实数与向量相乘及向量的线性运算(基础) 知识讲解
向量与实数之间的计算公式
向量与实数之间的计算公式向量与实数是线性代数中的重要概念，它们之间的计算关系在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨向量与实数之间的计算公式，包括向量的数乘、向量加法、向量减法等基本运算，以及这些运算在实际问题中的应用。
1. 向量的数乘。
向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。
假设有一个向量a和一个实数k，那么向量a乘以实数k的结果是一个新的向量，记作ka。
具体计算公式如下：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)是原始向量，k是实数，ka是数乘后的新向量。
数乘的运算规律包括分配律、结合律和交换律，即：k(a + b) = ka + kb。
(k1k2)a = k1(k2a)。
k(a + b) = ka + kb。
数乘的概念在物理学中有着广泛的应用，例如力的大小和方向就可以用向量来表示，而力的大小和方向的变化可以通过数乘来描述。
2. 向量加法。
向量加法是指两个向量相加的运算。
假设有两个向量a和b，它们的加法结果记作a + b，具体计算公式如下：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a + b是它们相加后的新向量。
向量加法满足交换律和结合律，即：a +b = b + a。
(a + b) + c = a + (b + c)。
向量加法在几何学中有着重要的应用，例如两个力的合成就可以用向量加法来表示。
3. 向量减法。
向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。
假设有两个向量a和b，它们的减法结果记作a b，具体计算公式如下：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a b是它们相减后的新向量。
24.6(1)实数与向量相乘wjy
2
5 D EF AD 4
F
3
BC与AD方向相同
3 BC AD 2 C 5 FE AD 4
FE与AD方向相反
例4. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向量．
（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF. 1 A 解: AB AD DB m a 2 1 CA CD DA a m 2
a
5 例1. 已知非零向量a，求作： (1) a ，(2) 3 b． 2 b a 5 (3) a 3 b 2
思考：
| a |= 3， | b |= 4，若c = 2a - 3b，则| c | 的取值范围是 _____
例2.如图：在□ABCD中，E，F，G，H分别为各 边的中点，EG与FH相交于点O，设AD=a， BA=b，试用向量a或b表示向量OE，OF，并写出 E 图中与OE相等的向量． A
复习提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？ 既有大小又有方向的量叫向 量，一般用有向线段表示. 2、什么叫平行向量？ 方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
3、什么叫相等向量？ 长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
一、向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要 把第二个向量与第一个向量首尾相接， 那么，以第一个向量的起点为起点，第 二个向量的终点为终点，所得的向量即 是这两个向量的和向量．
A
D
B
E
C
练习.如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，
4 DE∥BC, ， S四边形BCED 5 S ADE
试用向量CB表示向量DE．
A
解:
SADE 4 S BCED 5 SADE 4 SABC 9
24-6《实数与向量相乘》PPT(上海教育版)PPT课件
(a)
(a)
=
?
❖ 概n 念教学
在此基础上我们规定向量的另一种新的运 算，即实数与向量相乘的运算：一般的， 设n为正整数，a为向量，那么我们用na表示
个相加，na与a 是平行向量；用 na表示n个 a
相加， na与 a是平行向量.又当 m为正整数时，
表示n与a 同向a且长度为的向量. m
2．例题分析
四、巩固练习
如设图，AB矩 a形, DAABCb试D中用，向E量、Ma、, b表F、示N向是量ABAE、, ADD，C 并的写三出等图分中点与，
AE, DA向相等的向量.
E
M
A
B
D
C
F
N
五、反思小结
1、这节课你学会了什么？ 2、你还有什么疑惑吗？
a 例题2 已知非零向量
，求作
5 2
a,3a,
3a,并指出他们的长度和方向.
请例分用题别向是3已量各知边a平,的b行中表四点示边E向形G量与AOBFECH,DO相中F交，，于并E点写、O出F、.设图G中、与AHD向、量aO, BEA
b
相等的向量.
