2021.1海淀区初三数学试题与答案(详细解析)
2021-2021学年北京市海淀区初三第一学期期末数学试题
2021-2021学年北京市海淀区初三第一学期期末数学试题海淀区九年级第一学期期末练习数学2021.1学校班级姓名成绩1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名。
3．试题答案一律填�蚧蚴樾丛诖鹛饪ㄉ希�在试卷上作答无效。
须 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
知 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
考生一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．．．1．抛物线y?(x?1)?3的顶点坐标是A．(1，3)B．(?1，3)C．(?1，?3)D．(1，?3)2．如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为 A．1:1 C．1:3 3．方程x?x?0的解是A．x?0B．x?1 C．x1?0，x2?1D．x1?0，x2??122B．1:2 D．1:44．如图，在△ABC中，∠A=90°．若AB=8，AC=6，则cosC的值为A． C．3534B．D．45435．下列各点中，抛物线y?x2?4x?4经过的点是A．(0，4)B．(1，?7)C．(?1，?1)D．(2，8)6．如图，?O是△ABC的外接圆，?OCB?40?，则?A的大小为A．40? C．80?B．50? D．100?7．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是 1 九年级数学试题第页 / 共17页A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm8．反比例函数y?A．y1?y23x的图象经过点（?1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是 B．y1?y2 C．y1?y2D．不能确定9．抛物线y??x?1??t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是A．?1B．?2C．?3D．?4210．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：V（单位：m3） 1 1.5 2 2.5 3 P（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32 P与V的函数关系可能是 A．P?96V2B．P??16V?112 D．P?96VC．P?16V?96V?176二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．已知?A为锐角，若sinA?22，则?A的大小为度．12．请写出一个图象在二，四象限的反比例函数的表达式．13．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD?3.2cm，则AB的长为cm．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A?B?是位似图形，若A(?1，2)，B(?1，0)，A?(?2，4)，则B?的坐标为．15．若关于x的方程x?mx?m?0有两个相等实根，则代数式2m?8m?1的值为． 16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．2 九年级数学试题第页 / 共17页22如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．BBCA画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是______________________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）017．计算：(2)?2sin30°?(π?3)??3．AAD218．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．求证：△ABC∽△EBD．1)和(1， ?2)两点，求此二次函数的表达式． 19．若二次函数y?x?bx?c的图象经过点(0，20．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么3 九年级数学试题第页 / 共17页2范围？请根据图象，直接写出结果．21．已知矩形的一边长为x，且相邻两边长的和为10．（1）求矩形面积S与边长x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求矩形面积S的最大值．22．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．23．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA=PD，如图1所示，则tan?BAP的值为；（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的不同），并求此时tan?BAP的值．4 九年级数学试题第页 / 共17页图1 图224．如图，直线y?ax?4(a?0)与双曲线y?（1）求k与a的值；（2）若直线y?ax+b(a?0)与双曲线y?k只有一个公共点A(1，?2)． xk有两个公共点，请直接写出b的取值范围． x25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若∠D = 60°，AD = 2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．5 九年级数学试题第页 / 共17页感谢您的阅读，祝您生活愉快。
海淀区初三数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 2C. -√3D. 1/2答案：C2. 已知a=3，b=4，则a^2 + b^2 = （）A. 7B. 11C. 13D. 17答案：C3. 若x=2是方程x^2 - 3x + 2 = 0的解，则x^2 - 3x + 2的因式分解为（）A. (x-2)(x+1)B. (x-1)(x-2)C. (x+1)(x-2)D. (x+2)(x-1)答案：A4. 已知a、b是方程x^2 - 2ax + a^2 = 0的两个实数根，则a+b= （）A. 0B. 2aC. 4a答案：B5. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，则AB的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C6. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=200，则公差d= （）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则sinC= （）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 1答案：A8. 若x+y=2，x^2 + y^2 = 2，则x^3 + y^3 = （）A. 2B. 4D. 8答案：C9. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) = （）A. -7B. -5C. -3D. 1答案：A10. 若函数y=√(x-1)的图像上任意一点P(x,y)，则OP的长度为（）A. √(x+1)B. √(x-1)C. √(x^2+1)D. √(x^2-1)答案：C二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=__________。
答案：a1+(n-1)d12. 若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn=__________。
答案：b1q^(n-1)13. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a__________。
海淀区初三上册数学度末考试卷
海淀区初三上册数学度末考试卷(附解析)以下是查字典数学网为您举荐的2021年海淀区初三上册数学期末考试卷(附答案)，期望本篇文章对您学习有所关心。
2021年海淀区初三上册数学期末考试卷(附答案)一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.若代数式有意义，则x的取值范畴是A. B. D. -2.将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位3.如图，与相交于点，∥.若，则为A. B. C. D.4.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是A. B.C. D.5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，A =40，则OCB等于A.60B.50C.40D.306.如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为A. B.C. D.7.已知，那么可化简为A. B. C. D.8. 如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点,与轴交于、两点,点为⊙上一动点，于.当点从点动身顺时针运动到点时，点所通过的路径长为A. B. C. D.二、填空题(本题共16分，每小题4分)9.运算= .10. 若二次函数的图象上有两个点、，则(填或=或).11.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好通过圆心O，则折痕AB的长为_________cm.12.小聪用描点法画出了函数的图象F，如图所示.结合旋转的知识，他尝试着将图象F绕原点逆时针旋转得到图象，再将图象绕原点逆时针旋转得到图象，如此连续下去，得到图象.在尝试的过程中，他发觉点P 在图象上(写出一个正确的即可);若点P(a，b)在图象上，则= (用含的代数式表示) .三、解答题(本题共30分，每小题5分)13. 运算：.14. 解方程：.15.已知，求代数式的值.16.如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上.(1)画出与△ABC关于点O对称的△;(2)画出一个以点O为位似中心的△，使得△与△的相似比为2.17.如图，在△与△中，，, =6,求的长.18.如图,二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D, 求△BCD的面积.四、解答题(本题共20分，每小题5分)19.已知关于的方程有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范畴;(2)若m为符合条件的最大整数，求现在方程的根.20. 已知：二次函数中的和满足下表：0 1 2 3 4 53 08(1) 可求得的值为;(2) 求出那个二次函数的解析式;(3) 当时，则y的取值范畴为.21.图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米;当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米?22.如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E 为BC中点.求证：(1)DE为⊙O的切线;(2)延长ED交BA的延长线于F，若DF=4，AF=2，求BC的长.五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)23. 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题.作法：(1)在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E;(2)以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M;点M为线段AB的二等分点.图1解决下列问题：(尺规作图，保留作图痕迹)(1)仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点;图2(2)点P是AOB内部一点，过点P作PMOA于M，PNOB于N，请找出一个满足下列条件的点P. (能够利用图1中的等距平行线)①在图3中作出点P，使得; ②在图4中作出点P，使得.图3 图424.抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点P 与点Q 在(1)中的抛物线上，且，PQ=n.①求的值;②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当那个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范畴是25.如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，，.将直线绕点逆时针旋转，交直线于点.将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为.图1 图2 图3解答问题：(1)①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为;②在平移过程中，的值为(用含的代数式表示);(2)将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，运算的值;家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
数学初三海淀区试卷及答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 若等差数列{an}中，a1=2，d=3，则a10的值为（）A. 2B. 5C. 8D. 11答案：D解析：由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，得a10=2+(10-1)×3=11。
2. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^5答案：B解析：奇函数的定义为f(-x)=-f(x)。
对于选项A，f(-x)=(-x)^2=x^2，f(x)=x^2，不满足奇函数的定义；对于选项B，f(-x)=(-x)^3=-x^3，f(x)=x^3，满足奇函数的定义；对于选项C，f(-x)=(-x)^4=x^4，f(x)=x^4，不满足奇函数的定义；对于选项D，f(-x)=(-x)^5=-x^5，f(x)=x^5，不满足奇函数的定义。
3. 若一个圆的半径为r，则其面积为（）A. πr^2B. 2πrC. 4πrD. 8πr答案：A解析：圆的面积公式为S=πr^2。
4. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x+3>5B. 3x-2<5C. 4x+1>5D. 5x-3<5答案：B解析：对于选项A，2x+3>5，移项得2x>2，x>1，不满足原不等式；对于选项B，3x-2<5，移项得3x<7，x<7/3，满足原不等式；对于选项C，4x+1>5，移项得4x>4，x>1，不满足原不等式；对于选项D，5x-3<5，移项得5x<8，x<8/5，不满足原不等式。
5. 已知等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则a5的值为（）A. 18B. 54C. 162D. 486答案：C解析：由等比数列的通项公式an=a1×q^(n-1)，得a5=2×3^(5-1)=162。
二、填空题（每题3分，共30分）6. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为______。
海淀区初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)
海淀区2021初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)海淀区2021初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)一、选择题1．方程的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根2.在Rt△ABC中，∠C=90o，，那么的值为A. B. C. D.3.假设右图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是A. 长方体B. 正方体C. 圆柱D. 圆锥4.小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是A. B. C. D.5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为A. 1B. 2C. 4D. 86．点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜07．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．假设AC=2，那么OF的长为A． B． C．1 D．28．如图1，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD交于点O．点E 为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的图1 图2A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE二、填空题〔此题共16分，每题4分〕9．假设扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么这个扇形的面积为__________ cm2．10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m.11．如图，抛物线与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为，，那么关于x的方程的解为__________．12．对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，〔为正整数〕．例如：，．〔1〕求： ____________， ______________；〔2〕假设，那么正整数m的最小值是_____________．三、解答题〔此题共30分，每题5分〕13.计算： .14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E. 求证：△ACD∽△BCE．15. 是一元二次方程的实数根，求代数式的值．16.抛物线平移后经过点，，求平移后的抛物线的表达式．17.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数图象上的一点，且满足△OPC 与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，， BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．〔1〕求线段CD的长；〔2〕求的值．四、解答题〔此题共20分，每题5分〕19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设，且，求整数m的值．