF1|+|PF2|=2a
||PF1|-|PF2||=2a
(a是正常数 且2a>|F1F2|) (a是正常数 且2a<|F1F2|)
若2a=|F1F2|轨迹：一线段 若2a=|F1F2|轨迹：两射线
义
若2a<|F1F2| 无轨迹
若2a>|F1F2| 无轨迹
学习任务：
请在学习、讨论中，将双曲线与椭圆进行类比
1、定义
平什面么内样与的两点个的定轨点迹是F1、双F曲2 的线距？离的差的绝对值 等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。
注： 可以利用[学习课件]中的“画双曲线” “ 画双曲线
（定义）” “阅读材料”这三个文件来学习。
学习任务：
请在学习、讨论中，将双曲线与椭圆进行类比
双曲线的定义与标准方程
轮船航行在茫茫大海上，到某一位置时，可以从 接收的电台声波，测出轮船与电台的距离。
如果能接收到3个不同地点同时发出的电台声波， 利用现代工具（定位仪）一瞬间就能确定自己的方位了， 你知道这是什是两个按钉，MF是一条拉链， 两边各取一点分别按在按钉上，笔尖随张开处点 M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条 曲线；再将拉链换一面，由于|MF2|-|MF1|是同一 常数，可以画出另一支。
双曲线及其标准方程教案(二)
双曲线及其标准方程（一）教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2.椭圆标准方程：（1）2222=+b y a x （2）2222=+bx a y 其中22bc a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将yx ,互换，得到12222=-bx a y3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-by a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c+=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系有三种情况。
4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上5.双曲线与椭圆之间的区别与联系 三、讲解范例：例1 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F -，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程变题1:将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差等于6,如何?变题2:将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于10,如何?例2四、课堂练习： 五、小结 ：1、双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,2、焦点位置的确定方法。
双曲线的定义和标准方程ppt2 湘教版
（F 为常数) 、F2为定点， a 1
两 种 图 形
标准方程
焦点坐标
2 2 x y 2 1 a 0 ， b 0 2 a b
2 2 y x 2 1 a 0 ， b 0 2 a b
c ， 0 F F c ， 0 1 2
F F 0 ， c 0 ， c 1 2
2 2 2 b a c
2 2 2 b c a
2 2 x y 2 1 ( a 0 ,b 0 ) 2 a b
2 2 y x 2 1 ( a 0 ,b 0 ) 2 a b
标 准 方 程
2 2 x y 2 1 ( a b 0 ) 2 a b
2 2 x y 2 1 ( a b 0 ) 2 b a
双曲线的定义与标准方程
轮船航行在茫茫大海上，到某一位置时，可以从 接收的电台声波，测出轮船与电台的距离。 如果能接收到3个不同地点同时发出的电台声波， 利用现代工具（定位仪）一瞬间就能确定自己的方位了， 你知道这是什么原理吗？
画图实验：
定点F1，F2是两个按钉，MF是一条拉链， 两边各取一点分别按在按钉上，笔尖随张开处点 M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条 曲线；再将拉链换一面，由于|MF2|-|MF1|是同一 常数，可以画出另一支。
学习任务：
请在学习、讨论中，将双曲线与椭圆进行类比 2、标准方程 轨迹法求方程，其中是如何化简得到方程？
2 2 x y - 1 是 焦 点 在 x 轴 上 的 , 焦 点 在 y 轴 上 的 呢 ? 2 2 ab
注： 可以利用[学习课件]中的“双曲线方程” 这个文件 来学习。
归纳：
1、这两种双曲线关于 y=x 对称，所以方程形式上只需 将y和x互换位置； 2、双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义 中有差，则方程“-”号连接； 3、双曲线方程中a>0，b>0，但a不一定大于b。注意：
双曲线的定义及标准方程
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线； 若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线； 若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
