代数几何综合题(含答案)知识讲解
代数几何综合(含答案)
23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23． （1）求出点C 的坐标； （2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ．∴ CD BC OD AO=． ∴ 535322CD =⨯=．∴ 53422CO =+=． ∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分 （2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4． 由抛物线的对称性知EF=3．∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分 根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=ME FENE BE=, ∴1135t t -=，解得558t =．……………… 3分 若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合．∵ cos ∠BEF=OE FEGE BE=， ∴ 835t =，解得403t =． …………………… 4分∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ，∴ME FENE BE =． ∴ 1135t t -=，解得552t =． …………………… 6分 而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分 综上，当558t =、403t =或552t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）D(N)（第23题图3）D（第23题）25.（7分）已知，抛物线22y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ． （1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（7分）解：（1）据题意，有0164202a b a b =+-⎧⎨=+-⎩， ． 解得 1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ． ∴抛物线的解析式为：215222y x x =-+-．点C 的坐标为：（0，-2）． ………………………（2）答：存在点P （x ，215222x x -+-），使以A ，P ，M ∵∠COB =∠AMP =90°，∴①当OC OBMP MA =时，△OCB ∽△MAP ． ②当OC OB MA MP=时，△OCB ∽△MP A ． ①OC MP OB MA =，∴215222241x x x -+=-． 解得：x 1=8，x 2=1（舍）． ②OC MA OB MP =，∴221154222x x x -=-+． 解得：x 3=5，x 4=1（舍）．综合①，②知，满足条件的点P 为：P 1（8，-14），P 2（5，-2）． ……………………… 7分24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标；(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。
代数几何计算题-六年级上册数学专题训练含详解
代数几何计算题-六年级上册数学专题训练一、选择题1．在一张长方形纸中，画一个最大的圆，（ ）决定圆的直径． A ．长B ．宽C ．周长D ．无法确定2．从圆心到圆上任意一点的线段叫做（ ） A ．直径B ．半径C ．直线3．如图，O 点表示学校，A 点表示小明家，B 点表示小丽家，下列说法中正确的是（ ）。
①小明家离学校的距离比小丽家离学校的距离更远一些。
②小明家在学校北偏东30°的方向上，也可以说小明家在学校东偏北60°的方向上。
③小丽家在小明家的西南方。
A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③二、竖式计算4．计算，能简算的要简算。
31.9×18－8×31.912121553⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭12.5×32×2.5 6.4÷（1.8＋1.4）×1.8 543361294⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭3.2×78＋32×2.4－20%×32三、图形计算5．求阴影部分的面积。
（单位：cm ）6．计算下图阴影部分的面积。
7．计算下面阴影部分的周长和面积。
8．如图，正方形ABCD的边长为6cm，点E在BC上，四边形EBGF也是正方形，边长为2cm，以B为圆心，BA长为半径画弧AC，连接AF，CF，求图中阴影部分面积。
9．求下面阴影部分的面积。
10．求阴影部分的周长与面积。
11．求阴影部分和组合图形面积。
12．如图，求下面组合图形的周长。
（π取3.14，单位：分米）13．如图：圆的直径是6cm，图形的底边是8cm，求阴影部分的面积。
14．将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图那样放置，求阴影部分的周长？15．如图，已知图中阴部分的面积是57平方厘米，请求出这个正方形ABCD的面积．（π取3.14）16．用面积为2、3、4、5的四张长方形纸片拼成如图所示的大长方形．求图中的阴影部分面积．四、看图列式17．看图列式计算。
2020中考数学专项训练4.代数与几何综合题(附解析)
代数与几何综合题类型一动点型探究题1.如图①，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s.以AQ 、PQ 为边作四边形AQPD ，连接DQ ，交AB 于点E .设运动的时间为t (单位：s)(0＜t ≤4)，解答下列问题：(1)用含有t 的代数式表示AE ＝____；(2)如图②，当t 为何值时，四边形AQPD 为菱形；(3)求运动过程中，四边形AQPD 的面积的最大值．第1题图解：(1)5－t ；【解法提示】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴由勾股定理得：AB ＝10cm ，∵点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为2cm/s ，∴BP ＝2t cm ，∴AP ＝AB －BP ＝10－2t ，∵四边形AQPD 为平行四边形，∴AE ＝12AP ＝5－t .(2)如解图①，当四边形AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则cos ∠BAC ＝AE AQ ＝AC AB，即5－t 2t ＝810，解得t ＝2513，∴当t ＝2513时，四边形AQPD 是菱形；(3)如解图②，作PM ⊥AC 于M ，设平行四边形AQPD 的面积为S .∵PM ∥BC ，∴△APM ∽△ABC ，∴AP AB ＝PM BC ，即10－2t 10＝PM 6，∴PM ＝65(5－t )，∴S ＝AQ ·PM ＝2t ·65(5－t )＝－125t 2＋12t=15255122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--t (0＜t ≤4)，∵－125＜0，∴当t ＝52时，S 有最大值，最大值为15cm 2.第1题解图2.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；(3)如图②，当DE的长度为3时，求∠BFE的度数．第2题图解：(1)BG∥CD；【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠GFE＝∠FEC ＝90°，∵∠ACB＝∠GCE＝90°，∴∠GCB＝∠ECA，∵GC＝CE，CB＝CA，∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB＝90°，BC＝AC，D是AB的中点，∴∠CBG＝∠CAE＝45°，∠BCD＝45°，∴∠CBG＝∠BCD，∴BG∥CD.(2)∵CB＝CA，CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD＝3，∠CBA＝∠A＝45°，易得△CAE≌△CBG，∴∠CBG ＝∠A ＝45°，∴∠GBA ＝∠GBC ＋∠CBA ＝90°.∵∠BEN ＋∠BNE ＝90°，∠BEN ＋∠CED ＝90°，∴∠BNE ＝∠CED ，∵∠EBN ＝∠CDE ＝90°，∴△NBE ∽△EDC ，∴BN ED ＝BE CD ，∴y x ＝3－x 3，∴y ＝－31(x －32)2＋34，∵－31＜0，∴x ＝32时，y 的最大值为34；(3)如解图，作FH ⊥AB 于点H .∵CB ＝CA ，BD ＝CD ，∠BCA ＝90°，∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝3，∴tan ∠DCE ＝DE CD ＝33，∴∠DCE ＝30°，∵四边形EFGC 是正方形，∴EF＝EC，∵∠CDE＝∠EHF＝90°，易证∠DCE＝∠HEF，∴△CDE≌△EHF，∴∠DCE＝∠HEF＝30°，FH＝DE，CD＝EH，∵CD＝BD，∴BD＝EH，∴BH＝DE＝FH，∴△BHF是等腰直角三角形，∴∠BFH＝45°，∵∠EFH＝90°－∠HEF=60°，∴∠BFE＝∠BFH+∠EFH＝105°.第2题解图3.如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8cm，CD＝10cm，AD ＝6cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2cm/s，点F 同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1cm/s.设运动时间为t(s)，△CEF的面积为S(cm2)．(1)当0≤t≤3时，t＝________，EF＝10.(2)当0≤t≤3时(如图①)，求S与t的函数关系式，并化为S＝a(t－h)2＋k的形式，指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？(3)当3≤t≤8时(如图②)，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？第3题图解：(1)2；【解法提示】根据题意知，AF＝t，AE＝2t，∵∠A＝90°，∴AF2＋AE2＝EF2，即t2＋(2t)2＝(10)2，解得：t＝2(负值舍去)．(2)当0≤t≤3时，如解图①，过点C作CP⊥AB，交AB延长线于点P，第3题解图①∵∠A＝∠D＝90°，∴四边形APCD是矩形，则CP＝AD＝6cm，∵AB＝8cm，AD＝6cm，∴BF ＝(8－t )cm ，DE ＝(6－2t )cm ，则S ＝S 梯形ABCD －S △AEF －S △CBF －S △CDE＝12×(8＋10)×6－12×t ×2t －12×(8－t )×6－12×(6－2t )×10＝－t 2＋13t＝－(t －132)2＋1694，即S ＝－(t －132)2＋1694，∵当t ＜132时，S 随t 的增大而增大，∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30；(3)当3≤t ≤8时，如解图②，过点F 作FQ ⊥CD 于点Q ，第3题解图②由∠A ＝∠D ＝90°，知四边形ADQF 是矩形，∴FQ ＝AD ＝6cm ，∵AD ＋DE ＝2t ，AD ＝6cm ，CD ＝10cm ，∴CE ＝(16－2t )cm ，则此时S ＝12×(16－2t )×6＝48－6t ，∵－6＜0，∴S 随t 的增大而减小，∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30cm 2．4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D .点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．(1)①求线段CD 的长；②求证：△CBD ∽△ABC ；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使得△CPQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．