理论力学：第13章 虚位移原理及分析力学基础

第13章 虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。

在固体力学、结构力学中应用较多。

主要思路∶在讲本章时，先不写本章题目，而是在黑板上给出下面静力学问题（图13-1），让学生思考如何解，再一起求解。

进一步看更复杂的结构（图13-2），结论是∶用传统静力学的方法很繁。

再提示如能直接建立P 、Q 关系最好，从而避开众多反力。

用什么理论呢?静力学的方法已被否定，运动学不能解决受力问题，动力学中动量、动量矩定理必须包含反力，不行；动能定理呢?d F T W δ=∑，而d 0T =，则0F W δ∑=，即虚位移原理。

具体如下：1. 考虑如下问题的求解。

如图19-1，系统平衡。

已知Q 、l 、α，求P 。

问题：用几何静力学方法如何求解？ （1）整体：()0O m F ∑=→C N （2）E 点（或BE 、AE 及重物）→BE S（3）BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见，对此类题目，用几何静力学求解较繁。

如图13-3示结构，用此种解法更繁。

因为：①要取多个分离体，画多个受力图；②引入多个中间未知量，要列多个方程。

2. 分析此种结构特点，引入新的求解思想。

结构特点：几何可变体系。

可否直接建立P 和Q 的关系？显然要从动力学方程入手。

为避免出现不必求的各约束力，可考虑动能定理。

假设系统有一小的位移，由动能定理：d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡，动能无变化，d 0T =，则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ，故建立了简单的方程，可求P 。

此便是虚位移原理的思想。

严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。

13.1 约束 约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体； 此处讲的约束——约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指限制条件。

一、 约束和约束方程自由质点系：运动不受任何限制。

非自由质点系：运动受到限制——约束。

这种限制条件用数学方程表示即约束方程。

二、 约束的运动学分类从三方面理解：概念、实例和约束方程。

常有以下分类方法： 1. 几何约束和运动约束几何约束——只限制质点或质点系在空间的位置，约束方程为位置坐标的代数方程（不含位置坐标的导数）； 单摆：222x y l += 曲柄连杆机构：222222,()()A A B A B A B x y r y x x y y l +==-+-=运动约束——除位移方面的限制外，还有速度或角速度方面的限制，约束方程为位置坐标的微分方程（或速度、角速度及位置坐标的代数方程，显含位置坐标的导数）。

滚子纯滚动：,O O y r v r ω== 2. 定常约束和非定常约束定常约束——约束方程中显含时间t ；（如前） 非定常约束——约束方程中不显含时间t 。

变摆长单摆：22200()x y l v t +=- 3. 完整约束和非完整约束完整约束——约束方程中不包含坐标对时间的导数，或虽包含，但可积（转换为有限形式）；（如前）非完整约束——约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可积。

二质点追踪问题：A B A A B A yy y xx x -=- 4. 双面约束（固执约束）和单面约束（非固执约束）双面约束（固执约束）——不仅能限制质点沿某一方向的运动，还能限制相反方向的运动，约束方程为等式方程； 如前单摆、曲柄连杆机构中的滑块。

单面约束（非固执约束）——只能限制质点沿某一方向的运动，约束方程为不等式方程。

绳连单摆：222x y l +≤此处只讨论完整、定常、几何、双面约束（或具有双面约束性质的单面约束），其约束方程可用含各质点直角坐标的代数方程表示。

13.2 自由度 广义坐标一、 自由度具有完整约束的质点系，确定其位置的独立坐标数，称为自由度或自由度数。

自由度的计算： 1. 以质点作为基本单元质点系有n 个质点，s 个约束，则自由度k=3n-s （空间）或k=2n-s （平面） 2. 以刚体作为基本单元刚体系有N 个刚体，s 个约束，则自由度k=6N-s （空间）或k=3N-s （平面） 注：包含质点和刚体的质点系的自由度，可结合两种算法计算。

实用方法：对自由度较少的质点系，可按下述方法确定：固定质点系中任意质点或刚体的任一方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为1；固定质点系中任意质点或刚体的任二方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为2；依次类推。

二、 广义坐标确定质系位置的独立参变量，称为广义坐标。

可为任意坐标，如直角坐标和非直角坐标。

完整约束下，广义坐标数＝自由度数目。

引入广义坐标的意义：用直角坐标和约束方程确定质点系的运动： 3n 个坐标：i i i x y z ，，，1,2,,i n = s 个约束方程：(,,)0i i i i f x y z =，1,2,,j s = 若用广义坐标表示：只有k=3n-s 个广义坐标：1,2,,3h q h k n s ==- ， 所有直角坐标可用广义坐标表示： 121212(,,,)(,,,) 1,2,,(,,,)i i k i i k ii k x x q q q y y q q q i n z z q q q =⎧⎪==⎨⎪=⎩ 或12(,,,) 1,2,,i i k r r q q q i n ==13.3 虚位移 虚功一、 虚位移在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。

