2-1 质点和质点系的动量定理
合集下载
第3章动量定理
F
I to F t t to
t
Fdt
o
to
t
t
平均冲力与同段时间内变力等效。
第一篇
力学
思考
重 大 数 理 学 院
I p
例1：撑杆跳运动员从横杆跃 过,落在海棉垫子上不会摔伤， 如果不是海棉垫子，而是大 理石板，又会如何呢？
赵 承 均
例2：汽车从静止开始运动， 加速到20m/s。如果牵引力大， 所用时间短；如果牵引力小， 所用的时间就长。
[A]
第一篇
力学
例3.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设 指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为：
重 大 数 理 学 院
（A）mv （B）0 （C）2mv （D）-2mv
赵 承 均
m v v 2mv
[D]
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等 于小球重力冲量的负值，即：
2 mg I N mgT
第一篇
力学
z
mc mi
§3.2 质点系的动量定理 一、质点系
重 大 数 理 学 院
particle system
相互作用的质点构成的整体，称为质 点系。由运动的可迭加性质（亦即矢量的 性质），质点系的整体运动可以看做是各 个质点单独运动的迭加。 质心
第一篇
力学
讨论
重 大 数 理 学 院
动量与冲量的区别
①.动量是状态量；冲量是过程量； ②.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。
冲量定理的使用
第二章动量定理
例题 画椭圆的机构由匀质的曲柄OA ，规尺BD 以及滑块B和D组成，曲柄与规尺的中点A铰接。已 知规尺长2l，质量是2m1 ；两滑块的质量都是m2 ； 曲柄长l，质量是m1 ，并以角速度ω绕定轴O转动。 试求当曲柄OA与水平成角φ时整个机构的动量。
y
B A
w
O
D
x
已知:曲柄OA长l，质量m1，以角速度ω绕定轴O转动。
总质量与质心速度的乘积。
动量的计算: 一般质点系 单个刚体 vc不好求 vc好求
刚体系统
每个刚体的vc好求
p = ∑mivCi
计算下列刚体的动量
轮1,2皆为匀质圆盘,质量为m1、 m2，半径为r1 、 r2，胶带为匀质，质量为m。
例 一直径为D, 质量m1的匀质圆盘，在水平面内以 匀角速度w绕O轴转动。一质量为m2的小球M，在通 过O轴的直径槽内以L=kt(k为常量)的规律运动，则 瞬时t系统的动量的大小为 。
vE
E
D
vD
x
1 (5m1 4m2 )lw 2
px cos( p, x ) , p
cos( p, y )
py p
解法二:
p = pOA + pBD + pB + pD
y vB B
vA
A E D x
pOA = m1vE = m1lω/2
其方向与vE一致，即垂直
w
O y
vE
vD
于OA并顺着ω的转向
( F xe ) (e ) Fy Fz(e )
d 2 xC ( m Fixe ) dt 2 d 2 yC ( m Fiye ) dt 2 d 2 zC ( m Fiz e ) dt 2
质点系动量定理
解：
普通物理学教案
例题2 ：
子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
再结合 式，可得结果。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
有效载荷
第三级火箭
第二级火箭
第一级火箭
制导与控制系统
动力系统
01
04
02
03
N1 = 16；vr = 2.9km/s；
N2 = 14；vr = 4km/s
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
其意为：
质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
卫星支架（卫星分配器）
长征二号E
长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。
震天雷 神火飞鸦 火龙出水 原始火箭 虎头木牌 一 窝 蜂
解：
15º
30º
A
B
v1
v2
15º
30º
作矢量图
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为： 由动量定理： 15º 30º
普通物理学教案
例题2 ：
子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
再结合 式，可得结果。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
有效载荷
第三级火箭
第二级火箭
第一级火箭
制导与控制系统
动力系统
01
04
02
03
N1 = 16；vr = 2.9km/s；
N2 = 14；vr = 4km/s
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
其意为：
质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
卫星支架（卫星分配器）
长征二号E
长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。
震天雷 神火飞鸦 火龙出水 原始火箭 虎头木牌 一 窝 蜂
解：
15º
30º
A
B
v1
v2
15º
30º
作矢量图
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为： 由动量定理： 15º 30º
动量定理
FRe 0，FRex 0, or FRey 0 or FRez 0
m1v1 m2v2 0
v1
m1
v2
m2
质心运动守恒
M aC FRe
F
e R
＝0
vC = C2
C1、 C2 均为常矢量，由初始条件确定。
特殊情形
M aC
FRe
F
e R
0， FRex
0， 或 FRey 0， 或 FRez 0
Fi
运动质点系中所有质点在每一瞬时都具有各自的动 量矢。质点系中所有质点动量矢的集合称为动量系。
K (m1 v1 , m 2 v 2 , , m n v n )
动量系的矢量和，称为质点系 的动量，或动量系的主矢量， 简称为动量主矢。
K mi vi i
K mi vi i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
M
求导
vC
i mivi K MM
K M vc
---- 刚体的动量
两种 计算 方法
三种情形刚体的动量 K 的计算：
(a)
K
mvC
m
l
2
方向与质心速度方向相同
(b) 均质滚轮: K mvC mR
(c) 绕中心转动的均质轮，其动量为零。
(a)
(b)
(c)
刚体系 (A System of n Rigid Bodies)
第10章 动量定理
Principle of Momentum
✓ 物理学基础 ✓ 质点系动量定理
✓ 质心运动定理 !
