碰撞

对固定点O的动量 矩定理的微分形式
dLO dt
MO (FiE )
ri FiE
LO
LO dLO
t2
(
t1
ri

Fi E
)dt

t2 t1
(ri

Fi E
)dt
碰撞中物 体没有位
移
ri
t2 t1
Fi E dt


ri

I
E i


MO (IiE )
碰撞
前面研究的问题中，物体在力的作用下，运 动速度都是连续的、逐渐改变的。
另一种情形：物体因受到冲击，或者由于运
动受到障碍，以致在极短的时间内，速度突然发
生有限的改变。
碰撞
一、碰撞的特征 二、基本假设与基本理论 三、两物体的对心碰撞 四、碰撞对定轴转动刚体
及平面运动刚体的作用
一、碰撞的特征
特点：物体的速度在极短的时间内突然发生改变
两物体脱离接触为止，这时物体的变形得到部 分恢复或全部恢复。
对
心
斜
碰
m1 m2
撞
求 v1 、v2
A、B 无外碰撞冲量
质点系的动量守恒
x 方向： m1v1x m2v2 x m1v1x m2v2x
A y方向无外碰撞冲量 B y方向无外碰撞冲量
y方向动量守恒 y方向动量守恒
v1y v1y v2 y v2 y
对固定点的动量
矩定理的积分形 式
对固定轴的动量
LO LO MO (IiE )
矩定理的积分形 Lz Lz M z (IiE ) 式
返回
三、两物体的对心碰撞
两物体碰撞时，过接触点作两物体表面的公法线。
如果两质心都位于该公法线上，则称为对心 碰撞，否则称为偏心碰撞。
如果碰撞前两质心的速度都沿着该公法线， 则称为正碰撞，否则称为斜碰撞。
3gl
杆
冲量矩定理
冲量定理
1 3
m1l
2
(

0
)


Il
m1 (
l 2
0
l) 2

I Ox

I
0 IOy
IOx
0
C
IOy
O
v'C vC
AI
I Ox


(1 e)m1m2 2(m1 3m2 )
3gl
IOy 0
2．碰撞对平面运动刚体的作用
设作平面运动的刚体受到外碰撞冲量作用，在碰撞 后仍保持平面运动。
②在碰撞过程中，物体的位移可以忽略不计。
碰撞问题实际上是相当复杂的 一般将发生变形（局部）
并伴随有运动形式的转化（如发热、发光等） 采用有局部接触变形的刚体模型
我们主要研究：由于受到碰撞冲量的作用，物体 在运动前后速度矢的改变。
动量定理和动量矩定理 —— 研究碰撞问题的基本理论
动量定理和动量矩定理均采用积分形式
J z J z0 I sinj a

碰撞前： vCx 0, vCy c0 碰撞后： vC x 0, vC y c
m(vC x vCx ) IOx I cosj m(vC y vCy ) IOy I sinj
I Ox I cosj
桩静止 v2 0
1
碰撞阶段：
泥土对桩的作用类似弹簧，桩没有位移。
泥土对桩不产生碰撞力(即无外碰撞冲量)
2
m1v1 m2v2 m1v1 m2v2
塑性碰撞
v2 v1
v1

v2

v

m1 m1 m2
2gh
碰撞后阶段：锤与桩一起下降，直至停止。
运动过程中，只有重力和阻力作功。
已知箱子质量m=200 kg，在图平面内的截面是1 m×1 m的正
方形，对于通过质心而垂直于图平面的轴的惯性半径 r = 0.4
m；箱子触地时的运动是瞬时平移，速度vC = 5 m/s，铅直向 下；箱子的BD边与地面成15°角。设恢复因数e＝0.2，水平 方向无碰撞冲量作用，求碰撞结束时箱子的质心速度、角速
公 法 线
v1
C1
v2
C2
公切线
v2
公 法
v1
C2 线
C1
公切线
对
假设切向( y 向)无摩擦作用
心
斜
碰
碰撞开始
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碰撞中
碰撞结束
撞
碰撞过程 —— 变形阶段、恢复阶段 变形阶段：从两物体开始接触到两者接触点沿公法线方向
无相对速度为止，这时变形获得最大值。
恢复阶段：从两物体接触点在公法线方向获得分离速度到
心C且垂直于图平面的轴的惯性半径为r。碰撞前，轮子只
滚不滑。假设接触点处障碍物表面很粗糙，从碰撞开始直 到轮子滚上障碍物，接触点的速度都保持为零。
C
h
轮子的运动：碰撞阶段、碰撞后阶段
0

