第2章 质点运动定律-大学物理B(1)

引力质量反映物体的引力性质，和反映物体惯性的 惯性质量物理意义不同。 地面上物体受到地球引力获得重力加速度g0，设地 球质量M，半径R，根据引力定律和牛顿运动定律 得： 引力质量
mA M G mI g 0 2 R mI GM 2 mA g 0 R
惯性质量
mI -11 c 10 对一切物体： 精度： ，所以可令：mI mA mA
a
F
i
i
m
dp F ma dt
3. 牛顿第三定律(作用力与反作用力定律) 作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用 在不同物体上。
f' f
运用牛顿第三定律分析物体受力必须注意：
• 作用力和反作用力是互以对方为自己存在的条件， 同时产生，同时消失，不能孤立存在。由于作用力 与反作用力作用于两个物体，因此不能相互抵消。 • 作用力和反作用力是同一性质的力。例如，作用力 是万有引力，反作用力也一定是万有引力；青蛙和 人都是通过绳子内的张力作用于对方。
于场传递的相互作用.
15
*二、相互作用与力 1964年，Gellman和巴伊科提出夸克的 概念，日常生活中的物质完全由上夸克和下夸 克组成。
其它夸克组成的粒子寿命很短，只有在
实验室中产生。
夸克和胶子的等离子态于1999年在CERN
观察到。
二、相互作用与力
基
本
粒 子
二、相互作用与力
基
本
粒 子
二、相互作用与力 四 种 基 本 相 互 作 用 （1）（万有）引力作用 （2）电磁作用
小球对圆柱体的压力为：
dv dv ds dt ds dt
v2 N ' N mgcosθ - m R
O
R
ds
d
dv v ds dv v g sin R d
vdv gR sin d

v
0
vdv gR sin d
0

1 2 mv mg ( R - R cos ) 2
Rg
41
[例 2-5] 两质量均为m的小球穿在一光滑的圆环上，小 球由一轻绳相连，环竖直放置在图示位置由静止释放。 问释放时绳上张力为多少？ 解： 两小球的动力学方程为
2
可以证明：
p Fe (1 - 0.0035cos )
3. 弹性力
O
x
i
F -kxi
k：劲度系数；xi ：端点的位移；O：为平衡位置。
4. 摩擦力
阻止两个相接触物体之间相对运动（滑动）趋势的 力摩擦力
fs max s N
k
最大静摩擦力
f k k N
滑动摩擦力
牛二律是牛顿力学的核心，应用注意问题： （1）牛二律只用于质点的运动。不特别说明， 论及物体的平动时，物体作为质点处理。 （2）牛二律所表示的合外力与加速度之间的关 系是瞬时对应关系。即： 质点的加速度与其所受的力同时出现或同时消失！
合外力与加速度：
（1）实验表明：力满足矢量的平行四边形叠加定 则，即: 质点所受的合力为所有作用在质点上的力的
(2) 定义了惯性参考系的概念 物体静止或匀速直线运动，相对哪个参照系? 惯性参考系
2. 牛顿第二定律
动量： p mv
方向：与速度相同
---描述物体运动状态的量，比速度的意义重要。 外力作用，动量改变。
牛二律：阐明了作用于物体的外力与动量变化的关系。
dp 表明：物体动量随时间的变化率 dt 等于作用于物
终极速度 (terminal velocity)
物体达到终极速度条件是物体加速度为零。
mg - kvT 0
2 *（2）若 f -kv ， 终极速度不同！
vT
mg k
2 gt vT
物体运动规律也不相同！
1- e v vT 2 gt 1 e vT