✓ 质点系动量定理的投影 与守恒形式
物理学基础
质点的动量 —— 质点的质量与质点速度的乘积，
第2章-动量守恒定律
0.6 N s
0
I mv 0
I 0.6 m 0.002kg 2 g v 300
2-1-3 动量守恒定律
质点系的动量定理：
t
t0
Fi dt P P0
有
当 Fi 0 时，
动量守恒定律：
P P0
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
其中：
பைடு நூலகம்
fi 0
f12 f21 m2
系统总末动量： P mi vi
系统总初动量：
F2
P0 mi vio
F1
m1
合外力的冲量：
t
t0
Fi dt
t
t0
Fi dt P P0 P
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。 微分式：
dL M0 dt
质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量随时间的变化率 等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：
t2 t1
t2
t1
M 0dt L2 L1
M 0 dt 称为“冲量矩”
n n 质点系的角动量： L Li ( ri pi ) i 1 i 1
dri dpi dL 两边对时间求导： pi ri dt dt dt dri dpi pi 0 ri ri Fi f i 上式中 dt dt dL ri Fi ri f i dt 上式中 ri fi 0 合内力矩为零
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
2-1 质心 质心运动定理
Ch2 运动的守恒量和守恒定律§2-1质点系的内力外力质心质心运动定理§2-1 质心质心运动定理动量守恒定律1、质点系的内力和外力质心质心的位置例：任意三角形的每个顶点有一质量m 的小球，求/r m r M =∑G Gz yOΔm ir微元分割！例3-7 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
3、质心运动定理质心运动定理G G G G G d v1 G m 1 a1 = m 1 = F1 外 + f 12 + f 13 + " + f 1 n , dt G G G G G d v2 G m 2a2 = m 2 = F2 外 + f 21 + f 23 + " + f 2 n , dt G G G G G d vn G = Fn外 + f n 1 + f n 2 + " + f n ( n − 1) , m nan = m n dt G G G G 由于内力 f12 + f 21 = 0," , f in + f ni = 0, ...由牛顿第二定律:""∴G ∑ m i ai =G ∑ F i外11/18中国矿业大学（北京）质心运动定理G ∑ m i ai =G ac =G ∑ F i外 G ∑ m i aiG ac =G ∑ Fi外∑m∑m=G ∑ Fi外 Mi∑G G Fi外 = M a ci质心运 动定理不管物体质量如何分布，也不管外力作用在物体 什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全都集 中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质 点的运动一样。
12/18 中国矿业大学（北京）补充例题1例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用 绳彼此拉对方。
开始时静止，相距为l。
问他们将在何 处相遇？m2m1Ox20x10x13/18中国矿业大学（北京）补充例题1解：可直接由质心运动定律求出。
初始静止时，小孩系统的质 心位置： m 1 x 10 + m 2 x 20 1 xc = m1 + m 2m2C xcx10m1∑G G G Fi外 = M a c ⇒ a c = 0O x20x质心位置，在过程中应该始终保持静止。
2-1-1质点系的内力和外力质心
rc r d m / M
xc x d m / M
分量形式 yc y d m / M zc z d m / M
线分布 d m dl 面分布 d m d S 体分布 d m dV
质心
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
刚体的质心相对自身位置确定不变。
质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
2. 质心运动定理
设有一个质点系，由 n 个质点组成，它的质心
的位矢是：
rc
mi ri
mi
m1r1
m2 r2
mn rn
m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
质心运动定理
质心的加速度为
