第二章流体静力学

(1)压力体仅表示
液体存在无关；
Az
hdAz的积分结果(体积)，与该体积内是否有
(2)压力体一般是由三种面所围成的体积，即 受压曲面（压力体的底面）； 自由液面或自由液面的延长面（压力体的顶面）
由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱 面（压力体的侧面）。
（3）压力体的虚实性 实压力体：压力体和液体在受压曲面的同侧，Pz向下；
工程流体力学
第二章 流体静力学
第二章 流体静力学
§2-1 静止流体的应力特征 §2-2 流体平衡的微分方程及其积分 §2-3 重力作用下流体静压强的分布规律 §2-4 流体压强的量测
第二章 流体静力学
§2-5
液体的相对平衡
§2-6 静止液体作用在平面上的总压力
§2-7 静止液体作用在曲面上的总压力
dp ( 2 xdx 2 ydy gdz)
积分上式，得
p
(1
2x2
1
2 y2
gz)
C
2r2
(
z)
C
2
2
2g
在x=0，y=0，z=0处，p=p0，得C=p0，得
p
p0
( 2r2
2g
z)
等压面方程： 液面方程：
2r2
2g z C1
zs
2r 2
2g
与绝对静止情况比较 压强分布
绝对静止： 相对静止：
虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧， Pz向上。
A
A
B
B
例4：试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆 柱面，宽度为1m，d=3m，试求abc柱面所受静水压力的水平分 力Px和竖直分力Pz 。
a
d d/2
b 水
水 c
[解] 因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。
考虑左侧水的作用
二.绝对压强、相对压强、真空值
绝对压强p，
★绝对压强不可为负
相对压强（计示压强、表压强）p
p p pa
（2-14）
★相对压强可正可负
真空压强（真空值）pv
pv pa p
★真空值恒为正值
（2-15）
上述绝对压强、相对压强及真空值三者的关系如图所示
例2-1 如图所示封闭盛水容器的中央玻璃管是两端开口的，已 知玻璃管伸入水面以下1.5m时，即无空气通过玻璃管进入容器， 又无水进入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强p0’和相 对压强p0。
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
四.等压面
1.定义： p=C或dp=0的平面或曲面。
2.等压面微分方程
f xdx f y dy f z dz 0
或
f•
ds
0
3.等压面的性质
(1)等压面与等势面重合;
(2)等压面恒与质量力正交。
z
p0
h
A
Z
Z
0
x
y
上式为不可压缩静止液体的压强计算公式，通常亦称为水静 力学基本方程。该式表明：
（1）在静止液体中，压强随淹没深度按线性规律增加；
（2）静止液体的等压面为水平面（等高面）。
通常建筑物表面和自由液面都作用着当地大气压强pa。在 工程技术中，当地大气压的大小常用一个工程大气压（相当于 海拔200m处的正常大气压强）来表示。一个工程大气压（at） 的大小规定为相当于735mm汞柱或10m水柱对其柱底所产生的 压强。
第二章 流体静力学(6学时)
一、本章学习要点:
•平衡流体的应力特征 •流体的平衡微分方程及其积分 •流体静力学基本方程 •流体静力学基本概念：等压面、绝对压强、 相对压强、真空值、测压管水头等 •液体的相对平衡 •静止液体总压力的计算
§2-1 平衡流体的应力特征
•方向性: 平衡流体中的应力垂直于作用面，并沿作用面 的内法线方向。
h A
h1 h2
例2.求图示封闭容器斜壁上的圆形闸门所受的静水总压力及作 用点。已知闸门直径d=2m，a=1m，α=60。，容器内水面的相 对压强pe0=98.1KN/m2。
2.图算法
如图所示矩形平面，其相对压强分布图为三角形，则总压 力为：
P
hc
A
1 2
h2
b
Ap
b
hc
h,A 2
bh
上式表明，静止液体作用在矩形平面上的总压力恰等于以 压强分布图的面积为底，高度为b的柱体体积。
3.U形管真空计 4.U形管差压计 5.复式测压计
