椭圆的几何性质(简单性质)
椭圆的简单几何性质
2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；2、掌握椭圆的离心率及c b a ,,的几何意义。
【重难点】重点：椭圆的简单几何性质 难点：求椭圆的离心率 【学习过程】复习引入：1、椭圆的定义我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点21,F F 间的距离||21F F 叫做椭圆的焦距。
2、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：12222=+b y a x )0(>>b a 焦点在y 轴上：12222=+ay b x )0(>>b a3、重要结论：222c b a +=知识点一：椭圆的简单几何性质 1、范围由图形及椭圆的标准方程12222=+b y a x 可知，122≤a x 且122≤by ，即⎩⎨⎧≤≤-≤≤-by b ax a 故椭圆12222=+by a x 位于直线a x ±=和b y ±=所形成的矩形框里。
2、对称性观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
在椭圆12222=+by a x 中，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于x 轴对称；用x -代替x ，方程不变，所以椭圆关于y 轴对称；用x -代替x ，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于原点对称。
结论：椭圆关于x 轴和y 轴都对称，所以x 轴、y 轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。
3、顶点椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。
显然12222=+by a x 有四个顶点，其中在x 轴上有)0,(),0,(21a A a A -，在y 轴上有),0(),,0(21b B b B -。
线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a 2和b 2，b a ,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的简单几何性质
10 , 求m 的值。 5
解：依题意， m 0, m 5 ，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论： ①焦点在 x 轴上，即 0 m 5 时，有 a
5, b m , c 5 m ，
5m ∴ 5
2 ，得 m 3 ； 5
m , b 5, c m 5 ，
b b 1, b a, 椭圆越圆； 0, b 0, 椭圆越扁。 a a
c 解：如图，在Rt B2 F2O中， cos B2 F2O ， a
c c 越大，B2 F2O越小，椭圆越扁； 越小，B2 F2O越大，椭圆越圆。 a a
练习
为
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
观察图形并思考： x2 y2 椭圆 2 2 1( a b 0) a b
长半轴为 a
半焦距为 c
思考：保持长半轴 a 不变，改变椭圆的半焦距 c ， 扁平 我们可以发现，c 越接近 a ，椭圆越________ c a 这样，我们就可以利用＿＿和＿＿这两个量来刻 画椭圆的扁平程度
2 离心率对椭圆形状的影响：
②当焦点在 y 轴上，即 m 5 时，有 a ∴
m5 10 25 m ． 5 3 m 25 综上知: m 3 或 m . 3
标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标
x
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
y
o
x
a
≤
x≤ a , b ≤ y ≤ b
A
C
F1
O
F2
x
D B 2b 2 称为椭圆的通径。椭圆的通径长： a 2 2 x y 推导：以椭圆 2 2 1为例。 a b 设直线AB过点F1且垂直于x 轴，且与椭圆交于A 、B 两点，
椭圆的简单几何性质
1.椭圆的对称性
y
F
1
O
F
2
x
椭圆关于x轴对称
二、新课探究：
A1 F
1
1.椭圆的对称性
y
O
F
2
x
A2
椭圆关于原点对称
二、新课探究：
1.椭圆的对称性
Y P（x，y）
以焦点在X轴上的为例：
P1（-x，y）
O
X
P 2 x, y
P3（-x，-y）
二、新课探究：
2、椭圆的顶点
B2 (0,b)
一、复习回顾：
3.椭圆中a,b,c的关系:
若点M运动到y轴上时：
y
M
| MF1 | ＝ | MFOF1 | ＝ | OF2 | c
x
F1
O
| MO | ＝ a c b
2 2
a2=b2+c2
二、新课探究：
y
1.椭圆的对称性
F
1
O
F
2
x
椭圆关于y轴对称
二、新课探究：
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
一、复习回顾：
1、椭圆的定义：
3.2.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的离心率 e= ．
范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
典型例题
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=
4
比是常数 ，求动点M的轨迹．
5
25
的距离的
4
轨迹方程
轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件
点M所满足的条件
点M与定点F(4,0)的距离和M到定
25
4
直线l:x= 的距离的比是常数
4
转化
5
两点间距离和点到直线的距离
6 − 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
圆 2 + 2 + 6 + 5 = 0
圆心1 (− 3,0),半径r1=2
椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，
经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm，
1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
椭圆的方程
求a,b
建立关于a,b的方程
典型例题
2
4.12
+
2
3⋅4 2
= 1．
方
程
思
想
典型例题
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
椭圆的几何性质
2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2.明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．,椭圆的简单几何性质1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.()(3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．()(4)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0) C．(－6，0)(6，0) D．(0，6)，(0，－6) 答案：D3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A．32B．34C ．22 D ．23答案：A4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，则m 的取值范围是________．答案：[－5，5]椭圆的简单几何性质求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 【解】 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，所以a ＝3，b ＝2，所以c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．1.对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的几何性质的表述正确的是( )A ．范围相同B ．顶点坐标相同C ．焦点坐标相同D ．离心率相同解析：选D.椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，顶点坐标是(－a ，0)，(a ，0)，(0，－b )，(0，b )，焦点坐标是(－c ，0)，(c ，0)，离心率e ＝c a ；椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b ，顶点坐标是(－b ，0)，(b ，0)，(0，－a )，(0，a )，焦点坐标是(0，－c )，(0，c )，离心率e ＝ca，只有离心率相同．2．设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解：(1)当0＜m ＜4时，长轴长和短轴长分别是4，23，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，顶点坐标为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2，0)，B 2(2，0)．利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法．(2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2，b 2的值；③写出标准方程．