公开课:直线的参数方程
2.3直线的参数方程课件人教新课标1

的距离,则|PM|= 20=2 5. 解法二:由点 P 向直线作垂线,垂足记为 P0,如图所示,
它对应参数 t=-2.代入直线的参数方程,可得点 P0 的坐标: x=2,y=1,即垂足 P0(2,1),显然有|PP0|= 2+22+1+12 =2 5.
2,6)的距离.
分析:由直线的方程可知,直线的斜率为34,即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α=34,则 sin α=35,cos α=45.因为 点 P 在直线 l 上,为了方便运算,选择点 P 作为直线上的定 点,到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求.
k= .
解析:(1)由题意可知直线的点斜式方程为 y-3=-24(x-1).
设 y-3=-24(x-1)=t,则xy==13-+2tt.,
∴该直线的参数方程为x=1-2t , y=3+t.
(2)解法一:如图所示,在直线上任取一点 M(x,y),则 |PM|2=(x+2)2+(y+1)2
=1-2t +22+(3+t+1)2 =54t2+5t+25
线l的参数方程是 x= 22t, (t为参数),
y=-4+
2 2t
点P是曲线C上的动点,点Q是直线l上的动点,求|PQ|的最
小值.
解析:曲线C的极坐标方程ρ=4sin θ可化为ρ2=4ρsin θ,其 直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4.
直线l的方程为x-y-4=0. 所以,圆心到直线l的距离d=|-2-2 4|=3 2. 所以,|PQ|的最小值为3 2-2.
5.直线 y=-1-t (t为参数)与曲线 的交点个数为________.
2.3直线的参数方程课件新人教A版选修4_4(优秀经典公开课比赛课件)

学习目标
思维脉络
1.掌握直线参数方程的标准式,理解参数 t 的几何 直线的参数方程
意义.
直线的参数方程
2.能利用直线的参数方程 直线的参数方程的应用
解决简单的实际问题.
探究
直线参数方程的标准形式主要用来解决过定点的直线与圆锥
曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦
4 5 3 5
������,
(t ������
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,
所以点 M 在直线 l 上. 由 1+45t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
直线参数方程的应用
【例2】
已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)和方程
������ ������
= =
1+ 3+
������, 3������(t
为参数)是否为直线
l
的参数方程.如果是直线 l 的参数方程,那么请指出方程中的参数 t
是否具有标准形式中参数的几何意义. ������ = ������0 + ������������,
所以两个参数方程都是直线 l 的参数方程.
因为
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)可化为
������ ������
= =
1 3
+ +
������cos ������sin
直线的参数方程课时教案(第一课时)

课时教案一、课题直线的参数方程(第一课时,共两课时)二、教学目的1.了解直线参数方程的条件以及参数的几何性质2.能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程3.通过观察、探索、发现的过程,发展学生数学核心素养的“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三级目标。
三、课型与教法新授课引导—发现模式四、教学重点直线参数方程的构建五、教学难点从动点M点的坐标变成直线l的参数方程的转化、t的几何意义、证明直线的参数方程、辨别是否是直线的标准参数方程六、教学过程探究一建立已知直线的参数方程1.复习引入(1)若点是直线l上的两相异点,则直线l的方向向量为,倾斜角为时,直线单位方向向量为;(2)已知两个向量),则共线的充要条件是;(3)如果直线l过定点,且倾斜角为,则直线l的方程为。
2. 讲授新课问题1 如图1,位于原点的机器人以单位速度沿单位方向向量行走时间t到达点M,求M点的坐标。
借助前面准备的知识由三角函数的定义不难得到,写成方程即。
问题2 如图2,如果初始位置不在原点,而在点,其他条件不变,求点M的坐标。
借助前面问题1和坐标的定义,不难得到,写成方程即。
问题3一般地,设直线l过点,且倾斜角为,点为其上任意一点,求M点的坐标。
可以提示学生引入参数t,则学生可类比得到(t为参数),此即为过点且倾斜角为的直线l的参数方程。
问题4 你能写出具体推导过程吗?指导学生利用向量法证明,同时指导学生借助点斜式方程进行证明。
探究二直线参数方程中t的几何意义问题5直线的参数方程(t为参数)中哪些是变量?哪些是常量?很容易由问题1,2,3得出是变量,是常量。
问题6 参数的几何意义是什么?为什么?结合参数方程的推导过程,可以引导学生从,且,得到,也可由。
由此可知|t|表示直线上的动点到定点的距离,即为参数的几何意义。
问题7参数t的取值范围是什么?t的正负与点的位置之间有什么关系?由中的正负可确定和的大小,从而确定的正负与点位置之间的关系,再利用图3可知:当时,点在点的上方;当时,点在点的下方;当时,点与点重合。
直线的参数方程ppt课件