A
H
D
E
O
G
B
C
F
例题4、已知点D、E分别在 的边AB 与AC上DE∥BC，
24.6实数与向量相 乘 (1)
一、 情景引入
温故知新
1．向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？平 行四边形法则是怎么表示的？
2．已知：向量
a,b
求：（1） a
ab
b
（2）
a
b
3、填空：a a a
，那么
a
a
a
？
附录3实数与向量的乘积
第八章 平面向量的坐标表示附录：3 实数与向量的乘积教学目标：1．理解实数与向量乘积的意义，知道→a λ的大小、方向与→a 的大小、方向之间的关系2．掌握实数与向量相乘的结合律和两条分配律3．掌握两个非零向量平行的充要条件4. 应用向量平行的充要条件解决一些简单的几何问题教学重点：实数与向量的乘积教学难点：实数与向量的乘积教学过程：一、新课讲解一般地，实数λ与非零向量→a 的乘积是一个向量，记作→a λ，→a λ的模和方向规定如下： 1.→→⋅=a a λλ2.当0>λ时，→a λ与→a 的方向相同当0<λ时，→a λ与→a 的方向相反当0=λ时，→a λ为零向量(规定任意实数λ与零向量的乘积为零向量)特别地，当1=λ时，→→=a a 1；当1-=λ时，→→-=-a a )1(3. 实数与向量乘积的运算律：设λ、R ∈μ，则⑴→→→+=+a a a μλμλ)(⑵→→=a a )()(λμμλ⑶→→→→+=+b a b a λλλ)(例1：计算⑴(-3)×4→a⑵3(→a +→b )–2(→a -→b )-→a⑶(2→a +3→b -→c )–(3→a -2→b +→c )4. 两个非零向量→a 和→b 平行的充要条件时：存在非零实数λ，使→→=a b λ5.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个使→→=abλ，那么向量a与b共线二、例题讲解例2：书上例1例3：书上例2例4：书上例3例5：如图，已知AD=3AB，DE=3BC，试判断AC与AE是否共线例6：设a、b是两个不共线的向量，若AB = 2a + 3b ,BC = 6a + 23b，CD = 4 a – 8 b，求证：A、B、D三点共线三、课堂小结1.实数与向量的数量积2.向量平行的充要条件3.向量共线的充要条件四、回家作业五、课后反思。
实数与向量相乘及向量的线性运算（基础）知识讲解
实数与向量相乘及向量的线性运算（基础）知识讲解实数与向量相乘及向量的线性运算（基础）知识讲解【学习目标】1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量； 3．认识两个平行向量的代数表达形式；4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系. 【要点梳理】要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n表示n 个a 相加；用an -表示n 个-相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；-P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反.2．向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（4）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律：设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律）要点二、平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.2.平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释：（1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线?AB//BC ?若存在实数λ，使AB BC λ=. 要点三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解：平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【典型例题】类型一、实数与向量相乘1. 已知非零向量a，求作,a 3,a 25- 并指出它们的长度和方向. 【答案与解析】解：如下图，(1)在平面内任取一点O ，作OA a =；(2)在射线OA 上，取5OB OA 2=，则5OB a 2=；a 25的长度是5a 2且与a 同向.(3)在射线OA 的反向延长线上，取OC =，则OC 3a =-a 且与a 反向.【总结升华】向量既有大小又有方向，作实数与向量相乘的积向量时两方面都要考虑. 举一反三：【变式】已知单位向量e ，若向量a 与e 的方向相同，且长度为4，则向量a = （用e 表示）.【答案】4e2. 已知平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，EG 与FH 相交于点O.设AD a =，BA b =，请用向量a 或b 表示向量,OE OF ，并写出图中与向量OE 相等的量.【答案与解析】解：11OE FA BA b 22===；11OF EA AD a 22==-=-与OE 相等的向量有：BF ，FA ，GO ，CH ，HD【总结升华】用已知向量表示未知向量，既要看未知向量与已知向量之间的大小关系又要看方向关系.类型二、向量的线性运算3．（1）3(a -b )-2(a +2b )；（2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c )【答案与解析】解：（1）原式＝（3a -3b )+（－2）a +（－2）2b ＝ 3a -3b －2a －4b ＝a -7b（2）原式＝2(2a )+2（6b ）-2（3c ）+（-3）(-3a )+（-3）)（4b ）+（-3）(-2c )＝（4a +12b -6c )+9a -12b +6c ＝（4+9）a +（12-12）b +（-6+6）c ＝13a【总结升华】向量的线性运算与多项式的运算相类似. 