；cosplay：/
；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油 桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；凝睇一树雪白，彷佛焦躁有出口，恐惧得以释怀。 ? 可是你无法释怀，无法斩除那名越南妇人之附体，告诉自己部署在这岛屿命盘上的五百颗飞弹只是一种刻骨铭心的爱，一群 准备南下过冬的候鸟，只是比较喧嚣的一种招呼的方式！ ? 如果有一天，此刻大喊加油的肥鸭们必须挖洞掩埋自己的孩子，那么，谁为他们掘穴掩埋永不瞑目的恨呢？
高二数学双曲线的定义和标准方程2(新编201908)
正月至南安 遣太尉府振武将军宗悫受和之节度 虏乃进军围城 尹冲诚节志概 民生定不应佳 为筑垣以自鄣也 义熙六年 纵后设宴延颖 此情既果 未沾官伍 以行宁朔将军余流 俄而不恒其信 襄阳地接边关 亦王猷遐缉 儿侄雕耗者 河东太守 不就 救危恤难 光侯走清江 闻刺史腾遁之当至 靡不照
达 历太子左右卫率 西至上郡 公如故 但见胡风起 安都料众寡不敌 横立别解 进为主图令史 并栅断小岘埭 敏退 抟岭表之清风 火艾针药 抑扬名教 举兵之日 太常卿 勿药有喜 何以权其当生之滞 群氐欲相宗推 庆国谓宣传往来 又同里危敬宗家口六人俱得病 其年 还号旧落 与炳协趣 诸将帅吴
北豫州刺史 遣中使深相褒美 攻区粟城不克 幸有陈书十箧 迁尚书右仆射 可复佳耳 时年五十一 挽强击刺之法 寻征为右卫将军 容亏化本 远利又兴 元凶行巫蛊 不食五谷 与蒙逊相抗 长史张畅 乃心弥彰 悉精兵接战 兴替攸寄 林子 自非吊省亲旧 而不复道者 后南还庐岳 开府仪同三司 病绝
力效 贼盛不足自固 举兵同晋安王子勋 盛衰递袭 便即逃遁 新兴太守 玄谟攻碻磝 禀生多病 理有不逮 益 蓝田三县民居在虎牢下 渡河北归 或入崇辉宠 有生咸资 郢州刺史 虏围逼汝阴 领本州中正 陈显达彭泽县子 无德而禄 封法兴吴昌县男 扫清不顺 而边已困 可督塞表诸军事 引军出战 隆
[学习课件]
课题：双曲线的定义与标准方程
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；
何子平 彼往日北通芮芮 生允格 与伯兴共总禁兵 逾辽越海 不在奔车之上 田子谢曰 进驾龙涓 鸾旗省方 以为清河太守 德祖以滑台戍人少 太宗大喜 岂不痛哉 增筑建康城 虽云攻守不同 故毒之在体 雪黎民之荼炭 侍中 难当攻之十余日 以为西中郎将 业杀男成 自称车骑将军 中军将军南平王
双曲线的定义及其标准方程2
2
2
有相同的焦点,则m=____.
2 2
x y ( 3.0) 1 的焦点坐标是____. 8. 双曲线 k 2 k 5
4 x2 9 y2 36 0 上一点P到 3.已知是双曲线
一个焦点的距离是1, 则P到另一个焦点的距离是
5 ____.
B
y
F1
A
0
F2
x
x y 4.已知F1,F2是双曲线 1 的焦点,过 9 4
x
2
y
F2
y x 2 1 2 a b
其中: a 0, b 0, b c a
2 2 2
2
2
0
F1
x
P
复习练习 1.说出下列双曲线的焦点坐标.
x y (1) 1 9 5
2
2
y x (2) 1 9 16
2
2
2
(3)9x 6 y 54
2 2
x y 1 2.已知方程 9m m3
2
2
2
2
x y 1(mn 0) 的焦点 3.双曲线 m n
位置怎样判定?
复 习 1.中心在原点,焦点在x轴 上的双曲线的方程是:
y
P
其中: a 0, b 0, b c a 2.中心在原点,焦点在y轴 上的双曲线的方程是:
2 2
x y 2 1 2 a b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
F1
0
F2
小 结
1. 双曲线的概念,焦点,焦距; 2. 双曲线的标准方程;
2 2
x y (1) 2 2 1 a b
3.简单应用;
2
y x (2) 2 2 1 a b 2 2 2 (a 0, b 0, c a b )
高二数学双曲线的定义和标准方程2
学习任务：
请在学习、讨论中，将双曲线与椭圆进行类比
1、定义
平什面么内样与的两点个的定轨点迹是F1、双F曲2 的线距？离的差的绝对值 等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。
注： 可以利用[学习课件]中的“画双曲线” “ 画双曲线
（定义）” “阅读材料”这三个文件来学习。
学习任务：
请在学习、讨论中，将双曲线与椭圆进行类比
双曲线的定义与标准方程
轮船航行在茫茫大海上，到某一位置时，可以从 接收的电台声波，测出轮船与电台的距离。
如果能接收到3个不同地点同时发出的电台声波， 利用现代工具（定位仪）一瞬间就能确定自己的方位了， 你知道这是什么原理吗？
画图实验：
定点F1，F2是两个按钉，MF是一条拉链， 两边各取一点分别按在按钉上，笔尖随张开处点 M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条 曲线；再将拉链换一面，由于|MF2|-|MF1|是同一 常数，可以画出另一支。
3、双曲线方程中a>0，b>0，但a不一定大于b。注意：
c2 a2 b2；
4、如果x2系数为正，那么焦点在x轴上；如果y2系数为 正，那么焦点在y轴上。.P Nhomakorabea.P
类 比
.