m1
m2 2
v2

(m1g

m2 g

F )d
1
F

m1 g

m2
g

m12 (m1
gh m2
)d
P1 P2
P12h
(P1 P2 )d
2
P1

P12h
(P1 P2 )d
P2

P12h
(P1 P2 )d
F P12h
(P1 P2 )d
简化公式
四、碰撞对刚体的作用
m1l
例4：均质杆OA质量为m1，长为l，其上端由 铰支座固定。杆从水平位置无初速地落下，到垂 直位置与质量为m2的物块 B碰撞。设杆与物块间 的恢复因数为e，求碰撞后杆的角速度、物块的速 度及轴承处的碰撞冲量。
0 O
C
A
B
杆的运动：碰撞前阶段、碰撞阶段
碰撞前阶段：杆在平常力作用下从水平
位置无初速地落到垂直位置
2
e tan j tan q
例2：质量为m2的木桩下部已 打入泥土。质量为m1 的铁锤从桩 顶铅直上方高h 处自由落下打桩。 已知锤在某次下落打桩时，使桩
下沉 d。试求泥土对木桩的平均阻
力的大小F。假设锤与桩的碰撞 是塑性的。
锤与桩的运动：碰撞前阶段、碰撞阶段、碰撞后阶段
碰撞前阶段：锤自由落体 v1 2gh
研究碰撞问题，一般不考虑碰撞力本身，
而只考虑碰撞冲量及其产生的效果。
二、基本假设与基本理论
碰撞的特点 —— 碰撞力很大而碰撞时间很短
碰撞力比平常力（包括所有的非碰撞力）大得多 碰撞力的冲量也比平常力的冲量大得多
①在碰撞过程中，平常力的冲量可以忽略不计。
碰撞时间非常短促，而速度是有限量 物体在碰撞时间内的位移非常小，可以忽略不计。
m1vl
J z m1l 2
碰撞后阶段：冲击摆在平常力作用下运动
IOx IOy
T1

1 2
J z 2

1 2
m1
(l
)
2

m12l 2v 2 2(J z m1l 2 )
T2 0
Wi m1gl(1 cosq ) m2 gc(1 cosq )
v 2(J z m1l 2 )(m1l m2c)(1 cosq )g
在质心运动平面内取直角坐标系xy
mvC x mvCx
I (e) ix
mvC y mvCy
I (e) iy
J z ( 0 )
M
z
(
I
(e) i
)
恢复因数 e vEx vDx vDx vEx
例5：降落伞投下的箱子落地时，一边首先触及地面。
碰撞的时间非常短促
（通常用千分之一秒甚至万分之一秒来量度）
在这样短的时间内，物体速度的改变达到有限值
物体的加速度非常大
作用于物体的力的数值也很大
碰撞力 瞬时力
鎯头打铁
鎯头重10 N，以v1=6 m/s 的速度撞击铁块，碰撞时间为 0.001 s，碰撞后鎯头以v2=1.5 m/s 的速度回跳。
动量定理 →→→ 鎯头对铁块的平均打击力为7650 N 碰撞力的平均值是鎯头重量的765 倍，其峰值更大。
t1 t
e I2 / I1
按恢复因数的大小对碰撞进行分类：
弹性碰撞（0＜ e ＜1）
碰撞时动能有损失，物体变形不能完全恢复。
完全弹性碰撞（e =1）
碰撞后动能无损失，物体变形完全恢复。
塑性碰撞或非弹性碰撞（e = 0）
碰撞时动能有损失，物体变形不能恢复。 碰撞后两物体不分开，而一起运动。
例1：试由小球对固定面的碰撞测定恢复因数。假设：
7.44 rad/s
I 673.7 N s
若碰撞时间是0.002 s，则平均碰撞力将达到336.9 kN， 是箱子重量（P=mg=1.96 kN）的172倍！
例6：为了使轮子滚上高度为h的障碍物，试求轮子与 障碍物碰撞前应具有的速度。已知轮子的质量为m，半径 为R，轮子对称于图平面，质心就是几何中心，对通过质
度及碰撞冲量。
箱子触地时作瞬时平移 vD vC vDx vC
水平方向无碰撞冲量作用
碰撞冲量 I 铅直
x 沿接触点表面法线
vC