举一反三：【变式】计算：（1）(3)4a -?；（2）3()2()a b a b a +---；【答案】解：（1）原式=12a -；（2）原式=5b ．4．已知向量a 和向量b ，求作向量a -2b .【答案与解析】解：如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，2OB b =，则2BA OA OB a b =-=-即BA 即为所求.【总结升华】解题的关键是向量加法，减法及数乘运算法则，掌握数形结合思想的应用. 举一反三：【变式】已知向量a 表示“向东航行1km ”，向量b 表示“向南航行1km ”，则向量a+b 表（）.A ．向东南航行2km C ．向东北航行2km D ．向东北航行2km 【答案】A5.如图，点M 是△ABC 的边AB 的中点.设CA a =，CB b =，试用a b、的线性组合表示向量CM .【答案与解析】解：∵ M 是线段AB 的中点，∴12AM AB =,得12AM AB =. 又∵AB b a =-∴111()222CM CA AM a b a a b =+=+-=+【总结升华】若点M 是△ABC 的边AB 的中点，则1122CM CA CB =+，应熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心，设AB a =，AC b = 则向量AG ＝（用a ，b 表示）．【答案】1()3a b +【答案与解析】解：∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心，AB=a ，AC=b ，∴1()2AD a b =+，而2211()()3323AG AG a b a b ==?+=+ ．类型三、平面向量定理的应用6. 如果2,3a b c a b c +=-=，其中c 是非零向量，求证：//a b【答案与解析】证法一：由2,3a b c a b c +=-=，可得：3()2()a b a b +=-，化简得：5a b =- 由平面向量定理得：//a b证法二：把已知的向量关系式看作关于,a b 的方程，得向量组：23a b ca b c+=??-=?? 解得: 51,22a cbc ==-由平行向量定理得：//,//a c b c 所以//a b【总结升华】已知条件是两个向量的关系式，其中有三个向量.为判断a 与b 是否平行，一种思路是利用已知两个向量的关系式，消去c ，找到a 与b 之间的关系式；另一种思路是把这两个向量的关系式看作关于a 、b 的向量方程，通过解由它们组成的向量方程组，可将这两个向量用c 表示出来.7.如图，已知向量,OA OB 和,p q ，求作：（1）向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量；（2）向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【答案与解析】解：(1)如图1，作向量OP p =；再过点P 分别作//PE OA ,//PD OB ,E 为直线PE 与直线OB 的交点，D 为直线PD 与直线OA 的交点，作向量,OD OE , 则,OD OE 是向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量.(2) 如图2，作向量OQ q =；再过点Q 分别作//QF OA ,//QG OB ,F 为直线QF 与直线OB 的交点，G 为直线QG 与直线OA 的交点，作向量,OG OF , 则,OG OF 是向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【总结升华】这种分解与向量加、减法及数乘运算紧密联系，实际上是这些运算的综合应用. 类型四、综合应用8.如图，已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点A 1、B 1、C 1在射线ON 上，111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==.设OA a =，1OA b =. （1）分别求向量111AA BB CC 、、关于a 、b 的分解式；（2）判断向量111AA BB CC 、、是否平行，再指出直线111AA BB CC 、、的位置关系. 【答案与解析】解：（1）111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==. 设OA a =，1OA b =可得：12,OB k a OC k a ==，1112,OB k b OC k b == 由向量减法的三角形法则可得：11AA OA OA b a =-=-，11111()BB OB OB k b k a k b a =-=-=-； 11222()CC OC OC kb k a k b a =-=-=-(2)由（1）得：111BB k AA =, 121CC k AA = 由平行向量基本定理得： 11//BB AA ,11//CC AA , 所以 111////BB AA CC ，又它们所在的直线不共线，所以直线111AA BB CC 、、相互平行. 【总结升华】若证直线AA 1与BB 1平行，需证向量1AA 与1BB 平行且没有公共点；若证A 、A 1 、B 、B 1四点共线，需证向量1AA 与1BB 平行且有公共点. 举一反三：【变式】设1e 和2e 是两个不共线的非零向量，若向量1232AB e e =-，1224BC e e =-+ ，1224CD e e =--，试证明：A 、C 、D 三点共线.【答案】证明：12121232(24)2,AC AB BC e e e e e e =+=-+-+=+∴122,CA e e =--又1224,CD e e =-- ∴2,CD CA =∴CD 与CA 共线，∴A 、C 、D 三点共线.。
实数与向量的乘法
一、引入： 三个非零向量 相加的和，可记作 a 3a 。3a表示与 方向相同的向量，它 a 的模是a的模的3倍。
二、实数与向量的乘积 1.定 义 ： 一 般 地 ， 实 数 λ 与 非 零 量a的 乘 积 向 是 一 个 向 量 ， 记 作λ .λ 的 模 和 方 向 : a a 规定如下：
D
A
