专题：一次函数的实际应用(四大类型)【精品】

专题：一次函数的实际应用类型1 最值问题1．为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元．(1)求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．解：(1)设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售价是y 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝50，2x ＋3y ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7. 答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元．(2)设购买A 型节能灯a 只，购买B 型节能灯(200－a)只，费用为w 元，则w ＝5a ＋7(200－a)＝－2a ＋1400，∵a ≤3(200－a)，∴a ≤150.∴当a ＝150时，w 取得最小值，此时w ＝1100，200－a ＝50.2．根据《太原市电动自行车管理条例》的规定，2019年5月1日起，未上牌的电动自行车将禁止上路行驶，而电动自行车上牌登记必须满足国家标准．某商店购进了甲、乙两种符合国家标准的新款电动自行车．其中甲种车总进价为22500元，乙种车总进价为45000元，已知乙种车每辆的进价是甲种车进价的1.5倍，且购进的甲种车比乙种车少5辆．(1)甲种电动自行车每辆的进价是多少元？(2)这批电动自行车上市后很快销售一空．该商店计划按原进价再次购进这两种电动自行车共50辆，将新购进的电动自行车按照表格中的售价销售．设新购进甲种车m 辆(20≤m ≤30)，两种车全部售出的总利润为y 元(不计其他成本)．①求y 与m 之间的函数关系式；②商店怎样安排进货方案，才能使销售完这批电动自行车获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)为1.5x 元，由题意得22500x ＋5＝450001.5x.解得x ＝1500. 经检验，x ＝1500是原方程的解．答：甲种电动自行车每辆的进价是1500元．(2)①设新购进甲种电动自行车m 辆，乙种电动自行车(50－m)辆， y ＝(2000－1500)m ＋(2800－1500×1.5)(50－m)＝－50m ＋27500. ②∵y ＝－50m ＋27500，y 随m 的增大而减小，且20≤m ≤30， ∴当m ＝20时，y 最大＝－50×20＋27500＝26500(元)．答：y 与m 的函数关系式为y ＝－50m ＋27500，当m ＝20时，利润最大，最大利润为26500元．3．某运动品商场欲购进篮球和足球共100个，两种球的进价和售价如下表所示．设购进篮球x(x为正整数)个，且所购进的两种球能全部卖出，获得的总利润为W元．(1)求总利润W关于x的函数解析式；(2)如果购进两种球的总费用不低于5 800元且不超过6 000元，那么该运动品商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润；(3)在(2)的条件下，若每个篮球的售价降低a元，请分析如何进货才能获得最大利润．解：(1)W＝(76－62)x＋(60－54)(100－x)＝8x＋600，即总利润W关于x的函数解析式为W＝8x＋600.(2)设总费用为y元，由题意得y＝62x＋54(100－x)＝8x＋5 400. ∵5 800≤y≤6 000，5 800≤8x＋5 400≤6 000，解得50≤x≤75.∵W＝8x＋600，W随x的增大而增大，∴当x＝75时，W最大＝8×75＋600＝1 200(元)，此时，100－x＝25，即当购进篮球75个、足球25个时，获利最大，最大利润为1 200元．(3)若每个篮球的售价降低a元，则W＝8x＋600－ax＝(8－a)x＋600.①当8－a≥0，即0≤a≤8时，W随x的增大而增大，因此当x＝75时，W最大，即购进篮球75个、足球25个；②当8－a＜0，即a＞8时，W随x的增大而减小，因此当x＝50时，W最大，即购进篮球50个、足球50个．综上，当0≤a≤8时，购进篮球75个、足球25个获利最大；当a ＞8时，购进篮球50个、足球50个获利最大．4．某校为改善办学条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：B 两种书架各购买了多少个；(2)如果在线上购买A，B两种书架20个，共花费v元，设其中A种书架购买m个，求v关于m的函数解析式；(3)在(2)的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．解：(1)设购买A种书架x个，则购买B种书架(20－x)个．根据题意，得240x＋300(20－x)＝5 520，解得x＝8.∴20－8＝12，即购买A种书架8个，B种书架12个．(2)根据题意，得v＝210m＋250(20－m)＋20m＋30(20－m)＝－50m ＋5 600.(3)根据题意，得20－m≥2m，解得m≤20 3.∵－50＜0，∴v随m的增大而减小，∴当m＝6时，v最小＝－50×6＋5 600＝5 300(元)，线下购买时的花费为240×6＋300×14＝5 640(元)，5 640－5 300＝340(元)，∴购买A种书架6个，B种书架14个时，花费最少．按照这种购买方案，线上比线下节约340元．类型2 方案问题5．为了让学生拓展视野、丰富知识，加深与自然和文化的亲近感，增加对集体生活方式和社会公共道德的体验，我区某中学决定组织部分师生去随州炎帝故里开展研学旅行活动．在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有1位老师少带4个学生．为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2位老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．(1)__16____284__人；租用客车总数为__8__辆．(2)设租用x辆乙种客车，租车费用为W元，请写出W与x之间的函数解析式；(3)在(2)的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3 100元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．解：(1)设老师有x 人，学生有y 人．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧17x ＝y －12，18x ＝y ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝284. ∴老师有16人，学生有284人．∵每辆客车上至少要有2位老师，∴客车总数不能超过8辆．又要保证300名师生有车坐，客车总数不能小于30042＝507(辆)，取整为8辆．∴客车总数为8辆．故答案为16；284；8.(2)由题意得租用甲种客车(8－x )辆，∴W ＝400x ＋300(8－x )＝100x ＋2 400.(3)∵租车总费用不超过3 100元，∴400x ＋300(8－x )≤3 100，解得x ≤7.为使300名师生都有座，∴42x ＋30(8－x )≥300，解得x ≥5. ∴5≤x ≤7，x 取整数为5，6，7.