中考数学专题复习 “PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆) 学案

“胡不归”与“阿氏圆”

背景：

初中几何常见考查线段最值问题，解决问题本质思想有两个：在平面内①两点之间线段最短②垂线段最短

(三边关系)

若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为3、5，则d的最大值是_____

(斜边大于直角边)

如图，已知AB=10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角PBD，求CD的最小值

(费马点)

已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最

小值为 ，求此正方形的边长

(圆外一点与圆上点距离最值)

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′C长度的最小值

如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值

(将军饮马特例)

如图，在锐角△ABC中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则求BM+MN 的最小值.

(垂径定理相关最值)

如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，

当∠OPA取最大值时，PA的长等于____.

答案：4；5；2；1 ；4；；

BUT以上专题不作为我们今天的主题，TODAY WE STUDY : “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

胡不归

前景引入：

从前，有一个小伙子在外地读书，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于着急的不行，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

胡不归问题探究：

已知：

AC 上方为砂地，速度为V 2， AC 上则为平地，速度为V 1 ,

路线1：走AB

路线2：走AD 后再走DB

求解：D 在何处所花时间最短？

问题解决：

路线1时间：12AB

t V =

路线2时间：212AD DB

t V V =

+

关键点：将V 1转化为V 2

作∠CAE=∠α，使得2

1

sin V V α=

过点B 作BE ⊥AE 交AC 与点D,

则D 为所求点，此时：

211211

sin AD DE DE DE

V V V V V V α===⋅

则路线2时间变为：22BE

t V =

A

模型归纳：在当V 2等于1个单位每秒，V 1等于1k

个单位每秒

时，则路线2所用时间变为了211

AD DB kA t k D DB

=+=+，即PA+k ·PB 型的最值问题

模型说理：

如下图，A,B 为定点，P 为射线BM 上一点，求PA+k ·PB 的最小值及确定P 点的位置

分析：关键是转化k ·PB 的大小， 构造∠NBM，使sin∠NBM =k， 过P 作PQ ⊥BN 与点Q,此时 PQ=PB ·sin∠NBM= k ·PB 求PA+k ·PB 的最小值转化为 求PA+ PQ 的最小值，则过A 作AQ ⊥BN 与点Q 交BM 于点P , 此时AQ 即为最小值，P 为所求点

M

M

M

本质：垂线段最短

解题步骤：

1.将所求线段写成PA+k ·PB 的形式（0

2.在PB 一侧，PA 异侧，构造一个角度α，使sin α=k

3.过A 做构造的角的另一边的垂线，则垂线段即为所求最小值

4.计算即可

注意：当k 大于1时需要变换（提取k ）

M

牛刀小试

例1：如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，求解AM+12

BM 的最小值。

详解：如图，作AN ⊥于BC 垂足为N, ∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC=60

∴∠DBC=30°，即1sin 2MN DBC BM ∠== ∴12BM=MN ，∴AM+12即AM+12

BM 的最小值为AN.

在Rt △ABN 中，AN=AB ·sin ∠ABC=4=.

∴AM+12

BM 的最小值为.

变式思考 ：

(1)改为求2AM+BM 的最小值？AM+BM+CM 的最小值？ (2)改为求AM+2BM 的最小值？

B

例2：如图所示，点A为直线l外一定点，点B,C为直线l上两点，且AB=2，∠ABC=15°，点P为直线l上的动点，请确定

BP最小，并求出这个最小值。

点P的位置，使AP+1

2

变式思考：改为求

的最小值？

例3：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若

AB=2，则AP+BP+CP的最小值为_____