（ 2） 用 、 表 示 。 CA CB
B
C
E
例3：如图，在ΔAB C中，已知M，N 分别为AB，AC的中 点，用向量 1 方法证明：MN//B C且MN＝ BC 2
A
M B N C
例4：如图，已知 ＝kOA1,OB OB1 OA ＝k
∽ OC＝kOCБайду номын сангаас,求证：ΔABC ΔA1B1C 1
C1 C B B1
F B A G E
D
C
2.已知正六边形AB CDEF，且 ＝a, AE BC＝b,试用a ， 表示EF ，CD ， DE ， b AB ，AC ， . CE
A F E
D
B
C
3.已 知 四 边 形 ABC 梯 形 ， AD//B D为 C ， E， F分 别 是 AB， CD的 中 点 ， 求 证 1 EF//BC且 EF＝（ AD BC） 2
充分非必要 （2）0 b 0是a//b的＿＿＿＿条件。 a
练习： （ 1） 如 图 ， AD， E， CF分 别 是 Δ AB B C 的 中 线 ， G是 Δ ABC 重 心 ， 且 ＝m 的 AD BC＝a,用 向 量m ， 示 ： a表 (1) AB (2) CA (3) BE (4) CF
(1) a λa λ
(2)当λ＞0时，λ a的方向相同； a与
向量的数乘和点乘
向量的数乘和点乘一、向量数乘（一）定义1. 实数λ与向量→a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ→a。
2. 当λ > 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相同；当λ < 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相反；当λ = 0 时，λ→a=→0。
3. 设→a=(x,y)，则λ→a=(λ x,λ y)。
（二）运算律1. 结合律：λ(μ→a) = (λμ)→a。
- 例如，设→a=(1,2)，λ = 2，μ=3。
- 先计算μ→a=3(1,2)=(3,6)，再计算λ(μ→a) = 2(3,6)=(6,12)。
- 而 (λμ)→a=(2×3)→a=6(1,2)=(6,12)，两者相等。
2. 第一分配律：(λ+μ)→a=λ→a+μ→a。
- 例如，设→a=(2, - 1)，λ = 1，μ = 2。
- 左边：(λ+μ)→a=(1 + 2)(2,-1)=3(2,-1)=(6,-3)。
- 右边：λ→a+μ→a=1×(2,-1)+2×(2,-1)=(2,-1)+(4,-2)=(6,-3)，等式成立。
3. 第二分配律：λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。
- 设→a=(1,3)，→b=( - 1,2)，λ = 2。
- 左边：→a+→b=(1 - 1,3 + 2)=(0,5)，λ(→a+→b)=2(0,5)=(0,10)。
- 右边：λ→a+λ→b=2(1,3)+2(-1,2)=(2,6)+(-2,4)=(0,10)，等式成立。
（三）向量共线定理1. 向量→a(→a≠→0) 与→b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使→b=λ→a。
2. 例如，已知→a=(2,4)，→b=(4,8)，可以发现→b = 2→a，所以→a 与→b 共线。
二、向量点乘（数量积）（一）定义1. 已知两个非零向量→a 和→b，它们的夹角为θ(0≤slantθ≤slantπ)，则把数量 |→a||→b|cosθ叫做→a 与→b 的数量积（或内积），记作→a·→b，即→a·→b=|→a||→b|cosθ。
24.6实数与向量相乘-沪教版(上海)九年级数学上册课件(共17张PPT)
(2) 1 a
2
(2)
2(a b) 3(a b);
((2))(1aa
b)
((21))a(a
b)
(1)a
a
(2)
2
2
2(a b) 3(a b)
2a 2b 3a 3b
(2a 3a) (2b 3b) a 5b
(3) 原式 （a b） (a b) (a b) (a b)
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
复习回顾:
实数乘法的运算律 1、交换律：ab = ba 2、结合律：a(bc)= (ab)c= b(ac） 3、分配律：a(b+c）= ab+ac
=
一般地:
一般地:
一般地：
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μa) = (λμ) a (结合律) ②(λ+μ) a =λa +μa (第一分配律) ③λ(a+b) =λa+λb (第二分配律)
(1) |λa| = |λ| |a|
(2) a≠0
当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数
λa
a a 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若a 0,当 1时，沿 a的方 a 向放大了 倍.当〈 0 〈1时沿， 的方向缩短了 倍. a 当 1时,沿 的反方向放大了 倍.当 〈1 〈0时， a沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
对于实数m和向量a、b，恒有m（a b） ma mb;
对于实数m、n和向量a，恒有(m n)a ma na;
高一数学《向量与实数相乘》知识点巩固
高一数学《向量与实数相乘》知识点巩固及时对知识点进行总结，整理，有效应对考试不发愁，下文由查字典大学网初中频道为大伙儿带来了向量与实数相乘知识点巩固，欢迎大伙儿参考阅读。