∴共有3种租车方案：方案一：租用甲种客车3辆、乙种客车5辆．方案二：租用甲种客车2辆、乙种客车6辆．方案三：租用甲种客车1辆、乙种客车7辆．∵W ＝100x ＋2 400，100＞0，∴W 随x 的增大而增大，∴当x ＝5时，W 最小＝2 900元，故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．6．为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．(1)求购买1个甲种文具、1个乙种文具各需多少元；(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1 000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案；(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元；解：(1)购买1个甲种文具15元，1个乙种文具5元．(2)根据题意，得购买乙种文具(120－x)个，则955≤15x＋5(120－x)≤1 000，解得35.5≤x≤40.∵x是整数，∴x＝36，37，38，39，40.∴有5种购买方案．(3)购买甲种文具36个、乙种文具84个时，需要的资金最少，最少资金是960元.类型3 分段函数的应用7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数解析式．(第5题)解：(1)当x≤10时，由题意知y＝ax.将x＝10，y＝15代入，得15＝10a，所以a＝1.5.故当x≤10时，y＝1.5x.当x＝8时，y＝1.5×8＝12.故应交水费12元．(2)当x＞10时，由题意知y＝b(x－10)＋15.将x＝20，y＝35代入，得35＝10b＋15，所以b＝2.故当x＞10时，y与x之间的函数解析式为y＝2x－5.类型4 含有两个函数图象的应用（行程问题）8．已知A，B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也在同日下午骑摩托车按同一路线从A地出发驶往B地．如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程s(千米)与该日下午时间t(时)之间的关系．根据图象回答下列问题：(1)甲出发__1__小时后，乙才开始出发；乙的速度为__50__千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__12.5__千米/时．(2)乙出发多少小时后追上了甲？写出解答过程．(3)请你自己再提出一个符合题意的问题情境，并解答．解：(1)由图象中可知乙比甲晚出发1小时，乙1小时走了50千米，速度为50千米/时，甲全程的平均速度为50÷(5－1)＝12.5(千米/时)．故答案为1，50，12.5.(2)设QR 的函数解析式为s ＝kt ＋b (k ≠0)，把点Q (2，20)，R (5，50)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝20，5k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝0，∴QR 的函数解析式为s ＝10t ，2≤t ≤5.同理，MN 的函数解析式为s ＝50t －100，2≤t ≤3.∴10t ＝50t －100，解得t ＝2.5.2．5－2＝0.5(时)．答：乙出发0.5小时后追上了甲．(3)提出问题：“乙出发多少时间，两车相距15千米？”在PQ 段时乙未出发，则在RQ 段相距15千米．①当甲在前乙在后相距15千米时，10t －(50t －100)＝15，解得t ＝178，178－2＝18(时)； ②当乙在前甲在后相距15千米时，50t －100－10t ＝15，解得t ＝238，238－2＝78(时)．∴乙出发18小时或78小时，两车相距15千米． 9．“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x 小时，租用甲公司的车所需费用为y 1(元)，租用乙公司的车所需费用为y 2(元)，分别求出y 1，y 2关于x 的函数解析式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．解：(1)设y 1＝k 1x ＋80，把点(1，95)代入，可得95＝k 1＋80，解得k 1＝15.所以y 1＝15x ＋80(x ≥0)．设y 2＝k 2x ，把(1，30)代入，可得30＝k 2，即k 2＝30.所以y 2＝30x(x ≥0)．(2)当y 1＝y 2时，15x ＋80＝30x ，解得x ＝163； 当y 1＞y 2时，15x ＋80＞30x ，解得x ＜163； 当y 1＜y 2时，15x ＋80＜30x ，解得x ＞163； 所以当租车时间为163小时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．10．2019车8月8日至18日，第十八届“世警会”首次来到亚洲在成都举办，武侯区以相关事宜为契机，进一步改善区域生态环境．在天府吴园道部分地段种植白芙蓉和醉芙蓉两种花卉．经市场调查，种植费用y (元)与种植面积x (m 2)之间的函数关系如图所示．(1)请直接写出两种花卉y 与x 的函数解析式；(2)白芙蓉和醉芙蓉两种花卉的种植面积共1 000 m 2，若白芙蓉的种植面积不少于100 m 2且不超过醉芙蓉种植面积的3倍，那么应该怎样分配两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？解：(1)当0≤x ≤200时，设白芙蓉对应的函数解析式为y ＝ax ，则200a ＝24 000，解得a ＝120，∴y ＝120x .当x ＞200时，设白芙蓉对应的函数解析式为y ＝bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧200b ＋c ＝24 000，400b ＋c ＝40 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝80，c ＝8 000，∴y ＝80x ＋8 000.∴白芙蓉对应的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x ，0≤x ≤200，80x ＋8 000，x >200.设醉芙蓉对应的函数解析式为y ＝dx ，则400d ＝40 000，解得d ＝100，即醉芙蓉对应的函数解析式为y ＝100x ，x ≥0.(2)设白芙蓉的种植面积为e m2，则醉芙蓉的种植面积为(1 000－e)m2，种植的总费用为w元．∵白芙蓉的种植面积不少于100 m2且不超过醉芙蓉种植面积的3倍，∴100≤e≤3(1 000－e)，解得100≤e≤750.当100≤e≤200时，w＝120e＋100(1 000－e)＝20e＋100 000，∴当e＝100时，w取得最小值，此时w＝102 000；当200＜e≤750时，w＝80e＋8 000＋100(1 000－e)＝－20e＋108 000，∴当e＝750时，w取得最小值，此时w＝93 000.∵93 000<102 000，∴当白芙蓉的种植面积为750 m2，醉芙蓉的种植面积为250 m2时，才能使种植总费用最少．。