协整和误差修正模型

二、 误差修正模型
误差修正模型由Sargan 1964年提出，最初用于存储 模型。1977年由Hendry-Anderson和Davidson进一步完善。 1978年，恩格尔和格兰杰又将误差修正模型与协整理论相 结合，提出了建立误差修正模型的一般方法。
ECM模型由 ADL (m, n, p) (p为外生变量个数)模型变 换而来。下面通过ADL (1, 1) 模型推导简单的ECM模型。
（3）多变量之间的协整关系可能不止一个，对于多 个协整关系检验，需要使用基于向量自回归（VAR）模 型的Johansen检验方法。
§4 误差修正模型
误差修正模型（Error Correction Model）简称为ECM ，常常作为协整回归模型的补充模型出现。（但协整理论诞 生于误差修正模型之后）。
n
yt = 0 + i xti + ut , ut IID (0, 2 ) i0
上述模型的一个明显问题是xt与xt -1 , xt-2, …, xt - n 高
度相关，从而使 j的OLS估计值很不准确。
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3.动态分布滞后模型（自回归分布滞后模型）
如果在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞
后值作解释变量，则称之为动态分布滞后模型或自回归
分布滞后模型。例
m
n
yt = 0 + i yti + i xti + ut , ut IID (0, 2 )
i 1
i0
用ADL (m, n) 表示，其中m是自回归阶数，n是分布滞
后阶数（假定不含外生变量 ）。对ADL (m, n) 模型可
采用OLS法估计，参数估计量是有偏的，但具有一致
性。 最常见的是ADL (1, 1) 和ADL (2, 2) 模型。
对于ADL（1，1）模型
yt = 0 + 1 yt-1 + 0 xt + 1 xt-1 + ut , ut IID (0, 2 ), （1）当 1 = 1 0 成立，模型变为
yt 0 0 xt ut
这是一个静态回归模型。
考虑如下的自回归分布滞后（autoregressive distributed lag,ADL）模型（ADL（1，1））：
yt 0 1 yt1 0 xt 1 xt1 ut
i .i .d
ut : (0, 2 ), 1 < 1
其中 ut 应不存在自相关和异方差。如果这个条件不能满 足，可通过增加 xt 和 yt 的滞后项或加入新的变量从而使 ut 满足要求。
从上式两侧同时减 yt-1，在右侧同时加减 0xt -1 得：
yt = 0 + 0 xt + (1 -1) yt-1 + (0 + 1) xt-1 + ut
上式右侧第三、四项合并得：
yt = 0 + 0 xt + (1 - 1 ) ( yt-1 - k1 xt-1) + ut 其中k1 = (0 + 1) / (1 - 1 )。在上述变换中没的出现说明模型的设定出现了问题，有可能 要增加或减少解释变量，或者把原方程进行差分，以使残 差序列达到平稳。
如果一个回归模型有很高的拟合优度，但是DW检验 的值距离2较远，就应该怀疑这是伪回归。当时间序列非 平稳时，经常会出现伪回归现象。因为非平稳时间序列具 有趋势性（包括确定性或随机性趋势），回归模型错误地 把非平稳时间序列的趋势性作为它们之间相关的证据。
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§2 协整的概念
一、协整（Co-intergration）
多数经济或金融时间序列都是非平稳的，例如消费 C和国民收入Y都是单位根过程。为了研究二者之间的关 系，一种方法是对它们进行差分，得到平稳变量，然后 对差分后的变量△C 和△Y进行回归。但这种方法的缺 陷是只揭示了收入增长和消费增长之间的关系，而不是 收入和消费这两个变量之间的关系。针对这一问题，20 世纪80年代恩格尔---格兰杰提出了协整理论，为两个或 多个非平稳过程间寻找均衡关系。
yt 1xt 2zt 3 ECMt1 t
ECMt1 yt1 k0 k1 xt1 k2zt1
§5 预测精度的评价
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均方误差
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以上所列举的例子都是由一个一般的ADL模型化简得 到的(即增加约束条件) 。 这种建立模型的方法是首先从一 个包括了尽可能多解释变量的“一般”ADL模型开始，通 过检验回归系数约束条件逐步剔除那些不显著的变量，压 缩模型规模，在这个过程要始终保持模型随机误差项的非 自相关性，最终得到一个简化模型。这种方法就是“一般 到特殊”建模法。
等关系，所以不会影响模型对样本数据的解释能力，也不 会改变OLS估计量的性质。
上式称为ECM模型，(1 -1) ( yt-1- k1 xt-1) 称为误差修正
项。( yt -1- k1 xt -1) 表示前一期的非均衡误差，若 yt平稳，必
有 1 < 1，所以非均衡误差项的系数 (1 -1) 必为负。
不存在协整关系。
可以使用的检验方程有：
k
et et1 ieti t i 1
k
et et1 a ieti t i 1 k
et et1 a t ieti t i 1
（1） （2） （3）
注意：
（1）检验残差序列的平稳性时，检验方程中的常数项 和趋势项也可以加在原协整回归方程中。
（7）取 0 0，则模型变为 yt = 0 + 1 yt -1 + 1 xt -1 + ut .