(1)①解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝10，∵CD ⊥AB ，∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝6×810＝524，∴线段CD 的长为524；②证明：∵∠B ＝∠B ，∠CDB ＝∠BCA ＝90°，∴△CBD ∽△ABC ；(2)解：如解图②，过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，由题可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝524－t ，∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∴∠HCP ＝90°－∠DCB ＝∠B ，∵PH ⊥AC ，∴∠CHP ＝90°，∴∠CHP ＝∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ，∴PH AC ＝PC BA，∴PH 8＝10524t -，∴PH ＝9625－45t ，∴S ＝12CQ ·PH ＝12t (9625－45t )＝－25(t －125)2＋288125，∵52-＜0，∴当t ＝125时，S 最大＝288125；(3)存在，t ＝125或14.455或2411.【解法提示】①若CQ ＝CP ，如解图①，则t ＝524－t .解得：t ＝125；②若PQ ＝PC ，如解图②所示．∵PQ ＝PC ，PH ⊥QC ，∴QH ＝CH ＝12QC ＝t 2.∵△CHP ∽△BCA .∴CH BC ＝CP AB .∴t 26＝10524t -，解得t ＝14455；③若QC ＝QP ，如解图③，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，同理可得：t ＝2411.综上所述：当t 为524秒或14455秒或2411秒时，△CPQ 为等腰三角形．第4题解图5.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm.如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2cm/s 和1cm/s.FQ ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点P 和Q ，设运动时间为t (s)(0＜t ＜4)．(1)连接EF 、DQ ，若四边形EQDF 为平行四边形，求t 的值；(2)连接EP ，设△EPC 的面积为y cm 2，求y 与t 的函数关系式，并求y 的最大值；(3)若△EPQ 与△ADC 相似，请直接写出t 的值．解：(1)在矩形ABCD 中，∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴CD ＝AB ＝6cm ，AD ＝BC ＝8cm ，∠BAD ＝∠ADC ＝∠DCB ＝∠B ＝90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝10，∵FQ ⊥BC ，∴∠FQC ＝90°，∴四边形CDFQ 是矩形，∴DF ＝QC ，FQ ＝DC ＝6cm ，由题意知，BE ＝2t ，QC ＝DF ＝t ，∴EQ ＝BC －BE －QC ＝8－3t ，∵四边形EQDF 为平行四边形，∴FD ＝EQ ，即t ＝8－3t ，解得t ＝2；(2)∵∠FQC ＝90°，∠B ＝90°，∴∠FQC ＝∠B ，∴PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ，∴PQ AB ＝QC BC，即PQ 6＝t 8，∴PQ ＝34t ，∵S △EPC ＝12EC ·PQ ，∴y ＝12·(8－2t )·34t ＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3，即y ＝－34(t －2)2＋3，∵a ＝－34＜0，∴当t ＝2时，y 有最大值，y 的最大值为3；(3)t 的值为2或12857或12839.【解法提示】分两种情况讨论：若E 在FQ 左边，①当△EPQ ∽△ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝8－3t 8，解得t ＝2；②当△EPQ ∽△CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝8－3t 6，解得t ＝12857.若E 在FQ 右边，③当△EPQ ∽△ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝3t －88，解得t ＝4(舍去)；④当△EPQ ∽△CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝3t －86，解得t ＝12839.综上所述，若△EPQ 与△ADC 相似，则t的值为：2或12857或12839.类型二动线型探究题6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2cm.长为1cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动(运动前点M 与点A 重合)．过M ，N 分别作AB 的垂线交直角边于P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为t s.(1)若△AMP 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式(写出自变量t 的取值范围)，并求出y 的最大值；(2)在线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；(3)t 为何值时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？第6题图解：(1)当点P 在AC 上时，∵AM ＝t ，∴PM ＝AM ·tan60°＝3t ，∴y ＝12t ·3t ＝32t 2(0<t ≤1)，当t ＝1时，y 最大＝32；当点P 在BC 上时，PM ＝BM ·tan 30°＝33(4－t )，∴y ＝12t ·33(4－t )＝－36t 2＋233t ＝－36(t －2)2＋233(1＜t <3)，当t ＝2s 时，y 最大＝233，综上所述，y0<t ≤12＋233t ，1＜t <3，∴当t ＝2s 时，y 最大＝233；(2)∵AC ＝2，∴AB ＝4，∴BN ＝AB －AM －MN ＝4－t －1＝3－t .∴QN ＝BN ·tan 30°＝33(3－t )，由题知，若要四边形MNQP 为矩形，需PM ＝QN ，且P ，Q 分别在AC ，BC 上，即3t ＝33(3－t )，∴t ＝34，∴当t ＝34s 时，四边形MNQP 为矩形．(3)由(2)知，当t ＝34s 时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，除此之外，当∠CPQ ＝∠B ＝30°时，△QPC ∽△ABC ，此时CQ CP ＝tan 30°＝33，∵AM AP ＝cos 60°＝12，∴AP ＝2AM ＝2t ，∴CP ＝2－2t ，∵BN BQ ＝cos 30°＝32，∴BQ ＝BN 32＝233(3－t )，又BC ＝23，∴CQ ＝23－233(3－t )＝23t 3，∴23t 32－2t ＝33，解得t ＝12，∴当t ＝12s 或34s 时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm，BC＝6cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)如解图①，连接DF，第7题解图①∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中AD＝52－32＝4，∵EF //BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AQ AD，∴EF 6＝4－t 4，∴EF ＝32(4－t )，∵EF //BD ，∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形，∴32(4－t )＝3，∴t ＝2，∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；(2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，第7题解图②∵PN //DC ，∴PN DC ＝AP AC，∴PN 3＝5－t 5，∴PN ＝35(5－t )，∴y ＝12DC ·AD －12AQ ·PN ＝6－12(4－t )·35(5－t )＝6－(310t 2－2710t ＋6)＝－310t 2＋2710t (0＜t ＜4)；(3)存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .第7题解图③∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝12AP ＝12(5－t )，由题意cos ∠CAD ＝AD AC ＝AN AQ，∴12（5－t ）4－t＝45，∴t ＝73，∴当t ＝73s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．∵sin ∠FPH ＝FH PF ＝sin ∠CAD ＝35，∵PA ＝5－73＝83，AF ＝AQ ÷45＝2512，∴PF ＝712，∴FH ＝720.∴点F 到直线PQ 的距离h ＝720(cm)．类型三动图型探究题8.如图①，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，∠DBC ＝90°，现将△AEF 沿BD 的方向匀速平移，速度为2cm/s ，同时，点G 从点D 出发，沿DC 的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF 停止移动时，点G 也停止运动，连接AD ，AG ，EG ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t (s)(0＜t ＜4)．(1)当t ＝1时，求EH 的长度；(2)若EG ⊥AG ，求证：EG 2＝AE ·HG ；(3)设△AGD 的面积为y (cm 2)，当t 为何值时，y 可取得最大值，并求y 的最大值．第8题图解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，又∠DBC ＝90°，∴∠ADB ＝90°，又AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝10cm ，当t ＝1时，EB ＝2cm ，则DE ＝8－2＝6cm ，∵EH ⊥CD ，∠DBC ＝90°，∴△DEH ∽△DCB ，∴DE DC ＝EH BC ，即610＝EH 6，解得EH ＝3.6cm ；(2)∵∠CDB ＝∠AEF ，∴AE ∥CD ，∴∠AEG ＝∠EGH ，又EG ⊥AG ，EH ⊥CD ，∴△AGE ∽△EHG ，∴EG HG ＝AE EG，∴EG 2＝AE ·HG ；(3)由(1)得，△DEH ∽△DCB ，∴DE CD ＝EH BC ，即8－2t 10＝EH 6，解得，EH ＝24－6t 5，∴y ＝12×DG ×EH ＝－6t 2＋24t 5＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245，∴当t ＝2时，y 的最大值为245.9.把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图①摆放(点C 与点E 重合)，点B 、C (E )、F 在同一条直线上．已知：∠ACB ＝∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，EF ＝10cm.如图②，△DEF 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t (s)．(1)用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围；(2)连接PE ，设四边形APEQ 的面积为y (cm 2)，试求出y 的最大值；(3)当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．第9题图解：(1)AP ＝2t ，∵∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°，∴∠CQE ＝45°＝∠DEF ，∴CQ ＝CE ＝t ，∴AQ ＝8－t ，t 的取值范围是：0≤t ≤5；(2)如解图①，过点P 作PG ⊥x 轴于G ，可求得AB ＝10，sin B ＝45，PB ＝10－2t ，EB ＝6－t ，∴PG ＝PB sin B ＝45(10－2t )，∴y ＝S △ABC －S △PBE －S △QCE＝12×6×8－12(6－t )×45(10－2t )－12t 2＝－1310t 2＋445t ＝－1310(t －4413)2＋96865，∴当t ＝4413(s)(在0≤t ≤5内)，y 有最大值，y 最大值＝96865(cm 2)；第9题解图(3)若AP ＝AQ ，则有2t ＝8－t 解得：t ＝83(s)，若AP ＝PQ ，如解图②：过点P 作PH ⊥AC ，则AH ＝QH ＝8－t 2，PH ∥BC ，∴△APH ∽△ABC ，∴AP AH ＝AB AC ，即2t 8－t 2＝108，解得：t ＝4021(s)，若AQ ＝PQ ，如解图③：过点Q 作QI ⊥AB ，则AI ＝PI ＝12AP ＝t ，∵∠AIQ ＝∠ACB ＝90°∠A ＝∠A ，∴△AQI ∽△ABC ∴AI AQ ＝AC AB 即t 8－t ＝810，解得：t ＝329(s)，综上所述，当t ＝83(s)或4021(s)或329(s)时，△APQ 是等腰三角形．