ac
d vc dt
mi
d vi dt
4、如果合外力在某一方向上的分量为零， 则该分量的动量也守恒。即使这时其它 的动量分量和系统总动量不守恒。
5、动量守恒式中的速度必须是针对惯性系 的速度。通常地球可看作近似的惯性系。
注意：动量守恒定律中系统内各
质点动量都是针对同一参考系，而 且这个参考系必须是惯性系。对于 非惯性系，动量守恒定律不成立
质心运动定理还表明：质心的运动状 态完全决定于质点系所受的外力，内力 不能改变质心的运动
如：炮弹在其飞行轨道上爆炸，它的碎 片散向四面八方。如果把炮弹看作一个质心 系统，由于爆炸力为内力，内力不能改变质 心的运动，那么炮弹碎片的质心仍将按原来 的弹道曲线运动。
例如：人在水平地面上行走，靠地面给 予鞋底的摩擦力，使人的质心获得水平 方向的加速度，摩擦力对人来讲是外力。
Mvc
=常矢量
i
xc x d m / M
分量形式 yc y d m / M zc z d m / M
线分布 d m dl 面分布 d m d S 体分布 d m dV
质心
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
刚体的质心相对自身位置确定不变。
质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
2. 质心运动定理
设有一个质点系，由 n 个质点组成，它的质心
的位矢是：
rc
mi ri
mi
m1r1
m2 r2
mn rn
m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
质心运动定理
质心的加速度为
ac
d vc dt
mi
d vi dt
4、如果合外力在某一方向上的分量为零， 则该分量的动量也守恒。即使这时其它 的动量分量和系统总动量不守恒。
5、动量守恒式中的速度必须是针对惯性系 的速度。通常地球可看作近似的惯性系。
注意：动量守恒定律中系统内各
质点动量都是针对同一参考系，而 且这个参考系必须是惯性系。对于 非惯性系，动量守恒定律不成立
质心运动定理还表明：质心的运动状 态完全决定于质点系所受的外力，内力 不能改变质心的运动
如：炮弹在其飞行轨道上爆炸，它的碎 片散向四面八方。如果把炮弹看作一个质心 系统，由于爆炸力为内力，内力不能改变质 心的运动，那么炮弹碎片的质心仍将按原来 的弹道曲线运动。
例如：人在水平地面上行走，靠地面给 予鞋底的摩擦力，使人的质心获得水平 方向的加速度，摩擦力对人来讲是外力。
Mvc
=常矢量
i
大学物理质点和质点系的动量定理
01
03
详细描述：冲量被定义为力和力的作用时间的乘积， 是改变物体动量的量。在直线运动中，冲量等于物体
动量的变化量。
04
总结词：冲量概念
质点在曲线运动中的动量定理应用
总结词：复杂应用 总结词：刚体运动
详细描述：质点在曲线运动中，动量定理的应用 需要考虑力的方向和大小随时间的变化。通过分 析力和速度的变化，可以深入理解物体运动的规 律。
质点
在物理学中，质点是一个理想化的模 型，用于描述具有质量的点在空间中 的运动。质点不考虑形状、大小和旋 转，只考虑其位置和质量。
质点系
质点系是由两个或多个质点组成的系 统。这些质点之间可以相互作用，如 万有引力、弹性力等。
动量的定义和计算方法
• 动量：物体的动量定义为质量与 速度的乘积，用符号p表示。计 算公式为p=mv，其中m为物体 的质量，v为物体的速度。
详细描述：刚体运动是质点在曲线运动中的一种 特殊情况，其特点是物体形状和质量分布不随时 间改变。动量定理在刚体运动中可以用来分析旋 转和角速度的变化。
质点系在碰撞中的动量定理应用
总结词：碰撞分析
详细描述：质点系在碰撞过 程中，动量定理是重要的分 析工具。通过分析碰撞前后 的动量和力的关系，可以确 定碰撞的性质（弹性、非弹 性）和能量损失情况。
总结词：动量守恒定律
详细描述：在理想情况下， 没有外力作用时，质点系内 的动量是守恒的。动量守恒 定律是动量定理的一种特殊 情况，广泛应用于物理和工 程领域。
03 质点和质点系的动量定理 的推导和证明
动量定理的推导过程
初始状态 假设一个质点在某个时刻的速度 为 (v)，质量为 (m)，则该质点的 动量为 (p = mv)。
简述质点系的动量定理及动量守恒定律
动量是物体运动状态的一种量度，它与物体的质量和速度成正比。
质点系的动量定理和动量守恒定律是描述物体运动规律的重要定律，对于理解和研究物体的运动具有重要意义。
本文将从简述质点系的动量定理开始，逐步深入探讨动量守恒定律，希望能够为读者提供一份深入浅出的参考。
1. 质点系的动量定理质点系的动量定理是描述质点系受力情况下动量的变化规律的定理。
根据牛顿第二定律，质点系的动量定理可以表述为：当一个质点系受到合外力时，它的动量随时间的变化率等于合外力的作用，即\[ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} \]其中，\[ \vec{p} \]代表质点系的动量，\[ \vec{F} \]代表合外力的矢量。