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； (2)过点(3，0)，离心率e ＝63. 解：(1)设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，2c ＝6，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由题意知a ＝3， 又因为e ＝63，所以c ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，由题意知b ＝3， 又因为e ＝63，所以a 2－b 2a 2＝e 2＝23.即a 2－9a 2＝23.所以a 2＝27.所以椭圆方程为y 227＋x 29＝1.求椭圆的离心率(2016·高考全国卷乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【解析】 法一：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12或e ＝－12(舍去)．法二：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12.【答案】 B求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．1.(2017·青岛高二检测)A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________．解析：如图，连接BF 2.因为△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点． 所以F 2B ⊥BF 1.又因为∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， 所以|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 由椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ， 所以ca＝3－1.所以椭圆的离心率e ＝3－1. 答案：3－12．(2017·日照高二检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， 所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2，所以a ≤ 2c ， 因为e ＝ca ，0＜e ＜1，所以22≤e ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，11．椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，c 的几何意义在椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示，即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形．2．椭圆上到中心距离最远和最近的点设点O 为坐标原点，点P (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋b 2a 2（a 2－x 2）＝c 2x 2＋a 2b 2a.因为－a ≤x ≤a ，所以当x ＝0时，|PO |有最小值b ，这时点P 在短轴的端点B 1或B 2处；当x ＝±a 时，|PO |有最大值a ，这时点P 在长轴的端点A 1或A 2处．3．椭圆离心率的意义1．椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x |≤5，|y |≤3 B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：选B.椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上， 所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：选D.由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 2＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 216＋y 212＝1解析：选A.圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝42，故2a ＝4，即a ＝2，又e ＝c a ＝12，所以c＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆的焦点在x 轴上，所以其标准方程为x 24＋y 23＝1，故选A.4．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．解析：根据题意得2b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9(舍去)． 又因为a 2－b 2＝c 2， 所以a ＝5，c ＝4，故e ＝c a ＝45.答案：45, [A 基础达标]1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8，6B ．4，3C ．2， 3D ．4，2 3解析：选B.过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.故选B.2．(2017·泉州高二检测)已知椭圆x 25＋y 2k ＝1的离心率e ＝105，则实数k 的值为( )A ．3B ．3或253C ． 5D ．15或153解析：选B.当k ＞5时，e ＝c a ＝k －5k ＝105，k ＝253.当0＜k ＜5时，e ＝c a ＝5－k 5＝105，k ＝3.故选B.3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A ．x 2144＋y 2128＝1B ．x 236＋y 220＝1C ．x 232＋y 236＝1D ．x 236＋y 232＝1解析：选D.因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为长轴长为12，所以a ＝6.又椭圆的离心率为13，即c a ＝13，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32，故椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a 2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．154D ．33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝⎛⎭⎫a 2－1，12可得a 2－1a 2＋14＝1， 解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫22，1B ．⎝⎛⎭⎫0，22 C ．⎣⎡⎭⎫12，1D ．⎣⎡⎭⎫12，22解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝3a 2， 即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为10，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最大值与最小值之和为________．解析：椭圆的长半轴长为10，短半轴长为5，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最小值为5，最大值为10，其和为15.答案：157．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为 3. 解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， 所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.10．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意可得，c ＝1，a ＝2， 所以b ＝ 3.所以所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.因为x 0≠2，所以t ＝14x 0－32.因为－2＜x 0＜2，所以－2＜t ＜－1.所以实数t 的取值范围为(－2，－1)．[B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63. 答案：6313．(2017·武汉高二检测)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2， 即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得94c 2a 2＋b 24b2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. 14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c 2.① 因为BC 的中点为⎝⎛⎭⎫12，b 2，k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12② 由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c 2b， 即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c 2b. 因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上，所以1－c 2＋b 2－c 2b＝0， 可得(1＋b )(b －c )＝0，因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12， 所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1， 即x 2＋2y 2＝1.。