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5.化直线l的参数方程
x=-3+t, y=1+ 3t
(t为参数)为普通方程,并求倾斜角,
说明|t|的几何意义.
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【解】 由xy= =- 1+3+3tt, 消去参数t,得
直线l的普通方程为 3x-y+3 3+1=0.
故k= 3=tan α,即α=π3,
几何意义为|
→ M0M
|=4,且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方).
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1.一条直线可以由定点M0(x0,y0),倾斜角α(0≤α<π)惟一确定,直线上
的动点M(x,y)的参数方程为
x=x0+tcos y=y0+tsin
α, α
(t为参数),这是直线参数方程的
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【解析】 将xy= =12- +23tt 化为y=-32x+72, ∴斜率k1=-32, 显然k=0时,直线4x+ky=1与上述直线不垂直, ∴k≠0,从而直线4x+ky=1的斜率k2=-4k. 依题意k1k2=-1,即-4k×-32=-1, ∴k=-6. 【答案】 -6
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θ, θ
(θ为参数)交于A,B两点,求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x=-3+tcos56π=-3- 23t, y=3+tsin56π=3+2t
(t为参数).
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去,得4x2+y2-16=0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中,得 4-3- 23t2+3+12t2-16=0, 即13t2+4(3+12 3)t+116=0. 由t的几何意义,知 |PA|·|PB|=|t1·t2|, 故|PA|·|PB|=|t1·t2|=11136.
公开课:直线的参数方程

2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
(1)如何写出直线l的参数方程?
①
(2)如何求出交点A,B所对应的参数t1,t2 ? ① (3) AB 、MA MB 与t1,t2有什么关系?
则 AM t1 , MB t2 .M 在椭圆内所以
A
x 4cos 2sin
t1 t2 3sin2 1
因为M 为AB的中点
所以 t1 t2 0, cos 2sin 0, k tan 1
2
2
直线l的方程是:y-1= 1 x 2即 x 2y 4 0
2
思考: 例2还有别的解方法吗? 思考: 例2的解法对一般圆锥曲线适用吗?把“中 点”改为“三等分点”,直线的方程怎样求?
例2.经过点M 2,1作直线L,交椭圆 x2 y2 1于A, B两点。
16 4 如果点M 恰好为线段AB的中点,求直线L的方程。
解:设过点M 2,1的直线L的参数方程为
l
y B
O
x
y
2 t cos 1 t sin,
t为参数
代入椭圆方程为
3sin2 1 t2 4cos 2sin t 8 0
x x0 t cos
y
y0
t
sin
(t为参数)
与曲线y=f(x)交于M1,M2两点,对应的参数 分别为t1,t2,
(1)曲线的弦M1M2的长是 |t1 t2 |
(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值
是
t1 t2 2
方程
x 5
3t(t为参数)
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件

-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
直线的参数方程 课件

参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
人教A版高中数学选修4-4直线的参数方程 名师公开课市级获奖课件(24张)

