第8章 常微分方程87简单应用

2z x 2x 2 f ( u ) e si n y f ( u ) e si n y, 2 x
2z x 2x 2 f ( u ) e sin y f ( u ) e cos y, 2 y 2z 2z 2x e z, 代入原方程，得 2 2 x y x 2x 2 [ f (u)e sin y f (u)e sin y]
Qn ( x ) sin x ]型（ 0, 1, Pl ( x ) 2, Qn ( x ) x）
由于 i 0 i是特征根，所以设其特 解形式
y x( Ax B) cos x x(Cx D) sinx.
代入微分方程得
2 此方程的特征方程为 r 1 0,
求f ( x )。
例 1 设可微函数 y f ( x)满足方程

解
x
0
xf ( t )dt ( x 1)tf ( t )dt,
0
x
求函数y f ( x )。
原方程是一个带有变上限积分的方程，在其两端分别 对x求导，得

x
0
f (t )dt x f ( x ) tf (t )dt,
2 0
x
上式两端再对x求导，得
x f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
2
x 2 f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
这是变量可分离方程，分离变量并积分得
f ( x ) 1 3x f ( x ) dx x 2 dx, 1 3 l n f ( x ) ( 2 )dx, x x 1 l n f ( x ) 3 l n x c1 x
二、利用微分方程求解函数习例
例 1 设可微函数 y f ( x)满足方程

x
0
xf ( t )dt ( x 1)tf ( t )dt,
0 x
x
求函数y f ( x )。
例2 设f ( x) x sin x ( x t ) f (t )dt,
0
其中f ( x)连续，求f ( x).
所以 F ( x ) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F ( x) 2 F ( x) 4 e 2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2 d x
2d x 4 e e d x C 2x
e 2 x 4 e 4 x d x C
f ( x) g ( x) 2 e x .
(1) 求 F ( x ) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出 F ( x )的表达式 .
解: (1)
(2003考研)
F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g 2 ( x) f 2 ( x) [ g ( x) f ( x)]2 2 f ( x) g ( x) (2 e x ) 2 2 F ( x)
处的切线MT与垂线MP及x轴所构成的三角形 MTP 1 的面积与曲边三角形 OMP之比等于常数 k ( ). 2
二阶可导, 且
上任一点 P ( x , y ) 作该曲线的 切线及 积记为
f ( x) g ( x) 2 e x .
(1) 求 F ( x )所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出 F ( x )的表达式 . (2003考研)
例5 已知 ( ) 1, 试确定 ( x)使曲线积分
y L [sin x ( x )] x dx ( x )dy与路径无关。
f ( x ) c1e
x
c2 e .
x
三、微分方程在几何上的应用习例
二阶可导, 且
上任一点 P ( x , y ) 作该曲线的 切线及 积记为
x 轴的垂线,
上述两直线与
x 轴围成的三角形面积
区间[ 0, x ]上,以
为曲边的曲边梯形面积记为 ( 1999 考研 )
例9 在上半平面求一条上凹的曲线，其上任一点
0
x
左端的函数f ( x)仍然可导，再对 x求导得
f ( x ) x（ sinx ) cos x cos x f ( x ),
即f ( x )满足微分方程 y y 2 cos x x sinx.
特征根为r1, 2 i , 方程的自由项为f ( x ) cos 2 x , 属于ex [ Pl ( x ) cos x
1、根据问题的实际背景，利用数学和有关学科知识，建 立微分方程，确定定解条件；
2、根据方程的类型，用适当的方法求出方程的通解；
3、对所得结果进行具体分析，解释其实际意义。如果 它与实际相差太远，则就应该修改模型，重新求解。
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 利用物理规律 建立微分方程 ( 共性 ) 利用几何关系 初始条件 确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还有衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
例6
已知f (t )在[0， ）上连续 , 且满足方程
f (t ) e
求f (t )。
解 由于
2
4t 2