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准
椭圆简单几何性质(方程)
椭圆简单几何性质例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标， 解：把已知方程化成标准方程1452222=+y x 所以，345,4,522=-===c b a ，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82,102==b a ，离心率53==a c e ，两个焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，椭圆的四个顶点是)0,5(),0,5(2A A -，4,0(),4,0(2B B -例2写出下列椭圆的准线方程：（1）4422=+y x (2)1811622=+y x 解：⑴方程4422=+y x 可化为 1422=+y x ，是焦点在x 轴上且1,2==b a ，3=c 的椭圆所以此椭圆的准线方程为 33434=±=x ⑵方程1811622=+y x 是焦点在y 轴上且4,9==b a ，65=c 的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 6565816581=±=y 例3 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 例4椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点P(3,y )到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得⎩⎨⎧=-=+5.335.63e a e a ，解得21,5==e a ，从而有 4,25222=-==c a b c 所求椭圆方程为17542522=+y x 例5 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求．练习1.椭圆6x 2+y 2=6的长轴的端点坐标是（ ） A.(－1,0)、(1,0) B.(－6,0)、(6,0) C.(－6，0)、(6,0)D.(0,－6)、(0,6)【答案】 D2.椭圆25x 2+9y 2=225的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ）A.5，3，0.8B.10，6，0.8C.5，3，0.6D.10，6，0.6【解析】把椭圆的方程写成标准方程：25922y x +=1，知a=5，b=3，c=4.∴2a=10，2b=6，ac=0.8. 【答案】B3.已知椭圆22a x +22b y =1与椭圆252x +162y =1有相同的长轴，椭圆22ax +22b y =1的短轴长与椭圆212y +92x =1的短轴长相等，则（ ）A.a 2=25,b 2=16B.a 2=9,b 2=25C.a 2=25,b 2=9或a 2=9,b 2=25D.a 2=25,b 2=9 【解析】 ∵椭圆252x +162y =1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆212y +92x =1的短轴长为6，∴a 2=25,b 2=9.【答案】 D4.已知椭圆C ：22ax +22b y =1与椭圆42x +92y =1有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是（ ）A.82x +42y =m 2(m ≠0)B.162x +642y =1C. 82x +22y =1 D.以上都不可能【解析】 把方程82x +42y =m 2写成228m x +224m y =1,则a 2=8m 2,b 2=4m 2,∴c 2=4m 2,∴22a c =84=21,e =ac=22,而椭圆42x +82y =1的离心率为22.【答案】 A5.椭圆2222a y b x +＝1（a ＞b ＞0）的准线方程是（ ）A.y ＝±222b a a + Ｂ.y ＝±222b a a -Ｃ.y ＝±222ba b - Ｄ.x ＝±222ba a -【解析】 ∵椭圆焦点在y 轴上，且c =22b a - ∴椭圆的准线方程为y =±222ba a -.【答案】 Ｂ6.若椭圆上的点P 到焦点的距离最小，则P 点是（ ） A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点 C.不是椭圆的端点 D.以上都不对 【答案】B7.已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0)的两准线间的距离为3316，离心率为23，则椭圆方程为（ ）A.3422y x +=1B.31622y x +=1C.121622y x +=1D.41622y x +=1 【解析】 由c a 22=3316,ca =23，得a 2=16,b 4=4.【答案】 D8.两对称轴都与坐标轴重合，离心率e =0.8，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆的方程是（ ）A.92522y x +=1或92522x y +=1B.92522y x +=1或162522y x +=1 C.162x +92y =1 D.162522x y +=1【解】 设所求椭圆的方程为 2222b y a x +=1(a ＞b ＞0) 或2222bx a y +=1(a ＞b ＞0). 由题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=2222498.0c b a c caa c解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧===435c b a .∴所求椭圆的方程为：92522y x +=1或92522x y +=1.【答案】 A9.已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0)的左焦点到右准线的距离为337,中心到准线的距离为334，则椭圆的方程为（ ） A.42x +y 2=1 B.22x +y 2=1C.42x +22y =1D.82x +42y =1【解析】 由c a 2－(－c )=337,c a 2=334得a 2=4,b 2=1.【答案】 A10.椭圆252x ＋92y ＝1与k x -92＋ky -252＝1（0＜k ＜９）的关系为（ ）A.有相等的长、短轴 Ｂ.有相等的焦距 Ｃ.有相同的焦点 Ｄ.有相同的准线 【解析】 ∵25－k －（９－k ）＝16，∴焦距相等. 【答案】 Ｂ11.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）A.162x ＋92y =1或92x ＋162y =1B.252x ＋92y =1或252y ＋92x =1C.252x ＋162y ＝1或252y ＋162x =1 D.椭圆的方程无法确定【解析】 由题意，a =5,c =3,∴b 2=a 2－c 2=25－9=16,∴椭圆的标准方程为252x ＋162y ＝1或252y ＋162x =1.【答案】 C12.中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A.812x ＋722y =1 B.812x ＋92y =1 C.812x ＋452y =1D. 812x ＋362y =1【解析】 ∵2a =18,2c =31×2a =6,∴a =9,c =3,b 2=81－9=72. 【答案】 A13.已知点（3，2）在椭圆22ax ＋22b y =1上，则（ ）A.点（－3，－2）不在椭圆上B.点（3，－2）不在椭圆上C.点（－3，2）在椭圆上D.无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上【解析】 ∵点（3，2）在椭圆22ax ＋22b y =1上，∴223a ＋222b=1,∴2222)2()3(b a ±+±=1. 即点(±3,±2)在椭圆22ax ＋22b y =1上.【答案】 C14.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cos ∠OFA=135，则椭圆的方程是（ ） A.14416922y x +=1 B.14416922x y +=1 C. 2514422x y +=1或14416922y x +=1 D.14416922y x +=1或14416922x y +=1 【解析】由cosOFA=135，知A 是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.∴13c =135，c=5，b 2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为14416922y x +=1或14416922x y +=1.【答案】D15.椭圆12222=+bx a y (a>b>0)的两焦点为F 1（0，-c ），F 2（0，c ）(c>0)，离心率e=23，焦点到椭圆上点的最短距离为2-3，求椭圆的方程.【解】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-3.又e=a c =23，∴a=2.故b=1. ∴椭圆的方程为42y +x 2=1.16.已知椭圆的一个焦点是F （1，1），与它相对应的准线是x +y －4=0,离心率为22，求椭圆的方程.【解】设P （x ,y ）为椭圆上任意一点，∵椭圆的一个焦点是F （1，1）与它相对应的准线是x +y －4=0,离心率为22, ∴2224)1()1(22=-+-+-y x y x , ∴4(x －1)2+4(y －1)2=(x +y －4)2.即3x 2+3y 2－2xy －8=0为所求.。