10.如图①，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF均为4.现将三角板EFG由图①所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，EG交AC于点K，GF交BC于点H.在旋转过程中，请你解决以下问题：(1)连接CG，求证：△CGH∽△AGK；(2)连接HK，求证：KH∥EF；(3)设AK＝x，△CKH的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．第10题图(1)证明：在Rt△ABC中，CG⊥AB，∠B＝30°，∴∠GCH＝∠GAK＝60°，又∠CGH＝∠AGK＝α，∴△CGH∽△AGK；(2)证明：由(1)得△CGH∽△AGK，∴GH GK ＝CG AG.在Rt △ACG 中，tan ∠CAG ＝CG AG ＝3，∴GH GK ＝ 3.在Rt △KHG 中，tan ∠GKH ＝GH GK ＝3，∴∠GKH ＝60°.∵在Rt △EFG 中，∠F ＝30°，∴∠E ＝60°，∴∠GKH ＝∠E ，∴KH ∥EF ；(3)解：由(1)得△CGH ∽△AGK ，∴CH AK ＝CG AG .由(2)知CG AG ＝3，∴CH AK ＝ 3.∴CH ＝3AK ＝3x ，在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∴AC ＝12AB ＝2，∴CK ＝AC －AK ＝2－x ，∴y ＝12CK ·CH ＝12(2－x )·3x ＝－32x 2＋3x ，又y ＝－32x 2＋3x ＝－32(x －1)2＋32，(0＜x ＜2)∴当x ＝1时，y 有最大值为32.。
专题代数几何综合课后练习及详解
代数几何综合课后练习题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△AC E的形状，并说明理由.C的横坐标)（代数几何综合课后练习参考答案题一： （1）y=214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx+c （a≠0）过A （-1，0）、B （3，0）， C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.[来源:Zxx k.Com]故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）； （2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ， 题二： （1）y=-x 2-3x+4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y=-x 2-3x+4，∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n=-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC 2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.详解：（1）①连接OB，过点B作轴的交点，），．详解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O ∴∠OE R=30°，的关联点，则需点H=60°，可得点2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°2．小明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一段路，在这段路上所骑行的路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小明上学途中下坡路的长为1800米;②小明上学途中上坡速度为150米/分，下坡速度为200米/分;③如果小明放学后按原路返回，且往返过程中，上、下坡的速度都相同，则小明返回时经过这段路比上学时多用1分钟;④如果小明放学后按原路返回，返回所用时间与上学所用时间相等，且返回时下坡速度是上坡速度的1.5倍，则返回时上坡速度是160米/分其中正确的有（）A.①④B.②③C.②③④D.②④3．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了1千米，休息0.5小时后，再用1.5小时爬上山顶．游客爬山所用时间l与山高h间的函数关系用图形表示是（）A. B.C. D.4．我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（）A．34 B．35 C．36 D．375．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.6．在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A ．4cmB ．C ．8cmD ．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为( )A ．22B ．24C ．D ． 8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，顶点在折线M-P-N 上移动，它们的坐标分别为(1,4)M -、(3,4)P 、(3,1)N .若在抛物线移动过程中，点A 横坐标的最小值为-3，则a b c -+的最小值是（ ）A ．-15B ．-12C ．-4D ．-29．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB ＝30°，OP ＝8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1010．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为点O ，顺次连接四边形ABCD 各边中点E ，F ，G ，H ，则所得四边形EFGH 的形状为（ ）A.对角线不相等的平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形11．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知二次函数()2y x h =-+（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，其对应对的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为（ ） A.3-或6- B.1-或6-C.1-或3-D.4-或6-二、填空题13．如图，AB ∥CD ．若∠ACD=82°，∠CED=29°，则∠ABD 的大小为______度．14．一次函数y=ax+b 和反比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象如上图所示，则a___0，b___0.15．如图，AB 、BC 是⊙O 的弦，OM ∥BC 交AB 于点M ，若∠AOC=100°，则∠AMO=___.16．36的算术平方根是 ．17．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x 人，小和尚y 人，可列方程组为______．18．某校抽查50名九年级学生对艾滋病三种主要传授途径的知晓情况，结果如表估计该校九年级600名学生中，三种传播途径都知道的有_____人．三、解答题19．如图，在▱ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE，BF，EF．（1）求证：△ADE≌△BCF．（2）若∠BFC﹣∠ABE＝90°，sin∠ABE＝23，BF＝4，求BE的长．20．如图，点P是AB所对弦AB上一动点，点Q是AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ交AB于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，x的值为0）．小平根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/经测量m的值是（保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△BCP为等腰三角形时，AP的长度约为cm．21．为丰富学生的课余生活，学校准备购买部分体育器材，以满足学生们的需求．学校对“我最喜爱的体育运动”进行了抽样调查（每个学生只选一次），根据调查结果绘成如图所示的两幅不完整统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列问题．（1）求m、n的值；（2）若该校有2000名学生，请你根据样本数据，估算该校喜欢踢足球的学生人数是多少？22．消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为( )A．13B．49C．59D．2323．一只不透明的袋子中装有1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，摸到蓝球的概率为；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求至少有1次摸到红球的概率．24．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．（1）若BC是⊙O的切线，求证：∠B+∠FED＝90°；（2）若FC＝6，DE＝3，FD＝2．求⊙O的直径．25．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y与x之间的函数关系；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于260件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3490元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.【参考答案】***一、选择题二、填空题13．5314．< >15．5016．17．100131003x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩18．300三、解答题19．（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）想证明四边形ABFE是平行四边形，得出AE=BF=4，由△ADE≌△BCF，得出∠AED=∠BFC，由三角形的外角性质证出∠BAE=90°，再由三角函数定义即可求出BE的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CF∥DB，∴∠BCF＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCF在△ADE与△BCF中，DE CFADE CBF AD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BCF（SAS）．（2）解：∵CF∥DB，且CF＝DE，∴四边形CFED是平行四边形，∴CD＝EF，CD∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE＝BF＝4，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC，∵∠BFC﹣∠ABE＝90°，∴∠AED﹣∠ABE＝90°，∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∴∠BAE＝90°，∵sin∠ABE＝AEBE＝23，∴BE＝32BE＝6．【点睛】此题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角函数等知识；熟练掌握平行四边形的性质和判定，和全等三角形的判定以及菱形的判定解答．20．（1）3；（2）详见解析；（3）1.2或1.6或3.0．【解析】【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找PB长关于x的函数：直线y=-x+6与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可.【详解】解：（1）（1）∵PA＝0时，点P与点A重合，AB＝6，PC＝AC＝5.37，BC＝2.68，∴AB2＝PC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径．