这个定理表明了力对物体动量的影响，是经典力学中非常重要的基本定律之一。
2. 动量守恒定律当质点系受到合内力作用时，它的动量不会发生改变，这就是动量守恒定律的基本内容。
对于一个封闭系统来说，合内力为零，因此动量守恒定律可以表述为：在一个封闭系统内，当没有合外力作用时，质点系的动量保持不变，即\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{p}_1' +\vec{p}_2' + \cdots + \vec{p}_n' \]其中，\[ \vec{p}_i \]代表质点i的初始动量，\[ \vec{p}_i' \]代表质点i的最终动量。
动量守恒定律是一个非常重要的物理定律，它对于理解和分析自然界中的各种物理现象具有重要作用。
3. 个人观点和理解动量定理和动量守恒定律的提出和应用，使我们能够更深入地理解物体运动规律，并且在工程技术和自然科学研究中得到了广泛的应用。
在实际生活中，通过对动量定理和动量守恒定律的应用，我们可以更好地理解交通事故、火箭发射和碰撞实验等现象。
这些定律的深入理解和应用，有助于我们更加科学地分析和解决相关问题。
第章动量守恒定律-文档资料
t
结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长， 物体受到的平均冲力越小；反之则越大。
海绵垫子可 以延长运动员下 落时与其接触的 时间，这样就减 小了地面对人的 冲击力。
2．质点系的动量定理
设 有n个质点构成一个系统
Fi
第i个质点： 质量 m i
内力 fi
初速度 vio 末速度 v i
m v v 2 m 1 t2 t1 t2 t1
t1
t2
F d t
m v
t 越小，则
m v1
F
m v2
F
越大
例1、质量m = 1kg的质点从o点开始沿半径R = 2m的 圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动 方程为 s 0 .5 t2 m。试求从 t1 2s到 t2 2 s这 段时间内质点所受合外力的冲量。
系统总初动量：
F2
P m v 0 i io
F1
m1
合外力的冲量：
t
t0
Fidt
F d t P P P i 0
t t 0
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。 微分式：
dP Fi dt
注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。
（2）
4 10 3 400 解： （1） F400 t 0 t 0 . 003 s 5 3 4 10
5
0 . 003 5 0 . 003 5 2
4 10 4 10 t I F d t 400 t d t 400 t 0 . 6 N s 0 3 2 3 0
由质点动量定理：
大学物理质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t2
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.
F2 t1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 F21 F12 t2 F1 m2 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 m1 t1 因为内力 F12 F21 0 ，故 t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
注意：
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 . ex dp i ex 力的瞬时作用规律 F , F 0, P C dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统 内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同 一惯性参考系 .
t0 i i i
可知
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 .
ex 力的瞬时作用规律 F ex dp , F 0, P C dt
i
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律 动量守恒定律
I E
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
t2 冲量 力对时间的积分（矢量） I Fdt
t1
t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律
mv1
F
t1 t2
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.