20. 某工厂消费的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕：质量档次 1 2 ... x (10)日产量〔件〕95 90 … (50)单件利润〔万元〕 6 8 … (24)为了便于调控，此工厂每天只消费一个档次的产品．当消费质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择消费哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB= ，AD=2，求线段PC的长．22．阅读下面材料：小明观察一个由正方形点阵组成的点阵图，图中程度与竖直方向上任意两个相邻点间的间隔都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请答复：〔1〕如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算可以使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=_______________； =_______________；参考小明考虑问题的方法，解决问题：如图3，计算： =_______________．五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分〕23.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点， . 〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数的图象经过点B，求代数式的值；〔3〕假设反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求的取值范围.24．如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．〔1〕如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．① 假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕．25. 在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：假设的最大值为m，的最大值为n，那么为图形W的测度面积．例如，假设图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，获得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，获得最大值，且最大值n=2．那么图形W的测度面积．〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；〔2〕假设图形W是一个边长为1的正方形ABCD，那么此图形测度面积S的最大值为；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．海淀区2021初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)参考答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 假设考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。
2021-2022学年北京市海淀区初三数学第一学期期末试卷及解析
2021-2022学年北京市海淀区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，下列函数的图象经过点(0,0)的是( ) A ．1y x =+B ．2y x =C ．2(4)y x =-D ．1y x=2．（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xOy 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标为( ) A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-4．（2分）在ABC ∆中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作C ，则C 与AB 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5．（2分）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为( )A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒6．（2分）把长为2m 的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m ，依题意，可列方程为( ) A ．22(2)x x =-B ．22(2)x x =+C ．2(2)2x x -=D ．22x x =-7．（2分）如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是( )A ．A ，B ，C 都不在B ．只有BC ．只有A ，CD ．A ，B ，C8．（2分）做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m5001000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率n m0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520下面有3个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是( ) A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）已知y 是x 的函数，且当0x >时，y 随x 的增大而减小．则这个函数的表达式可以是 ．（写出一个符合题意的答案即可）10．（2分）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是 ．11．（2分）若点1(1,)A y -，2(2,)B y 在二次函数22y x =的图象上，则1y ，2y 的大小关系为：1y 2y （填“>”，“ =”或“<” )．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,0)A -，点(0,1)B ．将线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ，则点C 的坐标为 ．13．（2分）若关于x的方程220-+=有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．x x k14．（2分）如图，PA，PB分别切O于点A，B，Q是优弧AB上一点，若40∠的度∠=︒，则QP数是．15．（2分）小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“**饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90︒（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为cm．(π取3.1)16．（2分）给定二元数对(,)p q的转换规p q，其中0q=或1．三种转换器A，B，C对(,)p=或1，0则如下：规则a．转换器A当输入(1,1)时，输出结果为1；其余输出结果均为0．转换器B当输入(0,0)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．转换器C当输入(1,1)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．b．在组合使用转换器时，A，B，C可以重复使用．（1）在图1所示的“A B C--”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为；（2）在图2所示的“①C --②”组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“ C -- ”．（写出一种组合即可）．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）解方程：2680x x -+=．18．（5分）已知a 是方程22710x x --=的一个根，求代数式(27)5a a -+的值． 19．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(3)1y a x =--经过点(2,1)． （1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点．20．（5分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，将线段CA 绕点C 逆时针旋转60︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ． （1）依题意补全图形；（2）若1BC =，求线段BD 的长．21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下： 已知：O （纸片），其半径为r ．求作：一个正方形，使其面积等于O 的面积．作法：①如图1，取O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ； ②如图2，以点A 为圆心，AO 长为半径画弧交直线l 于点C ；③将纸片O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处； ④取CB '的中点M ，以点M 为圆心，MC 长为半径画半圆，交射线BA 于点E ； ⑤以AE 为边作正方形AEFG ． 正方形AEFG 即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l 为O 的切线，其依据是 ．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC = ，MA = （用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME ∆中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE = （用含r 的代数式表示）． 由此可得OAEFG S S=正方形．22．（6分）已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-+-=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m <，且该方程的两个实数根的差为3，求m 的值． 23．（5分）如图，ABC ∆内接于O ，高AD 经过圆心O ． （1）求证：AB AC =；（2）若8BC =，O 的半径为5，求ABC ∆的面积．24．（6分）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ；（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．25．（6分）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交O 于点F ，连接DF ，过B 作BG DF ⊥，交DF 的延长线于点G ． （1）求证：BG 是O 的切线；（2）若30DFA ∠=︒，4DF =，求FG 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)在抛物线23(0)y ax bx a =++>上． （1）求该抛物线的对称轴；（2）已知0m >，当222m x m -+时，y 的取值范围是13y -．求a ，m 的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n ，使得当2n x n -<<时，y 的取值范围是3335n y n -<<+．若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．27．（7分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，延长CB ，并将射线CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到射线l ，D 为射线l 上一动点，点E 在线段CB 的延长线上，且BE CD =，连接DE ，过点A 作AM DE ⊥于M ．（1）依题意补全图，用等式表示线段DM 与ME 之间的数量关系，并证明； （2）取BE 的中点N ，连接AN ，添加一个条件：CD 的长为 ，使得12AN DE =成立，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，图形W 上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d ．对点P 及图形W 给出如下定义：点Q 为图形W 上任意一点，若P ，Q 两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d ．则称点P 为图形W 的“倍点”． （1）如图1，图形W 是半径为1的O ．①图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为 ；②在点1(0,2)P ，2(3,3)P ，3(3,0)P -中，O 的“倍点”是 ； （2）如图2，图形W 是中心在原点的正方形ABCD ，点(1,1)A -．若点(,3)E t 是正方形ABCD 的“倍点”，求t 的值；（3）图形W 是长为2的线段MN ，T 为MN 的中点，若在半径为6的O 上存在线段MN 的“倍点”，直接写出所有满足条件的点T 组成的图形的面积．参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：A 、直线1y x =+不经过点(0,0)，故不符合题意；B 、抛物线2y x =经过点(0,0)，故符合题意；C 、抛物线2(4)y x =-不经过点(0,0)，故不符合题意；D 、双曲线1y x=不经过点(0,0)，故不符合题意；故选：B ．2．【解答】解：选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C ．3．【解答】解：抛物线2(2)1y x =-+是以抛物线的顶点式给出的， 其顶点坐标为：(2,1)． 故选：A ．4．【解答】解：连接CO ， CA CB =，点O 为AB 中点， OC AB ∴⊥，以点C 为圆心，CO 长为半径作C ，∴点C 到AB 的距离等于C 的半径，C ∴与AB 的位置关系是相切，故选：B ．5．【解答】解：如图，当经过一次旋转后点C 旋转至点B 的位置上，此时360660COB ∠=︒÷=︒， 故选：B ．6．【解答】解：较长一段的长为x m ，∴较短一段的长为(2)x m -．依题意得：22(2)x x =-． 故选：A ． 7．【解答】解：300AB cm =，400BC cm =，500AC cm =，222AB BC AC ∴+=， ABC ∴∆是直角三角形， 90ABC ∴∠=︒，点D 是斜边AC 的中点， 250AD CD cm ∴==，12502BD AC cm ==， 250300<，∴点A 、B 、C 都在圆内，∴这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是A ，B ，C ．故选：D ．8．【解答】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小题推断不合理；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理； 故选：C ．二、填空题（共16分，每题2分）9．【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如1(0)y x x =>，答案不唯一．故答案为：1(0)y x x=>，答案不唯一．10．【解答】解：在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，共5个球，∴取出红球的概率是35．故答案为：35．11．【解答】解：由22y x =可得抛物线开口向上，对称轴为y 轴， |1||2|-<， 12y y ∴<，故答案为：<．12．【解答】解：设(,)C m n ．线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ， AB BC ∴=，点(2,0)A -，点(0,1)B ，∴202m -+=，012n+=， 2m ∴=，2n =，(2,2)C ∴．13．【解答】解：关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴△0>，即440k ->， 1k <．故答案为：1k <．14．【解答】解：连接OA 、OB ，PA ，PB 分别切O 于点A ，B ，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，360909040140AOB ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，111407022Q AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒，故答案为：70︒．15．【解答】解：标签长度90639.3()180l cm ππ⋅⋅===， 故答案为：9.3．16．【解答】解：（1）在图1所示的“A B C --”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为1； 故答案为：1；（2）若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“B C A --”．（写出一种组合即可）． 故答案为：B ，A ．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．【解答】解：2680x x -+= (2)(4)0x x --=， 20x ∴-=或40x -=， 12x ∴= 24x =．18．【解答】解：a 是方程22710x x --=的一个根， 22710a a ∴--=， 2271a a ∴-=，2(27)5275156a a a a ∴-+=-+=+=．19．【解答】解：（1）把点(2,1)代入2(3)1y a x =--中， 得：21(23)1a =--， 解得2a =，22(3)1y x ∴=--；（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为(3,1)-，∴把该抛物线向上平移1个单位后，与x 轴的交点个数位1，故答案为：1．20．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒， 30BAC ∠=︒，1BC =， 22AB BC ∴==， 3AC ∴=，由旋转可知：60DAC ∠=︒，3AD AC == 90DAB DAC AC ∴∠=∠+∠∠=︒，22222(3)7BD AB AD ∴=++．21．【解答】解：（1）l OA ⊥于点A ，OA 为O 的半径，∴直线l 为O 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧交直线l 于点C ， AC r ∴=．