数字信号处理第七章2窗函数设计法

7.865
阻带最小衰减只由窗形状决定
过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关
2020/6/14
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20
3、窗函数法的设计步骤
给定理想的频率响应函数 Hd (e j )
及技术指标 2,
求出理想的单位抽样响应 hd (n)
根据阻带衰减选择窗函数 w(n)
根据过渡带宽度确定N值 N A/
求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应 h(n) hd (n) w(n)
N
2 st p 0.2
s
N A 6.6 33 0.2
N 1 16
2
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5）确定FIR滤波器的h(n)
h(n) hd (n)w(n)
sin
0.3 n 16 n 16
0.54
0.46 cos
n
16
R33 (n)
6）求 H (e j )，验证
若不满足，则改变N 或窗形状重新设计
,
2
)=低通滤课波件 器(2
)
低通滤波器(1
)
28
7、线性相位FIR带阻滤波器的设计
理想带阻的频响：
H
d
(e
j
)
e j 0
其单位抽样响应：
0 1,2 其它 N 1
2
hd (n)
1
2
e d 2 j (n )
1 e j (n )d
1
2
e
j
(
n
)
d
1
n
sin n sin 1 n sin 2 n
阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示
解：1）求数字频率
p p / fs 2p / s 0.2
st st / fs 2st / s 0.4
2 50dB
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2）求hd(n)
Hd
(e
j
)
e j
0
c c c,c
c
c fs
1/ 2
2
p st s
0.3
hd
(n)
1
2
e j e jnd 1
2
e d c j (n )
c
1 (n
)
sin[c
(n
)]
c
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n n
N 1
2
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3）选择窗函数：由 2 50dB 确定海明窗（-53dB）
w(n)
0.54
0.46
cos
2 n
N 1
RN
(n)
4）确定N 值
海明窗带宽： 6.6
二、窗函数设计法
1、设计方法
N 1
H (e j ) h(n)e jn Hd (e j ) n0
1
hd (n) 2
Hd
e j e jnd
h(n) w(n)hd (n)
w(n)：窗函数序列 要选择合适的形状和长度
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1
以低通滤波器为例讨论：
线性相位理想低通滤波器的频率响应：
N
为最小值，负肩峰
c
2
N
随 ，H ()绕零值波动
c
2
N
随 ，H ()绕H (0)波动
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加窗函数的影响：
不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩 峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。
在
c
2
N
处出现肩峰值，两侧形成起伏振
荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少
改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主
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5
加窗处理后对频率响应的影响：
时域乘积相当于频域卷积 h(n) hd (n)w(n)
H (e j ) 1 2
Hd
e j W
e j d
而矩形窗的频率响应：
WR (e j )
N 1
w(n)e jn
j N 1
e2
sin N
2
n0
sin
2
sin N
其幅度函数： WR ( )
H
d
(e
j
)
e j
0
c c c,c
其理想单位抽样响应：
hd
(n)
1
2
c e j e jnd c sin[c (n )]
c
c (n )
中心点为 α 的偶对称无限长非因果序列
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2
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取矩形窗：
w(n) RN (n)
hd
(n)
N
旁瓣幅度更小
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布莱克曼（Blackman）窗 （二阶升余弦窗）
w(n)
0.42
0.5cos
2 n
N 1
0.08
cos
4 n
N 1
RN
(n)
幅度函数： N 1
W
( )
0.42WR ()
0.25 WR
2
N
WR
2
N
0.04
WR
4
N
WR
4
N
主瓣宽度最宽：12
N
N 1 n N 1 2
窗谱： W (e j ) W
j N 1
e2
幅度函数：
W ( )
2 N
sin
N
4
sin
2
2
N 1
主瓣宽度宽： 8
旁瓣幅度较小
N
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汉宁（Hanning）窗 （升余弦窗）
w(n)
1 2
1
cos
2 n
N 1
RN
(n)
幅度函数： N 1
课件
11
矩形窗
w(n) RN (n)
窗谱：
N1
WR (e j ) w(n)e jn WR
j N 1
e2
n0
幅度函数： sin N
WR ()
2
sin
2
主瓣宽度最窄：4
N
旁瓣幅度大
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三角形（Bartlett）窗
2n
w(n)
2
N 1 2n
N
1
0 n N 1 2
瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状 决定，称为Gibbs效应
N
N
sin
幅度函数：WR ( )
2
sin
sin
N
2
N
N sin x x
2
2
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2、各种窗函数
窗函数的要求：
– 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 – 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度
以减小肩峰和波纹
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2
sin
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课件
2
6
理想滤波器的频率响应：
Hd
(e
j
)
Hd
()e
j
N 1 2
其幅度函数：H
d
(
)
1 0
c c
则FIR滤波器的频率响应：
H (e j ) 1
2
j N 1
j N 1( )
Hd ( )e 2 WR ( )e 2
d
j N 1
e 2
1
2
Hd ( )WR ( )d
旁瓣幅度最小
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课件
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凯泽（Kaiser）窗
w(n)
I0
1
1
2n 2 N 1
I0( )
I0 ()：第一类变形零阶 贝塞尔函数
改变 可同时调整主瓣
宽度和旁瓣幅度
旁瓣幅度
但主瓣宽度
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0 n N 1
W
( )
0.5WR ( )
0.25 WR
2
N
WR
2
N
主瓣宽度宽：8
旁瓣幅度小
N
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课件
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海明（Hamming）窗 （改进的升余弦窗）
w(n)
0.54
0.46cos
2 n
N 1
RN
(n)
幅度函数： N 1
W
( )
0.54WR ()0.23 WR Nhomakorabea2
N
WR
2
N
主瓣宽度宽：8
n
1
1
2
n
带阻202滤0/6/1波4 器(1，
2
)=高通滤波器( 课件
2
)+低通滤波器(1
)
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窗函数
窗谱性能指标
加窗后滤波器性能指标
旁瓣峰值 主瓣宽度 过渡带宽 阻带最小衰减
/dB / 2 / N / 2 / N
/dB
矩形窗 -13
2
0.9
-21
三角形窗 -25
4
2.1
-25
汉宁窗 -31
4
3.1
-44
海明窗 -41
4
3.3
-53
布拉克曼窗 -57
6
5.5
-74
凯泽窗 -57
5
-80
其幅度函数：H 1