F2 t1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 F21 F12 t2 F1 m2 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 m1 t1 因为内力 F12 F21 0 ，故 t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
注意：
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 . ex dp i ex 力的瞬时作用规律 F , F 0, P C dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统 内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同 一惯性参考系 .
t0 i i i
可知
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 .
ex 力的瞬时作用规律 F ex dp , F 0, P C dt
i
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律 动量守恒定律
I E
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
t2 冲量 力对时间的积分（矢量） I Fdt
t1
t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律
mv1
F
2_2_1动量动量定理
v 在 ∆ p 一定时
F
Fm
F
o
t
t1
t2
2-2-1 质点和质点系的动量定理 3–1 质点和质点系的动量定理 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 1 第二章 对称性与守恒定律
动量定理与牛顿定律的关系
牛顿定律 力的效果 关系 适用对象 适用范围 解题分析 力的瞬时效果 牛顿定律是动量定 理的微分形式 质点 惯性系 必须研究质点在每 时刻的运动情况 动量定理 力对时间的积累效果 动量定理是牛顿定律 的积分形式 质点、质点系 惯性系 只需研究质点（系） 始末两状态的变化
O
F
ex
= m1 g = λyg
ex
m1 y
y
由质点系动量定理得
F dt = dp
2-2-1 质点和质点系的动量定理 3–1 质点和质点系的动量定理 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 1 第二章 对称性与守恒定律
又
F dt = dp dp = λ d( yv)
exm2OFra bibliotekd ( yv ) 则 yg = dt 两边同乘以 yd y 则
2
∴ λ yg d t = λ d( yv )
m1 y
y
d ( yv ) y gdy = ydy = yv d( yv ) dt
g ∫ y d y = ∫ yv d( yv)
y 2 yv 0 0
1 3 1 2 gy = ( yv) 3 2 2 12 v = gy 3
2-2-1 质点和质点系的动量定理 3–1 质点和质点系的动量定理 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 1 第二章 对称性与守恒定律 力的累积效应 累积效应
v v v F (t )对 t 积累 → p , I v v F 对 r 积累 → W , E
大学物理动量定理
子弹穿过两木块所用的时间分别为t1和t2，木块对子 弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度大小
为
，木块B的速度大小为
.
解：
F t1 m1vA m2vA
vA
F m1
t1 m2
F t2 m2vB m2vA
vB
F t2 m2
vA
F t2 m2
F m1
t1 m2
2-8. 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量
机械能守恒：
1 2
m2 v02
1 2
(m1
m2 )v2
1 2
kxm2 ax
1 xmax 2 x0
下次课内容：
§3-1 刚体运动的描述 §3-2-1 力矩 §3-2-2 刚体绕定轴转动定律
j
t
i
v bs
a in t
sin j]
t
i
b cost Fx m 2 x
j
dt
m2[x i y j ]
Fy m2 y
A(a,0) B(0, b)
Wx
0
a Fxdx m2
0 xdx 1 ma22
a
2
Wy
b
0 Fydy m 2
bydy 1 mb2 2
0
2
质点动能定理
W
为
r
a
cos
t
i b sin t j
(SI).
式中a，b， 是正值常
数, 且a > b.
(1)求质点在A点(a，0)和B 点(0，b)的动能; (2)求质点所 受的作用力 F 以及质点从A点运动到B点 的过程中 F 的分力Fx和Fy分别做的功.