碰撞后质心速度铅直
vD vC vDC vDC CD
vDx vC vDC cos 60
e
vEx
vDx
0(
2 4


vC
)
vDx vEx
vC 0
v'C
60°vD' C
I
①
冲量定理
m(vC ) m(vC ) I
x 沿接触点表面法线
②
vC
冲量矩定理(对质心C )
mr 2 ( 0) I CD sin 30
③

v'C
60°vD' C
联立求解①、②、③
I
vC 1.63 kN
冲量定理
mvC mvC
I
E i
外碰撞冲量
冲量矩定理 链接
对某固定点O
LO LO
MO (IiE )
对固定点O的 外碰撞冲量矩
对固定轴 z Lz Lz
M
z
(
I
E i
)
对固定轴 z 的 外碰撞冲量矩
将固定点O换成质心C
冲量矩定理仍成立
将固定轴 z 换成随质心C 作平移的轴zC
航空上的“鸟祸”
一只重17.8 N 的飞鸟与以中等速度（800 km/h）飞行的 飞机相撞。
碰撞力可高达3.56×105 N，为鸟重的2 万倍！
碰撞力的数值不仅很大 而且随时间变化
碰撞力在碰撞期间的冲量
—— 碰撞冲量
t
t
I 0 F d t
碰撞力变化规律复杂，很难精确测定。
而碰撞中物体的动量改变只取决于碰撞冲量
例3：冲击摆质量为m2，质心C与转轴距离为 c，对转轴的转动惯量为Jz，质量为m1的枪弹射入
冲击摆后，摆偏离铅直线的最大角度为q。设枪弹
射入冲击摆时与转轴的距离为l，不计摩擦，求枪
弹速度v。
冲击摆的运动：碰撞阶段、碰撞后阶段
碰撞阶段：枪弹射入冲击摆
冲击摆、枪弹
M
z
(
I (e) i
)

0
J z m1l 2 m1vl
①对心正碰撞(小球从高 h 处自由降落与光滑固定面碰撞， 碰撞后回跳高度为h1 )；②对心斜碰撞(小球以速度v与光滑
固定平面碰撞，入射角为j，碰撞结束时小球速度为v，反 射角为q )。
①对心正碰撞
小球运动：碰撞前阶段、碰撞阶段、碰撞后阶段
碰撞前阶段：小球匀加速直线运动
v 2gh
碰撞后阶段：小球匀减速直线运动
根据实验
e v2 x v1x v1x v2x
恢复因数 0≤e≤1
与碰撞物体的材料、 形状等有关的因数
由试验测定
v1 v1x i v1y j
v2 v2 x i v2 y j
第一阶段的冲量
I1
t1 F d t
0
第二阶段的冲量
t
I2
F dt
t1
1．碰撞对定轴转动刚体的作用
当转动刚体受到碰撞时，其角速度将发生急剧变化，在 轴承处会产生碰撞力。
为了防止碰撞对轴承的破坏，应尽量消除轴承处的碰撞 冲量。
J z J z0
M
z
(
I
E i
)
角速度的变化
0
M z (IiE ) Jz
设刚体具有对称面，且转轴 z 垂直于对称面，外碰撞冲 量 I 在对称面内（实际上大多如此），不计轴承处摩擦。
I Oy

mac I(
Jz
1) sin j
轴承处的碰撞冲量
I Ox I cosj
I Oy

mac I(
Jz
1) sin j
欲使轴承处的碰撞力等于零
必须 IOx 0 IOy 0
j π/ 2 a J z / mc
a c JC / mc
撞击中心
欲使轴承处的碰撞力等于零，必须使外碰撞冲量 I 垂直 于O与质心C的连线(即 x 轴)并作用于撞击中心。
v 2gh1
e v2 x v1x 0 v v1x v2x (v) 0
e v v
1 2
h1 h
②对心斜碰撞
1 固定面是光滑的
碰撞冲量沿 x 轴作用 小球的动量在 y 方向守恒
mvy mvy vsinq v sinj
e v2 x v1x 0 vcosq v1x v2x (v cosj) 0
杆
1 2

1 3
m1l
2
02

0

m1g
l 2
0
3g l
碰撞阶段： 整个系统
IOx
IOy
0 O

C
2A vB B1
1 3
m1l 2

m2vBl

1 3
m1l 20
e l vB 0 l0
m1 3em2 3g
m1 3m2 l
vB

(1 e)m1 m1 3m2