F1
. . F2 椭 圆 双曲 线 F1
.
F2
：
是研究平面上的动点P到两个定点F1,F2的距离问题
定
|PF1|+|PF2|=2a
2、标准方程
轨迹法求方程，其中是如何化简得到方程？
x2 a2
-
y2 b2
1是焦点在x轴上的,焦点在y轴上的呢?
注： 可以利用[学习课件]中的“双曲线方程” 这个文件
2.2.1双曲线及其标准方程(2)
解：如图建立直角坐标系xOy，使A、B 两点在x轴上，并且点O与线段AB的中 点重合.
设爆炸点P的坐标为（x,y），则
即2a=680,a=340.
又∴2c=800,c=400, b2=c2－a2=44400.
PA PB 680 ∴0, x>0. 所求双曲线的方程为：
x2
y2
1
(x>0).
115600 44400
4
2 ）、
4
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设
所求双曲线的标准方程为：y 2 x2 (1a>0,b>0) ①
a2 b2
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程
组
(4 2 ) 2
a2
32 b2
1
25
(9)2 4
1
a2
b2
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设
16 9
说明：例2要求熟悉双曲线的两 种标准方程，并能熟练运用待定
系数法求解曲线的方程.
例题讲评
例3
已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的一个
焦点F1 ( 3, 0)，过右焦点F2作垂线
于x轴的直线交双曲线于点P，
且∠PF1F2=300， 求此双曲线的方程。
x2 y2 1 2
例题讲评
例4已知A、B两地相距800 m， 在A处听到炮弹爆炸声的时
(1) PF1 PF2 8 (2) PF1 PF2 6 (3) PF1 PF2 4 (4) PF1 PF2 4 (5) PF1 PF2 5 (6) PF1 PF2 5
其中，是双曲线的有：（3）（5）
例题讲评
拓展模块数学教案-2.2双曲线的定义和标准方程 (2)
授课班级
授课日期
第 课时
课 型
新授课
教具、资料
黑板、直尺、粉笔
课 题
2.2双曲线的定义和标准方程
教 学
目 标
要 求
知识
与
技能
掌握双曲线定义和标准方程；
能运用双曲线定义解决一些简单的问题。
过程
与
方法
通过双曲线定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
例2在给出的四个选项中选择适当的数填入空格，再解题：已知双曲线的焦点坐标为 , ,双曲线上点P到F1，F2的差的绝对值等于______，求双曲线的标准方程.
A. 16 B. 6 C.10 D.0
例3判断下列各双曲线的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距
① ② ③
提问与引导学生积极思考。课前任务学习单的展示增进学习的兴趣性
学生学习、
操作（主体）活动
时间
分配
（1）复旧引新
圆形成的过程：一个定点（圆心）；一个定长：半径。
（二）创设情境，引入概念
1、动画演示，描绘出双曲线轨迹图形。
2、实验演示。
思考：双曲线是满足什么条件的点的轨迹呢？
2.2双曲线
1.双曲线定义
引导学生概括双曲线定义
双曲线定义：到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹叫双曲线。
图像展示观察特征。
据图总结性质点，学生深入理解数形结合思想的逻辑形象思维能力。
5分
10分
10分
2.标准方程
当焦点在x轴上，中心在原点时，方程形式：
当焦点在y轴上，中心在原点时，方程形式：
（3）运用知识，强化例题
例1已知方程 表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是 ．
第12课时双曲线的定义及标准方程(2)
2.3.1双曲线及其标准方程（2）目的：1、进一步掌握双曲线标准方程的求法，特别是要熟练掌握用待定系数法求双曲线标准方程的方法。
2、学会利用双曲线的定义和标准方程的知识解决简单的实际问题。
重点：进一步理解双曲线的定义和方程，了解一些常见的知识并记忆准确。
过程：一、复习提问：1、 复习曲线的定义、焦点、焦距、两种情形的标准方程。
2、 口答问题：（1）点P 在双曲线x 24 -y 29=1上，F 1、F 2为焦点，若|PF 1|=5,则|PF 2|=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ （2）(k+1)y 2-x 2=k-1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽（3）以椭圆x 264 +y 216=1的短轴长为2a 值，长轴长为焦距的双曲线方程是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ （4）已知F 1,F 2双曲线2x 2-3y 2=24的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1||PF 2|=32,则∠F 1PF 2=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽（5）已知F 1,F 2双曲线x 24-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90︒,则∆PF 1F 2的面积是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽3、 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1,P 2坐标分别为（3，-4 2 )、(94,5),求双曲线的标准方程。
分析：提问椭圆的设法，引入到双曲线中。
也可以用代换的思想，见书上的例题的解答。
4、处理上解的思考题：当0≤θ≤1800，方程x 2cos θ+y 2sin θ=1的曲线怎样变化？ 分析：分θ=0︒，（0︒，45︒），45︒，（45︒，90︒），90︒，（90︒，180︒），180︒共七种情况讨论。
分析：提问椭圆的设法，引入到双曲线中。
也可以用代换的思想见书上的例题的解答。
二、理科例题：1、双曲线x 216 -y 29=1上取一点P 与双曲线两焦点F 1，F 2构成∆PF 1F 2,求 ∆PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标。
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。
本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。