解：
2-1质点系的内力和外力
上页 下页 返回 退出
上页 下页 返回 退出
选择进入下一节 §2-0 教学基本要求
§2-1 质点系的内力和外力
§2-2 动量定理 §2-3 功 动能 §2-4 保守力 动能定理 成对力的功
质心
质心运动定理
动量守恒定律 势能
§2-5 质点系的功能原理
机械能守恒定律
§2-6 碰撞
§2-7 质点的角动量和角பைடு நூலகம்量守恒定律
rc
rdm rdm m dm
y c rc dm
直角坐标系下
xc yc zc
线分布
xdm/ m ydm/m zdm/m
r
O x
面分布 体分布
d m dl dm dS d m dV
z
上页 下页 返回 退出
注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心 与重心位置重合。
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统，称为质点系。 内力：系统内部各质点间的相互作用力。 特点：成对出现；大小相等方向相反。
' F 内
F 内
结论：质点系的内力之和为零 F内i 0
i
质点系 外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力。
F
约定：系统内任一质点受力之和写成 外力之和
xc
xdm
m
a/ 2
0
2 x dx
1 2 a 2
2 a 3
O x
x
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
上页 下页 返回 退出
选择进入下一节 §2-0 教学基本要求
§2-1 质点系的内力和外力
§2-2 动量定理 §2-3 功 动能 §2-4 保守力 动能定理 成对力的功
质心
质心运动定理
动量守恒定律 势能
§2-5 质点系的功能原理
机械能守恒定律
§2-6 碰撞
§2-7 质点的角动量和角பைடு நூலகம்量守恒定律
rc
rdm rdm m dm
y c rc dm
直角坐标系下
xc yc zc
线分布
xdm/ m ydm/m zdm/m
r
O x
面分布 体分布
d m dl dm dS d m dV
z
上页 下页 返回 退出
注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心 与重心位置重合。
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统，称为质点系。 内力：系统内部各质点间的相互作用力。 特点：成对出现；大小相等方向相反。
' F 内
F 内
结论：质点系的内力之和为零 F内i 0
i
质点系 外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力。
F
约定：系统内任一质点受力之和写成 外力之和
xc
xdm
m
a/ 2
0
2 x dx
1 2 a 2
2 a 3
O x
x
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
质点系的动量定理
t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
3-2-1质点的冲量 动量定理 质点系的动量守恒定律
但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零， 动量守恒可在某一方向上成立。
4.动量守恒定律只适用于惯性系。
大学物理学
北京交通大学 理学院 赵红娥
物体动量的矢量和不变，而不是指
某个物体的动量不变。
N
∑ 2.系统动量守恒条件：F外 = Fi外 = 0 i =1
满足下面之一：
①系统不受外力；
②合外力=0；
③内力>>外力。
如在碰撞、打击、爆炸等相互作 用时间极短的过程中，内力>>外 力，可略去外力。
N
∑ 3.若 F外 = Fi外 ≠ 0 ， i =1
大学物理学
三、 质点的冲量 动量定理 质点系的动量守恒定律
冲量
由力的定义式
F
dP =
得 Fdt = dp
dt
考虑时间过程 : t1 → t2
∫ ∫ t2 Fdt = t1
p2 dp
p1
=
p2
−
p1
=
∆p
定义力的作用对时间的积累量称为力的冲量
∫ I = t2 Fdt t1
国际单位：Ns 量纲：MLT－1
(3) 动量定理的分量式
∫
I
x
=
t2 t1
Fx dt
=
mv 2 x
− mv 1 x
∫
I
y
=
t2 t1
Fy dt
=
mv 2 y
− mv 1 y
∫
I
z
=
t2 t1
Fz dz
=
mv 2 z
− mv 1z
思考问题： “一质点在某一过程中，所受合力的冲 量为零，则该质点的动量一定守恒”。 这说法正确否？ 答：不对。
4.动量守恒定律只适用于惯性系。
大学物理学
北京交通大学 理学院 赵红娥
物体动量的矢量和不变，而不是指
某个物体的动量不变。
N
∑ 2.系统动量守恒条件：F外 = Fi外 = 0 i =1
满足下面之一：
①系统不受外力；
②合外力=0；
③内力>>外力。
如在碰撞、打击、爆炸等相互作 用时间极短的过程中，内力>>外 力，可略去外力。
N
∑ 3.若 F外 = Fi外 ≠ 0 ， i =1
大学物理学
三、 质点的冲量 动量定理 质点系的动量守恒定律
冲量
由力的定义式
F
dP =
得 Fdt = dp
dt
考虑时间过程 : t1 → t2
∫ ∫ t2 Fdt = t1
p2 dp
p1
=
p2
−
p1
=
∆p
定义力的作用对时间的积累量称为力的冲量
∫ I = t2 Fdt t1
国际单位：Ns 量纲：MLT－1
(3) 动量定理的分量式
∫
I
x
=
t2 t1
Fx dt
=
mv 2 x
− mv 1 x
∫
I
y
=
t2 t1
Fy dt
=
mv 2 y
− mv 1 y
∫
I
z
=
t2 t1
Fz dz
=
mv 2 z
− mv 1z
思考问题： “一质点在某一过程中，所受合力的冲 量为零，则该质点的动量一定守恒”。 这说法正确否？ 答：不对。
质点动力学-动量及动量定理
当力连续变化时
t I t F d t
2 1
分量式：
Fx
Ix Iy Iz
t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fx dt F y dt Fz dt