2.1 牛顿运动定律
一、牛顿运动三定律 1. 牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体如果没有力的作用，都将保持静止
或作匀速直线运动的状态。 F 0时 v 恒矢量 ---数学形式
说明： (1) 定义了物体的惯性和力的概念 •物体保持运动状态的特性——惯性 •改变物体运动状态的原因——力
（物体间的相互作用）
（a）若A、B 原为静止，则不可能！ 出现上述情况的原因是： 当
N
mB
f
TB
mA < mB时,
mg
摩擦力为静摩擦情况。
f -T B
aA aB 0
(mA - mB ) aA aB g (mA mB )
（b）若A、B 原处运动状态，A、B运动均为减速运动。
[例 2-2] 讨论雨滴下落过程中受到空气黏滞力作 用时的运动规律。
2. 重力-地球非惯性系，地球表面物体m受力是
地球M对物体引力和物体在非惯性系中的惯性力 的合力。
p Fe FI
Fe
FI
p
mM Fe G 2 R 2 FI m r
o

R
r R cos
7.29210-5 rad / s
FI << Fe M P Fe - FI cos m G 2 - R 2 cos2 R
在自然坐标系中：
F Fe t t F n en
dv v m et m en dt
2
en
et
dv Ft mat m dt 2 v Fn man m
说明： 牛顿第二定律同时定义 （a）力的量度 （b）物体（惯性）质量 力的量度和物体质量通过牛顿第二定律 定律协调定义。 在国际单位制中： F ，N；m，kg；a，m/s2
牛顿（1643-1727）
• 牛顿：杰出的英国物理学家 ，经典物理学的奠基人。他 的巨著《自然哲学的数学原 理》总结了前人和自己关于 力学及微积分学方面的研究 成果，其中含有牛顿三条运 动定律和万有引力定律，以 及质量、动量、力和加速度 等概念，光学方面，说明了 色散起因，发现色差和牛顿 环，提出光的微粒说。
t
k - t m
mg v (1 - e k
)
求雨滴的位置坐标：
dx mg v (1 - e dt k
x t
k - t m
)
mg d x (1 e 0 0 k
k - t m
)dt
k - t m
mg m x [t - (1 - e k k
)]
（1）当 t 时， 讨论
mg v vT k
N - mB g 0
附 加 方 程
TA TB aA aB f N
(mA - mB ) aA aB g (mA mB )
mA > mB 时, （a）从静止开始 （ 1 ）当 讨论 A、B加速运动。 （b）从某运动状态
开始加速运动
（ 2） 当 mA < mB 时, aA aB < 0 。
说明：
（1）万有引力适用于两个质点之间，欲求两个物体间引力，
必须把每个物体分成很多小部分，把每个小部分看成是一个
质点，然后计算。数学角度，计算是一个积分问题。计算表 明，两个密度均匀的球体，引力可直接带公式，r表示球心间
距离。相当于把球的质量集中于球心，作为质点处理。
（2）对于质量均匀分布的球对称物体与其他物体（质点）之 间的万有引力： ① 若质点在均匀球对称物体外，它受到球对称物体的吸引力 等效于球对称物体的质量集中在球心处时的万有引力。 ② 若质点处在均匀球壳内部，它所受到的均匀球壳的万有引 力为零。
[例 2-3] 一固定光滑圆柱体上的小球（m）从顶端下滑。 求小球下滑到 q 时小球对圆柱体的压力。 y 解：在q 处时， q 质点受力如图 N


o

mg
o
R
v
x
N mg ma 自 e 然 t
o
dv mg sin m dt
en
坐 标 系
v mg cos - N m R
2
二、相互作用与力 自然界中常见力 1. 引力（万有引力）
万有引力定律：两个相距为r，质 量分别为M、m的质点间有万有引 力，其方向沿着它们连线，大小与 M 其质量乘积成正比，与它们之间距 离的平方成反比。
F
m
-F
r
mM F G 2 r
mM m受力: F -G 3 r r
G ：引力常数， m ，M ：引力质量
O
解：设雨滴初始时刻静止于原点（如图）。
v0 0
根据雨滴受力分析（如图），列出 牛顿方程：
x
mg f ma
f -kv
dv mg - kv m dt
f
mg
dv dt k g- v m