纸片O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处， 22rAB r ππ'∴==， (1)CB CA AB r r r ππ∴'=+'=+=+．M 为CB '的中点，1(1)22rMC CB π+∴='=． (1)(1)22r rMA MC AC r ππ+-∴=-=-=． 故答案为：(1)2r π+；(1)2r π-； （3）连接ME ，如图，则(1)2rME MC π+==． 在Rt AME ∆中，222AM AE EM +=， 222AE EM AM ∴=-22(1)(1)[][]22r r ππ+-=- (1)(1)(1)(1)[][]2222r r r rππππ+-+-=+- r r π=⨯2r π=．OAEFG S S∴=正方形．故答案为：2r π．22．【解答】（1）证明：△22(2)41(1)0m m m =--⨯⨯-=，∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，即该方程总有两个实数根；（2）设方程的较大的实数根为1x ，较小的实数根为2x ，依题意得： 123x x -=，122x x m +=-，121x x m =-，2212()3x x ∴-=，22112229x x x x -+=，2212129292(1)112x x x x m m +=+=+-=-，2212()(2)x x m +=-，2221122244x x x x m m ∴++=-+，21122(1)44m m m m ∴-+-=-+，整理得：29m =， 解得：3m =或3m =-， 0m <， 3m ∴=-．23．【解答】（1）证明：OD BC ⊥，∴AB AC =，AB AC ∴=；（2）解：连接OB ， OD BC ⊥，8BC =，118422BD DC BC ∴===⨯=， 在Rt ODB ∆中，2222543OD OB BD =-=-=， 538AD ∴=+=，188322ABC S ∆∴=⨯⨯=．24．【解答】解：（1）恰好抽到“冬季两项”的概率是14， 故答案为：14； （2）“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁， 画树状图如下：共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：21126=． 25．【解答】（1）证明：C ，A ，D ，F 在O 上，90CAF ∠=︒， 90D CAF ∴∠=∠=︒． AB CE ⊥，BG DF ⊥， 90BED G ∴∠=∠=︒．∴四边形BEDG 中，90ABG ∠=︒． ∴半径OB BG ⊥．BG ∴是O 的切线．（2）解：连接CF ，90CAF ∠=︒， CF ∴是O 的直径． OC OF ∴=．直径AB CD ⊥于E ， CE DE ∴=．OE ∴是CDF ∆的中位线．122OE DF ∴==． AD AD =，30AFD ∠=︒，30ACD AFD ∴∠=∠=︒． 9060CAE ACE ∴∠=︒-∠=︒． OA OC =，AOC ∴∆是等边三角形． CE AB ⊥，E ∴为AO 的中点，24OA OE ∴==，4OB =．6BE OB OE ∴=+=． 90BED D G ∠=∠=∠=︒，∴四边形BEDG 是矩形．6DG BE ∴==． 2FG DG DF ∴=-=．26．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++， 0x ∴=时，3y =，∴抛物线23y ax bx =++过点(0,3)，抛物线23y ax bx =++过点(4,3)，∴该抛物线的对称轴为直线2x =．（2）抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =， 22ba∴-=，即4b a =-①． 0m >，2222m m ∴-<<+． 0a >，抛物线开口向上，∴当2x =时，函数值在222m x m -<<+上取得最小值1-．即4231a b ++=-②．联立①②，解得1a =，4b =-．∴抛物线的表达式为243y x x =-+，即2(2)1y x =--．0m >，∴当22m x -时，y 随x 的增大而减小，当2x m =-时取得最大值，当222x m +时，y 随x 的增大而增大，当22x m =+时取得最大值， 对称轴为2x =，2x m ∴=-与2x m =+时的函数值相等． 2222m m <+<+，∴当22x m =+时的函数值大于当2x m =+时的函数值，即2x m =-时的函数值． ∴当22x m =+时，函数值在2222m m -<<+上取得最大值3．代入有2413m -=，舍去负解，得1m =．（3）存在，1n =．当2n x n -<<时，y 的取值范围是3335n y n -<<+，y 无法取到最大值与最小值，∴关于x 的取值范围一定不包含对称轴，①当2n 时，2n x n -<<在对称轴的左侧， 二次函数开口向上，2x n ∴=-时，y 有最大值，x n =时，y 有最小值， 由题意可知：22(2)4(2)3354333n n n n n n ⎧---+=+⎨-+=-⎩，解得：1n =，故1n =，②当22n -时，2n x n -<<在对称轴的右侧， 二次函数开口向上，2x n ∴=-时，y 有最小值，x n =时，y 有最大值， 由题意可知：22(2)4(2)3334335n n n n n n ⎧---+=-⎨-+=+⎩，此时n 无解，故不符合题意， 1n ∴=．27．【解答】解：（1）图形如图所示，结论：DM EM =．理由：连接AE ，AD ． AB AC =，90BAC ∠=︒， 45ABC ACB ∴∠=∠=︒， CD CB ⊥， 90DCB ∴∠=︒，135ABE ACD ∴∠=∠=︒，BA CA =，BE CD =，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆，AE AD ∴=， AM DE ⊥， DM ME ∴=．（2）当CD =12AN DE =成立． 理由：过点A 作AT BC ⊥于点T ，AH DC ⊥交DC 的延长线于点H 则四边形ATCH 是正方形． 1AB AC ==，90BAC ∠=︒，BC ∴=AT CB ⊥，2AT TB TC ∴===，CD BE =EN BN =，BN ∴=，AN ∴=，AH CH AT ===DH ∴=+=，AD ∴===， ABE ACD ∆≅∆， EAB CAD ∴∠=∠， 90EAD BAC ∴∠=∠=︒，AE AD ∴==DE ∴=12AN DE ∴=． 28．【解答】解：（1）①图形W 是半径为1的O ， 图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为2．故答案为：2；②如图1，连接2P O 并延长交O 于点E ，23P O ==，212P E d ∴=≠，2P ∴不是O 的“倍点”； 1P 到O 上各点连线中最大距离为2132d +=≠， 1P ∴不是O 的“倍点”； 3P 到O 上各点连线中最大距离为3142d +==，3P ∴是O 的“倍点”． 故答案为：3P ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，正方形ABCD 上任意两点之间距离的最大距离d ==，∴2d =由图可知当点E 在如图所示的位置时，E 是正方形ABCD 的“倍点“，∴OE =，t ∴的值为：3或3-．（3）MN 上2d =，24d =，当线段MN 在O 外部时，4EM =，1TM =，ET ∴=∴大O 的半径为6+同理，小O 的半径为6点T 所构成的图形是圆环，它的面积22(6(6ππ⋅+-⋅=．故答案为：．第21页（共21页）。
2021北京海淀初三一模数学试卷(含答案)
2021北京海淀初三一模数 学2021.04学校_____________姓名_____________准考证号_____________一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．右图是某几何体的三视图，该几何体是( A ) 圆柱 ( B ) 球 ( C ) 三棱柱( D ) 长方体2．2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59 000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59 000用科学记数法表示应为 ( A )50.5910⨯( B )55.910⨯( C )45.910⨯( D )35.910⨯3．七巧板是我国的一种传统智力玩具．下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是( A ) ( B ) ( C )( D )4．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是( A )14 ( B )12( C ) 34( D ) 15．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的边数是( A ) 3( B ) 4( C ) 5 ( D ) 66．实数a 与b 在数轴上对应点的位置如图所示．则正确的结论是（A ）0a < （B ）a b < （C ）50b +> （D ）a b > 7. 已知x =1是不等式20x b −<的解，b 的值可以是( A ) 4( B ) 2( C ) 0 ( D ) 2−8．如图，AB 是O 直径，点C 、D 将AB ⌒ 分成相等的三段弧，点P 在AC ⌒ 上．已知点Q 在AB ⌒ 上且∠APQ =115°，则点Q 所在的弧是( A ) AP⌒ ( B ) PC ⌒ ( C ) CD⌒ ( D ) DB ⌒ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是 ． 10．方程组3,26x y x y +=⎧⎨−=⎩的解为 ．11．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板.如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 ．12a 的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a 的值 ． 13．计算：211()111x x x x −⋅−−+= ． 14．已知关于x 的方程2(2)40x m x −++=有两个相等的实数根，则m 的值是 ．AB15．图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S 1，S 2，则12S S −的值为 ．16．图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点．甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：如图2，甲先画出线段AB ，乙随后画出线段BC ．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是_______．（填“甲”，“乙”或“不确定”）．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：0|2|2cos 45(1)12−−︒+π−+．18．解不等式组：4(1)7,32.4x x x x +≥+⎧⎪⎨+>⎪⎩图1游戏规则a ．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；b ．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；c ．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；d ．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．ABC图219．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB =DE ，BE =CF ．求证：A D ∠=∠．20．已知210a a +−=，求代数式()()()222a a a a +−++的值．21．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是边BC 上一点，AE ⊥ED ．（1）求证：△ABE ∽△ECD ；（2）F 为AE 延长线上一点，满足EF =EA ，连接DF 交BC 于点G ．若AB =2，BE =1求GC 的长．22．我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆．正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长2m 的杆AB ，向正北方向画一条射线BC ，在BC 上取点D ，测得BD =1.5m ，AD =2.5m ．（1）判断：这个模型中AB 与BC 是否垂直．答：________（填“是”或“否”）；FE DC BAGFE DCBA你的理由是：____________________________________________________．（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角α的值，如下表：N 的位置； ②记秋分时的表影为BP ，推测点P 位于（ ） A ．线段MN 中点左侧B ．线段MN 中点处C ．线段MN 中点右侧23．已知直线:(0)l y kx k =≠过点(1,2)A −．点P 为直线l 上一点，其横坐标为m . 过点P 作y 轴的垂线，与函数4(0)y x x=>的图象交于点Q ．（1）求k 的值；（2）①求点Q 的坐标（用含m 的式子表示）；②若△POQ 的面积大于3，直接写出点P 的横坐标m 的取值范围．24．牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．a ．两部影片上映第一周单日票房统计图xb．两部影片分时段累计票房如下根据以上信息，回答下列问题：（1）2月12日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为_________；（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是______________；①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过_______亿元．25．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE=2∠E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若1tan3E=，BD=1，求弦AB的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222(0)y ax ax a a =−+−>．分别过点(,0)M t 和点(2,0)N t +作x 轴的垂线，交抛物线于点A 和点B ．记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包括A ，B 两点）． （1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m ．①当a =2时，若图形G 为轴对称图形，求m 的值； ②若存在实数t ，使得m =2，直接写出a 的取值范围．27．如图，在△ABC 中，=AB AC ，40BAC ∠=︒，作射线CM ，80ACM ∠=︒．D 在射线CM 上，连接AD ，E 是AD 的中点，C 关于点E 的对称点为F ，连接DF ．备用图（1）依题意补全图形；（2）判断AB 与DF 的数量关系并证明；（3）平面内一点G ，使得DG DC =，FG FB =，求CDG ∠的值．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，且∠AOM =α，则称线段MN 是点A 的“α-相关线段”．例如，图1中线段MN 是点A 的“30°-相关线段”．图1 图2（1）已知点A 的坐标是(0,2)．①在图2中画出点A 的“30°-相关线段”MN ，并直接写出点M 和点N 的坐标； ②若点A 的“α-相关线段”经过点，求α的值；（2）若存在,()αβαβ≠使得点P 的“α-相关线段”和“β-相关线段”都经过点(0,4)，记PO=t ，直接写出t 的取值范围．xxy2021北京海淀初三一模数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）9．1x≥ 10．3,xy=⎧⎨=⎩11．110° 12．答案不唯一，如：13．1 14．2或-615．9 16．乙三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本小题满分5分）解：原式212=−⨯++1=+．18．（本小题满分5分）解：原不等式组为4(1)7,32.4x xxx+≥+⎧⎪⎨+>⎪⎩①②解不等式①，得1x≥．解不等式②，得2x＜．∴原不等式组的解集为12x≤＜．19．（本小题满分5分）证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．在△ABC 和△DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌ △DEF ． ∴ ∠A =∠D ． 20．（本小题满分5分）解：()()()222a a a a +−++2242a a a =−++ 2224a a =+− ∵ 210a a +−= ∴ 21a a += ∴ 原式()224a a =+− 2=−21．（本小题满分6分）（1）证明：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠B =∠C =90°． ∴ ∠BAE +∠AEB =90°． ∵ AE ⊥ED ， ∴ ∠AED =90°． ∴ ∠AEB +∠CED =90°． ∴ ∠BAE =∠CED ． ∴ △ABE ∽ △ECD ． （2）解：∵ 由（1），△ABE ∽ △ECD ， ∴AB ECBE CD=． ∵ 矩形ABCD 中，CD =AB =2，BE =1，GFEDCBA∴ BC =BE +EC =5． ∵ AD ∥BC ， ∴ △AFD ∽ △EFG ． ∴AD AFEG EF=． ∵ AE =EF ， ∴ AF =2EF ． ∴2AD EG =，即115222EG AD BC ===． ∴ CG =EC -EG =32． 22．（本小题满分5分）（1）是，理由：由测量结果可知222AB BD AD +=，由勾股定理的逆定理可知AB ⊥BC ． （2）① 如图，点M 和点N 即为所求．② A ． 23．（本小题满分6分）（1）解：∵ 直线y kx =过点A （1−，2）， ∴ 2k −=，即2k =−． （2）① 解：∵ P 在直线2y x =−上且横坐标为m ， ∴ 点P 的纵坐标为2P y m =−， ∵ PQ ⊥y 轴，∴ 点Q 的纵坐标为2Q y m =−．∵点Q在函数4yx=（0x>）的图象上，∴点Q的横坐标为422Qxm m==−−．∴点Q的坐标为（2m−，2m−）．②1m<−24．（本小题满分5分）（1）4.36（2）②③（3）8.61 25．（本小题满分6分）（1）证明：连接OC，在⊙O中∵∠BOC=2∠E，∠ABE=2∠E，∴∠BOC=∠ABE．∴AB∥OC．∴∠OCD+∠ADC=180°．∵AB⊥CD于点D，∴∠ADC=90°．∴∠OCD=90°．∴OC⊥CD．∴CD是⊙O的切线．（2）解：方法1：连接AC，BC，∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE=90°．∴∠OBC+∠E=90°．∵∠OCD=90°，∴∠OCB+∠BCD=90°．∵OB=OC，∴ ∠OCB =∠OBC ．∴ ∠E =∠BCD ． ∴ 1tan tan 3BCD E ∠==．∴ 在Rt △BCD 中，3tan BDCD BCD==∠．