当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3，∴y1＝3，故答案为3．（2）如图；（3）观察图象可知：当x＝y，即当PB＝PC或PB＝BC时，x＝3或1.2，当y1＝y2时，即PC＝BC时，x＝1.6，或x＝6（与P重合，△BCP不存在）综上所述，满足条件的x的值为1.2或1.6或3，．故答案为1.2或1.6或3.0．【点睛】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．21．（1）m＝40，n＝60；（2）该校喜欢踢足球的学生人数是400人．【解析】【分析】（1）根据喜爱篮球的人数÷其所占的百分比得到总人数，再由总人数乘以喜爱排球的人数所占百分比得到n，用总人数-喜爱篮球人数-喜爱排球的人数-喜爱其他人数，即可确定出m的值；（2）求出喜欢踢足球的学生人数所占的百分比，乘以2000即可得到结果．【详解】（1）70÷35%＝200（人）n＝200×30%＝60，m＝200﹣70﹣60﹣40＝40；（2）2000×40200＝400 （人）答：该校喜欢踢足球的学生人数是400人．【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．C【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，两人中至少有一个给“好评”的结果数为5，所以两人中至少有一个给“好评”的概率＝59．故选C．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．23．(1)13;(2)89.【解析】【分析】（1）由共有3种等可能结果，其中摸到蓝球可能的结果有1种，根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）∵袋中共有3个球，∴共有3种等可能结果，其中摸到蓝球可能的结果有1种．∴P（摸到蓝球）=13，故答案为：13；（2）将2个红球编号为红球1，红球2，用树状图表示出所有可能出现的结果，由树状图知，共有9种等可能结果，其中至少有一次摸到红球可能的结果有8种．∴P （至少有1次摸到红球）=89． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 24．（1）见解析；（2）⊙O 的直径为9． 【解析】 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A ，进而得出∠B+∠A=90°，求出答案； （2）利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED ∽△FAC ，进而求出即可． 【详解】（1）证明：∵∠A+∠DEC ＝180°，∠FED+∠DEC ＝180°， ∴∠FED ＝∠A ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠BCA ＝90°， ∴∠B+∠A ＝90°， ∴∠B+∠FED ＝90°；（2）解：∵∠CFA ＝∠DFE ，∠FED ＝∠A ， ∴△FED ∽△FAC ，∴DE DFAC FC =， ∴326AC =， 解得：AC ＝9，即⊙O 的直径为9． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质等知识，得出△FED ∽△FAC 是解题关键．25．（1）10700y x =-+；（2）销售单价为44元时，每天获取的利润最大，3640W =最大元；（3）4456x ≤≤.【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3490元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围． 【详解】（1）设y kx b =+y=k x+b ∴ 经过点(40,300),(55,150)4030055150k b k b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得10700k b =-⎧⎨=⎩故y 与x 的关系式为：10700y x =-+ （2）30＜44x ≤设利润为(30)(30)(10700)w x y x x =-⋅=--+221010002100010(50)4000w x x x =-+-=--+100-<∴x<50时，w 随x 的增大而增大， ∴当44x =时，3640W =最大 （2）由题意，得 -10x+700≥260， 解得x≤44， ∴30＜x≤44，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700）， w=-10x 2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000， ∵-10＜0，∴x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴x=44时，w 最大=-10（44-50）2+4000=3640，答：当销售单价为44元时，每天获取的利润最大，最大利润是3640元； （3）w-150=-10x 2+1000x-21000-150=3490， -10（x-50）2=-360， x-50=±6， x 1=56，x 2=44， 如图所示，由图象得：当44≤x≤56时，捐款后每天剩余利润不低于3490元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若x+y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（）A.5B.﹣5C.3D.﹣32．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四边形3．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A.小青B.小何C.小夏D.小雨5．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④6．已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣1（a为常数，且a≠0），（）A．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大B．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小C．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大D．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小7．已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8 （ ） A ．16的平方根B ．16的算术平方根C ．±4D ．±29．下列运算正确的是( ) A ．3x 2•4x 2＝12x 2B ．x 3+x 5＝x 8C ．x 4÷x＝x 3D ．(x 5)2＝x 710．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上DE ∥BC ，点B 、C 、F 在一条直线上，若∠ACF ＝140°，∠ADE ＝105°，则∠A 的大小为（ ）A ．75°B ．50°C ．35°D ．30°11．在同一直角坐标平面内，如果直线y ＝k 1x 与双曲线2k y x=没有交点，那么k 1和k 2的关系一定是（ ） A.k 1+k 2＝0B.k 1•k 2＜0C.k 1•k 2＞0D.k 1＝k 212．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sin θ=13，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．24πC ．16πD ．12π二、填空题 13．反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝kx+m 的图象有一个交点是（﹣2，1），则它们的另一个交点的坐标是_____．14．从1,2,3,4四个数中任取一个数作为AC的长度，又从4,5中任取一个数作为BC的长度，6AB ，则AB AC BC、、能构成三角形的概率是_____．15．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是______．16﹣|﹣2|＝_____．17．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为_____cm．18．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．三、解答题19．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：（1）将上面表格补充完整；（2）某天王先生和李女士从甲地到乙地，试用树状图或列表法求在早高峰期间刚好都坐同一条线路的概率；（3）小张从甲地到乙地，早高峰期间用时不超过45分钟，请问小张应该选择哪条线路？请说明理由．20．(1)阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB，PC＝2．求∠BPC的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为_____；在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为_____，综上可得∠BPC的度数为_____；(2)类比迁移如图2，点P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB，PC＝1，求∠APC的度数；(3)拓展应用如图3，在四边形ABCD中，BC＝3，CD＝5，AB＝AC＝12AD．∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．21．计算：020194sin60|2|(1)--+-．22．解不等组533(1)131922x xx x->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩并求出其整数解．23．某汽车专卖店销售甲，乙两种型号的新能源汽车，上周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元；本周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，两周的销售额为184万元.（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的售价；（2）某公司拟向该店购买甲，乙两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元.则有哪几种购车方案？24．已知O的直径为10，点A，B，C在O上，CAB∠的平分线交O于点D.（I）如图①，当BC为OO的直径时，求BD的长；（Ⅱ）如图②，当BD=5时，求∠CDB的度数。
2022年中考复习《代数几何综合》专项练习附答案
代数几何综合1、〔2021年潍坊市压轴题〕如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.〔3〕把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不管k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？假设存在，求出P 点坐标；假设不存在，请说明理由.答案：〔1〕因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以23212++-=x x y . 〔2〕由〔1〕知23212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 〔3〕由〔1〕知,2)1(21232122+--=++-=x x x y所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -= 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1,所以1111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 那么〔1〕式变为NMN M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以〔t+2〕(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入〔2〕得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P 〔0,2〕，使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：此题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式确实定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：此题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。