§2-5 液体的相对平衡
相对平衡——液体相对于地球虽有运动，但液体本身各质点之 间却没有相对运动。
研究特点：建立动坐标系。
注意：与重力作用下的平衡液体所不同的是，相对平衡液体所 受质量力除了重力，还有牵连惯性力。
1.直线等加速容器中液体的相对平衡
建立如图所示的动坐标系，则
下列关于流体压强的说法中，正确的是（ ）。 A 绝对压强可正可负 B 相对压强可正可负 C 真空压强可正可负 D 绝对压强恒为正，而真空压强恒为负
f x a
fy 0
fz g
将其代入液体平衡微分方程的综合式后，得
dp (adx gdz)
积分得 p (ax gz) C ( a x z) C
g
当x=z=0时，p=p0，得C=p0，代入上式后，得
p
p0
(a
g
x
z)
等压面微分方程： adx gdz 0
积分得等压面方程： ax gz C1
其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。 当相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。
对于相对压强分布图为梯形情况，可将其分解成三角形和矩 形两部分进行计算后，最后利用合力矩定理求总压力作用点。
例3.铅垂放置的矩形平板闸门，面板后布置三根横梁,各横梁受 力相等,已知闸门上游水头H=4m，试求： （1）每根横梁所受静水总压力的大小； （2）各横梁至水面的距离。
pa 油
H 水
h
d
§2-6 静止液体作用在平面上的总压力
确定静止液体作用在受压面上的总压力的大小、方向和压 力作用点是许多工程技术上必须解决的工程流体力学问题。如 水池、船闸及水坝的设计等。
一. 解析法
1.总压力的大小
dP pdA hdA y sin dA
作用在平面ab上的总压力为
P
P Px 2 Pz 2
arctan Pz
Px 2.总压力作用点的确定 水平分力Px的作用线通过Ax的压力中心；
铅垂分力Pz的作用线通过VP的重心；
总压力P的作用线由Px、Pz作用线的交点和
arctan
Pz Px
确定；
将P的作用线延长至受压面，其交点D即为总压力在曲面上的作
用点。
3.压力体的概念
sin
y 2dA
A
化简整理上式，得
yD
Ix yC A
根据惯性矩的平行移轴定理，又可写成
yD
yC
IC yC A
求D点的x坐标（自己推导）。 例1.某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m，高h1= 1m，铰 接装置于距离底h2= 0.4m，闸门可绕A点转动，求闸门自动打开的 水深h为多少米。
作用在整个曲面上的水平分力Px为
Px
dPx
hdAcos
A
Ahx dAx hC Ax
Ax hdAx hc Ax 作用在整个曲面上的垂直分力Pz为
Pz
dPz
hdAsin
A
Ahz dAz VP
式中：VP Az hdAz 是压力体的体积；Az是受压面在水平面的投
影面积。 总压力的大小和方向
画出下列AB或ABC面上的静水压强分布图
pa A 相 图对压p 强 分p0布 gh
A
Pa+ρgh
B
A
B
B
A
A
C
B
B
画出下列容器左侧壁面上的压强分布图
练习:绘出图示AB壁面上的相对压强分布图
p
四.测压管高度、测压管水头及真空度
测压管高度——用测压管内的液体高度表示的液体中任意点
的相对压强，即 p 。
证明：采用反证法, 其要点如下:
1 因平衡流体不能承受切应力，即 τ=0，故p垂直受压面；
2 因流体几乎不能承受拉应力，故 p指向受压面。
•大小性：平衡流体中任一点的静压强大小与其作用面的方位无关
证明：在平衡流体中取如图所示微小四面体OABC，分析作
用在四面体上的力,列x、y、z三个方向力的平衡方程，
当四面体的体积趋于零时，可证得px= py=pz=pn
即
p=p(x,y,z)
§2-2 流体的平衡微分方程及积分
一、流体的平衡微分方程
在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面
体在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化简得
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0Leabharlann Baidu