∵ ∠A =∠E ，∴ 在Rt △ACD 中，9tan CDAD A==． ∴ 8AB AD BD =−=． 方法2：连接CD ，过点O 作OH ⊥AB 于H ，设⊙O 的半径为r ． 同方法1可得∠BCD =∠E ，CD =3． ∵ OH ⊥AB ，∴ ∠OHD =90°=∠OCD =∠ADC ． ∴ 四边形OHDC 是矩形． ∴ OH =CD =3，HD =OC =r ， ∴ 1HB HD BD r =−=−．∵ Rt △OHB 中，222OH HB OB +=， ∴ ()2223+1r r −=． 解得：5r =． ∴ 4HB =．∴ 由垂径定理，AB =2HB =8． 26．（本小题满分6分）（1）抛物线的解析式为()222212y ax ax a a x =−+−=−−， ∴ 抛物线的顶点坐标为（1，2−）．（2）① 当2a =时，抛物线为()2212y x =−−，其对称轴为1x =． ∵ 图象G 为轴对称图形，∴ 点A ，B 必关于对称轴1x =对称． ∵ 点A 的横坐标为t ，点B 的横坐标为2t +，∴ AB =2，∴ 0t =，点A 为（0，0），点B 为（2，0）．∵ 当01x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 图象G 上任意一点的纵坐标最大值为0，最小值为2−． ∴ 2m =． ② 02a <≤ 27．（本小题满分7分）（1）下图即为所求（2）AB 与DF 的数量关系是AB =DF ． 证明：∵ 点F 与点C 关于点E 对称， ∴ CE =FE ． ∵ E 是AD 的中点， ∴ AE =DE ． ∵ ∠AEC =∠DEF ， ∴ △AEC ≌ △DEF ∴ AC =DF ． ∵ AB =AC ，∴ AB =DF ．（3）如图所示，点G 的位置有两种情况．B21B① 点G 与点C 在直线DF 同侧时，记为1G ，连接AF ， ∵ AE =DE ，CE =EF ，∴ 四边形ACDF 是平行四边形． ∴ AF =CD ． ∵ 1DG CD =， ∴ 1DG AF =， ∵ AB =DF ，1BF FG =， ∴ △ABF ≌ △DF 1G ． ∴ 1FDG BAF ∠=∠．∵ □ACDF 中，∠CAF =∠CDF ， ∴ 1FDG CDF BAF CAF ∠−∠=∠−∠． ∴ 140CDG BAC ∠=∠=︒．② 点G 与点C 在直线DF 异侧时，记为2G ， ∵ 12DG DG =，12FG FG =，DF =DF ， ∴ △1DFG ≌ △2DFG ． ∴ 12DFG DFG ∠=∠．∵ □ACDF 中，AC ∥DF ，∠ACD =80°， ∴ ∠CDF =180°－∠ACD =100°． ∵ 由①，140CDG ∠=︒，∴ 11140FDG ACD CDG ∠=∠+∠=︒． ∴ 2140FDG ∠=︒．∴ 22360120CDG CDF FDG ∠=︒−∠−∠=︒． 综上，∠CDG 的度数为40°或120° 28．（本小题满分7分）（1）① 如图，MN 即为所求．点M的坐标是（1N的坐标是（12）．②解：∵点A的“α-相关线段”MN经过点，∴点M必在直线x=记直线x=x轴交于点H0），∵OM=OA=2，OH∴1MH=，30MOH∠=︒．分两种情况：a) 当点M在x轴上方时，点M恰为，符合题意，此时∠AOM=60°，60α=︒；b) 当点M在x轴下方时，点M为1)−，由MN=2知点N为，也符合题意，此时∠AOM=120°，120α=︒．综上，α的值为60°或120°．（2）4t≤。
海淀区2021-2022第一学期九年级数学期末试卷答案
海淀区初三第一学期期末学业水平调研 2022.1参考答案及评分标准 第一部分 选择题一、选择题 （共16分，每题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCABBADC第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9．不唯一，例如，等 10．11．＜ 12．（2，2） 13． 14．70°15．9.316．（1）1，（2）不唯一，A/A 或B/A 均可三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题满分5分）解：，．18．（本题满分5分）解： = .∵ a 是方程的根， ∴ ．∴ ． ∴ 原式 = 6．y x =-21y x =-351k <2691x x -+=()231x -=31x -=±14x =22x =(27)5a a -+2275a a -+22710x x --=22710a a --=2271a a -=（1）解：∵ 抛物线经过点（2，1），∴ ． 解得：．∴ 该抛物线的表达式为．（2）1．20．（本题满分5分）（1）如图所示:（2）解：∵ ∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =1，∴ AB =2BC =2．∴ ．∵ 线段CA 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CD ， ∴ CA =CD 且∠ACD =60°． ∴ △ACD 是等边三角形．∴ AD =AC ，∠DAC =60°．∴ ∠DAB =∠DAC +∠CAB =90°．∴ 在Rt △ABD 中，．21．（本题满分5分）（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （2），； （3） .()231y a x =--11a -=2a =()2231y x =--AC ==BD ==()12rπ+()12rπ-2r π（1）证明：依题意，得==．∵， ∴.∴ 该方程总有两个实数根． （2）解：解方程，得，．∵ ， ∴ ．∵该方程的两个实数根的差为3， ∴ .∴．23．（本题满分5分）（1）证明：在⊙O 中，∵ OD ⊥BC 于D ， ∴ BD =CD ． ∴ AD 垂直平分BC ． ∴ AB =AC ．（2）解：连接OB ，∵ BC =8，又由（1）得BD =CD ， ∴ ． ∵ ，∴ .∴ . ∴ △ABC 的面积．()()2241m m ∆=---24444m m m -+-+2m 20m ≥0∆≥11x =-21x m =-0m <11m ->-1(1)3m ---=3m =-142BD BC ==5OA OB ==3OD ==8AD AO OD =+=1322ABC S BC AD =⋅=（1）；（2）解：直接使用图中的序号代表四枚邮票. 方法一：由题意画出树状图由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，④①，④②，④③，并且它们出现的可能性相等. 其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”（记为事件A ）的结果有2种，即②④或④②.∴ .方法二：由题意列表第二枚 第一枚① ② ③ ④ ① ①② ①③ ①④ ② ②① ②③ ②④ ③ ③① ③② ③④ ④④①④②④③由表可知，所有可能出现的结果共有12种，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，④①，④②，④③，并且它们出现的可能性相等. 其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”（记为事件A ）的结果有2种，即②④或④②.∴ .25．（本题满分6分）（1）证明：∵ C ，A ，D ，F 在⊙O 上，∠CAF =90°， ∴ ∠D =∠CAF =90°． ∵ AB ⊥CE ，BG ⊥DF ， ∴ ∠BED =∠G =90°．14()21126P A ==()21126P A ==∴ 四边形BEDG 中，∠ABG =90°. ∴ 半径OB ⊥BG ．∴ BG 是⊙O 的切线． （2）解：连接CF ，∵ ∠CAF =90°， ∴ CF 是⊙O 的直径． ∴ OC =OF ．∵ 直径AB ⊥CD 于E ， ∴ CE =DE ．∴ OE 是△CDF 的中位线．∴ ．∵ ，∠AFD =30°， ∴ ∠ACD =∠AFD =30°． ∴ ． ∵ OA =OC ，∴ △AOC 是等边三角形． ∵ CE ⊥AB ， ∴ E 为AO 中点， ∴ OA =2OE =4，OB =4． ∴ . ∵ ∠BED =∠D =∠G =90°， ∴ 四边形BEDG 是矩形． ∴ DG =BE =6．∴ . 26．（本题满分6分）（1）解：依题意，∵ 抛物线过点（0，3），（4，3）， ∴ 该抛物线的对称轴为直线.（2）解：∵ 抛物线对称轴为直线，∴ ，即 ①. 122OE DF ==AD AD =9060CAE ACE ∠=︒-∠=︒6BE BO OE =+=2FG DG DF =-=23y ax bx =++2x =23y ax bx =++2x =22ba-=4b a =-A∵ ，∴ . ∵ ，抛物线开口向上，∴ 当时，函数值在上取得最小值. 即 ②.联立①②，解得，.∴ 抛物线的表达式为，即． ∵，∴ 当时，y 随x 的增大而减小，当时取得最大值， 当时，y 随x 的增大而增大，当时取得最大值， ∵对称轴为，∴与时的函数值相等. ∵，∴ 当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值. ∴ 当时，函数值在上取得最大值3. 代入有，舍去负解，得.（3）存在，． 27．（本题满分7分）（1）补全图形如下图，DM 与ME 之间的数量关系为DM =ME .证明：连接AE ，AD ， ∵ ∠BAC =90°，AB =AC ，0m >2222m m -<<+0a >2x =222m x m -≤≤+1-4231a b ++=-1a =4b =-243y x x =-+()221y x =--0m >22m x -≤≤2x m =-222x m ≤≤+22x m =+2x =2x m =-2x m =+2222m m <+<+22x m =+2x m =+2x m =-22x m =+222m x m -≤≤+2413m -=1m =1n =∴ ∠ABC =∠ACB =45°． ∴ ∠ABE =180°-∠ABC =135°． ∵ 由旋转，∠BCD =90°， ∴ ∠ACD =∠ACB +∠BCD =135°． ∴ ∠ABE =∠ACD ． ∵ AB =AC ，BE =CD ， ∴ △ABE ≌ △ACD ．∴ AE =AD ． ∵ AM ⊥DE 于M ，∴ DM =EM ． （2）证明：连接AD ，AE ，BM. ∵ AB =AC =1，∠BAC =90°， ∴ ∵ ， ∴ ．∵ 由（1）得DM =EM ， ∴ BM 是△CDE 的中位线．∴ ，BM ∥CD .∴ ∠EBM =∠ECD =90°．∵ ∠ABE =135°， ∴ ∠ABM =135°=∠ABE ． ∵ N 为BE 中点，∴ ．∴ BM =BN ． ∵ AB =AB ，∴ △ABN ≌ △ABM ． ∴ AN =AM ．∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD ，∴ ∠EAB =∠DAC ，AD =AE ． ∵ ∠BAC =∠DAC +∠DAB =90°， ∴ ∠EAD =90°．CD =BC =BE CD ==BE BC =12BM CD =1122BN BE CD ==E∵ DM =EM ， ∴ ． ∴ ．28．（本题满分7分）（1）① 2；② ；（2）解：如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为依题意，若点E （t ，3）是正方形ABCD 的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为当时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为EC 的长. 取点H（1，3），则CH ⊥EH 且CH =4，此时可求得EH =4，从而点E 的坐标为，即；当时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为ED 的长.由对称性可得点E 的坐标为，即.当时，显然不符合题意. 综上，t 的值为3或.（3）π.12AM DE =12AN DE =3P 0t <()13,3E -3t =-0t >()23,3E 3t =0t =3-。
2021-2022学年北京市海淀区初三数学第一学期期中试卷及解析
2021-2022学年北京市海淀区初三数学第一学期期中试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．（2分）方程2610x x --=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( ) A ．1，6-，1-B ．1，6，1C ．0，6-，1D ．0，6，1-2．（2分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）将抛物线212y x =向下平移1个单位长度，得到的抛物线是( ) A ．2112y x =- B ．2112y x =+ C ．21(1)2y x =-D ．21(1)2y x =+4．（2分）用配方法解方程2230x x +-=，下列配方结果正确的是( ) A ．2(1)2x -=B ．2(1)4x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)4x +=5．（2分）如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若50ABC ∠=︒，则BDC ∠的度数为()A ．90︒B ．100︒C ．130︒D ．140︒6．（2分）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将MNP ∆旋转，得到△111M N P ，则旋转中心是()A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D7．（2分）已知抛物线2y ax bx c =++，其中0ab <，0c >，下列说法正确的是( ) A ．该抛物线经过原点 B ．该抛物线的对称轴在y 轴左侧 C ．该抛物线的顶点可能在第一象限 D ．该抛物线与x 轴必有公共点8．（2分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，10BC =．动点M ，N 分别从A ，C 两点同时出发，点M 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度移动，点N 从点C 开始沿CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t ，点M ，C 之间的距离为y ，MCN ∆的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是( )A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．正比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，正比例函数关系D ．一次函数关系，二次函数关系 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若点(5,5)A 与点B 关于原点对称，则点B 的坐标为 ．10．（2分）若点(0,)a ，(3,)b 都在二次函数2(1)y x =-的图象上，则a 与b 的大小关系是：a b （填“>”，“ <”或“=” )．11．（2分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．以点A 为中心，将矩形ABCD 旋转得到矩形AB C D '''，使得点B '落在边AD 上，此时DB '的长为 ．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为 ．13．（2分）如图，C ，D 为AB 的三等分点，分别以C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点E ，F ，连接EF ．若9AB =，则EF 的长为 ．14．（2分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为 ．15．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A ，B ，连接AB ，再作出AB 的垂直平分线，交AB 于点C ，交AB 于点D ，测出AB ，CD 的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出4AB cm =，1CD cm =，则轮子的半径为 cm ．16．（2分）已知1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 为抛物线2(0)y ax a =≠上任意两点，其中120x x <．若对于211x x -=，都有21||1y y -，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题5分，第24题5分，第25-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（5分）解方程：289x x -=．18．（5分）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边AC 上，以CD 为边作等边CDE ∆，连接BD ，AE ．求证：BD AE =．19．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x px q =++的图象经过点(0,2)A -，(2,0)B ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象也经过点A ，B ，结合图象，直接写出不等式2kx b x px q +>++的解集．20．（5分）如图，A ，B 是O 上的两点，C 是AB 的中点．求证：A B ∠=∠．21．（5分）已知：A ，B 是直线l 上的两点．求作：ABC ∆，使得点C 在直线l 上方，且150ACB ∠=︒． 作法：①分别以A ，B 为圆心，AB 长为半径画弧，在直线l 下方交于点O ； ②以点O 为圆心，OA 长为半径画圆；③在劣弧AB 上任取一点C （不与A ，B 重合），连接AC ，BC ．ABC ∆就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：在优弧AB 上任取一点M （不与A ，B 重合），连接AM ，BM ，OA ，OB ． OA OB AB ==， OAB ∴∆是等边三角形． 60AOB ∴∠=︒．A ，B ，M 在O 上，1(2AMB AOB ∴∠=∠ )（填推理的依据）． 30AMB ∴∠=︒．四边形ACBM 内接于O ，180(AMB ACB ∴∠+∠=︒ )（填推理的依据）． 150ACB ∴∠=︒．22．（6分）已知关于x 的一元二次方程22210x ax a -+-=． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根均为负数，求a 的取值范围．23．（6分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x 轴方向，1m 为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y 轴上的A 点出手，运动路径可看作抛物线，在B 点处达到最高位置，落在x 轴上的点C 处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C 与出手点A 的水平距离OC 的长度）不小于10m ，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．24．（5分）关于x 的一元二次方程20x bx c ++=经过适当变形，可以写成()()()x m x n p m n --=的形式．