虚位移与实位移的比较：虚位移实位移1. 为约束所容许 1. 为约束所容许2. 总为无限小2. 可以是有限值3. 只与约束条件有关，与力、时间、初条无关，是一个纯粹的几何概念 3. 除与约束条件有关外，尚与力、时间、初条有关4. 一个位置下可以有几组虚位移4. 一个位置下，所能实现的实位移只有一组5. 定常约束中，实位移是虚位移中的一组；非定常约束中，实位移可不同于虚位移（应加实例及图） 二、 虚位移的求法 1. 解析法（变分法）12(,,,) 1,2,,i i k r r q q q i n ==则1 1,2,,k i i h i hr r q i n q δδ=∂==∂∑（13-6）一般写直角坐标系下坐标的变分，求质点沿直角坐标轴方向的虚位移，注意求出的是代数量。

注：虚位移对应数学上的变分（等时变分）——与时间无关，实位移对应数学上的微分——与时间有关。

例：曲柄连杆机构 cos ,sin A A x r y r φφ==，sin ,cos A A x r y r δφδφδφδφ=-=sin sin r l φθ=，cos cos r l φδφθδθ=，cos cos r l φδθδφθ=cos cos B x r l φθ=+，sin sin (sin cos tan )B x rl r δφδφθδθφφθδφ=--=-+例1 （13-3）双摆解：写出A A B B x y x y 、、、（用12φφ、表示），求变分。

2. 几何法（运动分析法） 例 2 曲柄连杆机构 选ϕ为广义坐标。

OA 杆：A r OA δδφ=⋅ AB 瞬心在I ：ABr r AIBIδδδθ==所以，B A BI BIr r OA AI AIδδδφ==⋅ 三、 虚功力在虚位移上所做的功称为虚功。

力：cos W F r F r X x Y y Z z δδδθδδδ=⋅==++或 ()P W m F δδφ= ()P m F 指力F对轴或瞬心P 之矩，特别对刚体此式常用 力偶：W m δδφ=例3 （补）曲柄连杆机构，求各主动力之虚功。

解1：几何法 设系统虚位移如图。

力偶M ：M W M δδφ= 力F ：F B W F r δδ=-力G ：()cos 2F I lW m G G δδθθδθ=-=-解2：变分法建立图示坐标系。

选ϕ为广义坐标。

力偶M ： M W M δδϕ= 力F ：cos cos B x r l φθ=+ 而sin sin r l φθ=cos cos r l ϕδϕθδθ=cos cos r l ϕδθδϕθ=sin sin (sin cos tan )B x r l r δϕδϕθδθϕϕθδϕ=--=-+(sin cos tan )F B W F x Fr δδϕϕθδϕ==-+ 力G ：sin sin 2C ly r φθ=-cos cos cos 22C l ry r δϕδϕθδθϕδϕ=-=cos 2G C rW G y G δδϕδϕ=-=-例: 求摩擦力的虚功。

F W F r δδ=-⋅ F W F r δδ=-⋅提问：是否正确——摩擦力与虚位移无关！ 正确解法：解1：设物块虚位移沿斜面向下，则摩擦力向上。

摩擦力虚功： 解2：设物块虚位移沿斜面向上，则摩擦力向下。

摩擦力虚功：解：设物块虚位移沿斜面向上 ，则摩擦力虚功F W F r δδ=⋅13.4 理想约束动能定理中曾提过，此处给出更严格的定义。

约束力在任何虚位移中所做的虚功为零，称此约束为理想约束。

即满足：0N W δ∑=事实上，大多数约束为理想约束。

13.5 虚位移原理具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是，所有作用于质点系上的主动力在任何虚位移上所做的虚功之和为零。

即0F W δ∑=用虚位移原理可求两类问题：一、 求主动力或平衡条件（位置）——对几何可变体系例1 本章开头例子（典型例题） 如图，系统平衡。

已知Q 、l 、α ，求P 。

分析：由几何法找“运动”关系比较难，而结构规则，故用解析法较方便。

解：选α 为广义坐标，建立坐标系如图。

虚功方程：Σ0F W δ=C E P x Q y δδ⋅+⋅= (1) 而2cos ,3sin C E x l y l αα==2sin ,3cos C E x l y l δαδαδαδα=-⋅=⋅代入方程(1)，得 (2sin )3cos 0P l Q l αδααδα⋅-⋅+⋅⋅=3cot 2P Q α=例2：（书例13-4）已知Q 、l 、k ，弹簧原长为l 。

求平衡时θ。

(以方程给出)分析：本题与上一题结构类似，只是增加一弹簧。

对有弹簧的题目，需要先将弹簧去掉，代之以弹性力，弹簧力视为常主动力。

lll l ll解：去掉弹簧，代之以弹簧力。

选θ 为广义坐标，建立坐标系如图。

弹簧力为(2cos )(2cos 1)F k l l kl θθ=-=-虚功方程：Σ0F W δ=0H E Q y F x δδ-⋅-⋅= (1) 而3sin ,2cos H E y l x l θθ==3cos ,2sin H E y l x l δθδθδθδθ=⋅=-⋅ 代入虚功方程(1)，3cos 2sin 0Q l F l θδθθδθ-⋅⋅+⋅⋅=2(2cos 1)tan 3Q kl θα=- 例3：（补充老书例17-2）图示机构。