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义表示n个一样的，设n为正整数，为向量，我们用na表示n个相加;用?na?相加.又当m为正整数时，要点诠释：设P为一个正数，Pa确实是将a的长度进行放缩，而方向保持不变;—Pa也确实是将a的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义如下：n?n?a表示与同向且长度为a的向量. mm一样地，实数k与向量a的相乘所得的积是一个向量，记作ka，它的长度与方向规定(1)假如k?0,且a?0时，则：①ka的长度：|ka|?|k||a|;②ka的方向：当k?0时，ka与a同方向;当k?0时，ka与a反方向;(2)假如k?0,或a=0时，则：ka?0，ka的方向任意.实数k与向量a相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：(1)向量数乘结果是一个与已知向量平行(或共线)的向量; (2)实数与向量不能进行加减运算;示向量的箭头写在数字上面;(4)向量的数乘表达几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则：(3)ka表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表(1)m(na)?(mn)a(结合律);(2)(m?n)a?ma?na(向量的数乘关于实数加法的分配律);)=ma?mb (向量的数乘关于向量加法的分配律) (3)m(a+b4.平行向量定理(1)单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：1?任意非零向量a与它同方向的单位向量a0的关系：a?aa0，a0?a.a(2)平行向量定理：假如向量b与非零向量a平行，那么存在唯独的实数m，使b?ma.要点诠释：b(1)定理中，m?，m的符号由b与a同向依旧反一直确定.a(2)定理中的“a?0”不能去掉，因为若a?0，必有b?0，现在m能够取任意实数，使得b?ma成立.(3)向量平行的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数m，使b? ma，则向量b与非零向量a平行.(4)向量平行的性质定理：若向量b与非零向量a平行，则存在一个实数m，使b?ma.(5)A、B、C三点的共线?AB//BC?若存在实数λ，使AB?λBC.要点五、向量的线性运算1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：(1)假如没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. (2)假如有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.向量的分解平面向量差不多定理：假如e1,e2是同一平面内两个不共线(或不平行)的向量，那么关于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1,?2，使得a??1e1??2e2.要点诠释：(1)同一平面内两个不共线(或不平行)向量e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.(2) 一个平面向量用一组基底e1,e2表示为a??1e1??2e2形式，叫做向量的分解，当e1,e2相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们能够用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也能够用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
24.6 实数与向量相乘
第四节 平面向量的线性运算§24.6实数与向量相乘教学目标(1)理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。
(2)知道实数与向量相乘的运算律，会根据运算律对向量算式进行计算、化简。
(3)知道平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；知道单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。
(4)在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想；在实数与向量相乘和平行向量定理的学习中体会代数与几何的联系。
教学重点引进实数与向量相乘的运算，使学生掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法。
引进实数与向量相乘的运算律，并用于化简关于向量的算式。
引进平行向量定理和单位向量，并让学生了解利用向量关系式判断两个向量平行的方法。
知识精要1.实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，那么我们用na 表示n 个a 相加；用na -表示n 个a -相加。
又当m 为正整数时，n a m 表示与a 同向且长度为na m的向量。
2.实数与向量相乘的运算规定：设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向。
如果0k =或0a ≠，那么0ka =。
根据实数与向量相乘的意义，可知//ka a 。
ka 实际上将a 的长度进行放缩，方向与a 相同或相反。
ka 表示实数k 与a 相乘的运算，规定应把实数写在向量的前面并省略乘号；注意不要将表示向量的箭头写在数字上面。
3.同向的两个向量相加，和向量的方向取同向，长度取和；反向的两个向量相加，和向量的方向同较长向量，长度取差正；相反向量的和向量为零向量。
4.一般地，如果m n 、是非零实数，a 是非零向量，那么 ()m n a ma na +=+。
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
高一数学向量的数乘知识点
高一数学向量的数乘知识点数学中的向量是表示大小和方向的有向线段，在求解向量乘法时，常常会遇到向量的数乘运算。
向量的数乘运算是指一个向量乘以一个实数，它包含着一些重要的知识点和性质。
本文将详细介绍高一数学中向量的数乘知识点，帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
1. 向量的数乘定义向量的数乘是指一个向量同时乘以一个实数，其结果仍为一个向量。
设向量a与实数k，表示为ka（记作ka = k*a），则有以下性质：- 当k > 0时，ka的方向与a相同；- 当k < 0时，ka的方向与a相反；- 当k = 0时，ka为零向量。