预习导学
课堂讲义
当堂检测
跟踪演练 3 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 2 x=3- 2 t, (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相 y= 5+ 2t 2 同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ .
预习导学 课堂讲义 当堂检测
[预习导引] 直线的参数方程
经过点 M0(x0,y0),倾斜角为
α α
π ≠ 2 的直线 l 的参数方程为
(t 为参数),其中参数 t 的几何意义是:|t|是直线 → l 上任一点 M(x,y)到点 M (x ,y )的距离,即|t|=|M M|.
1 x=1+2t, 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 (t 为参数), y=5+ 3t 2 1 3 代入直线方程 x-y-2=0,得 1+ t-5+ t-2=0,解得 2 2 t=-6( 3+1).根据 t 的几何意义可知|MM0|=6( 3+1).
答案 6( 3+1)
直线参数方程的形式不同,参数 t 的几何意义也不同,过定点
x=x0+at, b M0(x0,y0),斜率为a的直线的参数方程是 (a、b 为 y = y + bt 0
常数,t 为参数).
预习导学
课堂讲义
当堂检测
π 跟踪演练 1 直线 l 经过点 M0(1,5),倾斜角为 3 ,且交直线 x -y-2=0 于 M 点,则|MM0|=________.
同一条直线,则 λ 与 t 的关系是(
)
A.λ=5t C.t=5λ
B.λ=-5t D.t=-5λ
解析 由x-x0,得-3λ=tcos α,由y-y0,得4λ=tsin α,消
高中数学直线的参数方程及其应用优秀课件

x0 y0
t t
cos
(t为参数)
sin
M对应的参数为t,那么
| t |表示M(x,y)到定点M0(x0,y0)的距离.
我们在用参数t解决的时候,一定要关注两个问题:
〔1〕M0是不是我们需要的点
〔2〕t的系数平方和是否为1
例1·已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程
是
x
5
3t 2
x 5
3t
2 (t为参数)
y
3 1t 2
它是标准式吗?如果不是请把它化成标准式。
x 1 t
(2)直线l2的参数方程为
y
3t
(t为参数)是标准式吗?
如果不是请把它化成标准式。
〔3〕直线l:x+2y+2=0,写出直线l的参数方程的标准式。
直线参数方程的标准式 中参数t的几何意义:
x y
(2〕将直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程得:
t 2 12t cos 11 0
设A,B对应的参数分别为t1、t2,那么t1+ t2=-12cosα, t1.t2=11.
AB t1 t2 t1 t2 2 4t1t2 144 cos2 44
由 AB 10 得 cos2 3 , tan 15
y
3 1t 2
(t为参数),又曲线C的方程为
x2+y2-2x=0,设点P的坐标为(5, 3 ),直线l与 曲线C的 交点为A,B,试求|PA|·|PB|,PA PB 以及|AB| 的值.
【解析】
将直线参数方程
x
5
3t 2
代入x2+y2-2x=0,
得
y
t2 + 5 3 t+18=0.
直线的参数方程课件

b x 0a y 0a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
b cos a sin
6
b x 0a y 0a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
b cos - a sin -
2 2 2 2
b x 0a y 0a b
2 2 2
二、新课讲授
设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)
或向右(l的倾斜角为0)的单位方向向量(单位长度 与坐标轴的单位长度相 同)
设直线 l 的倾斜角为 ,定点 M 0、动点 M 的坐标 分别为 ( x 0 , y 0 )、 x , y ) (
y
e
0
M
M
o
x
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量e ? (2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M 的坐标?
x 2 t cos t为 参 数 代 入 椭 圆 方 程 为 y 1 t s in ,
3 s in 1 t
2
2
4 c o s 2 s in
t
8 0
则 AM
t1 , M B t 2 . M 在 椭 圆 内 所 以 t1 t 2 4 c o s 2 s in 3 s in 1
0
C .1 1 0
0
D .1 6 0
0
( 2) 直 线 x y 1 0的 一 个 参 数 方 程 是
2 x 1 t 2 (t为参数) y 2t 。 2
三、例题讲解
x y 1 0 2 解:由 得: x 1 0 x (*) 2 y x 由韦达定理得: x 1 x 2 1, x 1 x 2 1
直线的参数方程 课件