v
0
t dv dt 0 k g- v m
v 0
m k - ln( g - v) k m
则小球对圆柱体的压力为：
v2 N ' mgcosθ - m R
mg cos - 2mg (1 - cos )
mg (3cos - 2)
N ' mg (3cos - 2)
讨论
y

o
R
v
x
从上述结果可以看出：
随着小球下滑， θ 从 0 开始增大。 cosθ 逐渐减小， N 逐渐减小。 当θ 继续增大时，会有何结果？
• 两个物体作为一个系统时，相互作用力是系统的内 力。由于内力在系统内成对出现，系统内力之和总 是为零，对系统的整体运动不会产生影响。
牛顿力学的适用范围
（1）仅对惯性系成立.
（2）适用于低速(相对于观测者)系统
——称 经典力学.
（3）适用于宏观系统和部分微观系统力学
性质研究.
（4）适用于实物的相互作用问题，不适用
体的合外力 F Fi ， 即：
dp d mv F dt dt
（ 1）
物体作低速运动，即v<<c，物体质量可视为不依 赖速度的常量，则： dv F m dt 或 F m a （ 2） （1）（2）式为牛二律数学表达式，又称牛顿力 学的质点动力学方程。
（3）弱相互作用
（4）强相互作用
二、相互作用与力
引力：最弱，长程力，按距离平方衰减，不受屏蔽中和效应；天文 学巨大尺度现象，微观世界不考虑。 电磁力：处处存在，凝聚态物理学唯一基本作用力。 强力：亚微观领域，比电磁力强，大102倍；短程力，粒子距离>1015米，可忽略；< 10-15米，强力为主，表现为斥力。 弱力：亚微观领域，短程力，例中子和原子的放射性衰变。
矢量和：
F Fi
i
（2）在合外力作用下，质点的加速度 a 有以下性质： (a) 加速度方向同合力方向 (b)
a
F
i
i
m
（3） 牛顿第二定律的矢量性
在直角坐标系中：F
Fx i Fy j Fz k
ma
max i may j maz k 2 d x Fx max m 2 dt ......
当 cosθ < 2/3 时， N < 0, 这可能吗？为什么？ 当 cosθ ＝ 2/3 时，N = 0。此时，小球将离开圆 柱体。 动 力 学 方 程
dv mg sin m dt
v mg cos - N m R
2
将不再适用！
此后，小球将做抛体运动！
[例 2-4] 设一物体在离地面上空高度等于地球半径 处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速度（不 计空气阻力和地球自转）。 m 正向 解：
湍流（旋涡）
·物体运动速度更大时：f
v
3
三、牛顿定律的应用 关键步骤 （1）选取研究对象
两类 动力学 问题
作用在物体上 的力是恒力 作用在物体上 的力是变力
（2）对研究对象隔离，分析受力情况 （3）选择适当坐标系，列出相应方程 （4）解方程，并对结果进行分析和讨论
[例 2-1] 研究如图所示系统的运动规律。
o
v
滑动摩擦系数与物体相对运动速度有关（如上图示）
* 5. 流体阻力 物体在流体中运动时，会受到流体的阻力。阻力 与运动方向相反，大小随物体速度增大而增大。 ·物体运动速度小时： f -bv （黏滞力） b 与流体的性质及物体的几何形状有关 ·物体运动速度大时：
f -cv
2
c 与流体及物体的性质有关
Gme m F - 2 er r
me
R
Gme m mg 2 R
2
gR m F - 2 er r
dv gR m - 2 ma m dt r
2
dv dr dv m mv dr dt dr
me
R

v
0
vdv

dr - gR 2 2R r
r
2
2
2 gR v - gR r
mB
解： 研究对象：A、B，受力分析如下图。
mA
N
f
mB
TB
TA
mA
mB g
mA g
aA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
aB
A: B:
mA g - TA mA aA TB - f mBaB
N - mB g 0
N
f
mB
TB
TA
mA
mB g
mA g
aA
aB
A: B:
mA g - TA mA aA TB - f mBaB