2011年中考数学二轮复习--代数几何综合题(附答案)
2010年中考数学二轮复习--代数几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。
⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE；⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。
解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ，∵∠CAE＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AE AC ＝132点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。
过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足．（1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。
代数几何综合题含答案
争分夺秒 分秒必争 我的人生 我做主 只要认真做事 一切皆有可能 东升求实学校2015届初三数学培优资料专题三 代数几何综合题1、（2014•广东）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC=10cm ，AD=8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t=2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析： （1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H 为AD 的中点，如答图1所示．答： 又∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE=DE ，AF=DF ．∵AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，∴AD ⊥BC ，∠B=∠C ． ∴EF ∥BC ，∴∠AEF=∠B ，∠AFE=∠C ， ∴∠AEF=∠AFE ，∴AE=AF ，∴AE=AF=DE=DF ，即四边形AEDF 为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴，即，解得：EF=10﹣t ．S △PEF =EF •DH=（10﹣t ）•2t=﹣t 2+10t=﹣（t ﹣2）2+10 ∴当t=2秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E 为直角顶点，如答图3①所示， 此时PE ∥AD ，PE=DH=2t ，BP=3t ． ∵PE ∥AD ，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F 为直角顶点，如答图3②所示，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F 作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t ．在Rt △EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t ）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t ，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN 2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF 2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．25．（9分）（2013•汕头）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_________度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I ）当0≤x≤2时，如答图1所示；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示．解答：解：（1）如题图2所示，∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）如题图3所示，当EF经过点C时，FC====；（3）在三角板DEF运动过程中，（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB 为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S△BDG﹣S△BFM=BD•DG﹣BF•MN=（x+4）2﹣x •x=x2+4x+8；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S △ABC﹣S △BFM=AB•AC﹣BF•MN=×62﹣x•x=x 2+18；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：由BF=x，则AF=AB ﹣BF=6﹣x，设AC与EF 交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．y=S△AFM =AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．综上所述，y与x的函数解析式为：y=．点评：本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．25．（2014年广东汕尾）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M 的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P 1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP 2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x 轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC ，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP 2，此时梯形为ABCP2．∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x ﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．22．(2014年广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC 并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP ﹣AP|最大．考点：圆的综合题．分析：（1）利用A，B点坐标得出AO，BO的长，进而得出AB的长，即可得出圆的半径；（2）根据A，B 两点求出直线AB表达式为：y=﹣x+3，根据B，D 两点求出BD 表达式为y=x+3，进而得出BD⊥AB，求出BD为⊙M的切线；（3）根据D，O两点求出直线DO表达式为y=x 又在直线DO 上的点P的横坐标为2，所以p（2，），此时|DP﹣AP|=DO=．解答：（1）解：∵由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，∴AB=5，∴圆的半径为；（2）证明：由题意可得出：M（2，）又∵C为劣弧AO的中点，由垂径定理且MC=，故C（2，﹣1）过D 作DH⊥x 轴于H，设MC 与x 轴交于K，则△ACK∽△ADH，又∵DC=4AC，故DH=5KC=5，HA=5KA=10，∴D（﹣6，﹣5）设直线AB表达式为：y=ax+b，，解得：故直线AB表达式为：y=﹣x+3，同理可得：根据B，D两点求出BD的表达式为y=x+3，∵K AB×K BD=﹣1，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴BD⊥AB ，BD为⊙M的切线；（3）解：取点A 关于直线MC 的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值；设直线DO表达式为y=kx，∴﹣5=﹣6k，解得：k=，∴直线DO表达式为y=x又∵在直线DO上的点P的横坐标为2，y=，∴P（2，），此时|DP﹣AP|=DO==．点评：此题主要考查了勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式以及两直线垂直系数的关系等知识，得出直线DO，AB，BD的解析式是解题关键．23．(2014年广东深圳)如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．解答：解：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴A（﹣2，0）、B（0，4）．∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，﹣4）在抛物线上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2．（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，∴F（0，﹣m2+2m+4）．①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，∴△BAO∽△BFE ，∴，即，可得：BE=2EF．如答图2﹣1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH•BF，EF2=FH•BF，又∵BE=2EF，∴BH=4FH，即：4|﹣m2|=|2m|．若﹣4m2=2m，解得m=﹣或m=0（与点B重合，舍去）；若﹣4m2=﹣2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．∴m=﹣，∴E（﹣，3）．②假设存在．联立抛物线：y=﹣（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），∴S△ACD=×4×4=8．∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．联立平移抛物线：y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m ﹣2，2m）．∴点E与点M横坐标相差2，即：|x G|﹣|x E|=2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料如答图2﹣2，S△EFG=S△BFG﹣S△BEF=BF•|xG|﹣BF|xE|=BF•（|x G|﹣|x E|）=BF．∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．∵F（0，﹣m2+2m+4），∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．点评：本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大．第（2）①问中，解题关键是确定点E为直角顶点，且BE=2EF；第（2）②问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用．22．（9分）（2014•珠海）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．考点：二次函数综合题分析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料三角形为两三角形的差．得关系式再代入，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．