排列组合 (2)

排列组合问题

1．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为() A．6B．23

C．42D．44

答案 B

解析由一层到二层有2种选择，

二层到三层有2种选择，

三层到四层有2种选择，

∴23＝8.

2．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有() A．6种B．9种

C．10种D．12种

答案 B

解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．

3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．5 B．4

C．6 D．8

答案 D

解析分类考虑，当公比为2时，等比数列可为：1,2,4；2,4,8，当公比为3

时，可为：1,3,9，当公比为3

时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符

2

合题意的，因此，共有4×2＝8个．

4．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有() A．9种B．16种

C．20种D．28种

答案 D

解析当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数，当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形．

5．从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是() A．10B．15

C．20 D．25

答案 D

解析当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25(种)．6．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有() A．16种B．18种

C．37种D．48种

答案 C

解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．

7．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为() A．42 B．30

C．20 D．12

答案 A

解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．8．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有() A．32个B．27个

C．81个D．64个

答案 D

解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.

9．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，若从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有() A．6种B．5种

C．4种D．3种

答案 C

解析若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B 车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B 车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．

∴共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．

10．已知I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A、B共有() A．12对B．15对

C．18对D．20对

答案 D

解析依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.

11．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．

答案12

解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．12．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的两件物品，则他抓的结果有________种．答案10

解析设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)(b2，c)，共10种．

13．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．

答案162个

解析一位数8个，两位数8×9＝72个．

3位数有9×9＝81个，

另外1个(即200)，

共有8＋72＋81＋1＝162个．

14．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．

答案32

解析和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的

元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.

15．从{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？

解析 抛物线经过原点，得c ＝0，

当顶点在第一象限时，a <0，－b 2a >0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b >0，

则有3×4＝12(种)； 当顶点在第三象限时，a >0，－b 2a <0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

a >0，

b >0，

则有4×3＝12(种)； 共计有12＋12＝24(种)．

16．标号为A 、B 、C 的三个口袋，A 袋中有1个红色小球，B 袋中有2个不同的白色小球，C 袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．

(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？

(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？

解析 (1)若两个球颜色不同，则应在A 、B 袋中各取一个或A 、C 袋中各取一个，或B 、C 袋中各取一个．

∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．

(2)若两个球颜色相同，则应在B 或C 袋中取出2个．

∴应有1＋3＝4种．

17．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？

解析 设较小的两边长为x 、y 且x ≤y ，