理论力学7—刚体的平面运动3-运动学综合应用举例

相对运动是滑块 B 在 Ⅳ 杆滑 道中的运动, 速度为vr1; 牵连运动是 Ⅳ 杆的平面运动 , 可以取A为基点, 分析Ⅳ杆上B 点的速度, 此速度即是前面复 合运动中的牵连速度ve1, 如图 所示。
IV C B III a A v2
x v1
I
y
IV va1 y
vr1
II
B
vBA vA vB(ve1)
A
P155习题 7-32
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O
D
F
0
解：三角板作平面 运动, 在图示瞬时瞬 心C*和B点重合。
于是vB=0, 三角板的 角速度为
O1
B C* vB △ C O vC
vr
E
Va(A) ve F
A D
vC OC 0 1 0 CC CB 2
0
1）以滑块A为动点, 动系取在折杆上, 速度分析如 图:
C
B
ABC
va ve vr
ve va cos 128mm/s vr va sin 96mm/s ve ABC 1.28rad/s AB

ve
A
v
a
vr
C
2 ）对 ABC 上点 B 的 速度，选 B 为动点 , 套筒为动系，有
B
vr ABC
vBa vBe vBr
大小 方向
5

t DA
a
n DA
a a ar aC
t e n e
11.547
AD
0
? O1D
2.679
DO1
? //O1D
3.093
O1D
作加速度矢量图，向x方向投影得
t aA cos 60 aDA sin 60 aet aC
AD
aen a
t e
1 3 t t ae a A aDA aC 2 2
vA 2r 0.50
ABC的边长为2r
ve va sin30 AB sin30 0.50r
所以
vEDF ve 0.50r
2）三角板作平面运动, 以C为基点, 分析B点的 加速度如图所示。
O1
n aB
B
t aB
t aBC
E
aC C A D aC F
a a
a
n AC
由牵连运动为平动的 加速度合成定理有
C O
t AC
n aAC
t aAC
aC
F
a A aa ae ar
于是可得 ae ar aC a
t AC n AC
a
n AC
t aAC 2r 0
a
将各矢量向水平方向投影得
ae a sin30 a cos30
ae a
OA 2 AD AD 0

AD
aA
选取动点： 滑块 D 动系：杆O1D 由： aa (aD ) ae t ae n ar aC 2 21vr ? ? ? O D 大小 1 1 方向 ? O1D DO1 //O1D O1D
将上式代入下式，得
aA a
正向投影，可得
n BE
OA
O
aB a
v / cos 45 2 l
2
3）取滑块B为动点, 动系与OA杆固连, 分析滑块B 的加速度 v v n t a a a a a BE , OA
a e e r C
aC 2OAvr 0 2 v n 2 ae OA OB l
B
aC ar ABC
ve vr va

aBa a a aBr aC( B)
t Be n Be
其中 a
t Be
0, a 0
n Be
A
aBr ar
aC( B) aC
2 2
D
aBa aBr aC 295.4mm/s
2
综合例题2: 图示曲柄连杆机构带动摇杆 O1C绕 O1轴摆动。在连杆 AB上装有两个滑块，滑块 B 在水平槽内滑动，而滑块 D 则在摇杆 O1C 的槽 内滑动。已知：曲柄长OA = 50mm，绕O轴转 动的匀角速度 = 10rad/s。在图示位置时，曲 柄与水平线间成90º 角，∠OAB=60º ，摇杆与水 平线间成60º 角；距离O1D = 70mm。求摇杆的 角速度和角加速度。
运动学综合应用举例
工程机构都是由数个构件组成的，各构 件之间通过各种联接来实现运动的传递。各 构件的运动也是多种多样的。因此，在一个 复杂的机构中，可能同时存在多种运动，需
要综合应用相关理论和方法来分析和解决问
题。下面通过例子来说明。
综合例题1 P130 点的合成运动复习
习题6-23
解 : 1 ）选 A 为动点 , 套筒为动系
0 aA a sin 60
t BA
AD
aB
t aBA
a
t BA
2 aA 10 m/s 2 3 3
t aBA 100 rad/s 2 （ AB 3
aA
AD
）
（3）再取A为基点，则点D的加速度为
t n aD a A aDA aDA
AD
aB
t aBA
大小 ? 方向 ?
t e
a 163.84mm/s
n e
2
C
ve
B
aC 245.76mm/s
t e n e
2
aa a a ar aC
向ar正向投影得：

ABC
vr
aen
va
aC ar
A aet D
2
0 ar a
n e
n e
ar a 163.84mm/s
C
4 ）对杆上的 B 点进行 加速度分析，可选 B 为 动点, 套筒为动系
vA vB va v D ve
vr
1
AD 0
vD v A OA 0.5 m/s
滑块 D 选取动点： 动系： 杆O1D 由 va (vD ) ve vr
作速度平行四边形如图示。
vr va cos 60 0.25 m/s
ve va sin 60 0.433 m/s
1 t aDA
aA aC ar
4.407 m/s t ae 2 1 62.95 rad/s O1 D
2
x
（
）
综合例题3: 图示平面机构, 杆O1B和OC的长度均 为r, 等边三角形ABC的边长为2r, 三个顶点分别 与杆O1B、OC及套筒铰接, 直角折杆EDF穿过套 筒A, 其DF段置于水平槽内。在图示瞬时, O1B杆 水平, B、C、O三点在同一铅垂线上, 杆OC的角 速度为0, 角加速度为零。试求此瞬时杆EDF的 速度和加速度。 E O1 B
C
x
v1
I y
B a
A
III
v2
II
Ⅳ
C

vCA vC(ve2)
vr2
A
vA va2
vA
ve2 vC v A vCA va2 ve2 vr2 v A vCA vr2
Ⅳ
C

vIII v2 vCA vr 2
vCA
y
vr2
A
向y方向投影得:
vA
vIII sin v2 sin vCA
aC 2ABC vr 245.76mm/s
a 163.84mm/s
n e
2
C
ve
B
aC 245.76mm/s
t e n e
2
aa a a ar aC
将上式向aet正向投影得：