解答：解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°•GO==，IO=cos30°•GO==3，JO=cos30°•OE==，JE=sin30°•OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵经过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF 的中位线，∴x D=x N=•x G=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q 在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x 2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P），S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P）+•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q）=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x P）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P ）﹣•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x H）=•（y K ﹣y Q）•（x H ﹣x P）=﹣x 2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x ＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．点评：本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．24．（本小题满分14分）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标．（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法;(2)存在性问题,相似三角形;(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
代数几何综合问题
代数几何综合问题题1、（北京丰台）如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）)0(<x ，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥, ∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90 ∴∆∆B O P PAC ~∴=PO AC BO PA ，∴=+||||||x y x 22， x y x y x <<∴=-0022，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287， ∴Q 点坐标为()870，说明：利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
题2、（2006、徐州）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，边2AB =，边1AD =，且AB 、AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A 落在边DC 上，设点A '是点A 落在边DC 上的对应点．（1）当矩形ABCD 沿直线12y x b =-+折叠时（如图1），求点A '的坐标和b 的值；（2）当矩形ABCD 沿直线y kx b =+折叠时，① 求点A '的坐标（用k 表示）；求出k 和b 之间的关系式； ② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图2、3、4所示的三种情形， 请你分别写出每种情形时k 的取值范围． （将答案直接填在每种情形下的横线上）k 的取值范围是 ； k 的取值范围是 ；k 的取值范围是 ；【分析：】1、对折是一个操作性名词，它的数学实质就是轴对称。
2019年中考数学复习专题《代数综合、代数几何综合》(有答案)
代数综合题一：对于实数a，b，我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如min{3，5}=3，因此，min{－1，－2}=________；若{}22min(1),4+=，则x=___________．x x题二：对于实数c，d，我们用符号max{c，d}表示c，d两数中较大的数，如max{3，5}=5，因此，题四：在平面直角坐标系中，点P(0，m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y A、B，交抛物线C2：y于点C、D．(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC 和QD，求△AOB与△CQD面积比为_______．(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F，在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为_______．题七： 设函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ， ，，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足y 1=y 2=y 3， 求x 1+x 2+x 3的取值范围．题八： 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =243x x ++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ． (1)求直线AC 的表达式；(2)在x 轴下方且垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线AC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1>x 2>x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．参考答案题一：－2，－3或2．详解：∵－2<－1，∴min{－1，－2}=－2，∵{}22+=，x xmin(1),4当(x+1)2=x2时，解得：x=－0.5，(x+1)2=x2=0.25，这时不可能得出最小值为4，当x>－0.5，(x+1)2>x2，则x2=4，解得x1=2或x2=－2(舍去)，当x<－0.5，(x+1)2<x2，则(x+1)2=4，解得x1=－3或x2=1(舍去)，∴x=－3或x=2．题二：∵{}22++=，max22,2x x x当x2+2x+2=x2时，解得：x=－1，x2+2x+2=x2=1，这时不可能得出最大值为2，当x>－1，x2+2x+2>x2，则x2+2x+2=2，解得x1=0或x2=－2(舍去)，∴x=0．题三：∴C (－3m ，m 2)，D (3m ，m 2)，∴CD =6m ，∵O 、Q 关于直线CD 对称， ∴PQ =OP ，∵CD ∥x 轴，∴∠DPQ =∠DPO =90°，∴△AOB 与△CQD 的高相等， PQ CD PO AB ⋅⋅2121=mm 64=32．AEM DFMS S=∵S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，而S △OFD =S △OEC =2， 2详解：先作出函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ， ，的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，∵y =242x x -+(x ≥0)的对称轴为x =2，y 1=y 2，∴x 2+x 3=4， ∵y =242x x -+(x ≥0)的顶点坐标为(2，－2)，令y =－2，代入y =3x +1，解得：x =－1，∴－1<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：－1+4<x 1+x 2+x 3<0+4，∴3<x 1+x 2+x 3<4．题八： (1)y =x +3；(2)－8<x 1+x 2+x 3<－7．详解：(1)由y =243x x ++得到：y =(x +3)(x +1)，C，∴A (－3，0)，B (－1，0)，设直线AC 的表达式为：y =kx +b (k ≠0)， ∴⎩⎨⎧==+303-b b k ，解得:⎩⎨⎧==31b k ，所以直线AC 的表达式为y =x +3，(2)由y =243x x ++得到：y =(x +2)2－1，∴抛物线y =243x x ++的对称轴是x =－2， 顶点坐标是(－2，－1)，∵y 1=y 2，∴x 1+x 2=－4，令y =－1，代入y =x +3，解得：x =－4，∵x 1>x 2>x 3，∴－4<x 3<－3，∴－4－4<x 1+x 2+x 3<－3－4，∴－8<x 1+x 2+x 3<－7．代数几何综合题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P 的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由.题三：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=.是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．参考答案题一： （1）y =214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过A （-1，0）、B （3，0），C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）； （2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ，题二： （1）y =-x 2-3x +4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y =-x 2-3x +4， ∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n =-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.。
中考数学三轮易错复习：几何与代数综合问题(含解析)
中考数学三轮易错复习：专题 20 几何与代数综合问题4【例 1】(2019· 洛阳二模)如图，直线 yx 4 与 x 轴、y 轴的交点为 A ，B ．按以下步骤作图： 3①以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB ，x 轴于点 C ，D ；1②分别以点 C ，D 为圆心，大于 CD 的长为半径作弧，两弧在∠OAB 内交于点 M ；③作射线 AM ，2交 y 轴于点 E ．则点 E 的坐标为【变式 1-1】(2019· 偃师一模)如图，点 A(0，2)，在 x 轴上取一点 B ，连接 AB ，以 A 为圆心，任意1长为半径画弧，分别交 OA ，AB 于点 M ，N ，再以 M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于2点 D ，连接 AD 并延长交 x 轴于点 P ．若△OPA 与△OAB 相似，则点 P 的坐标为【变式 1-2】（2018· 河南第一次大联考）如图，在平面直角坐标系 x Oy 中，已知直线 y =kx （k >0）分别交反比例函数y 1 9 1 和 y 在第一象限的图象于点 A ，B ，过点 B 作 BD ⊥x 轴于点 D ，交 y x xx的图象于点 C ，连接 AC ．若△ABC 是等腰三角形，则 k 的值是__________．【例 2】（2019· 偃师一模）当-2≤x ≤1 时，二次函数 y=-(x -m )2+m 2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为【变式 2-1】 (2019· 洛阳二模)四张背面相同的扑克牌，分别为红桃 1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为 a ，再在剩余的扑克中抽取一张点数记为 b ，则点(a ，b )在直线 y =x +1 上方的概 率是【变式 2-2】（2018· 信阳一模）如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P ，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P ，则（ ）A ．P ＞PB ．P ＜PC ．P =PD ．以上都有可能强化精炼：1.（2018· 焦作一模）如图，在直角坐标系中，正方形 ABCO 的点 B 坐标（3，3），点 A 、C 分别在 y 轴、x 轴上，对角线 AC 上一动点 E ，连接 BE ，过 E 作 DE ⊥BE 交 OC 于点 D ．