2. 向量数乘的运算规律向量的数乘具有以下运算规律，可以根据这些规律进行计算：- 数乘的交换律：ka = ak，即实数与向量的乘积可以交换顺序；- 结合律：(ab)c = a(bc)，其中a、b为实数，c为向量；- 分配律：a(b + c) = ab + ac，其中a为实数，b、c为向量。
3. 向量数乘的运用向量的数乘应用广泛，下面介绍几个常见的运用场景：- 向量延长：通过增大k的值，可以将向量a拉长为ka，用于表示目标位置与起始位置之间的距离；- 向量缩短：通过减小k的值，可以将向量a缩短为ka，用于表示目标位置与起始位置之间的距离；- 向量相等：若ka = kb，则实数k的值相等，可以通过比较向量数乘的结果来判断向量是否相等；- 平行向量：若ka与b共线（方向相同或相反），则向量a与b平行；- 相反向量：若ka = -b，则向量a与b互为相反向量。
4. 向量数乘的几何意义向量的数乘在几何上也有直观的解释和意义：- 当k > 1时，ka的长度大于a的长度，表示放大了向量的长度；- 当0 < k < 1时，ka的长度小于a的长度，表示缩小了向量的长度；- 当k < 0时，ka的长度保持不变，但方向与a相反，表示将向量翻转；- 当k = 0时，ka的长度为0，即ka为零向量。
24.6(3)实数与向量相乘(顾)
一：复习 实数与向量相乘的运算 律： 设为m、n实数，则 （ 1 ）m( na ) ( m n) a ; ( 2)(m n) a ma na ; (3) m( a b ) ma mb
二、新课引入： 1 、如果a 是一个非零向量， b ma ( m 0), 那么 向量b 与向量a有什么关系？ 答 : 若m为正数，则向量 b 与a同向，得b // a; 若m为负数，则向量 b 与a反向，得b // a;
P 5题图
O A 5. 已知OA=a,OB=b，若AP=2PB,试求：OP.
AB OB OA b a 2 2 2 1 AP b a OP OA AP b a 3 3 3 3
单位向量：长度为1的向量叫做单位向量
用e表示，则 | e | = 1
特别注意：
1、单位向量有无数个。
小结回顾
一、①
ka 的意义及运算律 ②平行向量定理 (a≠0) b=ma 向量a与b共线
A、B、C三点共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量平行 2. 证明 三点共线: AB=mBC 3. 证明 两直线平行: AB=m CD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 3
在⊿ABC中,设D为BC的中点,求证:
求证:AD= (AB+AC)
1 2
A
证明：AD AB BD Nhomakorabea又
AD AC CD
B
D
2AD AB BD AC CD
∵D是BC的中点
C
高中数学(人教B版)必修第二册：数乘向量、向量的线性运算【精品课件】
名师点析对数乘向量的理解
(1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有
意义.
(2)若λa=0,则λ=0或a=0.
1
(3)对于非零向量a,当λ= 时;λa表示a方向上的单位向量.
||
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)对于任意的向量a,总有0·a=0.(
)
答案:×
(3)真命题.
(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)假命题.∵0a=0,0与任一向量共线.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的线性运算
例2化简下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
分析:根据向量的加法、减法及数乘运算化简即可.
3 1
11
=λ+μ,所以 λ+μ=4 + 6 = 12.故选 A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
3.已知△ABC 和点 M 满足 + + =0.若存在实数 m 使得
+ =m成立,则 m 的值为
.
解析:∵ + + =0,∴点 M 是△ABC 的重心.
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
2
5;
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)真命题.∵2>0,
∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.
(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.
向量与实数相乘-课件
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2A 3 A 3 A 4 A nA 1 0
D
C
A
B
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC ) 2
D
B
M
G C
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC ) 2
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律
及结合律即 ： (a b) a b
（ ）a a a
( a) ()a 其 中 、 是 实 数 。
向量 a , b ( b 0 ),
a // b 存在 R , a b . b
c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1 ) AB BC ( 2 ) AB AD AA 1
实数与向量的乘法
总结: 总结
用向量知识证明三点共线的方法:
A、B、C三点共线 ⇔ AC // AB
⇔ 存在唯一的实数λ , 使得 AC = λ AB
例5 设 e1 , e 2 为两个不平行向量 .
试确定实数 k的值 ,
使 k e1 + e 2与 e1 + k e 2 是两个平行向量 .
