连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系
第3章：离散时间信号的傅里叶变换
DTFT的性质 的性质
线性：若 x1 ( n ) → X 1 (e jω ), x 2 ( n ) → X 2 (e jω )，则 线性：
α x1 ( n ) + β x 2 ( n ) → α X 1 ( e j ω ) + β X 2 ( e j ω )
时移： 时移：若 x ( n ) → X ( e jω )，则 x ( n − n0 ) → e − jωn0 X (e jω ) 奇偶虚实对称： 奇偶虚实对称： 为实信号， 若 x ( n )为实信号，则（ 1 X R ( e jω ) = X R ( e − jω ); ） (3) X * ( e jω ) = X (e − jω ); X I ( e jω ) (5)ϕ (ω ) = arctan = −ϕ ( − ω ); jω X R (e )
200
0 -200
0
200
400 f/Hz
600
800
1000
的确出现了原信号频率分量。 的确出现了原信号频率分量。 问题: 问题 (1)-f0处未出现频率分量 (2)出现 出现2pi(或fs)周期性 出现 或 周期性 (3)其他分量 其他分量
250 200
其他分量
150 100 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
第3章 章 离散时间信号的傅里叶变换
3.1 连续时间信号的傅里叶变换 3.2 离散时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换(DTFT) 3.3 连续时间信号的抽样 3.4 离散时间周期信号的傅里叶级数 3.5 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 3.6 用DFT计算线性卷积 计算线性卷积 3.7 与DFT有关的几个问题 有关的几个问题 3.8 关于正弦信号抽样的讨论 3.9* 二维傅里叶变换 3.10 希尔伯特变换 3.11 与本章内容有关的 与本章内容有关的MATLAB文件 文件
离散时间傅里叶变换.
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
傅里叶变换关系
傅里叶变换关系
傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、声学、光学等领域。
它可以将一个连续或离散的信号分解为一系列不同频率的正弦波，并得到每个正弦波的振幅和相位信息。
傅里叶变换关系指的是连续时间信号和离散时间信号之间的傅
里叶变换公式。
对于连续时间信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：
X(ω) = ∫[0,∞) x(t) e^(-jωt) dt
其中，ω是频率，j是虚数单位。
这个公式表示，将连续时间信号x(t)分解为无穷多个频率为ω的正弦波后，每个正弦波的振幅为X(ω)，相位为-e^(-jωt)。
对于离散时间信号x(n)，它的傅里叶变换X(k)定义为：
X(k) = Σ[n=0,N-1] x(n) e^(-j2πnk/N)
其中，N是信号的采样点数，k是频率。
这个公式表示，将离散时间信号x(n)分解为N个频率为k的正弦波后，每个正弦波的振幅为X(k)，相位为-e^(-j2πnk/N)。
傅里叶变换关系的重要性在于，它使我们能够将信号从时域转换到频域，并对信号进行频域分析。
通过分析信号在不同频率上的响应，我们可以了解信号的特性和结构，从而更好地理解和处理信号。
- 1 -。
离散时间傅里叶变换
X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
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傅里叶变换
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傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以 以其名字来命名以示纪念。
目录
1 中文译名 2 应用 3 概要介绍 4 基本性质
4.1 线性性质 4.2 平移性质 4.3 微分关系 4.4 卷积特性 4.5 帕塞瓦尔定理 5 傅里叶变换的不同变种 5.1 连续傅里叶变换 5.2 傅里叶级数 5.3 离散时间傅里叶变换 5.4 离散傅里叶变换 5.5 在阿贝尔群上的统一描述 5.6 时频分析变换 5.7 傅里叶变换家族 6 常用傅里叶变换表 6.1 函数关系 6.2 平方可积函数 6.3 分布 6.4 二元函数 6.5 三元函数 7 参见 8 参考资料 9 外部链接
另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F(−ω) = F*(ω)成立.
傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。 对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
其中 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
目录基本性质41线性性质42平移性质43微分关系44卷积特性45帕塞瓦尔定理傅里叶变换的不同变种51连续傅里叶变换52傅里叶级数53离散时间傅里叶变换54离散傅里叶变换55在阿贝尔群上的统一描述56时频分析变换57傅里叶变换家族常用傅里叶变换表61函数关系62平方可积函数63分布64二元函数65三元函数外部链接中文译名fouriertransform或transformedefourier法文有多个中文译名常见的有傅里叶变换傅立叶变换付立叶变换傅利葉轉換傅氏轉換及傅氏變換等等
基础知识积累—傅里叶变换
三、傅里叶变换
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数 （正弦函数或余弦 函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不 同的变体形式， 如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热 过程的解析分析的工具被提出的。
变换提出
傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是 Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier 对热传递很感兴趣，于 1807 年在法国科学 学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有 争议性的决断： 任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审 查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉 普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此 后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号， 如 在方波中出现非连续变化斜率。 法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅 里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破
的傅里叶变换为
，且其导函数
的傅里叶变换存在，则
即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。更一般地，若 的 阶导数 的傅里叶变换存在，则
即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子
。
卷积特性
若函数 以及 都在 上绝对可积，则卷积函数为：
即傅里叶变换存在，且 Parseval 定理以及 Plancherel 定理 若函数 有： 以及 平方可积，二者的傅里叶变换分别为 与 ，则
离散时间傅里叶变换
离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。
考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。
下图给出了这种类型的⼀个信号。
由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。
随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。
⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。
现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。
信号处理中傅里叶变换简介
傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f（x），可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开.泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式,本质上自变量未改变,仍为x,而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式,同时将自变量由x变成ω,且由于三角函数处理比较简单,具有良好的性质,故被广泛地应用在信号分析与处理中,可将时域分析变换到频域进行分析。
信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数)、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换)、DFS(离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换)。
通过对连续非周期信号x c（t)在时域和频域进行各种处理变换,可推导出以上几种变换,同时可得出这些变换之间的关系。
以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。
1、CFS(连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x）可展开为由此类比，已知连续周期信号x（t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理.故CFS图示如下：Figure 错误!未定义书签。
理论上，CFS对于周期性信号x（t）在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。
在实践中，只要n取值范围足够大,就可以保证在某一点附近对x(t）展开都有很高的精度。
2、CFT（连续时间傅里叶变换)连续非周期信号x（t），可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。
当然，从时域上也可以反过来看成x（t)的周期延拓。
将x（t)进行CFS展开,有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此,定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT:CFT-1：x（t)是信号的时域表现形式,X（jΩ）是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。
CFT即将x（t）分解,并按频率顺序展开,使其成为频率的函数。
上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）.CFS中的D n与CFT中的X（jΩ）之间有如下关系即从频域上分析,D n是对X（jΩ)的采样（可将Figure 1与Figure 2进行对比）.CFT图示如下：Figure 错误!未定义书签。
离散时间傅立叶变换(DTFT)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
arg[ X (e j )] (N 1) arg[sin(N / 2)]
2
sin( / 2)
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3
xe (n) xe (n)
xo (n) xo(n)
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
（4）对序列x(n)旳X(ejω)
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e-jω)
X e (e j
)
对比上面两公式， 左边相等， 所以得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。
共轭反对称序列旳性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列
5－j －5＋j
d
5、时域卷积定理
设
y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
时域卷积， 频域乘法
证明：
令k=n-m
y(n) x(m)h(n m)
m
Y (e j ) FT[ y(n)]
傅里叶变换
傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为? x [k ] = N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π –––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
通常以符号F表示这一变换，即? x = Fx 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1 ––N N - 1 Σ k = 0 e i 2 π –––––N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为：x = F -1 ? x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。
在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和1/N。
有时会将这两个系数都改成1/ √ ––N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。
从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。
由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。
数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。
设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。
x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。
类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
(整理)离散傅里叶变换
第三章离散傅立叶变换(DFT)3．1 引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。
为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。
而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。
)一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。
二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数设f(t)代表一个周期为T 1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n F ，f(t)和n F 组成变换对，表示为:tjn n n e F t f 1)(Ω∞-∞=∑=（112Ω=πT ）dte tf T F TT t jn n ⎰-Ω-=221111)(1注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T 表示（采样间隔）。
采样脉冲信号的频率为Ts π2=Ω可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换正变换：DTFT[x(n)]=()()j nj n X e x n eωω∞-=-∞=∑反变换：DTFT-11[()]()()2j n j j X e x n X e e d πωωωπωπ-==⎰)(ωj e X 级数收敛条件为|()j nn x n eω∞-=-∞∑|=∞<∑∞-∞=n n x )(可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。
《信号与系统》第五章
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
傅里叶变换算法详细介绍.
