高等数学答案第六章3 平面与直线讲解学习

习 题 6—3

1、求下列各平面的方程：

（1）过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面； （2）过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面；

（3）过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面； （4）通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面；

（5）过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面. （6）过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直的平面； 解（1）：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .

（2）设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得

d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .

（3）依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为

()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .

（4）平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.

（5）

},1,1,1{1-=n ρ }12,2,3{2-=n ρ取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n ϖ

ϖρ所求平面方程为化简得: .0632=-++z y x

（6）设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥-r

Q 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，

所求平面方程为0.x z -=

2、 求平行于0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程. 解: 设平面为

,1=++c

z b y a x ,1=V Θ 11

1,32abc ∴⋅=由所求平面与已知平面平行得

,6

1

1161

c b a ==

化简得,61161c b a ==令t

c t b t a t c b a 61,1,6161161===⇒===代入体积式 11111666t t t ∴=

⋅⋅⋅

1

,6

t ⇒=±,1,6,1===∴c b a 或1,

6,

1,a b c =-=-=-所求平面

方程为666x y z ++=或666x y z ++=-.

3、求下列各直线的方程：

（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2） 过点()1,1,1且与直线

4

3

3221-=

-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒

︒

︒

120,45,60的直线； （4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程. （5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线

11111-+==-z y x 和0

1

111+=

--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线. 解：（1）所求的直线方程为：

015323-=-=++z y x 即：0

1

553-=

-=+z y x ，亦即0

1

113-=

-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为

4

1

3121-=

-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{

}

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=︒

︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 13

2

511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→

==所求直线方程

.4

4

0322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{

}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：2

2

111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235

635

x y z -++==

--.

4、求直线1,

234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩

的点向式方程与参数方程.

解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,0630

200

00⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .

所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{

}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i k

j i

343

1211

1--=-=,

所以直线的点向式方程为：

,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩

⎪

⎨⎧--=-=+=t

z t

y t

x

5、求下列各平面的方程： （１）通过点)1,0,2(-p ，且又通过直线

3

2

121-=

-=+z y x 的平面； （２）通过直线

11

5312-+=

-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=---0

52032z y x z y x 平行的平面； （３）通过直线

2

2

3221-=

-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面； （4）. 求过点(2,1,0)M 与直线23

35x t y t z t =-⎧⎪

=+⎨⎪=⎩

垂直的平面方程.

解：（１）因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ，且它平行于向量{}3,1,2-，所以

要求的平面方程为：

03

3

31212

=--+-z y x , 即015=-++z y x .

（２）已知直线的方向向量为{}{}{}2,1,11,2,13,1,5--⨯-=，∴平面方程为：

2

3115103

15

x y z -++--=,即3250x y z +--= （３）所求平面的法向量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-⨯-，∴平面的方程为：