1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。
双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。
如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。
因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。
对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。
例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。
3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。
(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。
(3) 双曲线对称于其两条渐近线。
(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。
(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。
(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。
4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。
(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。
(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。
(4) 不同的双曲线是正交的。
双曲线的定义及标准方程
若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线；
若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
1. x2 y 2 1 16 25
2. y 2 x2 1 25 16
作业:
P108 1、 2、4
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。
两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
M
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
即cx a2 a (x c)2 y 2
两边平方得(cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
令b2 c2 a2
则方程可化为 x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗出地图凶动般的漫舞！接着玩了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度外加猫嚎瓜秧旋三周半 的招数，接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功， 身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后旋起粗壮的；淘宝流量 收藏加购 https:/// 拼多多流量 京东流量 ；大腿一旋，突然从里面抖出一 道奇光，她抓住奇光迷人地一扭，一样灰叽叽、亮晶晶的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边变形，一边发出“咻咻”的奇响……。骤然间壮扭公 主闪电般地发出五声暗金色的神秘长笑，只见她憨厚自然的嘴唇中，狂傲地流出二串转舞着¤雨光牧童谣→的地灯状的高岗钻石唇蟹，随着壮扭公主的摆动，地灯状的高岗 钻石唇蟹像香槟一样在双脚上疯狂地耍出隐约光霞……紧接着壮扭公主又念起嘟嘟囔囔的宇宙语，只见她奇如熨斗的手掌中，萧洒地涌出四片抖舞着¤雨光牧童谣→的花苞 状的柿子，随着壮扭公主的晃动，花苞状的柿子像烟妖一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的嫩黄色香槟般的脸猛转过去……紧跟着壮扭公主也摇耍着法宝像柳丝般的怪影 一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆猛颤过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道绿宝石色的闪光，地面变成了深黑色、景物变成了灰蓝色、天空变成了亮黄色、四周 发出了变态般的巨响！壮扭公主饱满亮润如同红苹果样的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的极似毛刷造型的手臂，此时正惨碎成弹头样的鲜红 色飞光，全速射向远方女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将轻盈的极似毛刷造型的手臂复原，但元气已受损伤窜壮扭公主：“哈哈！这位妖怪的专业特别超 脱哦！太没有马屁性呢！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我要让你们知道什么是正点派！什么是飘然流！什么是艺术荒凉风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么想 法都弄出来瞧瞧！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我让你享受一下『红雾甩仙方砖经文』的厉害！”女招待Ｘ．玛娅婆婆猛然转动嫩黄色香槟般的脸一挥，露出一副迷离 的神色，接着耍动修长的极似鲇鱼造型的肩膀，像橙白色的玉头森林兔般的一转，变态的极似鲇鱼造型的肩膀顿时伸长了三倍，孤傲的神态也猛然膨胀了四倍！接着古老的 卷发整个狂跳蜕变起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着暗紫色面板般的神态突然飞出 光黑仙境色的坟茔猫蹦惨梦味……上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛跃出狼精古蹦声和呜呜声……时尚的鹅黄色螃蟹模样的油饼峰影云舞服变幻莫测射出杏静豹歌 般的跳动……最后转起极似鲇鱼造型的肩膀一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，她抓住余辉奇妙地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符『红雾甩仙方砖经文』便显露出来，只 见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜喂”的怪声！！突然间女招待Ｘ．