由 ρ= 2cosθ-π4得 ρ=cos θ+sin θ,
所以 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 得 x2+y2=x+y, 即圆 C 的直角坐标方程为x-122+y-122=12.(5 分)
(2)把yx==112++122t3t,代入x-122+y-122=12, 得 t2+12t-14=0,(7 分) 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1,t2,
(1)求直线的普通方程; (2)化参数方程为标准形式.
10-y 解:(1)由 y=10-4t,得 t= 4 ,代入 x=5+3t,
10-y 得 x=5+3× 4 . 化简得普通方程为 4x+3y-50=0. (2)把方程变形为 x=5+3t=5-35×(-5t), y=10+45×(-5t).
令 cos α=-35,sin α=45. u=-5t,则参数方程的标准形式为: x=5-35u, y=10+45u (u 为参数).
(t 为参数)
y=y0+bt
化标准形式的公式,非标准形式中的 a2+b2t 具有标准
x=x0+tcos α,
形式参数方程
(α 为参数)中参数 t 的几何
y=y0+tsin α
意义,故可以直接利用非标准形式的参数方程解题.
解:由题意知 F(1,0),
x=1- 22t,
则直线的参数方程为
(t 为参数),
y=
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2=4(1- 22t), 整理得 t2+4 2t-8=0,由一元二次方程根与系数的 关系可得 t1+t2=-4 2,t1t2=-8,由参数 t 的几何意义 得 |AB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2= 64=8.
(t 为参数)是非标准形式,参数 t 不具有上
直线和圆的参数方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

即x x0 , y y0 tcos,sin ,
所以 x x0 t cos , y y0 t sin ,
即 x x0 t cos , y y0 t sin ,
所以,经过点 M 0 x0 , y0 ,倾斜角为 的直线
l 的参数 方程是为
x x0 t cos , y y0 t sin .
t2 2
0, 即
cos 2sin 0,于是直线l的斜率为
1
k tan 2 .
因此,
直线l的方程是y
1
1 2
x
2,
即 x 2 y 4 0.
思考 例2的解法对一般圆锥曲线 适用吗?把 "中点"改为"三等分点",直线l的方程怎样求 ?
例5 当前台风中心 P 在某海滨
城市O向东 300km处生成, 并以40
到A,B两点旳距离之积.
解:(1)直线旳参数方程是
x=1+
3 2t
y=1+12t
(t 是参数).
(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为 A1+ 23t1,1+12t1,B1+ 23t2,1+21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2+y2=4, 整理得到 t2+( 3+1)t-2=0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2. 所以|PA|·|PB|=|t1t2|=|-2|=2.
方向向量 e 的方向总是向上.此时,若 t 0, 则 M 0M 的方向向上;若t 0,则 M 0M 的方 向向下;若 t 0,则点M与点M 0重合.
【基本题型】
例1.直线 l 经过点 M0(1,5),倾斜角为π3,且交直线
数学(选修4-4)课件2.2直线的参数方程