t I t F d t
2 1
+
0 t1 t2 t
（注意可取 + -号）
冲量的几何意义：冲量
I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
物体状态的改变不仅与所受到的力 F 有关， 还与力作用的延续时间 t有关 冲量
（例：推车）
有关，还与 物体状态的改变不仅与速度 v
物体的质量 ｍ 有关 动量
（例：木、铁锤敲钉子） 显然，我们必须把注意力从力和运动的 瞬时关系转向力和运动的过程关系
冲量
质点动量定理 方向：速度的方向
1、动量 （描述质点运动状态，矢量）
解： 车和煤为系统,向下为Y正向， 向左为X正向，建立坐标系。 v2 tt+dt时刻，dm = dt
X
v1
Y
P (t ) ( m0 t )v 2 dt v1 P ( t d t ) ( m0 t d t ) v 2 dP P (t dt ) P (t ) (v 2 v1 )dt
P＝ m v 大小：mv
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）
I
方向：速度变化的方向
（1） 常力的冲量
I Ft
（2） 变力的冲量 F2 t 2 F1 t 1
Fi t i Fn t n
I
I F1t1 F2t2 Fntn
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
t I t F d t
2 1
分量式：
Fx
Ix Iy Iz
t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fx dt F y dt Fz dt
t I t F d t
2 1
+
0 t1 t2 t
（注意可取 + -号）
冲量的几何意义：冲量
I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
物体状态的改变不仅与所受到的力 F 有关， 还与力作用的延续时间 t有关 冲量
（例：推车）
有关，还与 物体状态的改变不仅与速度 v
物体的质量 ｍ 有关 动量
（例：木、铁锤敲钉子） 显然，我们必须把注意力从力和运动的 瞬时关系转向力和运动的过程关系
冲量
质点动量定理 方向：速度的方向
1、动量 （描述质点运动状态，矢量）
解： 车和煤为系统,向下为Y正向， 向左为X正向，建立坐标系。 v2 tt+dt时刻，dm = dt
X
v1
Y
P (t ) ( m0 t )v 2 dt v1 P ( t d t ) ( m0 t d t ) v 2 dP P (t dt ) P (t ) (v 2 v1 )dt
P＝ m v 大小：mv
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）
I
方向：速度变化的方向
（1） 常力的冲量
I Ft
（2） 变力的冲量 F2 t 2 F1 t 1
Fi t i Fn t n
I
I F1t1 F2t2 Fntn
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
N / mg 6.5 56 5.5102 5.5103 略重力作用
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
例2 一长为 l、密度均匀的柔软链条，其单位长度
的质量为λ． 将其卷成一堆放在地面上 ．若手提链条
的一端 ， 以匀速 v 将其上提．当一端被提离地面高度
m1v1 m2 v1 v m1 m2 v
即
v m1v1 m2 v1 v 7000 .1m s1
m1 m2
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
（2）动能的变化为
Ek
1 2
m2 8.1103 kg，为有效完成连接，神舟以相对速度 v 0.2m s1接近并与天宫实现软连接。求：
（1）天宫与神舟实现“软连接”后的共同速度； （2）连接过程中损失的动能。
解 （1）在对接瞬间，神舟八号相对于地面的速度 v2 v1 v
而对接后，他们的速度为v。于是，有
ex
dp ,
i
F
ex
0,
PC
dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统
内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同
一惯性参考系 .
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
2）守恒条件 合外力为零 F ex
t1
n mi viLeabharlann i1n mi vi0
i1
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
I
p
p0
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb 且方向相反 则
pe
p n mi vi 恒矢量
即 pie1 pν pN 0
pν
p N
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
pe 1.2 1022 kg m s1
pe
p 6.4 1023 kg m s1
物理学教程 （第二版）
因此，球所受的平均冲量为 I Ft Fxt 2mv cos
它的方向与Ox轴正向同，这正与钢球动量的变化方向一致。
在时间间隔t 内，球所受的平均冲力为
F
Fx
2mv cos
t
由牛顿第三定律知，球对钢板作用的平均冲力与钢板对球作
用的平均冲力大小相等，方向相反，所以球对钢板的平均冲
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
重点
物理学教程 （第二版）
冲量 质点的动量定理 质点系的动量定理 动量守恒定律
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
力的累积效应
F 对时间的积累
i Fiex 0
当 F ex F in 时，可略去外力的作用, 近似地
认为系统动量守恒 . 例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中.