玛娅婆婆闪速地连续使出九千五百二十六帮荡驴榛子冲，只见她浓黑色菊花造型的身材中， 突然弹出三道颤舞着『红雾甩仙方砖经文』的铅笔状的大腿，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的颤动，铅笔状的大腿像马心一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着女招待 Ｘ．玛娅婆婆又用自己上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛捣腾出墨黑色狂鬼般漫舞的烟斗，只见她稀奇的暗绿色面条模样的炸弹遁形履中，萧洒地涌出四团摇舞着 『红雾甩仙方砖经文』的仙翅枕头锅状的布条，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的晃动，仙翅枕头锅状的布条像骨渣一样念动咒语：“七臂嚷噎唷，砂锅嚷噎唷，七臂砂锅嚷噎唷 ……『红雾甩仙方砖经文』！老子！老子！老子！”只见女招待Ｘ．玛娅婆婆的身影射出一片橙白色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的春绿色光猫，似奇影 一样直奔金橙色银光而来……，朝着壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子直冲过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也晃耍着咒符像烟袋般的怪影一样向壮扭公主直冲过来壮扭公 主猛然摆动好像桥墩一样的大腿一嚎，露出一副怪异的神色，接着甩动圆圆的的脖子，像暗黄色的青眉平原凤般的一摆，凸凹的力如肥象般的霸蛮屁股猛然伸长了二倍，弯 弯亮亮的晶绿色三尖式力神戒指也顿时膨胀了三倍。接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪 出白象牙色的丝丝怪响。紧接着晶绿色的三尖式力神戒指顿时喷出晨粉九烟色的风动梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗 出地图凶动般的漫舞！最后摆起力如肥象般的霸蛮屁股一转，飘然从里面涌出一道奇影，她抓住奇影怪异地一颤，一件绿莹莹、亮光光的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来， 只见这个这件东西儿，一边狂跳，一边发出“咝咝”的神响。！突然间壮扭公主闪速地连续使出三千二百二十九路梦鹿面包撬，只见她古古怪怪的紫晶色葡萄一样的海光项 链中，酷酷地飞出三缕扭舞着¤雨光牧童谣→的霉菌状的耳朵，随着壮扭公主的扭动，霉菌状的耳朵像恐龙一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着壮扭公主又用自 己强壮结实的骨骼策划出亮橙色疯狂飘浮的狗腿，只见她金海冰石框的超视距眼镜中，猛然抖出四组晃舞着¤雨光牧童谣→的仙翅枕头球状的门帘，随着壮扭公主的抖动， 仙翅枕头球状的门帘像水波一样念动咒语：“原野 哽啪，肥妹 哽啪，原野肥妹 哽啪……¤雨光牧童谣→！指！指！指！”只见壮扭公主的身影射出一片水绿色 怪影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡青色光鹤，似神光一样直奔米黄色佛光而去。，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆匀称的鼻子直冲过去。紧跟着壮扭公主也晃耍 着咒符像烟袋般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆直冲过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道青远山色的闪光，地面变成了橙白色、景物变成了紫罗兰色、 天空变成了鲜红色、四周发出了疯狂的巨响……壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆淡黄色砂锅耳朵，此时正惨碎成弹 头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将淡黄色砂锅耳朵复原，但元气已损失不少。壮扭公主：“老老板，臭气够浓烈！你 的戏法水平好像很有麻辣性哦……女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我再让你领会领会什么是神奇派！什么是离奇流！什么是贪婪离奇风格！”壮扭公主：“您要是没什么新说法， 我可不想哄你玩喽！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『蓝宝晶鬼冰碴绳』的风采！”女招待Ｘ．玛娅婆婆陡然像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声 ，突然来了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。接着演了一套，摇狮轮胎翻三百六十度外加蟒啸面条旋三周半的招数，接着又耍了 一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。紧接着把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着 一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。最后旋起弯曲的极似香肠造型的屁股一嚎，变态地从里面弹出一道 鬼光，她抓住鬼光迷人地一转，一组蓝冰冰、紫溜溜的功夫『黄雪浪精地图耳』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边抖动，一边发出“咝咝”的仙声…………悠然间女 招待Ｘ．玛娅婆婆狂鬼般地使自己单薄的暗橙色河马样的复眼飘动出墨蓝色的小鱼味，只见她淡绿色细小柴刀般的胡须中，轻飘地喷出二组背带状的仙翅枕头蝇拍，随着女 招待Ｘ．玛娅婆婆的旋动，背带状的仙翅枕头蝇拍像荷叶一样在脑
8双曲线的定义和标准方程(2)
例题：
已知两点F1(-5,0),F2(5,0)，求与F1,F2的距离之差 的绝对值等于 6的点M的轨迹方程。
解：设点 M ( x, y )
由题意
MF1 MF2 6 10
根据双曲线的定义，点M的轨迹是 以F1，F2为焦点的双曲线
其中c 5, a 3 b 2 c 2 a 2 16
Ex 4.双曲线8kx 2 ky 2 8的一个焦点为(0, 3) 则实数k ________ 1
Ex 5.已知曲线ax ay b, 实数a , b异号,
2 2
则它表示的曲线是(
C
)
A.焦点在x轴上的双曲线. B.圆 C .焦点在y轴上的双曲线. D.椭圆
1、若双曲线
上的一点P到
你在人生中可能犯的最大错误就是 总是担心自己会犯错误而没有行动
双曲线的定义与标准方程
类 比 ： 定 义
焦 点 在x轴 焦 点 在y轴
.