1 p
fz z 0
上式也可用矢量方程表示：
p
测压管水头——任一点测压管高度
位置高度z之和，即 z p /
与该点相对于基准面的
真空度hv——用液柱高度来表示的真空值pv。
举例说明测压管高度、测压管水头等概念。
练习：图示给水管路出口阀门关闭时，试确定管路中A、B两
点的测压管高度和测压管水头
§2-4 流体压强的量测
1.测压管
2.U形管测压计
dP sin
A
A ydA sin yC A hC A pC A
意义：静止液体作用在任意方位、任意形状平面上的总压力P 的大小等于受压面面积与其形心处相对压强的乘积。
2. 总压力的方向 总压力P的方向垂直并指向受压面。
3.总压力P作用点D的确定 对Ox有
PyD
ydP
A
或
sin yC AyD
a
a
a
a
b
b
b
b
c
ab段曲面 (实压力体)
c
bc段曲面 (虚压力体)
考虑右侧水的作用
c
阴影部分 相互抵消
c
abc曲面 (虚压力体)
左右合成
a
b
c
bc段曲面 (实压力体)
a
a
b
b
b
c
左侧水的 作用
c
右侧水的 作用
例5.试绘出图中曲面上的压力体
a
a
b
c
c
abc曲面 (虚压力体)
例6.图示为一贮水设备,已知h=1.5m，R=1.5m，金属测压计读数 为98.1kPa，试求作用在半球面AB上的总压力。
§2-7 静止液体作用在曲面上的总压力
1.总压力的大小和方向
dP pdA hdA
dP垂直于面积dA，与水平线成θ角。为便于分析，将dP分
解成水平分力dPx和垂直分力dPz两部分，在整个受压面上对dPx、 dPz积分，得总的水平分力Px和垂直分力Pz。
dPx dP cos hdAcos dPz dPsin hdAsin
f
1
p
0
上式即为流体的平衡微分方程，亦称欧拉平衡微分方程。 对不可压缩和可压缩流体均适用。
二.流体平衡微分方程的积分
将欧拉平衡微分方程各分式分别乘以dx、dy、dz，然后相
加，得
p dx x
p dy y
p dz z
(
fxdx
f ydy
f z dz )
由 p p(x, y, z) ，有
dp p dx p dy p dz x y z
例7.半径R=0.2m、长度l=2m的圆柱体与油（比重为0.8）水接触 情况如图所示，圆柱体右边与容器顶边成直线接触，试求: 圆柱体作用在容器顶边上的力； 圆柱体的重量。
本章重点掌握:
•流体静压强的计算
•静止液体总压力P计算
复习题：
一般来说，平衡流体的静压强p= A . p(z) B. p(x , y) C. p(x , y , z) D. p(x , y, z, t)
三.流体静压强分布图
1.绘制液体静压强分布图的知识点
流体静力学基本方程； 平衡流体中的应力特征（大小性、方向性）。
2.液体静压强分布图的绘制方法
（1）根据水静力学基本方程，计算出受压面上各点压强的大小，用一定 长度比例的箭头线表示各点的压强，箭头线必须垂直并指向作用面；
（2）对于不可压缩液体，重度γ为常量，p与h呈线性关系，当受压面为平 面时，只需用直线连接箭头线的尾部，即可得到压强分布图；而当受压面 为曲面时，由于曲面上各点的法向不同，因此需用曲线连接箭头线的尾部。
只受重力作用的连通的同一种液体内，等压面为水平面； 反之，水平面为等压面。
§2-3 重力作用下流体静压强的 分布规律
一.流体静力学基本方程
z p C
对于静止流体中任意两点，又可写成
z1
p1
z2
p2
或
p2 p1 (z1 z2 )
对于液体，如图所示，则有
p p0 (z0 z) p0 h
p pa gz f ( z )
p
pa
g( 2
2g
r2
z
)
f
(
x, y,z
)
例.如图所示顶盖中心开孔的圆柱形容器，直径d=600mm，高 H=500mm，盛水深至h=400mm，余下部分盛满相对密度为0.8的 油。若容器绕其中心轴旋转，问转速n为多大时油面开始接触到 底板？并求此时顶盖和底板上的最小、最大相对压强。
液面方程：
与绝对静止情况比较 压强分布
zs
a g
x
绝对静止： 相对静止：
p pa gz f ( z )
p
pa
g(
a g
x
z
)
f
(
x,z
)
2.等角速旋转容器中液体的相对平衡
对于液体内任一质点A(x,y,z),其所受单 位质量力在各坐标轴方向的分量为
fx 2x fy 2 y fz g
将其代入流体平衡微分方程综合式，得