3）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
Fxex 0 , px mi vix Cx Fyex 0 , py miviy Cy Fzex 0 , pz miviz Cz
m1v12
1 2
m2v22
1 2
m1
m2 v2
作为近似计算，取 m1 m2 8.1103 kg
可得
Ek 81J
这个损失的动能，有很大部分出储存在弹性环中，并在天宫与 神舟分离时，作为弹射能释放出来，只有少部分动能损失在机 械碰撞中。
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
o
轴上的分量为 v2x v cos , v2 y v sin
x
由动量定理的分量式可得，在碰撞过程中
球所受的冲量为
v2
Fxt mv2x mv1x 2mv cos
y
Fyt mv2 y mv1y 0
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
均冲力和重力之比.
z
解: 撞前锤速 v0 2gh , 撞后锤速零.
t
h
m 0 (N mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh
N 1 1 2h 1 0.55
mg t g
t
t s 0.1 102 103
104
在碰撞或打 击瞬间常忽
物理学教程 （第二版）
复习
1 冲量 力对时间的积分（矢量）
I
t2
Fdt
2 动量定理
I
t2 t1
Fdt
p 2
p1
t1
mv2
mv1
质点系动量定理
I ex
t2 t1
F exdt
n i 1
mivi
n i 1
mivi 0
I
p
物理学教程 （第二版）
质点系动量定理
I
t2 t1
F exdt
n i 1
mi vi
n i 1
mi vi 0
三 动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零 F ex Fiex 0
则系统的总动量守恒，即 p
pi
i
保持不变 .
力的瞬时作用规律
F
为 y 时，求手的提力．
y
y
o(l y)g
F yg
在 tF解时刻d取d链ypt地g条面动参(v量F考ddyt系pj,y(tg链))条jv2为jyd系vp统j .
FN
dt
可得 F v2 yg
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
t 越小，则 F 越大 .
例如人从高处跳下、飞
机与鸟相撞、打桩等碰撞事
F
t2 t1
Fdt
F
(t2
t1)
Fm
F
件中，作用时间很短，冲力 很大 .
o t1
t
t2
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
问：为什么迅速地把盖在杯上的薄板从侧面打去， 鸡蛋就掉在杯中；慢慢地将薄板拉开，鸡蛋就会和薄 板一起移动？
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
引言
物理学教程 （第二版）
牛顿第二定律指出，在外力作用下，质点的运动状态要发 生改变，获得加速度。然而力不仅作用于质点，而且更普遍 地作用于质点系的。此外，力作用于质点或者质点系往往还 有一段持续时间，或者持续一段距离，这就是力对时间的累 积作用和力对空间的累积作用。在这两种累积作用下中，质 点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移。在一定 条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。动量守恒定律 和能量守恒定律不仅适用于机械运动，而且适用于物理学中 各种运动形式。可以这样说，它们是自然界中已知的一些基 本守恒定律中的两个。本章的主要内容有：质点和质点系的 动量定理和动能定理，外力与内力、保守力与非保守力等概 念，以及动量守恒定律、机械能守恒定律和能量守恒定律。
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
t2 t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
动量定理 在给定的时间内，外力作用在质点上的 冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .
分量形式
I Ixi Iy j Izk
4） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自然 界最普遍，最基本的定律之一 .
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
例 天宫一号与神州八号对接任务的完成，标志着我国
已初步掌握建立空间站的关键技术。天宫一号的质量
m1 8.5103 kg，飞行速度 v1 7000 m s1；神舟八号的质量
物理学教程 （第二版）
例 设有一静止的原子核, 衰变辐射出一个电子和
一个中微子后成为一个新的原子核. 已知电子和中微子
的运动方向互相垂直, 电子动量为1.210-22 kg·m·s-1,中
微子的动量为 6.410-23 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动量
的值和方向如何?
解 Fiex Fiin
力为
F 2mv cos 14.1N
t
方向与Ox轴正向相反。
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
物理学教程 （第二版）
二 质点系的动量定理
t2
t1