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。
感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。
/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。
这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。
ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
傅立叶变换论文
傅里叶变换摘要本文旨在分析傅里叶变换的起源、分类及应用。
本文从四个角度来分析傅里叶变化，分别是时域连续非周期、时域连续周期、时域离散非周期和时域离散周期。
由连续时间信号进行理想抽样抽样的离散周期序列，引入DFT进行处理实现了计算机处理信号得出信号的频谱。
关键字：傅里叶变换、DFT 、理想抽样AbstractThis article aims to analyze the origin, classification and applicationof Fourier transform. From the perspective of four Fourier transform,Arenon-periodic continuous time domain, time domain successive cycles, discrete non-periodic time-domain and time-domain discrete cycles. Ideal sampling discrete periodic sequence by sampling a continuous time signal, DFT processing is introduced and a computer processing the signal spectrumof the signal derived.Keywords: Fourier transform, DFT, over a sample一、引言傅立叶是一位法国数学家和物理学家，原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成，而傅里叶变换是一种将时间转化为频率的变化。
离散傅里叶变换
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
3.2 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1, , 7
8
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 ,L ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
x(n)=xep(n)+xop(n) 根据复共轭序列的DFT可得
D F T xepn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k R e X k D F T xo pn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k jIm X (k)
因此
X k = D F T x n D F T x e p n x o p n X R k j X I k
连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系
连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系对于连续限带（B ）的时间信号x (t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率f s =1/T s = 2B'>2B ），其样点为x n =x (nT s )。
可以由样点序列进行内插来恢复原始信号x (t)：()()()sin 2')s nx t x nT c B t n =-∑ (1)证明：抽样采用理想冲击脉冲串：()()s T s t t nT δδ=-∑()()()s s T x t x t t δ=()()ssnx nT t nT δ=-∑ (2)其中2B'=1/T s 。
由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号x s (t)的傅里叶变换为：1()()s k ss k X f X f f T T δ⎛⎫=*- ⎪⎝⎭∑ (3) 其中*表示连续的卷积运算。
于是得到()1s k ss k X f X f T T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑sks k f X f T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑(4)即理想抽样信号在频域是原信号x (t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周期为1/T s 。
其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（《信号与系统》）/樊昌信先生（《通信原理》）/周炯盘先生（《通信原理》）。
本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽样定理不再赘述。
在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B 。
理想低通滤波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=()2'fB ∏，它对应的时域单位冲激响应函数h(t)=2B'sinc(2B't)为内插函数。
其中内插函数sinc 函数的定义为：()()sin sin x c x xππ=(5) 于是有()()1()s sX f X f H f f =(6) 对上式作傅立叶反变换，利用变换的卷积性质，以及h (t)的定义，得()()()s s x t T x t h t =* (7) 把T s h(t)作为新的h'(t)，即h'(t)=2B'T s sinc(2B't)= sinc(2B't)，则()()()'s x t x t h t =* (7')代入x s (t)的表达式(2)，以及h'(t)的表达式，到(7)中，得()()()'()s s n x t h t x nT t nT δ⎡⎤=*-⎢⎥⎣⎦∑()()()2'sinc 2B't *s s n B T x nT t nT δ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑()s nx nT =∑()()sin 2's c B t nT -()()s i n 2's nx n T c B t n =-∑ （8） ()'()s s nx nT h t nT =-∑ (8’) （8）式即为内插公式。