模型中只有变量的滞后值作解释变量，yt的值仅 依靠滞后信息。这种模型称为“盲始”模型。
（8）取 1 - 1 ，则模型变为 yt = 0 + 1 ( yt-1 - xt-1 ) + 0 xt + ut
此模型称为比例响应模型。解释变量为xt与 ( yt-1- xt-1)。
协整与误差修正模型
拟解决的问题： （1）利用协整和误差修正模型研究交通流量和经济增长 的长期均衡关系和短期的动态调整过程，促进交通和经 济的协调发展。同时可以利用长期均衡方程进行长期预 测，误差修正模型进行短期的预测。 （2）针对交通流量和经济增长存在时间上的不一致现象 ，可以采用分布滞后模型。 （3）模型预测精度的控制和把握。
协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而误差修正模 型（ECM）则解释序列之间的短期波动关系 。
一、误差修正模型（ECM）的产生背景
误差修正模型由Sargan 1964年提出，最初用于存储 模型。1977年由Hendry-Anderson和Davidson完善。
1.分布滞后模型：如果回归模型中不仅包括解释变 量的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则 这种回归模型称为分布滞后模型。例
1、协整回归
设 Xt ~ I (1),Yt ~ I (1), 建立回归方程
Yt Xt t
得到残差序列：
et Yt (ˆ ˆ Xt )
2、检验残差序列的平稳性 用单位根检验---DF检验，或ADF检验检验残差序列的平 稳性。
若残差序列 et 是平稳的，则认为序列Yt与Xt之间存在协 整关系。若残差序列 et 是非平稳的，则认为序列Yt与Xt之间
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§3 协整检验
一、协整关系的含义：
设 Xt ~ I(1),Yt ~ I(1), 如果
则有：
a1 Yt b X t b ut
即
Yt X t t
ut aXt bYt ~ I (0)
其中，
a, b
t
1 b ut
:
I (0).
二、恩格尔-格兰杰两步估计法
假设被检验的所有时间是单整阶数为1的序列，这种 假设不失一般性，因为当时间序列的单整阶数不为1时可 以通过差分变为阶数相同的I(1)时间序列。
说明误差修正项对 yt有一个反向修正作用。当前一期
yt，即 yt-1 相对于均衡点取值过高（低）时，通过误差修正
项的反向修正作用，使本期 yt 减小（增加）， yt 向均衡 位置移动。(1 -1) 表示误差修正项对 yt 的调节速度。进
一步变换 可得 ：
yt = 0 xt + (1- 1 ) ( yt-1 - k0 - k1 xt-1) + ut 其中k0 = 0 / (1 - 1 )。( yt -1 - k0 - k1 xt –1 ) 是 xt 和 yt 的 长期关系，yt = 0 xt + (1- 1 ) (•) 是 xt 和 yt 的短期关系
。 长期趋势模型： yt = k0 + k1 xt + ut
短期波动模型： yt = 0 xt + (1- 1 ) ECMt + ut
ECMt = yt-1 - k0 - k1 xt-1
三、误差修正模型（ECM）的建立
（2） ECM模型中的参数 k0 , k1 估计方法有 ： ① 若变量为平稳变量或者为非平稳变量但存在长期
均衡关系，可以把误差修正项的括号打开，对模型直接 用OLS法估计。
②先估计长期均衡关系，然后把估计的非均衡误差 作为误差修正项代入ECM模型，并估计该模型。
（3）误差修正模型可进一步扩展为多变量的情形 ：
例如，若
yt
kyt0 和 k1xxt ,t
zt
存在协整关系：
k2zt t
可建立如下误差修正模型：
这是一个一阶差分模型。当xt与yt为对数形式时，上述 模型为增长率模型。
（5）若 1 = 0成立，模型变为一阶分布滞后模型。 yt = 0 + 0 xt + 1 xt - 1 + ut
（6）取 1 0，则模型变为 yt = 0 + 1 yt -1 + 0 xt + ut.
此模型称为局部调整模型（偏调整模型）。