分析与解 ke1 + e2 // e1 + ke2
那么有且只有一个实数 λ , 使b = λ a.
3．向量的共线定理： ．向量的共线定理： 定理： 定理：向量 b 与非零向量 a 共线的充要条 件是有且仅有一个实数λ 件是有且仅有一个实数λ，使 b = λ a.
成立! 成立 成立否？ 思考1 思考 此定理对b = 0 成立否？ ——成立
因为当b = 0时, 考虑到a ≠ 0 ，只有一个实数λ=0,
计算： 例1 计算： (1) (−3) × 4a;
(2) 3(a + b) − 2(a − b) − a; (3) (2a + 3b − c) − (3a − 2b + c).
口答: 口答
(1)
(−3) × 4a = −12a;
(2)
(3)
3(a + b) − 2(a − b) − a = 5b;
5 x + 5a + 3x − 6b = 0,
5 3 ⇒ 8 x = −5a + 6b, ⇒ x = − a + b. 8 4
对于向量a(a ≠ 0)与b, 如果有一个实数λ , 使b = λ a. 那么由实数与向量的积的定义知,
a与b共线.
思考: 思考 如果向量a(a ≠ 0)与b共线,
上海教育版数学九上24.6《实数与向量相乘》(第1课时)ppt课件
⑴若k≠0，且a≠0，则ka的长度 ＝
,
ka
k＞0时， 与 同方向；k＜0时， 与 反方向；
⑵若k＝0
ka a 或 ＝ ，则 ＝ .
此外： //
ka
ka a
a0
ka 0
ka a
作业 练习册：24.6（1）
⑴若k≠0，且a≠0，则ka的长度 ＝
,
ka
k＞0时， 与 同方向；k＜0时， 与 反方向；
⑵若k＝0
ka a 或 ＝ ，则 ＝ .
此外： //
ka
ka a
a0
ka 0
ka a
举 例1
已知非零向量a、b，求作： a
5 a 2b 2
b
举 例2
如图：在□ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O，设AD=a， BA=b，试用向量a或b表示向量OE，OF，并写出图中与OE相等的向量．
回顾
1、向量定义：
既有大小又有方向的量叫向量。
2、向量的表示：
几何表示：
有向线段
3、重要概念：
字母表示：
a 、AB
（1）零向量：长度为0的向量，记作0.
（2）平行向量：方向相同或相反的向量.
（3）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（4）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
（5）向量的模：向量的长度，模可以比较大小但向量
A
E
F O
B
G
D H C
举 例3
如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，AD=4DB，试用向量BC表示向量DE．
A
D
E
B
C
练习
如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC, ，试用向量CB表示向量DE．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实数与向量相乘及向量的线性运算（基础） 知识讲解【学习目标】1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量； 3．认识两个平行向量的代数表达形式；4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系. 【要点梳理】要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n表示n 个a 相加；用an -表示n 个-相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；-P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反.2．向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（4）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 要点二、平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.2.平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB//BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=. 要点三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解：平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【典型例题】类型一、实数与向量相乘1. 已知非零向量a，求作,a 3,a 25- 并指出它们的长度和方向. 【答案与解析】解：如下图， (1)在平面内任取一点O ，作OA a =； (2)在射线OA 上，取5OB OA 2=，则5OB a 2=；a 25的长度是5a 2且与a 同向.(3)在射线OA 的反向延长线上，取OC =，则OC 3a =-a 且与a 反向.【总结升华】向量既有大小又有方向，作实数与向量相乘的积向量时两方面都要考虑. 举一反三：【变式】已知单位向量e ，若向量a 与e 的方向相同，且长度为4，则向量a = （用e 表示）.【答案】4e2. 已知平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，EG 与FH 相交于点O.设AD a =，BA b =，请用向量a 或b 表示向量,OE OF ，并写出图中与向量OE 相等的量.【答案与解析】解：11OE FA BA b 22===；11OF EA AD a 22==-=-与OE 相等的向量有：BF ，FA ，GO ，CH ，HD【总结升华】用已知向量表示未知向量，既要看未知向量与已知向量之间的大小关系又要看方向关系.类型二、向量的线性运算3．