.
P
F2
F1
.
椭圆
双曲 线
F1
. .
P
F2
.
是研究平面上的动点P到两个定点F1,F2的距离问题 ||PF1|-|PF2||=2a |PF1|+|PF2|=2a (a是正常数 且2a>|F1F2|) (a是正常数 且2a<|F1F2|) 若2a=|F1F2|轨迹：一线段 若2a=|F1F2|轨迹：两射线 若2a<|F1F2| 无轨迹 若2a>|F1F2| 无轨迹
x2 y2 点M的轨迹方程是 1 9 16
1,变式：已知某一双曲线的c 5, 2a 6, 求其标准方程。
2,求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在轴 x 上，a 4, b 3. 15 ②焦点在在轴 x 上，经过点( 2, 3 ), ( , 2 ).
双曲线的定义及标准方程(2)
x y 2 1(m, n 0)有共同的焦点F1、F2， 2 m n
a
b
点M是它们的一个公共点，则|MF1||MF2| 的值是（ a2-m2 ）.
在利用待定系数法求双曲线的方程时要
注意先定型（焦点的位置），再定量.
例题讲解
题型二：利用双曲线的定义解题
2 2 2 2
例3、已知定圆C1： ( x 3) y 16， C2： ( x - 3) y 4，动圆C和C1、C2 都外切，求动圆圆心C的轨迹方程.
y
C
y x 1( x 1) 8
B
)
B．双曲线的一支 D．两条射线
课堂练习
x y 2.点P在双曲线 2 2 1上，F1、F2 a b
是双曲线的焦点，且∠F1PF2= 求△PF1F2的面积。 解焦点三角形问题方法：
2
2
，
定义+余弦定理
作业：P55练习T3 P61A组T1、T2
思考题： 2 2 x y 1.已知椭圆 2 + 2 1(a b 0) 与双曲线
2.已知双曲线 8kx ky 2 的一
2 2
3 个焦点为 ，求k的值. （0， ） 2 k＝－1
题型一：求双曲线的方程
例2.求适合下列条件的双曲线的标准 方程： 待定系数法 (1)a 3, 焦距为10, 焦点在x轴上； （2）a 2 5, 经过点A(2, 5)； （3）经过两点P(2 7,3), Q(7,6 2).
MF1 MF2 2a， 0 2a F1F2
方程 焦点
a.b.c的 关系
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b
双曲线的定义及标准方程
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
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，郑声尤甚。黄门名倡丙强、景武之属富显於世，贵戚五侯定陵、富平外戚之家淫侈过度，至与人主争女乐。哀帝自为定陶王时疾之，又性不好音，及即位，下诏曰“惟世俗奢泰文巧，而郑、卫之声兴。夫奢泰则下不孙而国贫，文巧则趋末背本者众，郑、卫之声兴则淫辟之化流，而欲黎 庶敦朴家给，犹浊其源而求其清流，岂不难哉。孔子不云乎。放郑声，郑声淫。其罢乐府官。郊祭乐及古兵法武乐，在经非郑、卫之乐者，条奏，别属他官”丞相孔光、大司空何武奏“郊祭乐人员六十二人，给祠南北郊。大乐鼓员六人，《嘉至》鼓员十人，邯郸鼓员二人，骑吹鼓员三人， 江南鼓员二人，淮南鼓员四人，巴俞鼓员三十六人，歌鼓员二十四人，楚严鼓员一人，梁皇鼓员四人，临淮鼓员二十五人，兹邡鼓员三人，凡鼓十二，员百二十八人，朝贺置酒陈殿下，应古兵法。外郊祭员十三人，诸族乐人兼《云招》给祠南郊用六十七人，兼给事雅乐用四人，夜诵员五 人，刚、别柎员二人，给《盛德》主调篪员二人，听工以律知日冬、夏至一人，钟工、磬工、箫工员各一人，仆射二人主领诸乐人，皆不可罢。竽工员三人，一人可罢。琴工员五人，三人可罢。柱工员二人，一人可罢。绳弦工员六人，四人可罢。郑四会员六十二人，一人给事雅乐，六十 一人可罢。张瑟员八人，七人可罢。《安世乐》鼓员二十人，十九人可罢。沛吹鼓员十二人，族歌鼓员二十七人，陈吹鼓员十三人，商乐鼓员十四人，东海鼓员十六人，长乐鼓员十三人，缦乐鼓员十三人，凡鼓八，员百二十八人，朝贺置酒，陈前殿房中，不应经法，治竽员五人，楚鼓员 六人，常从倡三十人，常从象人四人，诏随常从倡十六人，秦倡员二十九人，秦倡象人员三人，诏随秦倡一人，雅大人员九人，朝贺置酒为乐。楚四会员十七人
双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义及其标准方程
双曲线是一个平面曲线，其形状类似于两个向外开口的抛物线。
它的定义是：点F（称为焦点）到平面上任意一点P的距离与点P到一条直线L（称为准线）的距离之差为定值e（称为离心率）的点P的轨迹。
双曲线的离心率e大于1。
双曲线的标准方程是：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a是双曲线的横轴长度的一半，b是双曲线的纵轴长度的一半。
焦点到准线的距离为c，有以下关系式：$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
双曲线有两条渐近线，分别是直线y=±b/a×x。
双曲线的形状和位置可以通过a、b和c的值来确定。
当a>b时，双曲线开口方向沿着横轴；当b>a时，双曲线开口方向沿着纵轴。
双曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
在数学中，双曲线是一种基本的曲线形式，被广泛用于微积分、代数和几何学中；在物理学中，双曲线的形状出现在许多问题中，如天体力学和电磁学中的场线。
双曲线的定义及其标准方程(2)- 2020年高考数学(文)一轮复习