椭圆的几何性质
椭圆的简单几何性质【知识概要】1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤， ∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称．若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a c =-．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比ce a=叫椭圆的离心率. ∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆．当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=．1A 2A 2B2AO x y2F5．椭圆的第二定义、准线：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+by a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+bx a y 的准线方程是c a y 2±=．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得：右焦半径公式为exa ca x e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +=--==|)(|||2左．【典例精讲】例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．解：把已知方程化为标准方程22221x y a b+=，5a =，4b =，∴25163c =-=，∴椭圆长轴和短轴长分别为210a =和28b =，离心率35c e a ==，焦点坐标1(3,0)F -，2(3,0)F ，顶点1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．例2 过适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点(3,0)P -、(0,2)Q -；（2）长轴长等于20，离心率等于35． 解：（1）由题意，3a =，2b =，又∵长轴在x 轴上，所以，椭圆的标准方程为22194x y +=． （2）由已知220a =，35c e a ==，∴10a =，6c =，∴22210664b =-=，所以，椭圆的标准方程为22110064x y +=或22110064y x +=． 例3 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆右焦点（记1F 为左焦点），设椭圆标准方程为22221x y a b+=（1a b >>），则22||||||63714396810a c OA OF F A -=-==+=，22||||||637123848755a c OB OF F B +=+==+=，解得：7782.5a = 972.5c = ∴22()()875568107722b a c a c a c =-=+-=⨯≈，所以，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=． x y O ∙∙ 1F 2F A x yO A2B 1B F 图①例4 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为105e =，求m 的值． 解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有5,,5a b m c m ===-，∴5255m -=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有,5,5a m b c m ===-，∴5102553m m m-=⇒=． 例5 （1）求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线． （2）求椭圆81922=+y x 方程的准线方程．解：（1）由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c a x 2=；左焦点)0,(c F -和左准线ca x 2-=（2）椭圆可化为标准方程为：198122=+x y ，故其准线方程为42272±=±=c a y 小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出．例 6 椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，M 到左焦点的距离为 ，M 到右焦点的距离为 .解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：e d MF =||53||11===a c e d MF 5.15.253||11=⨯==∴ed MF 5.1||1=∴MF 又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴==+MF a MF MF 另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为685253505.222=-=-c a 5.868553||||2222=⨯==∴=ed MF e d MF小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例7 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹．解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|8|)2(22=-+-x y x 由化简得1121622=+y x ，故所的轨迹是椭圆．解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以82==c a x 解得4=a ，又因为21==a c e 故所求的轨迹方程为1121622=+y x例8 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线5=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹；解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|5|)2(22=-+-x y x 由化简得0946322=-+-y x x 配方得134)1(22=+-y x ，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）． 解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以52==ca x 解得102=a ，故所求的轨迹方程为161022=+y x ． 例9 （1）求出椭圆方程13422=+y x 和134)1(22=+-y x 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；（2）求出椭圆方程13422=+y x 和134)1(22=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程． 解：因为把椭圆13422=+y x 向右平移一个单位即可以得到椭圆134)1(22=+-y x 所以问题1中的所有问题均不变，均为21,1,3,3=====a c e c b a ． 13422=+y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,2(±，)0,1(±4±=x ． 134)1(22=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,12(+±，)0,11(+±14+±=x ．例10 椭圆13422=+y x 上位于y 轴左侧的部分是否存在一点P ，使点P 到左准线的距离是点P 到两焦点1F 、2F 的距离的比例中项. 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：假设存在，设点()00,y x P ，左准线l ：4-=x ， 所以点P 到左准线的距离40+=x d ，又212PF PF d =，01212x PF +=、02212x PF -=，得()20204144x x -=+ 得 451200-=-=x x 或，与20-≥x 矛盾，所以点P 不存在.【巩固提高】1．椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点的距离为8，那么点P 到右准线的距离是 （A ）25 （B ） 45 （C ） 35 （D ） 425 解：选A ．2．椭圆()012222>>=+b a by a x 上任意一点()00,y x P 到左焦点1F 、右焦点2F 的距离分别为1r 、2r ，椭圆的离心率为e ，则1r 、2r 分别等于（A ） a ex +0、a ex -0 （B ） a ex -0、a ex +0 （C ） 0ex a +、0ex a - （D ） 0ex a -、0ex a + 解：选C ．3．