ABC
vr
aen
va
aC ar
A aet D
0 a aC
t e
ABC
a 2 2.46rad/s AB
P154习题 7-28
提示：这是刚体平面运动和点的合成运动的综合 应用题。先分析杆ABD，求出杆上点D（即滑块） 的速度和加速度；再以滑块D为动点，动系固结 于摇杆O1C，利用点的合成运动理论求出牵连速 度和牵连切向加速度，由此即可求得摇杆的角速 度和角加速度。
解： （1）速度分析 杆ABD作瞬时平移，有
vB B 45º l
D
BE
v
O
l
E
1）取滑块B为动点, 动系与OA杆固连, 由速度 合成定理
va ve vr
在水平轴上投影
va ve BEl v
在铅直轴上投影
A vr
vB B va ve
45º l
BE
v l
D
vr 0
OA角速度
BE
v l
OA
O
OA
ve v OB l
E
2）加速度分析 取点E为基点分析点B的加速度
aB aE a a aE 0
n BE
t BE
BE
t A aBE
v v , OA l l
aB
D
a
n BE
v 2 BE ( ) 2l l 2 v 2 l
2 BE
B
n a 45º BE
l
BE
v
l E
向
n aBE
在aB正向上投影
2 v t aa ae 2 l
l
l
A ar
t ae B n ae
v vr 0, aB 2 l aa aB D
BE
v
l E
2
l
2
OA
a v 2 2 OB l
t e
OA OA
O
综合例题4:
图示放大机构中，杆I和II分别以速 度 v1 和 v2沿箭头方向运动， 其位移分别以 x 和 y 表示。如杆II与杆III平行，其间距离为a，求杆 III的速度和滑道Ⅳ的角速度。(P155习题7-35)
?
大小 方向
0.5
? O1D

//O1D
ve 6.186 rad/s 1 O1 D
（ ）
（2）加速度分析 对杆ABD，取A为基点，则点B的加速度为 t n aB a A aBA aBA v
A
大小 ?
方向 水平
OA

2
? AB
0
vB
va v D
vr ve
1
作加速度矢量图，向y方向投影得
ve
A
vBe 0
vBa = vr 96mm/s
vr
va
3 ）加速度分析，同样 选 A 为动点 , 套筒为动 系
t e n e
C
ve
B

ABC
vr
aen
va
aa a a ar aC
其中
n e
aC
ar
aa 0
2 2 2
A aet D
a AB ABC 163.84mm/s
t B n B
n aBC
aC a
a a
n B
t BC
a
n BC
O
将各矢量向水平方向投影得
t BC
a
t BC
t aBC 0 BC
v a 0 r
n B
2 B
3）再以C点为基点, 分 析A点的加速度, 有
O1
B
E ar A aC D ae
aA aC a
t AC
n AC
n AC
2r
2
1 2 r0 2
3 2 cos30 r0 4
即为折杆的加速度
综合例题4: 图示平面机构, 滑块B可沿杆OA滑动 。杆BE与BD分别与滑块B铰接, BD杆可沿水平 导轨运动。滑块 E 以匀速 v 沿铅直导轨向上运动 。图示瞬时杆OA铅直, 且与杆BE夹角为45º , 求 该瞬时杆OA的角速度与角加速度。 A 解：分析机构： OA作定轴转动 BD作平移 BE作平面运动 点O是BE的速度瞬心 vE v vB vE v BE OE l
IV C B III
a A v2 x v1
I y
II
IV
C
B
x v1
I y
A III a
v2 II
解: I、II、III杆作平动, IV杆作平面运动。滑 块B和滑块C与滑道之间有相对运动, 如果取滑 道IV为动参考体分析滑块B和滑块C的运动, 则 牵连运动均为平面运动。
1）B点的运动分析: 取滑块 B 为动点 , 滑道 Ⅳ 作为动参 考体, 速度为va1= v1;
vCA vIII v2 sin
vC(ve2)
va2(vIII)
vA
因为
v1 y v2 x a v1 y v2 x a vCA IV AC 2 2 2 2 x x y sin x y 所以 vCA a ay ax vIII v2 v2 2 (v1 y v2 x) v1 2 v2 sin x x x
A
vA
ve1 vB v A v BA va1 ve1 vr1 = v A v BA vr1
IV C B III a A v2
向y方向投影得:
v1 cos v2 sin vBA
cos y x y
2 2
, sin
x x y
2 2
v r1 IV
II
B

vBA
v1 y v2 x x y
2 2
va1
y
vBA
vBA v1 y v2 x IV 2 2 AB x y
vA vB(ve1)
A
v2
y
v1 v2 vBA vr1
x v1
I
Ⅳ
2）C点运动分析: 取滑块C为 动点 , 滑道 Ⅳ 作为动参考体 , 速度为va2＝vIII，大小待求; 相对运动是滑块C在Ⅳ杆滑道 中的运动， 速度为vr2; 牵连运动是 Ⅳ 杆的平面运动 , 取 A 为基点，分析 Ⅳ 杆上 C 点 的速度，此速度即是前面复 合运动中的牵连速度 ve2 ，如 图所示。