现列表探究2430x x --=的变形：变形m n p (1)(5)2x x +-=- 1-5 2-(4)3x x -= 0 4 3 (1)()6x x t --=1 t6 2(2)7x -= 227回答下列问题：（1）表格中t 的值为 ；（2）观察上述探究过程，表格中m 与n 满足的等量关系为 ；（3）记20x bx c ++=的两个变形为111()()x m x n p --=和22212()()()x m x n p p p --=≠，则1212n n m m --的值为 ．25．（6分）如图，AB 为O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，75C ∠=︒，45D ∠=︒． （1）求AEC ∠的度数； （2）若12AC =，求CD 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(1,1)A -，与y 轴交于点B ． （1）直接写出点B 的坐标；（2）点(,)P m n 是抛物线上一点，当点P 在抛物线上运动时，n 存在最大值N ． ①若2N =，求抛物线的表达式；②若92a -<<-，结合函数图象，直接写出N 的取值范围．27．（7分）如图，已知(090)MON αα∠=︒<<︒，OP 是MON ∠的平分线，A ，B 分别在OP ，OM 上，且//AB ON ．以点A 为中心，将线段AO 旋转到AC 处，使点O 的对应点C 恰好在射线BM 上，在射线ON 上取一点D ，使得180BAD α∠=︒-．（1）①依题意补全图； ②求证：OC OD AD =+；（2）连接CD ，若CD OD =，求α的度数，并直接写出ADOD的值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，对于第一象限的P ，Q 两点，给出如下定义：若y 轴正半轴上存在点P '，x 轴正半轴上存在点Q '，使//PP QQ ''，且12α∠=∠=（如图1)，则称点P 与点Q 为α-关联点．（1）在点1(3,1)Q ，2(5,2)Q 中，与(1,3)为45︒-关联点的是 ；（2）如图2，(6,4)M ，(8,4)N ，(P m ，8)(1)m >．若线段MN 上存在点Q ，使点P 与点Q 为45︒-关联点，结合图象，求m 的取值范围；（3）已知点(1,8)A ，(B n ，6)(1)n >．若线段AB 上至少存在一对30︒-关联点，直接写出n 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．【解答】解：方程2610x x --=，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，6-，1-．故选：A ．2．【解答】解：选项A 、C 、D 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原图重合，所以不是中心对称图形；选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：B ．3．【解答】解：将抛物线212y x =向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：2112y x =-， 故选：A ．4．【解答】解：2230x x +-= 223x x ∴+= 22113x x ∴++=+2(1)4x ∴+= 故选：D ． 5．【解答】解：AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒．又50ABC ∠=︒， 40A ∴∠=︒，四边形ABDC 为圆O 的内接四边形， 180A BDC ∴∠+∠=︒， 140BDC ∴∠=︒，故选：D ．6．【解答】解：线段1NN ，线段1PP 的垂直平分线的交点为点B ，故点B 为旋转中心．故选：B ．7．【解答】解：抛物线2y ax bx c =++， 0c >，∴抛物线不会经过原点，故A 错误；0ab <， a ∴、b 异号，∴抛物线在y 轴的右侧，故B 错误；∴顶点可能在第一象限，也可能在第四象限，故C 正确；当0a >，0b <时， 0c >，∴顶点在第一象限，此时抛物线与x 轴没有交点，故D 错误；故选：C ．8．【解答】解：由题意得，AM t =，2CN t =， 5MC AC AM t ∴=-=-，即5y t =-，2152S MC CN t t ∴=⋅=-，因此y 是t 的一次函数，S 是t 的二次函数， 故选：D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：若点(5,5)A 与点B 关于原点对称，则点B 的坐标为(5,5)--．故答案为：(5,5)--． 10．【解答】解：2(1)y x =-，∴抛物线开口向上，对称轴是直线1x =，∴点(3,)b 离直线1x =远，点点(0,)a 离直线1x =较近，a b ∴<，故答案是：<．11．【解答】解：四边形ABCD 是矩形， 90BAD ∴∠=︒，4AD BC ==，由旋转的性质可知，3AB AB ='=， 431DB AD AB ∴'=-'=-=，故答案为：1．12．【解答】解：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(1,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，∴关于x 的方程20ax bx c ++=的解为1x =或3x =，故答案为：1x =或3x =．13．【解答】解：连接CE 、ED 、DF 、FC ，C ，D 为AB 的三等分点，9AB =，3AC CD DB ∴===，∴四边形ECFD 是菱形，CD ∴、EF 互相垂直平分，设CD 、EF 的交点为O ，32CO ∴=， 90COF ∠=︒， 2293394OF CF CO ∴=--=， 233EF OF ∴==故答案为：3314．【解答】解：长为x 步，宽比长少12步，∴宽为(12)x -步．依题意，得：(12)864x x -=．15．【解答】解：设圆心为O ，连接OB ．Rt OBC ∆中，122BC AB cm ==， 根据勾股定理得：222OC BC OB +=，即：222(1)2OB OB -+=，解得： 2.5OB =； 故轮子的半径为52cm ． 故答案为：52． 16．【解答】解：由题意得，211y ax =、222y ax =，22211212|||||()|y y ax ax a x x ∴-=-=+，21||1y y -，211x x -=，11||21a x ∴+恒成立， 1121a x ∴+最大值， 10x ，1211x ∴+， ∴11121x +， ||1a ∴，1a ∴或1a -，故答案为：1a 或1a -．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题5分，第24题5分，第25-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【解答】解：289x x -=，281625x x ∴-+=，2(4)5x ∴-=，则45x -=±，19x ∴=，21x =-．18．【解答】证明：ABC ∆，CDE ∆均为等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB ACE ∠=∠=︒．在BCD ∆与ACE ∆中，60AC BC ACB ACE CD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()BCD ACE SAS ∴∆≅∆，BD AE ∴=．19．【解答】解：（1）二次函数2y x px q =++的图象经过点(0,2)A -，(2,0)B ，∴2420q p q =-⎧⎨++=⎩， 解得12p q =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为22y x x =--．（2）由图象可知，不等式2kx b x px q +>++的解集为02x <<．20．【解答】证明：连接OC ．C 是AB 的中点，∴AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，在AOC ∆和BOC ∆中，OA OBAOC BOC OC OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOC BOC SAS ∴∆≅∆，A B ∴∠=∠．21．【解答】解：（1）如下图即为所求，（2）证明：在优弧AB 上任取一点M （不与A ，B 重合），连接AM ，BM ，OA ，OB ，OA OB AB ==，OAB ∴∆是等边三角形，60AOB ∴∠=︒， A ，B ，M 在O 上，12AMB AOB ∴∠=∠（在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）， 30AMB ∴∠=︒，四边形ACBM 内接于O ，180AMB ACB ∴∠+∠=︒（圆内接四边形对角互补）， 150ACB ∴∠=︒．故答案为：在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．22．【解答】（1）证明：依题意，得△2222(2)4(1)4444a a a a =---=-+=，△0>，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：解方程22210x ax a -+-=，得11x a =-，21x a =+，方程的两个根均为负数，∴10,10a a -<⎧⎨+<⋅⎩解得1a <-．23．【解答】解：（1）如图所示．（2）解：依题意，抛物线的顶点B 的坐标为(4,3)，点A 的坐标为(0,2)． 设该抛物线的表达式为2(4)3y a x =-+， 由抛物线过点A ，有1632a +=． 解得116a =-， ∴该抛物线的表达式为21(4)316y x =--+； （3）解：令0y =，得21(4)3016x --+=． 解得1443x =+，2443(x C =-在x 轴正半轴，故舍去）． ∴点C 的坐标为(443+，0)． ∴443OC =+．由332>，可得344102OC >+⨯=． ∴小明此次试投的成绩达到优秀．24．【解答】解：（1）24366x x --+=， 2436x x -+=，(1)(3)6x x --=，所以3t =；故答案为3；（2）154-+=，044+=，134+=，224+=，所以m n +为一次项系数的相反数， 即4m n +=；故答案为4m n +=；（3）由（2）的结论得到11m n b +=-，22m n b +=-， 所以1122m n m n +=+，即1212()n n m m -=--， ∴12121n n m m -=--． 故答案为1-．25．【解答】（1）解：A ，D 在O 上，45D ∠=︒，45A D ∴∠=∠=︒，75C ∠=︒，∴在ACE ∆中，18060AEC A C ∠=︒-∠-∠=︒； （2）解：连接OC ，过O 作OH CD ⊥于H ，OA OC =，45A ∠=︒，45ACO A ∴∠=∠=︒，180454590AOC ∴∠=︒-︒-︒=︒，Rt AOC ∆中，222AO OC AC +=，12AC =， ∴62AO OC ==75ACD ∠=︒，30OCD ACD ACO ∴∠=∠-∠=︒，∴12OH OC ==∴CH =，OH CD ⊥于H ，∴2CD CH ==26．【解答】解：（1）把0x =代入22y ax bx =++得，2y =， (0,2)B ∴；（2）①依题意，当2N =时，该抛物线的顶点为(0,2)， 设抛物线的解析式为22y ax =+， 由抛物线过(1,1)A -，得21a +=-， 解得3a =-，∴抛物线的表达式为232y x =-+； ②抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(1,1)A -， 12a b ∴-=++，3b a ∴=--，当9a =-时，36b a =--=，则2962y x x =-++， 此时，函数有最大值244(9)236344(9)ac b a -⨯-⨯-==⨯-， 当3a =-时，30b a =--=，则222y x =-+， 此时，函数有最大值为2，23N ∴<．27．【解答】（1）解：①补全图形，如图．②证明： OP 平分MON ∠，MON α∠=， 1122AOC AON MON α∴∠=∠=∠=，//AB ON ，BAO AON ∴∠=∠，BAO AOC ∴∠=∠，AB BO ∴=，由旋转，AO AC =，12AOC ACO α∴∠=∠=，ACO AON ∴∠=∠，180OAC α∠=︒-，180BAD α∠=︒-，OAC BAD ∴∠=∠，BAC DAO ∴∠=∠，()ABC ADO ASA ∴∆≅∆，AB AD ∴=，CB OD =，BO AD ∴=，OC CB BO =+，OC OD AD ∴=+．（2）如图所示，//AB ON ，180BAD ADO ∴∠+∠=︒，180BAD α∠=︒-，ADO α∴∠=，AC AO =，CD OD =，AD AD =， ()ADC ADO SSS ∴∆≅∆， 12DCA DOA α∴∠=∠=， CDA ODA α∠=∠=，在CDO ∆中，180OCD CDO DOC ∠+∠+∠=︒， 4180α∴=︒，45α∴=︒，此时，AD OD的值为21-． 28．【解答】解：（1）过点P 作PA y ⊥轴于点A ，过点Q 作QB x ⊥轴于点B ，(1,3)P ，45α=︒，1245∴∠=∠=︒，90PP Q ''∴∠=︒，45P Q O ''∠=︒， APP '∴∆和△P Q O ''都是等腰直角三角形，1AP AP '∴==，312OQ OP AO AP '''∴==-=-=， //PP QQ ''，90P Q Q ''∴∠=︒，45QQ B '∴∠=︒，∴△Q BQ '是等腰直角三角形， ∴当1Q B BQ '==时，点Q 的坐标为(3,1)， ∴与(1,3)为45︒-关联点的是1(3,1)Q ． 故答案为1Q ；（2）如图所示，对点(P m ，8)(1)m >而言，依定义，要使1245α∠=∠==︒， 则有：P '为(0,8)m -，Q '为(8,0)m -， 于是函数(8)(8)y x m x m =-->-上的点Q 即为点P 的45︒-关联点． 若当点Q 在线段MN 上时，4Q y =，则有12Q x m =-． 由68Q x ，得6128m -， 解得46m ．（3）23n >点Q和点P在线段AB上，当点P离B越近时，点Q的横坐标越小，∴当点P，Q，B三点重合时，点P'，点Q'和点O重合，过点P作PM y⊥轴于点M，α=︒，30BOM∴∠=︒，30B n，(,6)∴=，6OM3∴==⋅︒==，tan30623n BM OMn>∴当线段AB上至少存在一对30︒-关联点时，23n∴的取值范围是23n>第21页（共21页）。
初三海淀区数学试卷答案
---初三海淀区数学试卷答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) > 0，则x的取值范围是（）A. x > 3B. x < 3C. x ≥ 3D. x ≤ 3答案：B2. 若等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的面积是（）A. 18B. 24C. 30D. 36答案：B3. 下列各数中，不是有理数的是（）A. √4B. -√3C. 0.1010010001...D. 2/3答案：B4. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. a / 2 > b / 2D. a / 2 < b / 2答案：A5. 下列函数中，在定义域内是单调递减的是（）A. y = 2x + 1B. y = x^2C. y = -x^3D. y = 3/x答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 若等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。
答案：217. 若一次函数y = kx + b经过点(2, 5)，且与y轴交于点(0, -3)，则k =________，b = ________。
答案：2，-38. 已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则AB的长度是________。
答案：59. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值是 ________。
答案：2或310. 若函数y = 3x - 2的图像向右平移2个单位，则新的函数解析式是 ________。
答案：y = 3(x - 2) - 2三、解答题（每题15分，共45分）11. （15分）已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC边上，且BE = 2，F为CD 的中点，求证：三角形BEF是等边三角形。
解答：（1）连接AE，由于ABCD是正方形，所以AB = BC = CD = DA = 4。
北京市海淀区2021届九年级上期中考试数学试题含答案