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点 1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，使得02190=∠PF F ，则椭圆的离心率的取值范围是（A ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 （B ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 （C ） ⎥⎦⎤⎝⎛23,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 解：选B ．4．设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（A ）相切 （B ）相离 （C ）相交 （D ）相交或相切解：选B ．设AB 的中点为M ，则M 即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F ，右准线为l ；过点A 、B 、M 分别作出准线l 的垂线，分别记为d d d ,,21由梯形的中位线可知221d d d +=又由椭圆的第二定义可知e d AF =1||e d BF =2||即)(||||21d d e BF AF +=+ 又22||||2||21d d e BF AF AB +⋅=+= 且10<<e 2||AB d >∴故直线与圆相离．5．方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 解：选C ．6．已知椭圆方程为221499x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有 ①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±210)；④ a =49, b =9, c =40， （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 解：选B ．7．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A ）53 （B ）312 （C ）43 （D ）910解：选A ．8．若点P 到两定点F 1(－2, 0), F 2(2, 0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）线段 （D ）两点 解：选C ．9．设椭圆的标准方程为22135x y k k+=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是 （A ）k >3 （B ）3<k <5 （C ）4<k <5 （D ）3<k <4 解：选C ．10．若AB 为过椭圆12222=+by a x 中心的弦，F (c , 0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（A ）b 2 （B ）bc （C ）ab （D ）ac 解：选B ．11．已知椭圆11622=+m y x ，直线x y 22=，如果直线与椭圆的交点在x 轴上的射影恰为椭圆的焦点，则m 的值是（ ）（A ） 2 （B ） 22 （C ） 8 （D ） 32 解：选C ．12．直线l 经过点()2,0M 与椭圆2222=+y x 有两个不同的公共点，那么直线l 的倾斜角的范围是（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26arctan ,26arctan π （B ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,26arctan 26arctan ,0 （C ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛26arctan ,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ππ,26arctan 解：选A.13．以椭圆的右焦点2F 为圆心做圆使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线1MF （1F 为椭圆的左焦点）是圆2F 的切线，则椭圆的离心率是（A ） 22 （B ） 23（C ） 13- （D ） 32-解：选C ．14．一条直线l ：022=+-y x 过椭圆12222=+by a x 的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为 （A ）51 （B ） 52 （C ） 55 （D ） 552 解：选D ．15．已知椭圆13422=+y x 内一点()1,1-P ，2F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上的一个动点，则2MF MP +的最大值为（A ） 54- （B ） 54+ （C ） 53- （D ） 53+ 解：选B ．16．椭圆14922=+y x 的两个焦点 1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，则点P 的横坐标的范围是 解：填⎪⎪⎭⎫⎝⎛-553,553．17．椭圆的两个焦点为()0,41-F 、 ()0,42F ，椭圆上一点P ，若21F PF ∆的最大面积是12，则椭圆的方程是解：192522=+y x ． 18．已知椭圆822=+y mx 与椭圆10025922=+y x 的焦距相等，则m 的值等于 解：179． 19．椭圆81922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，准线方程为 解：18，6，26，322，)26,0(±，)9,0(±)0,3(±，4227±=y ． 20．短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 解：20．21．椭圆12222=+by a x (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为 解：21-．22．把椭圆的长轴AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ =解法一：53==a c e ，设i P 的横坐标为i x ，则i x i 455+-=不妨设其焦点为左焦点 由53||===a c e d F P i 得i i ex a c a x e F P i i i 432)455(535)(||2+=+-⋅+=+=+= 35)721(4372||||||721=++++⨯=+++ F P F P F P ． 解法二：由题意可知1P 和7P 关于y 轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知a F P F P 2||||71=+，同理可知a F P F P 2||||62=+，a F P F P 2||||53=+，a F P =||4故357||||||721==+++a F P F P F P ．23．直线062=+-y x 过椭圆12522=+my x 的左焦点，则椭圆的右准线方程 是 . 解：填325=x ． 24．过椭圆192522=+y x 的右焦点F ，做倾斜角为4π的直线，交椭圆于A 、 B 两点，则弦AB 的长是 .解：填1790． 25．已知椭圆193622=+y x ，过点()2,4P 做直线交椭圆于A 、B 两点，若P 为 线段AB 的中点，则直线AB 的方程是 . 填：082=-+y x ．26．若方程x 2cosα－y 2sinα+2=0表示一个椭圆，则圆(x +cosα)2+(y +sinα)2=1的圆心在第 象限． 解：四．27．椭圆221123x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍． 解：7．28．线段|AB |=4，|P A |+|PB |=6, M 是AB 的中点，当点P 在同一平面内运动时，PM 长度的最大值、最小值分别为 解：3，5．29．方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 表示什么曲线？解：222|2|)1()1(22=++-+-y x y x 122< ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）．所以，方程表示椭圆．30．求过点P (3, 0)且与圆x 2+6x +y 2－91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：2212516x y +=．31．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴的下端点A 长轴的右端点B ，点M 在椭圆上，且x MF ⊥2轴，原点为O ，若AB OM // （1） 求椭圆的离心率；（2） 若点N 为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求21NF F ∠的范围； （3） 过2F 与OM 垂直的弦CD ，若CD F 1∆的面积为320，求椭圆方程.解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M 2,，a b k ac b k AB OM ===2，得22=⇒=e c b ； （2）因为221π=∠AF F ，所以21NF F ∠的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π； （3）22c b =，222c a =，则椭圆22222c y x =+…①、直线CD ：()c x y --=2…②，②代入① 得0222522=--c cy y得 c y y 53421=-，3205342212121211=⨯⨯=-=∆c c y y F F S CD F ， 得 2522==b c 、502=a ，所求椭圆方程是1255022=+y x ． 32．已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值．