∴cos
α=21,sin
α=
3 2.
x=1+21t,
∴直线
l
的参数方程为 y=
3 2t
(t 为参数).①
∵直线 l 和椭圆相交,将直线的参数方程代入椭圆方程并
整理,得 5t2+2t-4=0.
∴Δ=4+4×5×4>0.
设这个二次方程的两个实根为 t1,t2. 由根与系数的关系,得 t1+t2=-25,t1t2=-54.
直线的参数方程
已知直线l过(3,4),且它的倾斜
角θ=120°.
(1)写出直线l的参数方程.
(解2):求(直1)线直l线与直l 的线参x-数y方+程1=为0的xy==交34++点tt.csions
120°, 120°,
x=3-21t,
即
y=4+
3 2 t.
x=3-12t,
(2)把 y=4+
3 2t
由 M 为 AB 的中点,根据参数 t 的几何意义,
得|PM|=t1+2 t2=51.
(2)|AB|=|t2-t1|= t1+t22-4t1t2=
8245=2
21 5.
1.过定点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x=x0+tcos α, y=y0+tsin α
(t 为参数),|t|的几何意义是有向线段P→M的长
代入 x-y+1=0,得
3-21t-4- 23t+1=0.解得 t=0.
x=3-21t,
把
t=0
代入 y=4+
23t,
得两直线的交点为(3,4).
【点评】 (1)已知直线经过的定点及直线的倾斜角,求参
数方程可利用xy= =xy00+ +ttcsions
α, α,
第2讲3直线的参数方程课件人教新课标

