2020届甘肃省第一次高考诊断考试数学(理)试题(解析版)

2020届甘肃省第一次高考诊断考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别解出集合 然后求并集.
【详解】
解： ，
故选：D
【点睛】
考查集合的并集运算，基础题.
2．已知 ，则 （）
A．5B． C．13D．
【答案】C
【解析】先化简复数 ，再求 ，最后求 即可.
【答案】
【解析】先求 角，再用余弦定理找到边 的关系，再用基本不等式求 的范围即可.
【详解】
解：
所以三角形周长
故答案为：
【点睛】
考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.
三、双空题
16．1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________ （排球的直径约为 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出 ，再求焦点 坐标，最后求 的斜率
【详解】
解：抛物线 经过点
， ，
， ，
故选：A
【点睛】
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
5．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】显然 是偶函数，排除B C， 即可判断.
【详解】
解： 是偶函数，排除B C，
②：因为 ， ，所以 或 ，
因为 ，所以 ，故②对
③： 或 ，故③错
④：如图
因为 ， ，在内 过点 作直线 的垂线 ，
则直线 ，
又因为 ，设经过 和 相交的平面与 交于直线 ，则
又 ，所以
因为 ， ，
所以 ，所以 ，故④对.
故选：C
【点睛】
考查线面平行或垂直的判断，基础题.
9．定义在 上的偶函数 ，对 ， ，且 ，有 成立，已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
【详解】
解：（1）依题意有 ， ， ，所以椭圆的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，联立 ，得 .
所以 ， .
所以
.
令 ，则 ，
所以 ，因 ，则 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取得等号，
即四边形 面积的最大值 .
【点睛】
考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.
21．已知函数 .
（1）讨论函数 单调性；
取 的中点 ， 的重心 ，连接 ,则 平面
，
所以最上面球的球顶距离地面的高度约为 .
故答案为：20；
【点睛】
考查把实际问题转化为数学问题的能力、空间想象能力以及运算求解能力；较难题.
四、解答题
17．数列 满足Байду номын сангаас， 是 与 的等差中项.
（1）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值
【详解】
解：（1）截面如下图所示：其中 ， ， ， ， 分别为边 ， ， ， ， 的中点，则 垂直于平面 .
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，所以 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，则 .
不妨取 ，则 ，
所以 与该平面所成角的正弦值为 .
单调递减
所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
即 ，
所以当 时， 成立.
【点睛】
考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： .
8．设 ， 是空间两条不同的直线， ， 是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ， ， ，则 .其中正确的是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【解析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.
【详解】
解：①： 、 也可能相交或异面，故①错
（若将 作为该平面法向量，需证明 与该平面垂直）
【点睛】
考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.
19．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为 ， ，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为 ， ，且两人健身时间都不会超过3小时.
（2）根据（1）结果求均值.
【详解】
解：（1）由题设知 可能取值为0，20，40，60，80，则
；
；
；
；
.
故 的分布列为：
0
20
40
60
80
所以数学期望 （元）
（2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为： （元）
【点睛】
考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.
20．椭圆 的右焦点 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 .
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.
【详解】
解：对 ， ，且 ，有
在 上递增
因为定义在 上的偶函数
所以 在 上递减
又因为 ， ，
所以
故选：A
【点睛】
考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.
10．将函数 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 图象的一个对称中心为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 是偶函数，则只需 在 上有且只有两个零点即可.
【详解】
解：显然 是偶函数
所以只需 时， 有且只有2个零点即可
令 ，则
令 ，
递减，且
递增，且
时， 有且只有2个零点，
只需
故选：B
【点睛】
考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.
二、填空题
13．实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为__________.
A．85B．84C．57D．56
【答案】A
【解析】先求 ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.
【详解】
解： 的展开式中二项式系数和为256
故 ，
要求展开式中的有理项，则
则二项式展开式中有理项系数之和为：
故选：A
【点睛】
考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.