分析：应如何把||351MF 表示出来解：左准线1l ：3252-=-=c a x ，作1l MD ⊥于点D ，记||MD d = 由第二定义可知：53||1===a c e d MF ⇒ d MF 53||1= ⇒ ||351MF d =故有||||||||35||1MD MA d MA MF MA +=+=+所以有当A 、M 、D 三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：3251+即||35||1MF MA +的最小值是328变式1：||5||31MF MA +的最小值； 解：283283)||35||(3||5||311=⨯=+=+MF MA MF MA 变式2：||||531MF MA +的最小值； 解：52832853|)|35|(|53||||5311=⨯=+=+MF MA MF MA33．已知,A B 为椭圆2222519x y a +=上的两点，2F 是椭圆的右焦点．若228||||,5a AF BF AB +=的中点到椭圆左准线的距离是32，试确定椭圆的方程． 解：由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．FAMD34．已知椭圆的中心在原点，长轴在x 轴上，，直线1=+y x 被椭圆截得的弦AB 的长为22，且弦AB 的中点M 与椭圆的中心O 的连线的斜率为22，求这个椭圆的方程. 解：设椭圆方程)0(222222>>=+b a b a y a x b ，()11,y x A 、()22,y x B ， 弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()021********=-++-+y y y y a x x x x b . ()2121x x y y --=-、0212x x x =+、0212y y y =+、2200=x y ，得222b a =. ()()0122212.1,22222222=-+-+⇒⎩⎨⎧+-==+b x x x y b a y a x b ，由弦长公式得 232=b ，则32=a ，所以椭圆方程为132322=+y x ．35．椭圆)0(222222>>=+b a b a y a x b 的离心率32=e ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 、B 是椭圆上不同的两个点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()0,1Q . （1） 求线段AB 的中点()00,y x M 的横坐标0x ；（2） 若322=+BF AF ，且椭圆上一点P 满足02160=∠PF F ，求椭圆的方程及21PF F ∆的面积解：（1）设()11,y x A 、()22,y x B 弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()02121221212=-++-+y y y y ax x x x b .0212x x x =+、0212y y y =+、11002121-=-∙--x y x x y y ，得2259b a =，得 490=x .（2）1232x a AF -=、2232x a BF -=、292021==+x x x ， 322=+BF AF ，得 53=⇒=b a ，所以椭圆方程是15922=+y x . 设 11r PF =、22r PF =，则()⎩⎨⎧==-+=+16260cos 2,62021222121c r r r r r r . 得 32021=r r ，所以 33560sin 2102121==∆r r S F PF ．36．已知椭圆C 的两个焦点()0,221-F 、()0,222F ，（1） 当直线l 过1F 与椭圆交于M 、N 两点，且MN F 2∆的周长为12时，求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线m 过点()2,0P 与椭圆C 交于A 、B 两点，且以A B 为直径的圆过原点，若存在求直线m 的方程；若不存在，说明理由.解：解：（1）1922=+y x （过程略） （2） 设直线m ：()存在且k k kx y ,02≠+=代人椭圆方程得()027369122=+++kx x k ，0>∆得 3333>-<k k 或. 以A B 为直径的圆过原点，则 OB OA ⊥，设()11,y x A 、()22,y x B得()()()()0421********21212121=++++⇒+++⇒=+x x k x x k kx kx x x y y x x由韦达定理得 ()049172911272222=++-++kk k k ，解得 331±=k 使得 0>∆ 所以满足条件的直线m 的方程是06331=+-y x 或06331=-+y x ．。
1.椭圆的几何性质(简单性质)
e =
c a
a2=b2+c2
已知椭圆方程为16x =400， 例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则 它的长轴长是： 10 ；短轴长是 短轴长是： 8 ； 它的长轴长是 短轴长是
焦距是： 焦距是
6
；离心率等于 离心率等于： 离心率等于
焦点坐标是： 焦点坐标是
(±3, 0) ；顶点坐标是 (±5, 0) (0, ±4) ； 顶点坐标是： 顶点坐标是
x2 y2 + = 1 的两个焦点为 1 、F2 ，过左焦点作 的两个焦点为F 椭圆 45 20
直线与椭圆交于A， 两点， 的面积为20， 直线与椭圆交于 ，B 两点，若△ AB F2 的面积为 ， 求直线的方程。 求直线的方程。
y
（x1 , y1） A
o
（x2 , y2） B F1 F2
x
作业
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 已知椭圆的中心在原点 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（ ， ）， ），求 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点 （3，0），求 椭圆的方程. 椭圆的方程 2 2 x + 2 y = 4 的左焦点作倾斜角为 30 0 2.过椭圆 过椭圆 的直线AB， 求线段AB的长度 的长度. 的直线 ， 求线段 的长度
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点 、
x a
2 2
y2 + = 1( a > b > 0 ) 2 b
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 长轴、短轴：线段 长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短 轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 y
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。
在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。
1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。
椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。
准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。
准线的长度定为2b（短轴）。
椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。
3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。
副轴是短轴，长度为2b。
长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。
4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。
我们把这个距离之和称为焦准距。
对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。
5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。
离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。
当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。
离心率越接近于0，椭圆形状越扁。
6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。
标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。
7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。
即PF1+PF2=2a。
8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)(1)
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以3c＝23，所以 c＝2，b2＝32－22＝5， 所以椭圆的标准方程是x92＋y52＝1 或x52＋y92＝1.
方法总结
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤： (1)确定焦点位置. (2)设出相应椭圆的标准方程. (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数. (4)写出椭圆的标准方程.
