第22课时空间向量的正交分解及其坐标表示整理版

A.

1 3 2,

2 ,3

3 1 1 3

B 2,- 2,3

C ・ 3,- - ,2

D.-

1 3 2

,2,3

4.如图，已知空间四边形 OABC 中 ,点M,N 分别是对边OA,BC 的中点，点G 在线段MN 上,且MG=2GN 现用

基向量OA, OB, OC 表示向量OG.设OG=xOA+yOB+zOC,则x,y,z 的值分别是(

)

典

1 1 1f 1 1 1- 1 1 1f 1 1 1

A.x=3,y= 3,z= 3B .x=3,y= 3,z = 6C .x=3,y= 6,z = 3D.x=6,y=3,z= 3 5.长方体ABCD-ABQD 中,AC 与BD 的交点为

M.设A 1B 1=a , A 1D 1=b , A 1A=c ,则下列向

量中与B 1M 相等的向量是（

）

1 1

A.-尹+尹+c 1 1 1 1

B.尹+2 b +c

C.尹-2 b +c 1 1

D.- a -^b+c

6.已知空间四边形 OAB （中 OA=a , OB=b , OC=c ，点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,I 为 BC 的中点，则MN 等于（

12 1

A.戶-3

b +

2c

2

1

1

1

1

1

2

2

1

B.- ^a +2b +^c

C.^a +2b -尹

D.-a +3b -^c

7.已知点 A 在基底｛ a , b , c ｝下的坐标是（8,6,4）, 其中a =i +j , b =j +k , c =k +i ,则点A 在基底｛i , j , k ｝下的坐 标是（ ） A.(12,14,10)

B.(10,12,14)

C.(14,12,10)

D.(4,3,2)

8.已知 空间的 一个基 底{a , b , c }, m =a - b +c , n =x a +y b +2c ,若 m 与 n 共线，则 x= _______ ,y= _______ .

9.三棱锥P-ABC 中，/ ABC 为直角，PB 丄平面ABC,AB=BC=PB=1,I 为PC 的中点,N

为AC 中点，以｛BA, BC, BP ｝为基底，则MN 的坐标为 _______

第22课时作业空间向量的正交分解及其坐标表示

1.0,A,B,C 为空间四点,且向量OA, OB, 0C 不能构成空间的一个基底,则（ ）

A.OA, OB, 0C 共线

B.OA,OB 共线

C.OB, 0C 共线

2.长方体 ABCD -A i BCDi 中，若AB=3i , AD=2j , AA 1=5k ,则AC 1=(

)

1 1 1

A. i +j +k

B. 3i +2j +5k

C.3 i +2j +5k 3.已知向量p 在基底｛a , b , c ｝下的坐标是（1,2,3）,贝U 向量p 在基底｛a +b , a - b , c ｝下的坐标为（ ）

D.O,A,B,C 四点共面 D.3 i +2j -5 k

7 . 7 - 7. - 7 7 7 7

1 1

10.女口图，已知平行六面体ABCD-ABQD, MA=- -AC, ND=-A〔D •设AB=a, AD=b, AA1=c,则

3 3

M N= ________ (用a, b, c 表示).

11.设｛i, j, k｝是空间向量的一个单位正交基底_______________________________________ ，则向量

a=(4,3,2)的正交分解是12.在正方体ABCD-ABQD 中,设AB=a, AD=b, AA1=c,| a|=| b|=| c|=1,A 1C 与BQ 的交点为E,则BE 坐

标为________ 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点0,分别以射线

OB,OC,AA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.试写出正方体顶点A1,B1,G,D1的

坐标.

14.如图所示,正方体OABC-O A B' C ,且OA=a, OC=b, OO'=c.

(1)用a, b, c表示向量OB', AC'.

⑵设G,H分别是侧面BB C' C和O A B' C的中心,用a, b, c表示GH.

第22课时空间向量的正交分解及其坐标表示

1.空间向量基本定理

条件 三个

的向量a , b , c 和空间

向量p

结论

存在有序实数组{X,V,Z},使得

基底

f

⑴OB =

f

(3)00，=-

3.空间四边形 OABC 中，G 、H 分别是△ ABC 、△ OBC 的重心，设0A = a , f

f

f

0B = b , 0C = c ,试用向量 a 、b 、c 表示向量GH.

f f f

4.如图，已知平行六面体 ABCD — A i B i C i D i ,设AB = a , AD = b , AA i = c , 用基底{a , b , c}表示如下向量：

f f f f

(1) AC , AB i , A i D , DC i ； f

单位正交基底 有公共起点0的三个两两

的

向量，记作e ,, e 2, e 3

空间直角坐标系

以e ,, e 一，e 3的公共起点0为原点，分别以

的方向为x 轴、V 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxvz

空间向量的坐标表示

对于空间任意一个向量p ,存在有序实数组{x,y,z},使得p =x e i +y e 2+z e 3,则把x,y,z 称作向量p 在单位正交 基底

e ., e 2, e 3下的坐标，记作

)

D

.

⑴条件：三个向量a,b,c ______ . (2)结论: ________ 叫做空间的一个基底. ⑶基向量：基底中的向量a,b,c 都叫做基向量. 3.空间向量的正交分解及其坐标表示

1.

设

向量a , b , c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是 ( A . {a + b , b — a , a} B . {a + b , b — a , b}C . {a + b , b — a , c} 2. 在如图所示的正方体中，各棱长为 1，写出下列各向量的坐标：

__ ,0B ' f ,A ，C = f ；{a + b + c , a + b , c}

,oc ，=