信号与系统四种重要变换的联系和区别
知识文库 第20期238信号与系统四种重要变换的联系和区别林晓伟1 四种重要变换的概念联系信号的主要作用为传播信息，因此人们对信号的关注重点为该信号所携带的信息。
而信号所携带的信息存在于其各个频率分量中。
所以我们在第三章中讨论了周期信号的傅里叶级数分析，以傅里叶级数的方式分析了周期信号各频率分量所占的比重。
然而，在自然界中，我们所遇到的信号不可能是理想的周期信号，而是有限能量的信号。
因此，我们将周期信号的傅里叶级数推广到了非周期的有限能量信号的傅里叶变换。
随着时代的发展，我们对信号的需求由连续时间的模拟信号转移到了离散时间的数字信号中（模拟信号刚干扰能力较差，取样频率大于二倍的奈奎斯特频率信号就不会失真）。
所以我们的研究方向从连续时间信号（模拟信号）傅里叶变换转移到了离散时间信号（数字信号）傅里叶变换中。
傅里叶分析可以解决信号分析中的许多问题，然而傅里叶分析也有其局限之处。
例如，傅里叶分析并不能适用于不稳定信号的分析。
因此我们需要将傅里叶分析进一步推广。
相应的，连续时间傅里叶分析推广到了拉普拉斯变换；离散时间傅里叶变换推广到了z 变换。
这两种变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具。
以上是DTFT、CTFT、LT 与ZT 的简要概述及其概念上的联系。
可以简述为：将CTFT 推广可得到LT，将DTFT 推广可得到ZT，而将CTFT 离散化可得到DTFT，将LT 离散化可得到ZT。
2 四种重要变换的具体联系四种变换都具有相似的性质，具体为线性、时移、频移、共轭、时间反转、时间尺度变换、时域微分，积分（离散形式为差分）、频域微分，积分等。
以综合等式及分析等式为基础，运用这些性质可以获得一系列基本变换对，并由这些基本变换对得到一系列变换对从而对信号进行高效的分析。
可以简要的说明：拉普拉斯变换将频域从实数推广到了复数，频域也从实轴推广到了复平面，因此连续时间傅里叶变换成为了拉普拉斯变换的一种特例。
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连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系
对于连续限带（B ）的时间信号x (t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率f s =1/T s = 2B'>2B ），其样点为x n =x (nT s )。
可以由样点序列进行内插来恢复原始信号x (t)：
()()()sin 2')s n
x t x nT c B t n =-∑ (1)
证明：
抽样采用理想冲击脉冲串：()()s T s t t nT δδ=-∑
()()()s s T x t x t t δ=
()()s
s
n
x nT t nT δ=
-∑ (2)
其中2B'=1/T s 。
由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号x s (t)的傅里叶变换为：
1
()()s k s
s k X f X f f T T δ⎛⎫
=*
- ⎪⎝
⎭∑ (3) 其中*表示连续的卷积运算。
于是得到
()1s k s
s k X f X f T T ⎛⎫
=
- ⎪⎝
⎭∑
s
k
s k f X f T ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭∑
(4)
即理想抽样信号在频域是原信号x (t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周
期为1/T s 。
其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（《信号与系统》）/樊昌信先生（《通信原理》）/周炯盘先生（《通信原理》）。
本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽样定理不再赘述。
在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B 。
理想低通滤
波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=()2'
f
B ∏，它对应的时域单位冲激响应函数
h(t)=2B'sinc(2B't)为内插函数。
其中内插函数sinc 函数的定义为：
()()
sin sin x c x x
ππ=
(5) 于是有
()()1
()s s
X f X f H f f =
(6) 对上式作傅立叶反变换，利用变换的卷积性质，以及h (t)的定义，得
()()()s s x t T x t h t =* (7) 把T s h(t)作为新的h'(t)，即h'(t)=2B'T s sinc(2B't)= sinc(2B't)，则
()()()'s x t x t h t =* (7')
代入x s (t)的表达式(2)，以及h'(t)的表达式，到(7)中，得
()()()'()s s n x t h t x nT t nT δ⎡⎤
=*-⎢⎥⎣⎦
∑
()()()2'sinc 2B't *s s n B T x nT t nT δ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦∑
()s n
x nT =∑()()sin 2's c B t nT -
()(
)s i n 2's n
x n T c B t n =-∑ （8） ()'()
s s n
x nT h t nT =-∑ (8’) （8）式即为内插公式。
同（1）。
证毕。
对（8’）式进行傅里叶变换，得
()2()'()j ft s s n X f x nT h t nT e dt π∞
--∞
⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
∑⎰
2()'()j ft s s n
x nT h t nT e dt π∞
--∞
=-∑⎰
2'()()j ft s s n
x nT h t nT e dt π∞
--∞
-=⎰∑
n212'2'()
s
j fT s n
f B B T e
x n π-⎛⎫ ⎪⎝⎭
=∏∑ （时延性质）
n221(),
2
s
j T s
s fTs n
s
f x nT e f f πωπ-==
≤
∑ (9) ()
1(),2j j n
s n
s X e f x n e f f ω
ω-=
≤∑
(10) 而（10）式中的后面的和项就是离散序列x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT ）。
其中2,[,]s fT ωπωππ=∈-。
而在用快速傅里叶变换FFT 算法计算时，计算的是()j X e ω，所以算出结果来之后根据(10)要除以f s 。
于是在[-fs/2, fs/2]这个范围内，得到的便是X(f)的频谱密度
所在的范围。