04
课堂小结
课堂小结
标准方程 半轴长
焦距 a,b,c关系
离心率
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2 (0<e<1)
THANK YOU
课堂练习
练习：设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长、 短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
02 由椭圆的几何性质求标准方程
例题讲解
例2 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐
标是(3,0)，则椭圆的标准方程为____________.
解：可设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 2a＋2b＝18，
椭圆的简单几何性质
CONTENTS
目 录
01 椭圆的几何性质 02 由椭圆的几何性质求标准方程 03 求椭圆的离心率 04 课堂小结
01
椭圆的几何性质
新知探究
问题1 观察椭圆 ax22＋by22 ＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？ 它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
椭圆的简单几何性质
1椭圆的简单几何性质一、几何性质1.范围：椭圆的范围是b y b a x a ≤≤-≤≤-,2.对称性：椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3.顶点：在椭圆的标准方程里，令y =0，得a x ±=可得A 1（－a ,0）、A 2(a ,0)是椭圆在x 轴上的两个顶点，，同理. 令x =0得y =±b ,所以得到：B 1（0,－b ）、B 2（0,b ）是椭圆在y 轴的两个顶点（1）椭圆上任意一点P （x ，y ）与两焦点构成的三角形称为焦点三角形，周长为2（a+c ）（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足222c b a +=4.离心率：离心率ac e =a b a b a 2221-=-=，（0＜e ＜1）⎩⎨⎧，椭圆越接近圆趋近时，趋近，椭圆越扁平趋近时，趋近001c e a c e 5.椭圆的准线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=c a y y c a x x 22准线线的方程准线线的方程轴上时，当焦点在轴上时，当焦点在二、椭圆的第二定义平面内与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 的点的轨迹是椭圆 三、椭圆的其他几何性质（1）焦准距：椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距，焦准距cb 2=2（2）通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长=ab 2，它是过椭圆焦点的弦中最短的一条弦。
（3）椭圆上到中心距离最远或最近的点：设),(y x P 为椭圆上的任意一点，则当P 在短轴端点处时OP 最短，则当P 在长轴端点处时OP 最长 四、椭圆的焦半径及其应用（1）若椭圆方程为),(,1112222y x P by a x =+为椭圆上任一点，)0,()0,(21c F c F -是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ex a PF e ca x PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ex a PF e x ca PF若椭圆方程为),(,1112222y x P bx a y =+为椭圆上任一点，)0()0(21c F c F ，，-是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ey a PF e ca y PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ey a PF e y ca PF（2）由椭圆的焦半径公式可以推出：如果椭圆上的三点A,B,C 到同一焦点的距离成等差数列，则A,B,C 三点的横坐标（或纵坐标）也成等差数列，这样解决问题时就比较方便。
椭圆的简单几何性质完整版课件
②当m>4时，a＝ m，b＝2， ∴c＝ m－4， ∴e＝ac＝ mm－4＝12，解得m＝136， ∴a＝4 3 3，c＝2 3 3，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为
83 3
，4，焦点坐标为
F10，－2
3
3，F20，2
3
3，顶点坐标为A10，－4
3
3，A20，4
3
3，
B1(－2,0)，B2(2,0)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参 数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ac等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦 点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有 两个．
提醒：与椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为
试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.
[提示] 1将椭圆方程化为标准形式. 2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出a，b，c. 4写出椭圆的几何性质.
[跟进训练] 1．已知椭圆C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短 轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
1234 5
3．已知椭圆C2过椭圆C1：
x2 14
＋
y2 9
＝1的两个焦点和短轴的两个
端点，则椭圆C2的离心率为( A )
A．23
B．
2 2
C．12
D．13
1234 5
4．与椭圆y42＋x32＝1有相同的离心率且长轴长与x82＋y32＝1的长轴 长相等的椭圆的标准方程为________．
椭圆的简单几何性质 课件
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即 c＋ 3c＝所2以a，
c＝ 3－1. a
所以椭圆的离心率为 e＝ 3－1.
【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a,c可直接利用 e 求c解.若已知a,b或b,c
a
可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e c 求解.
的距离为 1 |OF1|，则椭圆的离心率为( )
2
A. 1
B. 3 1
C. 2
D. 2 1
3
2
(3)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直
线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心
率.
【解题探究】1.题(1)由条件 3DF1 DA能得2D到F2什么结 论？ 2.题(2)求解离心率的关键是什么？ 3.题(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什 么？
所以|AF1|= 3c,
所以2a=|AF1|+|AF2|= 3 1 c,
所以 e 3 1.
(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为 AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以 在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°,令|AF1| =x,则|AF2|=2x, 所以 F1F2 AF2 2 AF1 2 3x 2c, 再由椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|=2a=3x, 所以 e 2c 3x 3 .
【探究提示】1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系，取
D(0，b)得3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b). 2.由题意求a,c的值或构造a,c的关系式，求 的c 值.
a
3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几
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标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长
离心率
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
|x|≤ a,|y|≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x 轴、y 轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(m
n)2
(m2 2
n2 )
2(a 2
c2 ).
m, n 是方程 x2 2ax 2(a2 c2 ) 0 的两个根，
y
P
所以 (2a)2 8(a2 c2 ) ≥ 0 .
2c2 ≥ a2
c2 ≥ 1 a2 2
F1 o
F2
x
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
c2 (a c)2
(a c)2 4(a c)2
1
x2 a2
y2 b2
1
所以c2+10ac-3a2=0, 则e2+10e-3=0，
e 2 7 5.