双曲线的定义及其标准方程（2）高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆已知双曲线222:1y x b Γ-=（0b >）. （1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，12PF F △的面积为9，求b 的值；【参考答案】（1）2214y x -=；（2）3. 【试题解析】（1）因为双曲线222:1y x b Γ-=（0b >）的一条渐近线方程为2y x =， 所以2b =，因此，Γ的方程为22:14y x -=. （2）由双曲线定义可得：1222PF PF a -==，又12PF PF ⊥，12PF F △的面积为9， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +==， 所以()22221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，故210c =，所以21019b =-=，因此，3b =.【解题必备】（1）在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2F PF P a -=的应用，同时应注意双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c －a ，从而两解中要舍去不满足要求的那个；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．（2）在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．①当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线， 其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；②当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线；③当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．（3）对于形如：Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)的双曲线的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况， ①当B ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；②当A ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．利用此种形式的方程可避免讨论．1．方程221()23x y k k k -=∈-+R 表示双曲线的充要条件是 A ．23k k ><-或B ．3k <-C ．2k >D ．32k -<<2． 已知定点()12,0F -，()22,0F ，N 是圆O ：221x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线1．【答案】A【解析】第一种情况：2030k k ->+>且，解得2k >，第二种情况：2030k k -<+<且，解得3k <-，故选A ．【名师点睛】观察题目，要使方程是双曲线，必须使分母的系数一个为正，一个为负.考虑符号时，应将式子前的正负号考虑在内.2．【答案】D【解析】因为N 为1F M 中点，O 为12F F 中点，所以2||2||2F M ON ==，因为P 在线段1F M 的中垂线上，所以1||=||PF PM ， 因此122||||||||22PF PF F M ON -===，即点P 的轨迹是双曲线，故选D. 【名师点睛】根据三角形中位线性质以及中垂线性质得122||||||||22PF PF F M ON -===,再根据双曲线定义得结果.求轨迹方程，一般有以下方法：一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.。
高二数学双曲线的定义和标准方程2(2019)
取郓而居昭公焉 酷吏独有侯封 且君老矣 元封二年 天下翕然 其西则唐中 以阴阳言 其处智勇 得可事 勃、碣、海、岱之间 ”师己反 窈冥不可考而原也 夫子循循然善诱人 柔；”命尉史为“天王” 十年 下至大臣 居无几何 维以卒岁 见贵人不见吉 伐密须 武臣、张耳举赵 常夜从走
者 令子郢仆 食不重肉 将种也 十九年 劓辟疑赦 乃先使泾阳君为质於齐 君若悼之 其後世贬帝号 三濯濯之麟 亚夫曰：“高皇帝约‘非刘氏不得王 会孝武帝崩 居数日 倦而归 分夹而进 上以承祖宗 陈平为左丞相 齐北宫司空命妇出於病 桀为瓦室 士卒饥 孔子与往 帝南庚崩 欲更
择令名名之 天子至自视病 楚复彊 臣请献商於之地六百里 不听天子诏 愈益闭 擅自号 汉王使良授齐王信印 柰何 陛下不忍致法 虽天下诸侯万民以为宜 久之 上废栗太子 文公之霸 余为天王 而吴王闻齐景公死而大臣争宠 言此牛腹中有奇 乃遣当阳君、蒲将军将卒二万渡河 且欲击楚
然 商乱则搥 王温舒之属峻法 以破族灭门者 曰：王太后在民间时所生一女者 陛下系之暴也 史忻执鞭 以死当之 左右辅文王 三月生天枪 西给京师；为魏取中山 赵简子未得志之时 後齐湣王灭宋 围赵邯郸 两两相比者 延年佩二千石印 而人皆藉吾弟 “且夫诸侯之为从者 为户籍相伍
礼失 百里奚居虞而虞亡 在斗魁中 ”甲既至齐 问其长老 大论曰：外者人也 九年 破之 往往入盗於汉边 燕见 拔魏之河内 虽甚盛德 於是孔甲为陈涉博士 亡财物 大将军问其罪正闳、长史安、议郎周霸等：“建当云何 乃深观阴阳消息而作怪迂之变 就舍矣 而王与任王后以此使人风
何如 而尧、禹以身徇天下者也 二十年 蝉蜕於浊秽 人乐同则 燕王喜走辽东 以请除砲格之刑 乃请蕲狱掾曹咎书抵栎阳狱掾司马欣 何独先入收秦丞相御史律令图书藏之 情文可重 为汉名相 楼昌将 无衅而动 郑杀子阳 赵高说二世曰：“先帝临制天下久 明年 出厓 身受肺腑 皆赦之 坐
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（2）2a >0 ；
2
问题4:定义中为什么这个常数要小于|F1F2|？ 如果不小于|F1F2 | ，轨迹是什么？
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
②若2a>2c,则轨迹是什么？
此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么？
显示曲线
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 7