AOA '北京市海淀区2021届九年级上期中考试数学试题含答案数 学 2021.11学校 姓名 学号 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．一元二次方程2320x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，1-，2- B ．3，1，2- C ．3，1-，2 D ．3，1，2 2．里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也显现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是A B C D 3．用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是A ．()239x += B ．()239x -= C ．()236x += D ．()237x += 4．如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从 A 点运动到了A '点，则'OAA ∠的度数为 A ．40° B ．50° C ．70° D ．80°5．将抛物线22y x =平移后得到抛物线221y x =+，则平移方式为 A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位6．在△ABC 中，90C ︒∠=，以点B 为圆心，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系为A ．点A 在圆外B ．点A 在圆内C ．点A 在圆上D ．无法确定 7．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 8．已知2是关于x 的方程230x ax a +-=的根，则a 的值为A ．4-B ．4C ．2D ．459．给出一种运算：关于函数nx y =，规定1-='n nx y ．例如：若函数41y x =，则有314y x '=．函数32y x =，则方程212y '=的解是A ．14x =，24x =-B ．123x =，223x =-C ．021==x xD ．12x =，22x =-10．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍照地点的一种方法．为了确定视频拍照地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l （单位：米）与时刻t （单位：时）的关系满足函数关系2l at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图记录了三个时刻的数据，依照上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t 是A ．12.75B ．13C ．13.33D ．13.5二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．方程02=-x x 的解为 ．12．请写出一个对称轴为3x =的抛物线的解析式 ．13．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图 （填“甲”、“乙”或“丙”），你的依照是_______________________________________________________ _______________________________________________________．14．若关于x 的方程220x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值是 ．15．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，半径OB 的长为3，则AB的长为 ．16．CPI 指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情形．CPI 的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的阻碍．依照北京市2020年甲 乙丙1413120.350.40.6Ol (米t (时)B OyxO –1–2–3123–1–2–3123与2021年CPI 涨跌率的统计图中的信息，请判定2020年1~8月份与2021年1~8月份，同月份比较CPI 涨跌率下降最多的月份是 月；请依照图中提供的信息，预估北京市2021年第四季度CPI 涨跌率变化趋势是 ，你的预估理由是 ．2020与2021年CPI 涨跌率（%）三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：246x x +=．18．求抛物线22y x x =-的对称轴和顶点坐标，并画出图象．19．如图，A ，D 是半圆上的两点，O 为圆心，BC 是直径，∠D =35°，求∠OAC 的度数．20．已知：2230m m +-=．D B O C A图2求证：关于x 的方程2220x mx m --=有两个不相等的实数根．21．如图，在等边△ABC 中，点D 是 AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°后得到CE ，连接AE ． 求证：AE ∥BC ．22．如图1，在线段AB 上找一点C ，C 把AB 分为AC 和CB 两段，其中BC 是较小的一段，假如2BC AB AC ⋅=，那么称线段AB 被点C 黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域． 如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为1005 2.2）．A C B图1B CDA EDOMB EC FA23．如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他 测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A ，B 两点的距离为18米，求这种 装置能够喷灌的草坪面积．24．下表是二次函数2y ax bx c =++的部分x ，y 的对应值：x… 1-12-12 132 252 3 … y…m141-74- 2-74- 1-142…（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，m 的值为 ；（2）当0x ＞时，y 的取值范畴是 ；（3）当抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x n =+的下方时，n 的取值范畴是 ．25．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点A作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ，连接AE ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ； （2）过点C 作CM ⊥AF 于M 点，若CM = 4，BE = 6，求AE 的长．图1OA B240°图226．小华在研究函数1y x =与22y x =图象关系时发觉：如图所示，当1x =时，11y =，22y =；当2x =时，12y =，24y =；…；当x a =时，1y a =，22y a =．他得出假如将函数1y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原先的2倍，就能够得到函数22y x =的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：（1）假如函数3y x =图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原先的3倍，得到的函数图象的表达式为 ；（2）①将函数2y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原先的 倍，得到函数24y x =的图象；②将函数2y x =图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原先的2倍，得到图象 的函数表达式为 ．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x mx n =++-的对称轴为2x =．（1）m 的值为 ；（2）若抛物线与y 轴正半轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ，当△OAB 是等腰直角三角形时，求n 的值；（3）点C 的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC 有且只有一个交点，求n 的取值范畴．28．在菱形ABCD 中，∠BAD =α，E 为对角线AC 上的一点（不与A ，C 重合），将射线EB绕点E 顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD 交于F 点．试探究线段EB 与EF 的数量关系．小宇发觉点E 的位置，α和β的大小都不确定，因此他从专门情形开始进行探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD 是正方形．小宇发觉，在正方形中，AC 平分∠BAD ，作EM ⊥AD 于M ，EN ⊥AB 于N ．由角平分线的性质可知EM =EN ，进而可得EMF ENB △≌△，并由全等三角形的性质得到EB 与EF 的数量关系为 ．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补全图形；②请帮小宇连续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立， 请举出反例说明；（3） 小宇在利用专门图形得到了一些结论之后，在此基础上对一样的图形进行了探究，FEM CD A N B 图1 图2设∠ABE =γ，若旋转后所得的线段EF 与EB 的数量关系满足（1）中的结论，请直截了当写出角α，β，γ满足的关系：． 29．点P 到AOB ∠的距离定义如下：点Q 为AOB ∠的两边上的动点，当PQ 最小时，我们称现在PQ 的长度为点P 到AOB ∠的距离，记为()d P AOB ∠，．专门的，当点P 在AOB ∠的边上时，()0d P AOB ∠=，． 在平面直角坐标系xOy 中，A ()40，． （1）如图1，若M （0，2），N （1-，0），则()d M AOB ∠=， ，()d N AOB ∠=， ；（2）在正方形OABC 中，点B （4，4）．①如图2，若点P 在直线34y x =+上，且()d P AOB ∠=，，求点P 的坐标；②如图3，若点P 在抛物线24y x =-上，满足()d P AOB ∠=，P 有个，请你画出示意图，并标出点图2图1图3九年级第一学期期中练习数 学 答 案 2021．11一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．1201x x ==，； 12．()23y x =-（答案不唯独）；13．乙，90°的圆周角所对的弦是直径； 14．1-； 15． 16．8，第二空填“上涨”、“下降”、“先减后增”等，第三空要能支持第二空的合理性即可．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解法一：解：24410x x ++=，----------------------------------------------------------------------------------1分 ()2210x +=，-------------------------------------------------------------------------------------3分2x =-±12x =-，22x =- -------------------------------------------------------------5分解法二： 解：2460x x +-=，----------------------------------------------------------------------------------1分-2b x a ±==，----------------------------------------------------3分2x =-±12x =-，22x =- -------------------------------------------------------------5分 18．解：()211y x =--，-----------------------------------------------------------------------------------1分∴对称轴为1x =． --------------------------------------------------------------------------------2分顶点为()11-，． ----------------------------------------------------------------------------------3分----------------------------------------------------------------------------5分19．解法一：解：∵35D ∠=°，∴35B D ∠=∠=°． ---------------------------------------------1分 ∵BC 是直径， ∴90BAC ∠=°．∴90ACB ∠=°55ABC -∠=°． -------------------------------3分 ∵OA OC =，∴55OAC OCA ∠=∠=°． --------------------------------------5分 解法二：解：∵35D ∠=°， ∴270AOC D ∠=∠=°． ---------------------------------------------------------------------1分∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠，----------------------------------------------------------------------------3分∵180OAC OCA AOC ∠+∠+∠=°， ∴55OAC ∠=°． ---------------------------------------------------------------------------------5分 20．解：∵2230m m +-=， ∴223m m +=． ---------------------------------------------------------------------------------1分∴248m m ∆=+-----------------------------------------------------------------------------------2分 ()242120m m =+=＞，------------------------------------------------------------------4分 ∴原方程有两个不相等的实数根． -------------------------------------------------------------5分 21．解：∵等边ABC △，∴AC BC =，60B ACB ∠=∠=°．∵线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到CE ， ∴CD CE =，60DCE ∠=°． ∴DCE ACB ∠=∠．------------------------------------------------1分即1223∠+∠=∠+∠．∴13∠=∠． -----------------------------------------------------------------------------------------2分 在BCD △与ACE △中，13BC AC CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BCD △≌ACE △． ------------------------------------------------------------------------3分∴60EAC B ∠=∠=°． ∴EAC ACB ∠=∠．--------------------------------------------------------------------------------4分∴AE BC ∥． --------------------------------------------------------------------------------------5分 22．解：设太和门到太和殿的距离为x 丈，321DB CA E-----------------------------------------------------------1分 由题意可得，()2100100x x =-.----------------------------------------------------------------------------3分150x =-+，250x =--（舍）.--------------------------------------------4分 5050 2.260x ≈-+⨯=．答：太和门到太和殿的距离为60丈． ------------------------------------------------------------5分 23．解：过点O 作OC AB ⊥于C 点．∵OC AB ⊥，18AB =，∴192AC AB ==． ---------------------------------------1分∵OA OB =，360AOB ∠=°240-°120=°，∴1602AOC AOB ∠=∠=°． ---------------------------2在Rt OAC △中，222OA OC AC =+，又∵12OC OA =，∴r OA == -----------------------------------------4分 ∴240360S =πr 2=72π（m 2）．----------------------------------5分 24．（1）上；()12-，；2；（说明：每空1分） ------------------------------------------------------3分 （2）2y ≥-；------------------------------------------------------------------------------------------4分 （3）3n >-． -------------------------------------------------------------------------------------------5分 25．（1）连接BD ， ∵AB 是直径，∴90ADB ∠=°． --------------------------1∵AF 是⊙O 的切线， ∴90BAF ∠=°.∴1290BAC BAC ∠+∠=∠+∠=°． ∴12∠=∠. ∵AB=BC ， ∴2122ABC ∠=∠=∠． ---------------------------------------------------------------------2分（2）∵12334∠=∠=∠∠=∠，，∴24∠=∠． ∵AB 是直径， ∴CE⊥AE ．--------------------------------------------------------------------------------------------3分 ∵CM ⊥AF ，CM =4, ∴CE =CM =4． --------------------------------------------------------------------------------------4分 ∵BE =6,∴AB =BC =BE +EC =10．在Rt △ABE 中，8AE ===． ----------------------------------------------------5分 26．（1）9y x=;-------------------------------------------------------------------------------------------1分 （2）①4；----------------------------------------------------------------------------------------------3分 ②214y x =． --------------------------------------------------------------------------------------5分27．（1）4-． ----------------------------------------------------------------------------------------------1分 （2）241y x x n =-+-， ()01A n -，，()20B ， ，------------------------------------------------------------------2分12n -=，3n =． --------------------------------------------------------------------------------------------3分（3）如图1，当抛物线顶点在x 轴上时，5n =， ------------------------------------------------4分 如图2，当抛物线过点C (3，0)时，4n =，--------------------------------------------------5分如图3，当抛物线过原点时，1n =， ---------------------------------------------------------6分结合图象可得，14n ≤<或5n =．------------------------------------------------------------7分28．