数学归纳法(有答案)

数学归纳法

2015高考会这样考

1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；

2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．

复习备考要这样做

1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；

2.规范书写数学归纳法的证题步骤．

一、知识梳理

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．

[难点正本疑点清源]

1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．

2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．

小试牛刀

1．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.

答案π

解析易得f(k＋1)＝f(k)＋π.

2．用数学归纳法证明：“1＋1

2

＋

1

3

＋…＋

1

2n－1

1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n

＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．答案2k

解析n＝k时，左边＝1＋1

2

＋…＋

1

2k－1

，当n＝k＋1时，

左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋…＋1

2k ＋1－1.

所以左边应增加的项的项数为2k

. 3．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2

＋…＋a n ＋1

＝1－a

n ＋2

1－a (a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左

边需计算的项是

( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2

＋a 3

答案 C

解析 观察等式左边的特征易知选C.

4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，

若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B

解析 因为假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B.

5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

n

2，则 ( )

A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

C ．f (n )中共有n 2

－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13

D ．f (n )中共有n 2

－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14

答案 D

解析 从n 到n 2

共有n 2

－n ＋1个数， 所以f (n )中共有n 2－n ＋1项. 二、典型例题

题型一 用数学归纳法证明等式

例

1

已知n ∈N *

，证明：1－12＋13－14＋…＋

12n －1

－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)

. 思维启迪：等式的左边有2n 项，右边有n 项，左边的分母是从1到2n 的连续正整数，末项与n 有关，右边的分母是从n ＋1到n ＋n 的连续正整数，首、末项都与n 有关．

证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝1

2

，

右边＝1

2，等式成立；

②假设当n ＝k (k ∈N *

)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，

左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－1

2k ＋

1

2

k ＋1－1－

1

2

k ＋1

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋12k ＋12k ＋1－

12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12k ＋1

＝

1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋1k ＋1＋k ＋1

k ＋1＋k ＋1

＝右边，

所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 综合①②知对一切n ∈N *

，等式都成立．

探究提高 用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时命题的真假(必不可少)．“假设n ＝k (k ∈N *

，且k ≥n 0)时命题正确”并写出命题形式分析“n ＝

k ＋1时”命题是什么，并找出与“n ＝k ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明

确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．

【变式1】 用数学归纳法证明：

对任意的n ∈N *

，11×3＋13×5＋…＋12n －12n ＋1＝n 2n ＋1

.

证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝1

3

，

右边＝12×1＋1＝1

3，左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *

)时等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＝k 2k ＋1

， 则当n ＝k ＋1时， 11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＋12k ＋12k ＋3

＝k 2k ＋1＋12k ＋12k ＋3＝k 2k ＋3＋12k ＋12k ＋3

＝2k 2

＋3k ＋12k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋1

2k ＋1＋1，

所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *

等式都成立．

题型二 用数学归纳法证明不等式