分步计数原理教案

课题：分类计数原理与分步计数原理

任课教师：岳福秀

教材：中等职业教育国家规划教材数学（基础版）

●教学目标

（一）知识目标

1.分类计数原理。

2.分步计数原理。

（二）能力目标

1.正确理解、掌握分类计数原理与分步计数原理的内容。

2.能正确运用两个基本原理，分析、解决一些简单实际生产、生活中的问题。

3.提高分析问题、解决问题的能力。

（三）情感目标

要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，从而认识数学知识与现实生活的内在联系及数学应用的广泛性。

●教学重点

分类计数原理与分步计数原理。

●教学难点

正确运用分类计数原理与分步计数原理。

●教学方法

启发引导式

在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一

般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，而且在基本原理的语言叙述上，也采用了生活化的语言，使学生易于理解。其次，要引导学生通过寻求两个原理的区别来理解原理。

●教学过程

1.创设情境，课题导入

近日接到学校通知，要求明天去北京开会，于是我查了一下，秦皇岛到北京火车有21列，秦皇岛到北京的汽车有22个车次，那么我要去北京有多少种走法？

［师生共析］要完成从秦皇岛到北京这件事，从交通工具上可以有两类选择，即乘火车或者乘汽车，无论乘坐哪一类都可达到目的.若乘火车有21种走法，若乘汽车有22种走法.由于每一种走法都可以从秦皇岛到北京，所以共有21+22=43种不同的走法。

提问学生：归纳出分类计数原理

［师］在上述的分析过程中，就体现了分类计数原理.：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。

分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m1+m2+…+m n种不同的方法。

［师］对于分类计数原理，我们应注意以下几点：

（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完

成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；

（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；

（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法。

［师］接下来，我们再看问题二

咱班同学学的是船舶建造专业，毕业后到船厂就业：船厂能够提供给我们同学上岗的车间有服务车间、钢加车间、机修车间、建造车间、集配车间、涂装车间、甲装车间，而每个车间我们能够胜任的岗位有：服务车间的起重工、钢加车间的装配工、机修车间的钳工和电工、建造车间的装配工、集配车间的装配工、涂装车间的打磨工、甲装车间的装配工，那么一共有多少种岗位我们可以选择？

当然，这种选择是双向的，如果我们要想能够在自己满意的岗位上工作，必须打下扎实的专业基础，掌握专业技能，这样我们才能如愿地走上自己满意的岗位，并且能够表现出色。

问题二：好了到北京怎么去的问题解决了，去北京开会，代表学校形象还得选一身合适的衣服，我适合这个季节的衣服不多，三件上衣，两条裤子，两双鞋。同学们帮忙想一下我有多少种搭配可以选择？

提问学生：归纳出分步计数原理

［师］在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于前面几步的每一种完成方式，下一步都有相同的数目的做法，那么依次计算各步的做法数目，它们的乘积就是要计数的对象的总数。

分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m1×m2×…×m n种不同的方法。

［师］对于分步计数原理，我们还应注意以下几点：

（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；且各步方法数相乘，所以分步计数原理又称乘法原理；

（2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；

（3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n 个步骤后这件事才算完成。

提问学生：两个原理区别

两个原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数，

（1）、分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；

（2）、分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

2.例题讲解

例1、书架上层放5本不同的数学书，中层放6本不同的语文书，下层放7本不同的英语书，某同学从中取出一本，有多少种不同的取法？

解:要完成这件事，有三类不同的取法：

第一类：取一本数学有 5种不同的取法；

第二类：取一本语文有6种不同的取法；

第三类：取一本英语有7种不同的取法；

共有N=5+6+7=18种不同的取法。

例2、书架上层放5本不同的数学书，中层放6本不同的语文书，下层放7本不同的英语书，如果从中任三本书，要求数学、语文、英语各一本，有多少种不同的取法？

解:要完成这件事，要分三个步骤来完成：

第一步：从数学中取出一本，有5种不同的取法；

第二步：从语文中取出一本，有6种不同的取法；

第三步；从英语中取出一本，有7种不同的取法；

共有N=5X6X7=210种不同的取法。

3.强化练习

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4．课时小结

1、分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础。

2、辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完各个步骤时，才能完成这件事。分类方法数相加、分步方法数相乘。综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步。