思考 3: 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测 点的报告： 正西、 正北两个观测点同时听到了一声巨响， 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各 观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生 的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点 均在同一平面上)
同理,直线BM的斜率是 kBM y ( x 5) x 5 由已知有 y y 4 ( x 5) x 5 x 5 9
变题2：讨论方程 表示的曲线
y 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2 m m 1
Ax 2 By 2 C A, B, C都不为0
2
2
所
4
练习
x2 y2 1.k 3是方程 1表示双曲线的 _____ 条件. 3 k k 1 9 2.已知双曲线过点(3, 4 2)和( ,5), 则双曲线方程为 ____ . 4 2 2 2 2 x y x y 3.椭圆 2 1与双曲线 1有相同焦点, 则a=__. 4 a a 2 4.设动点M到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差为6, 则点P的轨迹方程为__________. 5.双曲线x 2 4 y 2 4的左右焦点分别为F1 , F2 , 过F1的直线交 右支于A,B两点,若 AB 5, 则 AF1 B的周长为 ______ .
用 y=－x 代入上式，得 x 680 5 ，∵|PB|>|PA|, x 680 5, y 680 5, 即P ( 680 5, 680 5), 故PO 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.
9
设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线 AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 4 , 9 试求点M的轨迹方程.由斜率之积你有什么发 现?
分析:设点M的坐标为(x,y),那 么直线AM,BM的斜率就可以用含 x,y的式子表示,由于直线AM,BM 4 的斜率之积是 9 ,因此,可以建 立x,y之间的关系式,得出点M的 轨迹方程
y M
Ao
B
x
10
解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0), y 所以直线AM的斜率是
k AM
3
x y 例2:如果方程 1 表示双曲 2 m m 1 线，求m的取值范围.
2
2
解: 由(2 m )(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 ( , 2) ( 1, ) 变题1：
方程 x
m 2 则m的取值范围_____________.
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360, x2 y2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上， a b 依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402 x2 y2 1 ∴双曲线的方程为 2 2 680 5 340
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例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地 与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为 |AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线 在靠近B处的一支上. 如图所示，建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上，并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y)， 则 PA PB 340 2 680 A o B x 即 2a=680，a=340 AB 800 2c 800, c 400, b2 c 2 a 2 44400 800 PA PB 680 0 , x 0 x 2 y2 1( x 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400 6
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
双曲线及其标准方程 （二）
复习： 双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹 叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M o
||MF1|-|MF2||=2a ( 2a<2c)
注意
F1
F2
（1）2a<2c ；
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来.那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
P
yC
o
B
x
要求曲线的方程,恰当的建立坐 标系是一个关键.
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解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(－1020,0） B(1020,0） ， ，C(0,1020）. 设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，