若点 D 坐标为（2，0），则点 E 坐标为．2.（2018· 焦作一模）如图 1，在等边△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，AD =AE ，连接 BE ，CD ， 点 M 、N 、P 分别是 BE 、CD 、BC 的中点．（1）观察猜想：图 1 中，△PMN 的形状是；（2）探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置 △，PMN 的形状是否发生改变？并说 明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD =1，AB =3，请直接写 △出PMN 的周长的 最大值．1 21 21 2 1 2图 1图 23.（2019· 三门峡二模）如图，正方形A BCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD ，BC 分别与 x 轴交a于 E ，F ，连接 BE ，DF ，若正方形 ABCD 的顶点 B ，D 在双曲线 y ＝ 上，实数 a 满足 a 1 a ＝1，则四边形xDEBF 的面积是（ ）A ．1 3 B ．2 2C ．1D ．214.（2019· 省实验一模）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B ，C 为圆心，以大于 BC2的长为半径作弧，两弧相交于两点 M ，N ；②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ．如果 CD ＝AC ，∠ACB ＝105°，那么∠B 的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°15.（2019· 省实验一模）如图，点 A （m ，5），B （n ，2）是抛物线 C ：y ＝ x 2 2﹣2x+3 上的两点，将抛物线 C 向左平移，得到抛物线 C ，点 A ，B 的对应点分别为点 A '，B '．若曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中 的阴影部分），则抛物线 C 的解析式是（ ）1 12 21A ．y ＝ （x ﹣5）2 2+11B ．y ＝ （x ﹣2）2+421C ．y ＝ （x +1）2 2+11D ．y ＝ （x +2）2 2﹣2k6.（2019· 省实验一模）如图，网格线的交点称为格点．双曲线 y ＝ 1 与直线 y ＝k x 在第二象限交于格x点 A ．（1）填空：k ＝，k ＝；（2）双曲线与直线的另一个交点 B 的坐标为；（3）在图中仅用直尺、2B 铅笔画△ABC ，使其面积为 2|k |，其中点 C 为格点．7.（2019· 叶县一模）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90°后得到矩形 AMEF （如图 1），连接 BD ，MF ，若 BD ＝16cm ，∠ADB ＝30°．（1）如图 1，试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得△AB △D ，边 AD 交 FM 于点 K （如图2），设旋转角为 β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求 β 的度数；（3）若将△AFM 沿 AB 方向平移得到△A △ F M （如图 3），F M 与 AD 交于点 P ，A M与 BD 交于点 N ， 当 NP ∥AB 时，求平移的距离．2 1 2 11 1 12 2 2 2 2 2 2图 1图 2图 338.（2019· 濮阳二模）若函数 y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则m 的值为（）2A ．﹣2 或 3B ．﹣2 或﹣3C ．1 或﹣2 或 3D ．1 或﹣2 或﹣3k9.（2019· 濮阳二模）如图，点 A 在双曲线 y = （x ＞0）上，过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 B ，分别以x1点 O 和点 A 为圆心，大于 OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D ，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 C ，交 y2轴于点 F （0，2），连接 AC ．若 AC ＝1，则 k 的值为（ ）A ．2B ．32 25C ．4 3 5D ．2 5 2 510.（2019· 商丘二模）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 绕原点 O 逆时针旋转 30°后得到矩形 O A ′B ′C ′，A ′B ′与 BC 交于点 M ，延长 BC 交 B ′C ′于 N ，若 A （ 3，0），C （0，1），则点 N 的坐标为（）A ．（3 3 3，1）B ．（2－ 3 ，1）C ．（ 3 －2，1）D ．（1－ 3，1）11.（2019· 开封模拟）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延 长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点．已知 FG ＝2，则线段 AE 的长度为．12.(2019·新乡一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，1以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接2DE、DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．813.（2017·西华县一模）如图，△在ABC中，AB=AC，∠A=36°，且BC=2，则AB=．114.（2019·省实验一模）如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C：y＝x2﹣2x+3上的两点，将抛2物线C向左平移，得到抛物线C，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C的解析式是（）1A．y＝（x﹣5）22+11B．y＝（x﹣2）2+421C．y＝（x+1）22+11D．y＝（x+2）22﹣261122115.（2019· 郑州联考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点 A 和点 C 为圆心，以大于 AC 的长2为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N ，作直线 MN 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 CD ．若∠B ＝34°， 则∠BDC 的度数是（ ）A ．68°B ．112°C ．124°D ．146°16.（2019· 郑州联考）如图，在 ABCD 中，E 、F 分别是 AB 、DC 边上的点，AF 与 DE 相交于点 P ，BF与 CE 相交于点 Q ，若 S ＝16cm 2， ＝25cm 2，则图中阴影部分的面积为 △ △Scm 2．17.（2019· 安阳二模）如图，在△ABC 中，∠C ＝50°，∠B ＝35°，分别以点 A ，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M ，N ，直线 MN 交 BC 于点 D ，连接 AD ．则∠DAC 的度数为（ ）A ．85°B ．70°C ．60°D ．25°18.（2019· 枫杨外国语三模）如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O (0，0)，A (0，3)， B (4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 OC ，OB 于点 D ，E ；②分别以1点 D ，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点 F ；③作射线 OF ，交边 BC 于点 G ，2则点 G 的坐标为( )4 45 5A ．(4， )B ．( ，4)C ．( ，4)D ．(4， )3 3 3 3APD BQC19.（2019·中原名校大联考）如图，△在ABC中，AD平分∠BAC，按如下步作图：①分别以点A，D1为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，两弧交于两点M，N；②作直线MN分别交AB，AC于2点E，F；③连接DE，DF，若BD＝6，AE＝4，CD＝3，则CF的长是（）A．1B．1.5C．2D．320.（2019·许昌月考）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A．△EGH为等腰三角形C．四边形EGFH为菱形B．△EGF为等边三角形D．△EHF为等腰三角形参考答案2020 年中考数学三轮易错复习：专题 20 几何与代数综合问题【例 1】(2019·洛阳二模)如图，直线 y43x 4 与 x 轴、y 轴的交点为 A ，B ．按以下步骤作图： ①以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB ，x 轴于点 C ，D ；1②分别以点 C ，D 为圆心，大于 CD 的长为半径作弧，两弧在∠OAB 内交于点 M ；③作射线 AM ，2交 y 轴于点 E ．则点 E 的坐标为3【答案】（0， ）.2【解析】解：过点 E 作 EF ⊥AB 于 F ，如图所示，在 y43x 4 中，当 x=0 时，y=4 ；当 y=0 时，x=3 ， 即 A (3,0)，B （0,4），在 Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB =5，由题意的尺规作图方法可知，AM 为∠BOA 的平分线， ∴EO =EF ，∴△OAE ≌△FAE ，∴OA =AF =3，∴BF =AB －AF =2，设OE=x，则EF=x，BE=4－x，在△R t BEF中，由勾股定理得：（4－x）2=x2+22，33解得：x=，即OE=，223∴答案为：（0，）.2【变式1-1】(2019·偃师一模)如图，点A(0，2)，在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意1长为半径画弧，分别交OA，AB于点M，N，再以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于2点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB 相似，则点P的坐标为【答案】（233，0）.【解析】解：由题意知，AP为∠OAB的平分线，∴∠OAP=∠BAP，∵△OPA与△OAB相似，∴∠OPA=∠OAB=2∠OAP，∴∠OAP=30°，∵OA=2，∴OP=OA·t an30°=233，即P点坐标为（233，0）.【变式1-2】（2018·河南第一次大联考）如图，在平面直角坐标系x Oy中，已知直线y=kx（k>0）分别交反比例函数y 191和y 在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y 的图象于x x x点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是__________．3715【答案】或.75【解析】解：联立y=kx，y 1x，得：x=11，y=k，即A(,k)，k k3同理，得点B的坐标为(,3k∵BD⊥x轴，3k，），∴C 点坐标为（k3k)，∴BC=3k－k33k k ，BC的中点的纵坐标为－≠26k，∴A 不在BC的垂直平分线上，即AB≠AC，（1）当AB=BC时，即AB2=BC2，31 2k k 3kk32，解得：k=3737或k=77（舍）；（2）当AC=BC时，即AC2=BC2,31 k kk3k2 23k ，解得：k=1515或k=55（舍）；故答案为：3715或75. 23k k2k311【答案】－ 3或 2.【解析】解：①当-2≤m ≤1 时，x =m 时，y =4，即 m 2+1=4，解得：m =3（舍）或 m =－ 3 ，②当 m <－2 时，x =－2 时，y =4，即-(-2-m )2+m 2+1=4，解得：m =74（舍）； ③当 m >1 时，x =1 时，y =4，即-(1-m )2+m 2+1=4， 解得：m =2，综上所述，m 的值为－ 3或 2.