（1）EB=EF；------------------------------------------------------------------------------------------1分 （2）①；---------------------------------------------------------------------2分 ②结论依旧成立EB =EF ． -----------------------------------3分证法1：过点E 作EM ⊥AF 于M ，EN ⊥AB 于N ．∵四边形ABCD 为菱形，∴12∠=∠．∵EM ⊥AF ，EN ⊥AB ．∴=90FME N ∠=∠°，EM=EN ． -------------------4分 ∵60BAD ∠=°，120BEF ∠=°，∴3360F ∠+∠=°180BAD BEF -∠-∠=°． ∵3180EBN ∠+∠=°， ∴F EBN ∠=∠．------------------------------------------------------------------------------5分 在△EFM 与△EBN 中，F EBN FME N EM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△EFM ≌△EBN ． ∴EF=EB ． ------------------------------------------------------------------------------------6分证法2：连接ED∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD =AB ，∠DAC =∠BAE ． 又∵AE =AE ,∴△ADE ≌△ABE ．∴ED =EB ，∠ADE =∠ABE ． ------------------------4分 又∵∠DAB =60°，∠BEF =120°． ∴∠F +∠ABE =180°．又∵∠ADE +∠FDE =180°， --------------------------5分 ∴∠F =∠FDE ． ∴EF =ED ． ∴EF =EB ． -------------------------------------------------------------------------------------6分 （3）+=180αβ°或++=18022αβγ°． ------------------------------------------------------7分 29．（1）1；1．（说明：每空1分） --------------------------------------------------------------------2分（2）①如图，点P 在EF 上时，OP=， 设P （x ，3x +4），()22348x x ++=，12225x x =-=-，（舍），P ()22--，， --------------------------------4分点P 在射线FG 上时，P 到射线OB的距离为 点P 与点C 重合，P ()04，， -------------------------------------5分∴P ()22--，，()04，．②4． -------------------------------------------------------------------------------------------------6分 -------------------------------------------------------------8分（说明：每标对两个点得1分）。
北京市中考2021海淀数学一模试卷(含答案)
北京市中考2021海淀数学一模试卷(含答案) 北京市海淀区2021年中考一模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）2．图1是数学家皮亚特・海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成.图2不可能是下面哪个组件的视图（）．．．3．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（）A.6B. 5C. 4D.34．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）b22a25．如果a?b?1，那么代数式(1?2)?的值是（）aa?bA.2B.?2C.11D.?16．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示. 若b?d?0，则下列结论中正确的是（）A.b?c?0B.abc?bcdD.a?dc?1C.ada7．在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源. 下面的统计图反映了我国在线教育用户规模的变化情况.2021-2021年中国在线教育用户规模统计图用户规模/万人16000120008000400005303498711014117891376414426119909798在线教育用户手机在线教育课程用户2021年 12月2021年 6月2021年 12月2021年 6月时间（以上数据摘自《2021年中国在线少儿英语教育白皮书》）根据统计图提供的信息，下列推断一定不合理的是（）．．．A．2021年12月至2021年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升B．2021年12月至2021年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续上升 C．2021年12月至2021年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万 D．2021年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%8．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义(x,y)为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线x?1,y?3将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.2则下面叙述中正确的是（） A. 点A的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等1 A二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是．10．我国计划2023年建成全球低轨卫星星座――鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务. 2021年12月，我国手机网民规模已达753 000000，将753 000 000用科学记数法表示为．11．如图，AB∥DE，若AC?4，BC?2，DC?1，则EC= ．2 C3 D4 B5 A6 D7 B8 D BA 12．写出一个解为1的分式方程：．13．京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多21分钟（，求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为．．30小时）__________．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D = 72°，则∠BAE = °.CDEAODBEC15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB?BC，M是弧ABC的中点，MF?AB于F，则AF?FB?BC．MFADCBCEBA图1图2如图2，△ABC中，?ABC?60?，AB?8，BC?6，D是AB上一点，BD?1，作DE?AB交△ABC 的外接圆于E，连接EA，则?EAC=________°． 16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．?117．计算：()?12?3tan30??|3?2|．134?5x?3?3?x?1?,?18．解不等式组：?x?2?6?3x.??219．如图，△ABC中，?ACB?90?，D为AB的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，求证：BC平分?ABF．ADC20．关于x的一元二次方程x2?(2m?3)x?m2?1?0. （1）若m是方程的一个实数根，求m的值；（2）若m为负数，判断方程根的情况. ．．EBF21．如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE = CD. （1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形AOBE的面积取得最大值是_______.5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021年1月北京市海淀区初三(上)期末数学试卷(含答案)
2021北京海淀初三（上）期末数 学学校 姓名 准考证号第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．已知反比例函数xky =的图像经过点)3,2(A ，则k 的值为 A ．3B ．4C ．5D ．62．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo 进行围棋人机大战，截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是3．不透明袋子中有１个红球和２个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出１个球，恰好是红球的概率为 A ．31 B ．21 C ．32D ．14．如图，ABC ∆中，点D ，E 分别在边AB ，AC 的反向延长线上，且BC DE //．若2=AE ，4=AC ，3=AD ，则AB 为A ．9B. 6C ．3D ．235．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且她们互为相反数，这个方程是A ．01=-xB ．02=+x x B ．012=-xD ．012=+x6．如图，O ⊙的内接正六边形ABCDEF 的边长为１，则BC⋂的长为A ．π41 B ．π31 C ．π32D ．π7．已知二次函数c bx ax y ++=2的部分图像如图所示，则使得函数值y 大于2的自变量x 的取值可以是A ．4-B ．2-C ．0D ．28．下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是A ．长度为5的线段B ．斜边为3的直角三角形C ．面积为4的菱形D ．半径为2，圆心角为90的扇形二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是 ．10．若点）（a ,1，）（b ,2都在反比例函数xy 4=的图像上，则a ，b 的大小关系是：a b （填“＞”、“＝”或“＜”）．11．如图，ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，若AB 腰与O ⊙相切，则AC 与O ⊙的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．12．关于x 的一元二次方程032=+-m x x 有一个根是1=x ，则=m ．13．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：估计树苗移植成活的概率是 （结果保留小数点后一位）．14．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部。
北京市海淀区2020--2021学年第一学期九年级数学期末试卷及答案
初三第一学期期末学业水平调研数学学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________注意事项1.本调研卷共8页，满分100分，考试时间120分。
2.在调研卷和答题纸上准确填写学校名称，姓名和准考证号。
3.调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.调研结束，请将本调研卷和答题纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．抛物线213y x的顶点坐标为A．1,3B．1,3C．1,3D．3,1 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点43P，，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tan 的值为A．35B．45C．34D．433．方程230x x的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A B C，当B，C，A在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为A．150°B．120°C．60°D．30°5．如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数2(0)y xx的图象上的一点，则矩形OABC的面积为B'A'CAxyC BAOA ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在ABC △中，DE BC ∥，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ， 若:=2:3AD AB ，则△ADE 和△ABC 的面积．．之比等于 A ．2:3B ．4:9C ．4:5D7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘==AC BD 54cm ，且与闸机侧立面夹角PCA BDQ ∠=∠=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为图1 图2 A．cmB．cmC ．64cmD ． 54cm8．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是 A ．1y B.2y C ．3y D.4y二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．方程230x x -=的根为．10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．11．已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x 轴交于10（，），30（，）两点，则n 的值为．12．在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与ky x=()0k ≠的图象有两个交点，则k 的取值范围是．EDC B A13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点24A ，，40B ，，以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA B .若B '的坐标为20，，则点A '的坐标为．14．已知1(1)y ，，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y ，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点30A ，，判断在M N P Q ，，，四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y 上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分） 17．计算：0cos452sin302．18．如图，AD 与BC 交于O 点，A C ，4AO ，2CO ，3CD ，求AB 的长．19．已知x n 是关于x 的一元二次方程2450mx x 的一个根，若246mn n m ，求m 的值．20．近视镜镜片的焦距y （单位：米）是镜片的度数x （单位：度）的函数，下表记录了一OCBA组数据：（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；A．1100y x B．100yxC．13+2002y x D．21319400008008xy x（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米．21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得,PA PB 与观光船航向PD 的夹角∠DP A =18°，∠DPB =53°，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长． 参考数据：sin18°0.31≈，cos18°0.95≈，tan18°0.33≈，sin53°0.80≈，cos53°0.60≈，tan53° 1.33≈．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12yx 与双曲线ky x的一个交点是(2,)A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线kyx上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(,0)B b ． ①若1m ，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b 的值．24．如图，A ，B ，C 为⊙O 上的定点．连接AB ，AC ，M 为AB 上的一个动点，连接CM ，xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O将射线MC 绕点M 顺时针旋转90，交⊙O 于点D ，连接BD ．若AB =6cm ，AC =2cm ，记A ，M 两点间距离为x cm ，B D ，两点间的距离为y cm ．小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点．．、画图．．、测量．．，得到了x 与y 的几组值，如下表：的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD =AC 时，AM 的长度约为cm ．25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OEAB ，P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ． （1）求证：PC =PF ；（2）连接OB ，BC ，若//OB PC，BC =3tan 4P =，求FB 的长.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844yx ax a ，(1,0),(,0)A N n -．BA（1）当1a 时，①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．27．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上. ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________.（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ； （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC 的值．图1 图2 图3BB28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a ，3b 时，点A ，B 的逆序正方形如图1所示．图1 图2（1）图1中点C 的坐标为； （2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为；（3）已知正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形.①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T 的圆心为(,0)T t ，半径为1.若4a ，0b ，且点C 恰好落在⊙T 上，直接写出t 的取值范围.备用图初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共16分，每小题2分）第8题：二次函数a 的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a ︳越大，开口越小，显然a 1<a 2=a 3<a 4,，可知a 1最小。