应将t=0,t=1分别代入方程得到两点坐标(2,-1)和(5,0),由两点间距
离公式来求出距离,
即 2-52+-1-02= 10.
12345
解析 答案
2.直线
x=-3+tcos y=2+tsin α
α,(t为参数,α=Fra bibliotekπ 6
)不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
√D.第四象限
12345
答案
3.若直线 l1:yx==21+-2ktt, (t 为参数)与直线 l2:xy==s1,-2s (s 为参数)垂直, 则 k=_-__1_. 解析 由-2k·(-2)=-1,得 k=-1.
解答
类型三 直线参数方程的综合应用
x=-4+ 22t,
例4
已知曲线
C1:y=
2 2t
(t 为参数),C2:xy= =-1+2+ sincθos θ,
(θ 为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
解答
(2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.
解答
引申探究 1.若点P(-4,0)是曲线C1上的定点,本例其它条件不变,求|PA|+|PB| 的值.
解答
2.在探究 1 条件不变的情况下,求|P1A|+|P1B|的值.
解 由探究 1 知,t1+t2=3 2,t1·t2=4,
所以|PA|+|PB|=|t1+t2|=3 2,
|PA|·|PB|=|t1t2|=4.
所以|P1A|+|P1B|=|P|PAA|+|·|P|PBB| |=3
4
2 .
解答
反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的 点,由参数方程求曲线交点坐标时,可以通过方程组求出参数值,再根 据参数值得出交点坐标. (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲 线交点之间线段长度的和、乘积等,都可以利用直线参数方程中参数的 几何意义加以解决.
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4(cos 2sin) t1 t2 3sin2 1 t2(1)
t1t2
8
3sin2
1
2t22 (2)
(1)平方 (2)得
k tan 2,因此直线l的方程为
3 y 1 2 (x 2)
3
例 3
例 4
1.经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
参数方程:
x x0 t cos
y 1 t sin
(3sin2 1)t2 4(cos 2sin )t 8 0
由t的几何意义知 MA t1 , MB t2 ,因为点
M在椭圆内,这个方程必有两个实根,所以
t1
t2
4(cos 2sin) 3sin2 1
t1t2
8
3sin2
1
因为点M为线段AB的三等分点,
t1 2t2
A
直线上的点M与参数t的值是一一对应的
5
6
l
| t | M (x, y)
M0 (x0, y0 )
x
l : x y 1 0 例2:已知直线
与抛物线
交于A,B两点, 点M(-1,2)在直线AB上,
y x (1)求线段2 AB的长;
(2)求点M(-1,2)到A , B两点的距离之积;
(3)求AB的中点P的坐标。
x0 y0
at bt
(t为参数)
则直线经过点M0(x0
,
y0),斜率为k
b a
| MM0 || t | a2 b2
1.直线参数方程
探究:直线的
x=x0
y
y0
t cos t sin
参数方程形
(t是参式数是)不是唯
一的
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
简化求直线上两点当间的a2距 离b2. 1时,
t为参数,L上的点P1对应的参数
是t ,则点P与P
1
1
a,
b
之间的距离
是( C )
A、t1
B、2 t1
C、2 t1
D、 2 2
t1
例1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为 (1)求l的参数方程; (2)设直线l与直线x-y+1=0交于点B,求 线段AB的长.
y x y 1 0
y
l
O
B |t|
x
0
(x x0, y y0 )
e (cos,sin )
0
l
M (x, y)
e M0 (x0, y0 )
x
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
参数方程:
x x0 t cos
y
y0
t
sin
参数t的几何意义是什么?
y
| t || M0M |
若t 0,则M 0M方向向上
若t 0,则M 0M方向向下
弦长|AB|= 中点P
|t1 t2 | t t1 t2 2
练习: 求直线
x2-y2=1截得的弦长|AB|.
x
被2双曲线12
t (t为参数)
y
3t 2
例3.经过点M(2,1)作直线l ,交椭圆
于A,B两点,如果点M恰好为线段AB的 中点,求直线l的方程.
x2 y2 1
16 4
弦的中点对应的参数为
3 2
5 ,y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 ),B( 1 5 , 3 5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
(1)如何写出直线l的参数方程?
①
(2)如何求出交点A,B所对应的参数t1,t2 ? ① (3) AB 、MA MB 与t1,t2有什么关系?
例2.经过点M 2,1作直线L,交椭圆 x2 y2 1于A, B两点。
16 4 如果点M 恰好为线段AB的中点,求直线L的方程。
解:设过点M 2,1的直线L的参数方程为
l
y
B
O
x y
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
解
:
由
x y
y x2
1
0
得:x2 x 1 0
(*)
由韦达定理得:x1 x2 1,x1 x2 1
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得:x1
1 2
5 ,x2
1 2
5
y1
练习:已知经过点P(2,0),斜率为 的直线 和抛物线y2=2x相交于A,B两点,设线段AB 的中点为M,求点M的坐标 .
t1 t2 2
4 3
例例11.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
0
若t
0, 则点M与M
重合
0
(t为参数)
l
M (x, y)
e M0 (x0, y0 )
x
3.弦长公式:(1) M1M2 t1 t2
弦的中点:
(2) t t1 t2 2
x
1
1 2
t
(t是参数)
y
1
3t 2
x 1 t
(t是参数)
y 1 3t
若直线的参数方程为:
x y
x y
x0 y0
at bt
(t为t才参具数有|此)t|几=|何M意0M义|
其它情况不能用。
((12) )若直线的参数方程为
x y
1 2t 2 3t
t为参数
,则直Biblioteka 的斜率为 ( D)A、2 B、- 2
3
3
C、3 D、- 3
2
2
((23) )若直线L的参数方程为
x y
a b
t t
2 t cos 1 t sin ,
t为参数
代入椭圆方程为
3sin2 1 t2 4cos 2sin t 8 0
则 AM t1 , MB t2 .M 在椭圆内所以
A
x
4cos 2sin
t1 t2 3sin2 1
因为M 为AB的中点
所以 t1 t2 0, cos 2sin 0, k tan 1
预备知识: 1.向量共线的条件
b // a(a 0) b a
2.直线l的方向向量是指: 与直线l平行的非零向量
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
普通方程是________________________;
y y0 tan(x x0 )
如何建立直线l的参数方程呢?
M0M (x, y) (x0, y0 ) y
2
2
直线l的方程是:y-1= 1 x 2即 x 2 y 4 0
2
思考: 例2还有别的解方法吗? 思考: 例2的解法对一般圆锥曲线适用吗?把“中 点”改为“三等分点”,直线的方程怎样求?
lB y
O
x
A
解:设过点 M (2,1)的直线l的参数方程为
x {
2
t
cos
(t为参数
)代入椭圆方程得