（1）3(a -b )-2(a +2b )； （2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c )【答案与解析】解：（1）原式＝（3a -3b )+（－2）a +（－2）2b ＝ 3a -3b －2a －4b ＝a -7b（2）原式＝2(2a )+2（6b ）-2（3c ）+（-3）(-3a )+（-3）)（4b ）+（-3）(-2c )＝（4a +12b -6c )+9a -12b +6c ＝（4+9）a +（12-12）b +（-6+6）c ＝13a【总结升华】向量的线性运算与多项式的运算相类似. 举一反三：【变式】计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---； 【答案】解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ．4．已知向量a 和向量b ，求作向量a -2b .【答案与解析】解：如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，2OB b =，则2BA OA OB a b =-=-即BA 即为所求.【总结升华】解题的关键是向量加法，减法及数乘运算法则，掌握数形结合思想的应用. 举一反三：【变式】已知向量a 表示“向东航行1km ”，向量b 表示“向南航行1km ”，则向量a+b 表（ ）.A ．向东南航行2km C ．向东北航行2km D ．向东北航行2km 【答案】A5.如图，点M 是△ABC 的边AB 的中点.设CA a =，CB b =，试用a b、的线性组合表示向量CM .【答案与解析】解：∵ M 是线段AB 的中点， ∴12AM AB =,得12AM AB =. 又∵AB b a =-∴111()222CM CA AM a b a a b =+=+-=+【总结升华】若点M 是△ABC 的边AB 的中点，则1122CM CA CB =+，应熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心，设AB a =，AC b = 则向量AG ＝ （用a ，b 表示）．【答案】1()3a b +【答案与解析】解：∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心， AB=a ，AC=b ， ∴1()2AD a b =+，而2211()()3323AG AG a b a b ==⨯+=+ ．类型三、平面向量定理的应用6. 如果2,3a b c a b c +=-=，其中c 是非零向量，求证：//a b【答案与解析】证法一：由2,3a b c a b c +=-=，可得：3()2()a b a b +=-， 化简得：5a b =- 由平面向量定理得：//a b证法二：把已知的向量关系式看作关于,a b 的方程，得向量组：23a b ca b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得: 51,22a cbc ==-由平行向量定理得：//,//a c b c 所以//a b【总结升华】已知条件是两个向量的关系式，其中有三个向量.为判断a 与 b 是否平行，一种思路是利用已知两个向量的关系式，消去c ，找到a 与 b 之间的关系式；另一种思路是把这两个向量的关系式看作关于a 、b 的向量方程，通过解由它们组成的向量方程组，可将这两个向量用c 表示出来.7.如图，已知向量,OA OB 和,p q ，求作：（1）向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量； （2）向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【答案与解析】解：(1)如图1，作向量OP p =；再过点P 分别作//PE OA ,//PD OB ,E 为直线PE 与直线OB 的交点，D 为直线PD 与直线OA 的交点，作向量,OD OE , 则,OD OE 是向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量.(2) 如图2，作向量OQ q =；再过点Q 分别作//QF OA ,//QG OB ,F 为直线QF 与直线OB 的交点，G 为直线QG 与直线OA 的交点，作向量,OG OF , 则,OG OF 是向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【总结升华】这种分解与向量加、减法及数乘运算紧密联系，实际上是这些运算的综合应用. 类型四、综合应用8.如图，已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点A 1、B 1、C 1在射线ON 上，111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==.设OA a =，1OA b =. （1） 分别求向量111AA BB CC 、、关于a 、b 的分解式；（2） 判断向量111AA BB CC 、、是否平行，再指出直线111AA BB CC 、、的位置关系. 【答案与解析】 解：（1）111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==. 设OA a =，1OA b =可得：12,OB k a OC k a ==，1112,OB k b OC k b == 由向量减法的三角形法则可得：11AA OA OA b a =-=-，11111()BB OB OB k b k a k b a =-=-=-； 11222()CC OC OC k b k a k b a =-=-=-(2)由（1）得：111BB k AA =, 121CC k AA = 由平行向量基本定理得： 11//BB AA ,11//CC AA , 所以 111////BB AA CC ，又它们所在的直线不共线， 所以直线111AA BB CC 、、相互平行. 【总结升华】若证直线AA 1与BB 1平行，需证向量1AA 与1BB 平行且没有公共点；若证A 、A 1 、B 、B 1四点共线，需证向量1AA 与1BB 平行且有公共点. 举一反三：【变式】设1e 和2e 是两个不共线的非零向量，若向量1232AB e e =-，1224BC e e =-+ ，1224CD e e =--，试证明：A 、C 、D 三点共线.【答案】证明：12121232(24)2,AC AB BC e e e e e e =+=-+-+=+∴122,CA e e =--又1224,CD e e =-- ∴2,CD CA =∴CD 与CA 共线， ∴A 、C 、D 三点共线.。