2
x y 2 4t 2

1 f( 2
x 2 y 2 )dxdy,
这是一个含二重积分的函数方程，显然 f(0)=1,
x y 4t

2
2
1 f( 2
d
2t
x y )dxdy
例6 已知f (t )在[0， ）上连续 , 且满足方程
f (t ) e
4t 2

2
x y 2 4t 2

1 f( 2
x 2 y 2 )dxdy,
求f (t )。
例7 已知f (u)具有二阶连续偏导数 , 且z f (e x sin y)满足方程
2z 2z 2x e z, 2 2 x y
0
x
f ( x ) x cos x sinx f ( t )dt.
0
x
可得f (0) f (0) 0,
由此确定通解中的任意常数
c1 c2 0,
1 2 3 因此，f ( x ) x cos x x si n x . 4 4
例3 设 ( x) e x 0 ( x u ) du, (0) 0,
x
x
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题:
答案:
例4 设 F ( x ) f ( x ) g( x ), 其中函数 f ( x ), g( x ) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
例3 设 ( x ) e x ( x u )d u, (0) 0, 0
x x
这里的“函数方程”包括变上限积分、重积分、线面 积分的方程以及偏微分方程等。
例4 设 F ( x ) f ( x ) g( x ), 其中函数 f ( x ), g( x ) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
f ( x ) x sinx x f (t )dt tf (t )dt,
0 0 x x
左端的函数f ( x)也可导。先将方程变形 为
两端对x求导，得 x f ( x ) x cos x sinx xf ( x ) f (t )dt xf ( x ),
0
即
f ( x ) x cos x sinx f ( t )dt.
P( x, y)处的曲率等于此曲线在 该点的法线段 PQ长度 的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点 (1,1)处的切 线与x轴平行.
例10 在连接点A(0,1)和B(1,0)的一条上凸的曲线上任取一
点P( x, y),已知曲线与弦 AP之间的面积为 x3，求此曲线方程 .
例11 求经过原点的曲线族，在其上任一点M
这是一个一阶线性方程，其通解为
8tdt 4t 2 8tdt f (t ) e [ 8te e dt c]
e e
4t 2 4t 2
[ 8te
4t 2
e
4t 2
dt c ]
4t 2
[ 8tdt c ] e
[4t 2 c]
由f (0) 1, 可得c 1, 所以 f (t ) e
这是一个一阶线性方程，其通解为
( x) e

1 dx x
1 x dx [ si n xe dx c ] x
1
1 1 [ sin x xdx c ] x x
1 [ si n xdx c ] x 1 1 [ si n xdx c ] [ cos x c ]. x x 由 ( ) 1,可得c 1, 所以 1 ( x ) [ 1 cos x ]. x
高等数学A
第8章 常微分方程
8.4 微分方程的简单应用
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
8.4
微 分 方 程 的 简 单 应 用
微分方程的简单应用
应用微分方程解决实际问题的一般步骤 利用微分方程求函数习例1-7 微分方程在几何上的应用习例8-11 微分方程在物理和力学上的应用习例12-13
一、应用微分方程解决实际问题的一般步骤
f ( x) e

1 3 ln x c1 x
1 x
c f ( x) 3 e x
, (c e c1 )
例2 设f ( x) x sin x ( x t ) f (t )dt,
0
x
其中f ( x)连续，求f ( x).
解
因为f ( x)连续，所以方程的右端 是可导的，因而
[ f (u)e x sin y f (u)e 2 x cos2 y] e 2 x z,
f ( u) f ( u) 0.
这是一个二阶常系数齐次方程，其特征方程为
r 2 1 0, 特征根为r1， 2 1.
f (u) c1e u c2e u ,
2 2

2
0
d
2t
0
1 f ( r )rdr 2

2
0
Leabharlann Baidu
0
2t 1 1 f ( r )rdr 2 0 f ( r )rdr, 2 2
所以
f (t ) e
4t 2
2
2t
0
1 f ( r )rdr, 2
两端对t求导，得
f (t ) e
4t 2
8t 8tf (t ),
1 3 A , B 0, C 0, D . 4 4
故其特解为
1 2 3 y x cos x x si n x . 4 4
从而方程的通解为
1 2 3 y c1 cos x c2 si n x x cos x x si n x . 4 4
注意到，由
f ( x ) x sin x ( x t ) f ( t )dt,
e 2 x C e 2 x 将 F (0) f (0) g (0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F ( x) e e
2x
2 x
例5 已知 ( ) 1, 试确定 ( x)使曲线积分
y L [sin x ( x )] x dx ( x )dy与路径无关。 y 解 令 P [si nx ( x )] , Q ( x ). x P Q 1 由题意知应有， , 故有[sinx ( x )] ( x ),即 y x x 1 1 ( x ) ( x ) sin x . x x
4t 2
[4t 2 1].
例7 已知f (u)具有二阶连续偏导数 , 且z f (e x sin y)满足方程
2z 2z 2x e z, 2 2 x y
求f ( x )。
解 这是一个偏微分方程，可通过多元函数微分法 因为
化为常微分方程来解。
z z x f ( u)e si n y , f ( u)e x cos y, x y