12．若函数 有且只有4个不同的零点，则实数 的取值范围是（）
【答案】1344
【解析】分四种情况讨论即可
【详解】
解：数学排在第一节时有：
数学排在第二节时有：
数学排在第三节时有：
数学排在第四节时有：
所以共有1344种
故答案为：1344
【点睛】
考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.
15．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ；且 ，则 周长的范围为__________.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 且斜率不为0的直线与椭圆 交于 ， 两点. 为坐标原点， 为椭圆 的右顶点，求四边形 面积的最大值.
【答案】（1） （2）最大值 .
【解析】（1）根据通径 和 即可求
（2）设直线 方程为 ，联立椭圆，利用 ，用含 的式子表示出 ，用 换元，
可得 ，最后用均值不等式求解.
【详解】
解： ，
，
故选：C
【点睛】
考查复数的运算，是基础题.
3．已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （）
A．3B． C． D．5
【答案】B
【解析】先求出 ，再利用 求出 ，再求 .
【详解】
解：
由 ，所以
，
， ，
故选：B
【点睛】
考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
4．已知抛物线 经过点 ，焦点为 ，则直线 的斜率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数图象的变换规律可得到 解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.
【详解】
解： 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到
再将图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图象
，
故选：D
【点睛】
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.
11．若 的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）
考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.
18．如图，正方体 的棱长为2， 为棱 的中点.
（1）面出过点 且与直线 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求 与该平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2） .
【解析】（1） 与平面 垂直，过点 作与平面 平行的平面即可
7． 网络是一种先进的高频传输技术，我国的 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款 手机，现调查得到该款 手机上市时间 和市场占有率 （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出 关于 的线性回归方程为 .若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（）
又 ，排除D，
故选：A.
【点睛】
考查函数的基本性质，是基础题.
6．已知双曲线 的一条渐近线经过圆 的圆心，则双曲线 的离心率为（）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】求出圆心，代入渐近线方程，找到 的关系，即可求解.
【详解】
解： ，
一条渐近线
，
故选：B
【点睛】
利用 的关系求双曲线的离心率，是基础题.
【答案】（1）见解析， （2）
【解析】（1）根据等差中项的定义得 ，然后构造新等比数列 ，写出 的通项即可求
（2）根据（1）的结果，分组求和即可
【详解】
解：（1）由已知可得 ，即 ，可化为 ，故数列 是以 为首项，2为公比的等比数列.
即有 ，所以 .
（2）由（1）知，数列 的通项为： ，
故 .
【点睛】
【答案】20
【解析】（1）从下往上，各层球的个数依次是：10、6、3、1，所以共有20个
（2）连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为63 的正四面体，易求该四面体的高，然后加上21即可.
【详解】
解：（1）从下往上，各层球的个数依次是：10、6、3、1，所以共有20个
（2）连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为63 的正四面体 ，如图：
A．2020年6月B．2020年7月C．2020年8月D．2020年9月
【答案】C
【解析】根据图形，计算出 ，然后解不等式即可.
【详解】
解： ，
点 在直线 上
，
令
因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，
故选：C
【点睛】
考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.
（2）当 时，求证： .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）根据 的导函数进行分类讨论 单调性
（2）欲证 ，只需证 ，构造函数 ，证明 ，这时需研究 的单调性，求其最大值即可
【详解】
解：（1） 的定义域为 ，
，
①当 时，由 得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减；
②当 时，由 得 ，由 ，得 ，或 ，
（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量 （单位：元），求 的分布列与数学期望 ；
（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
【答案】（1）见解析，40元（2）6000元
【解析】（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可
所以 在 上单调递增，在 单调递减，在 单调递增；
③当 时， ，所以 在 上单调递增；
④当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，或 ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减，在 单调递增.
（2）当 时，欲证 ，只需证 ，
令 ， ，则 ，
因存在 ，使得 成立，即有 ，使得 成立.
当 变化时， ， 的变化如下：
0
单调递增
【答案】10
【解析】画出可行域，根据目标函数截距可求.
【详解】
解：作出可行域如下：
由 得 ，平移直线 ，
当 经过点 时，截距最小， 最大
解得
的最大值为10
故答案为：10
【点睛】
考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.
14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.