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初三第一学期期末学业水平调研数学2019．01学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1．抛物线213yx 的顶点坐标为A ．1,3B ．1,3 C ．1,3 D ．3,12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点43P ，，OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则tan 的值为A ．35 B ．45 C ．34D ．433．方程230x x 的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到△A B C ，当B ，C ，A 在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为 A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°B'A'C B A5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数2(0)yx x的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，在ABC △中，DE BC ∥，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ， 若:=2:3AD AB ，则△ADE 和△ABC 的面积．．之比等于 A ．2:3B ．4:9C ．4:5D7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘==AC BD 54cm ，且与闸机侧立面夹角PCA BDQ ∠=∠=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为图1 图2 A ．cmB ．cmC ．64cmD ． 54cm8．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是 A ．1y B.2y C ．3y D.4y二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程230x x -=的根为．10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．11．已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x 轴交于10（，），30（，）两点，则n 的值为．ED C B12．在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与ky x=()0k ≠的图象有两个交点，则k 的取值范围是．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点24A ，，40B ，，以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA B .若B '的坐标为20，，则点A '的坐标为．14．已知1(1)y ，，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y ，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点30A ，，判断在M N P Q ，，，四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y 上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分） 17．计算：0cos452sin302．18．如图，AD 与BC 交于O 点，A C ，4AO ，2CO ，3CD ，求AB 的长．19．已知x n 是关于x 的一元二次方程2450mx x 的一个根，若246mn n m ，求m 的值．OCBA20．近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；A．1100y x B．100yxC．13+2002y x D．21319400008008xy x（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米．21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得,PA PB 与观光船航向PD 的夹角∠DP A =18°，∠DPB =53°，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长． 参考数据：sin18°0.31≈，cos18°0.95≈，tan18°0.33≈，sin53°0.80≈，cos53°0.60≈，tan53° 1.33≈．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12yx 与双曲线ky x的一个交点是(2,)A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线kyx上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(,0)B b ． ①若1m ，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b 的值．xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O24．如图，A ，B ，C 为⊙O 上的定点．连接AB ，AC ，M 为AB 上的一个动点，连接CM ，将射线MC 绕点M 顺时针旋转90，交⊙O 于点D ，连接BD ．若AB =6cm ，AC =2cm ，记A ，M 两点间距离为x cm ，B D ，两点间的距离为y cm ．小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点．．、画图．．、测量．．，得到了x 与y 的几组值，如下表：的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD =AC 时，AM 的长度约为cm ．25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OEAB ，P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ． （1）求证：PC =PF ；（2）连接OB ，BC ，若//OB PC ，BC =，3tan 4P =，求FB 的长. BA26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844yx ax a ，(1,0),(,0)A N n -．（1）当1a 时，①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．27．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上. ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________.（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ； （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值．图1 图2 图3BB28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a ，3b 时，点A ，B 的逆序正方形如图1所示．图1 图2（1）图1中点C 的坐标为； （2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为；（3）已知正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形.①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T 的圆心为(,0)T t ，半径为1.若4a ，0b ，且点C 恰好落在⊙T 上，直接写出t 的取值范围.备用图初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考2019．01一、选择题（本题共16分，每小题2分）第8题：二次函数a 的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a ︳越大，开口越小，显然a 1<a 2=a 3<a 4,，可知a 1最小。
二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．10x =，23x =10．π 11． 212．0k > 13．()12，14．答案不唯一，如：1y x -=15．M N ， 16第16题：OQ 2=OP 2-1,OP 最小时，OQ 最小，OP min =2，∴OQ min 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分）解：原式1212-⨯+ ………………………………………………………………3分…………………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分）证明：∵A C ∠=∠，AOB COD ∠=∠， ∴AOB COD △∽△． …………………………………………………………3分∴AO ABCO CD=．∵423AO CO CD ===，，，∴6AB =．……………………………………………………………………… 5分 19．（本小题满分5分）解：依题意，得2450mn n --=．…………………………………………………… 3分 ∴245mn n -=． ∵246mn n m -+=，∴56m +=．∴1m =．……………………………………… 5分 20．（本小题满分5分）解：（1）B ．……………………………………………………………………………… 3分 （2）0.50．………………………………………………………………………… 5分 21．（本小题满分5分）（1）补全的图形如图所示：………………………………………3分（2）直径所对的圆周角是直角；……………………………………………………… 4分经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………………… 5分22．（本小题满分5分） 解：在Rt DPA △中， ∵tan ADDPA PD∠=， ∴tan AD PD DPA =⋅∠．…………………………………………………………2分在Rt DPB △中，∵tan BDDPB PD∠=， ∴tan BD PD DPB =⋅∠．……………………………………………………….. 4分∴()tan tan AB BD AD PD DPB DPA =-=⋅∠-∠． ∵ 5.6AB =，53DPB ∠=°，18DPA ∠=°，∴ 5.6PD =．………………………………………………………………………5分答：此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长为5.6千米．23．（本小题满分6分） 解：（1）∵直线12y x =经过点()2A a ，，∴1a =．……………………………………………………………………… 1分∴()21A ，又∵双曲线ky x=经过点A ，∴2k =．……………………………………………………………………… 2分（2）①当1m =时，点P 的坐标为()12，．∴直线PA 的解析式为3y x =-+．………………..………………………. 3分∵直线PA 与x 轴交于点()0B b ，， ∴3b =．……………………………………………………...4分②1b =或3．………………………………………………………………… 6分24．（本小题满分6分）解：本题答案不唯一，如：（1）…………………………………………………………………………………………… 1分（2）…………………………………………………………………………………………… 4分（3）1.38或4.62．……………………………………………………………... 6分说明：允许（1）的数值误差范围0.05±；（3）的数值误差范围0.2± 25．（本小题满分6分）（1）证明：如图，连接OC ．∵OE AB ⊥，∴90EGF ∠=°． ∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴=90OCP ∠°．……………… 1分∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=°． ∵OE OC =，∴E OCF ∠=∠．………………………………………………………… 2分∴EFG PCF ∠=∠． 又∵EFG PFC ∠=∠， ∴PCF PFC ∠=∠．∴PC PF =．……………………………………………………………… 3分（2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H ．∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒， ∴90BOC ∠=︒． ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=°． ∴45BCH OBC ∠=∠=°． 在Rt BHC △中，BC =，可得sin45BH BC =⋅°3=，cos45CH BC =⋅°3=．…………...… 4分 在Rt BHP △中，3tan 4P =， 可得4tan BHPH P==．…………………………………………………….. 5分∴5BP =．∴7PC PH CH =+=． ∴PF PC =．∴2FB PF PB PC PB =-=-=．…………………………………………6分 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=°． ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=°． 在Rt OBC △中，BC =，可得sin45OB BC =⋅°3=．……………………………………………… 4分 ∴3OE OB ==． ∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =， ∴3tan 4GBO ∠=． 在Rt GBO △中，tan OGGBO GB∠=，3OB =．∴95OG =，125GB =．…………………………………………………… 5分∴65EG OE OG =-=．在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=．设3CH x =，则4PH x =，5PC x =．∵PC PF =，∴FH PF PH x =-=．∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠=，∴EGF △∽CHF △∴13FG FH EG CH ==． ∴1235FG EG ==．∴2FB GB FG =-=．…………………………………………………… 6分方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=︒． ∴1452A BOC ∠=∠=°．…………………………… 4分 在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH ==，设3CH x =，则4PH x =，5PC x =． 在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x =， ∴3AH CH x ==，32AC x =．∴7PA AH PH x =+=．………………………………………………… 5分 ∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒， ∴PCB PAC △∽△． ∴PB PC BCPC PA AC==． ∵32BC =，∴75x =，7PC =，5PB =． ∵PF PC =，∴7PF =．∴2FB PF PB =-=．…………………………………………………… 6分方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M ．∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=︒．在Rt OBC △中，32BC =，OB OC =，可得3OB =．…………………………4分G H F A PCB EO∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =，∴3tan 4MBO ∠=．在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠==， 可得94OM =，154BM =． ………………………………………..5分 ∴214CM =． 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==， 可得7PC =，354PM =． ∴5PB PM BM =-=，7PF PC ==．∴2FB PF PB =-=．…………………………………………………… 6分26．（本小题满分6分） 解：（1）①当1a =时，248y x x =-．…………………… 1分 当0y =时，2480x x -=， 解得10x =，22x =．∴抛物线G 与x 轴的交点坐标为()00，，()20，． …………………………………………………………………2分 ②当0n =时，抛物线G 与线段AN 有一个交点． 当2n =时，抛物线G 与线段AN 有两个交点．结合图象可得02n ≤<．……………………… 4分（2）3n ≤-或1n ≥．……………………………………………………………… 6分（2）解析：y=4x 2-8ax+4a 2-4，y=2(x-a)2-4, ∴顶点(a,-4)，x 1=a+1，x 2=a-1若抛物线与x 轴交于E 、F 两点，则EF= ∣x 1- x 2∣=2 AN=∣x A - x N ∣=∣n+1∣AN ≥EF 时，线段AN 与抛物线G 有两个交点，即n ≤-3或 n ≥1。