主页
【例
4】设
F1，F2
分别是椭圆
x2 4
y2
1的左右焦点，若
P
是该椭
圆上的一个动点，求 PF1 PF 2 的最大值和最小值．
F1 o
F2
x
2a2 2e2 x02 4c2 ,
x02
2c2 e2
a2
.
a ≤ x0 ≤ a,
0≤
2c2 e2
a2
≤ a2.
e≥ 2 . 2
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
向量、方程组、不等式
2
y
P
F1 o
F2
x
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
正弦定理、三角函数
(Ⅶ)设 PF1F2 ,PF2F1 ,
| PF2 |
sin
| PF1 |
sin
| F1F2 | sin 90
y
;
焦点坐标是：(0, 5) ;顶点坐标是：(0, 6) (1, 0);
外切矩形的面积等于： 4 6 。
解题步骤： 1、由椭圆方程化为椭圆标准方程：
求a、b. x2 y 2 1
6
2、确定焦点的位置和长轴的位置.
例2 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1 (1) c=3,e= 3 , 焦点在x轴上；
,1]
2
sin(
4
)
(1,
2]
主页
椭圆
x2 9
y2 4
1 的焦点为 F1,F2 ，点
P 为其上的
动点，当 F1PF2 为钝角时，则点 P 的横坐标的取值
范围是___(__3_5_5_,_3_5_5_).
y
4xx2
y2 2 9
y2
5,
36,
x2 9 5
顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴
A1
(-a，0)
F1
和短轴。
b
oc
a A2(a，0)
F2 x
B1 (0,-b)
a、b、c分别叫做椭圆的长
半轴长、短半轴、长半焦
距。
四个顶点坐标分别为(-a, 0) (a, 0) (0, -b) (0, b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3， 所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233， (，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)． 设设设设PPP((x(xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，
5.椭圆C：x 2 y2 1
，
94
若三角形PF1F2是直角三角形，则PF1:PF2是多少？
焦点三角形
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且
PF1 PF2 ，求圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1
o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2、椭圆的对称性
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
Y
椭圆上任意一点P(x,y)
关于y轴的对称点是 P1 (-x, y)
x2 y2
a2
b2
x2 y2 1 a2 b2
P1（-x，y） O
即 P1 在椭圆上,则椭圆 关于y轴对称
同理椭圆关于x轴对称 关于原点对称
3．(2011·温州五校第二次联考)已知 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆xa22
＋by22＝1(a>b>0)上的一点，若 PF1 ·PF2 ＝0，tan∠PF1F2＝12，则
此椭圆的离心率为
1
2
答案： D
A.2
B.3
()
C.13
D.
5 3
4.若过F1且与长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，
若三角形ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是多少？
基本不等式
(Ⅲ)设 PF1 m, PF2 n ，
则mn
2a
4a2 (m n)2 4c2 m2 n2
e2
m2 n2 (m n)2
e2
m2 n2 (m n)2
1 (m n)2
≥2 (m n)2
1 2
y
P
e≥ 2 . 2
F1 o
F2
x
主页
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
同前
e c a
同前
a、b、c的关系 a2=b2+c2
同前
三 、例题讲解
例1、已知椭圆方程为 x2 y2 1 ，则
25 16
它的长轴长是：10 ；短轴长是： 8 ；
y
(Ⅴ)设 P( x0 , y0 ) ， F1(c, 0), F2(c, 0).
P
PF1 PF2 FP1 F2P 0
( x0 c, y0 ) ( x0 c, y0 ) 0
F1 o
F2
x
x02 y02 c2
又
x02 a2
y02 b2
1
x02
2a2c2 c2
PF1 PF2 FP1 F2P 0
(a cos c,bsin ) (a cos c,bsin ) 0,
a2 cos2 c2 b2 sin2 0
a2 c2 c2 sin2
sin2
a2 c2 c2
≤1
a2 ≤ 2c2 e ≥ 2 .
3 (2) 长轴长等于20，离心率等于 5
(3) 长轴是短轴的三倍，椭圆经过点P(3，0)
离心率
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该
椭圆的离心率是
4
3
A.5
B.5
(B )
C.25
D.15
2．(教材习题改编)已知椭圆x52＋my2＝1 的离心率 e＝ 510，则 m 的值
为________．
则则则则＝P＝P＝＝PFFxFFx1x2x12＋P121＋P2＋PF＋ PFyFyF22y则2＝2y－2＝2－＝2－2＝＝－P(3(3－(3－＝F－＝x(＝31－2x＝＋Px3x232F＋3－2＋－xy＋－23221＝x－1＋x－1－x,－,－－,－(3－1－xx4x＝y4x－2y,42)y－－2)－·)－x·(·(x34(23y3＋2－3＝3)＝ －3＝3－·－(1x14－143－14(,x(－x3＝(3x,3,3－xx,－－x4－xy22142－)2y－y－(·x)y()38),38－x8))＝3．)2．．－－y14)(x83,)－x．2－y) 8)．
P
F1 o
F2 x
主页
[
2 2
,1)
45
主页
【3】（ 2010 全国卷 I 理科 16）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，
B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D，且 BF 2FD ，
3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
P3（-x，-y）
P（x，y） X
P2 x, y
结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
3、椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？，说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)