【变式 2-1】 (2019· 洛阳二模)四张背面相同的扑克牌，分别为红桃 1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为 a ，再在剩余的扑克中抽取一张点数记为 b ，则点(a ，b )在直线 y =x +1 上方的概 率是1 【答案】 .4【解析】解：抽到的点数有序数对（为1,2：），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），共12 中可能，只有（1,2），（2,3），（3,4）三个点在直线y =x +1 上，即点(a ，b)在直线 y =x +1 上方的概率是3 1= ，12 41故答案为： .4【变式 2-2】（2018· 信阳一模）如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P ，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P ，则（ ）A ．P ＞PB ．P ＜PC ．P =PD ．以上都有可能1 2121 21 2【解析】解：由图甲可知，黑色方砖 6 块，共有 16 块方砖，∴在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P =由图乙可知，黑色方砖 3 块，共有 9 块方砖，∴在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P = ∴P ＞P ；故答案为：A ．强化精炼：6 3，16 83 1， 9 31.（2018· 焦作一模）如图，在直角坐标系中，正方形 ABCO 的点 B 坐标（3，3），点 A 、C 分别在 y 轴、x 轴上，对角线 AC 上一动点 E ，连接 BE ，过 E 作 DE ⊥BE 交 OC 于点 D ．若点 D 坐标为（2，0），则点 E 坐标为．【答案】（1，2）.【解析】解：过点 E 作 EH ⊥OC 于 H ，延长 HE 交 AB 于 F ，连接 OE ，∵四边形 ABCO 是正方形，∴AB ∥OC ，∠OAB =∠AOC=90°，∠OAC =∠BAC =∠OCA =45°，OA ∥BC ， ∴FH ∥OA ，∴∠HEC =∠OAC =∠OCA = 45°，∠BFH =∠OAB =90°，∠DHE =∠AOC =90°， ∴EH=CH =BF ，∠EBF=∠DEH ，∴△BEF ≌△EDH ，121 2∵点D坐标为（2，0），即OD=2，由正方形性质得：OE=BE=DE，∵FH⊥OC，1∴OH=DH=OD=1，2∴EF=DH=1，∵FH=OA=3，∴EH=2，∴点E的坐标为（1，2），∴答案为：（1，2）．2.（2018·焦作一模）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置△，PMN 的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写△出PMN的周长的最大值．图1图2【答案】（1）等边三角形；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=AE，∴BD=CE，∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，∴PM∥CE，PM=121 CE，PN∥AD，PN=BD，2∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；答案为等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，理由如下：连接CE、BD，∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，由旋转性质得：BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，11∴PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，22∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠BCE+∠CBD=∠BCA+∠ACE+∠CBD=∠BCA+∠ABD+∠CBD=∠BCA+∠ABC=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．1（3）∵PN=BD，2∴当BD的值最大时，PN的值最大，当A、B、D共线时且A在B、D之间时，BD取最大值，此时BD=1+3=4，∴PN 的最大值为 2，即△PMN 的周长的最大值为 6．3.（2019· 三门峡二模）如图，正方形A BCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD ，BC 分别与 x 轴交a于 E ，F ，连接 BE ，DF ，若正方形 ABCD 的顶点 B ，D 在双曲线 y ＝ 上，实数 a 满足 axDEBF 的面积是（ ）1a＝1，则四边形A ．1 2B ．3 2C ．1D ．2【答案】D .【解析】解：∵实数 a 满足 a1a＝1，∴a ＝±1，又∵a ＞0，∴a ＝1，a∵正方形 ABCD 的顶点 B ，D 在 y ＝ 上，x∴S ＝1，矩形 ∵正方形 ABCD 的对称中心在坐标原点，∴S＝S ＝2S ＝2×1＝2， 平行四边形 矩形 矩形故答案为：D ．1 4.（2019· 省实验一模）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B ，C 为圆心，以大于 BC2的长为半径作弧，两弧相交于两点 M ，N ；②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ．如果 CD ＝AC ，∠ACB ＝105°，那么∠B 的度数为（）BGOF DEBF ABFEF BGOFA．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B．【解析】解：由尺规作图可得：MN垂直平分BC，∴DC＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∵DC＝AC，∴∠A＝∠CDA，设∠B 为x，则∠BCD＝x，∠A＝∠CDA＝2x，∴x+2x+105°＝180°，解得：x＝25，即∠B＝25°，故答案为：B．15.（2019·省实验一模）如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C：y＝x22﹣2x+3上的两点，将抛物线C向左平移，得到抛物线C，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C的解析式是（）1A．y＝（x﹣5）22+11B．y＝（x﹣2）2+421C．y＝（x+1）22+11D．y＝（x+2）22﹣2【答案】C．1【解析】解：∵y＝x22﹣2x+3＝12（x﹣2）2+1，∵阴影部分的面积为9，A（m，5），B（n，2），∴3BB′＝9，∴BB′＝3，1122即将 C 沿 x 轴向左平移 3 个单位长度得到 C 的图象，1 ∴C 的函数表达式是 y ＝ （x +1）2+1．2答案为：C ．6.（2019· 省实验一模）如图，网格线的交点称为格点．双曲线 y ＝ 点 A ．k1 与直线 y ＝k x 在第二象限交于格 x（1）填空：k ＝，k ＝；（2）双曲线与直线的另一个交点 B 的坐标为；（3）在图中仅用直尺、2B 铅笔画△ABC ，使其面积为 2|k |，其中点 C 为格点．【答案】（1）﹣2；﹣2；（2）（1，﹣2）；（3）见解析． 【解析】解：（1）由图可得：A （﹣1，2），将点 A （﹣1，2）分别代入双曲线 y ＝k1 和直线 y ＝k x ，x可得：k ＝﹣2，k ＝﹣2，（2）由对称性可知，两函数图象的另一个交点与 A （﹣1，2）关于坐标原点对称， ∴B （1，﹣2）；（3）∵k ＝﹣2，∴2|k |＝4，∴满足条件的点 C 有四个，如图所示．1 2 2 2 1 2 12 1 2 117.（2019· 叶县一模）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90°后得到矩形 AMEF （如图 1），连接 BD ，MF ，若 BD ＝16cm ，∠ADB ＝30°．（1）如图 1，试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得△AB △D ，边 AD 交 FM 于点 K （如图2），设旋转角为 β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求 β 的度数；（3）若将△AFM 沿 AB 方向平移得到△A △ F M （如图 3），F M 与 AD 交于点 P ，A M与 BD 交于点 N ， 当 NP ∥AB 时，求平移的距离．图 1图 2图 3【答案】见解析.【解析】解：（1）结论：BD ＝MF ，BD ⊥MF ．理由： 延长 FM 交 BD 于点 N ，由题意得：△BAD ≌△MAF ．∴BD ＝MF ，∠ADB ＝∠AFM ．∵∠DMN ＝∠AMF ，∴∠ADB +∠DMN ＝∠AFM +∠AMF ＝90°，1 1 12 2 2 2 2 2 2∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF．（2）由题意知，∠KAF<90°，①当AF=AK时，∠AKF=∠F=30°，此时∠KAF=120°，不符题意，此种情况不存在；②当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°，则∠BAB＝180°﹣∠B AD﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，即β＝60°；③当AF＝FK时，∠FAK＝75°，∴∠BAB＝90°﹣∠FAK＝15°，即β＝15°；综上所述，β的度数为60°或15°；（3）由题意得四边形PNA A是矩形，设A A＝PN＝x，在△R t A M F中，F M＝FM＝16，∠F＝∠ADB＝30°，∴A M＝8，A F＝83，∴AF ＝83﹣x．同理，AP＝8﹣33x，∴PD＝AD﹣AP＝83﹣8+∵NP∥AB，PN DP∴，AB AD33x．x∴88388333x，解得x＝12﹣43，∴平移距离为：12﹣43.8.（2019·濮阳二模）若函数y＝（m﹣1）x23﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（2）1111222222222222A ．﹣2 或 3B ．﹣2 或﹣3C ．1 或﹣2 或 3D ．1 或﹣2 或﹣3【答案】C ．3【解析】解：（1）当 m ＝1 时，函数解析式为：y ＝﹣6x + ，是一次函数，图象与 x 轴有且只有一个交2点，（2）当 m ≠1时，函数为二次函数，3∴62﹣4×（m ﹣1）× m ＝0，2解得：m ＝﹣2 或 3， 故答案为：C ．k9.（2019· 濮阳二模）如图，点 A 在双曲线 y = （x ＞0）上，过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 B ，分别以x1点 O 和点 A 为圆心，大于 OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D ，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 C ，交 y2轴于点 F （0，2），连接 AC ．若 AC ＝1，则 k 的值为（ ）A ．2B ．32 25C ．4 3 5D ．2 5 2 5【答案】B ．【解析】解：设 OA 交 CF 于 K ．由作图方法可知，CF 垂直平分线段 OA ， ∴OC ＝CA ＝1，OK ＝AK ，在 △R t OFC 中，由勾股定理得：CF ＝ 5 ，由三角形的面积知：AK ＝OK ＝2 55，∴OA ＝4 5 5，由△FOC ∽△OBA ，可得： OF OC CF，OB AB AO∴ 2 1 5 ，OB AB 4 558 4∴OB ＝ ，AB ＝ ， 5 58 4即 A （ ， ），5 5∴k ＝ 32 25．∴答案为：B ．10.（2019· 商丘二模）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 绕原点 O 逆时针旋转 30°后得到矩形 O A ′B ′C ′，A ′B ′与 BC 交于点 M ，延长 BC 交 B ′C ′于 N ，若 A （ 3，0），C （0，1），则点 N 的坐标为（）A ．（3 3 3，1）B ．（2－ 3 ，1）C ．（ 3 －2，1）D ．（1－ 3 ，1）【答案】B .【解析】解：连接 ON ，取∠ONE ＝∠NOC ，由旋转性质得：C 'O ＝CO ，∠COC '＝30° ∵CO ＝C 'O ，NO ＝NO∴△R t CON≌△R t C'ON（HL）∴∠NOC＝∠NOC'＝15°∴∠ONE＝∠NOC＝15°∴∠NEC＝30°，NE＝EO∵NC⊥OC，∠NEO＝30°1∴NC＝NE，CE＝32∵CE+OE＝1NC∴2NC+3NC＝1∴NC＝2﹣3即点N坐标（2﹣3，1）所以答案为：B．11.（2019·开封模拟）如图所示，在正方形ABCD 中，G为CD 边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为．【答案】12.【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF DG＝2，∴AF＝2GF＝4，∴AG＝6．由题意得：CG为△EAB的中位线，∴AE＝2AG＝12．所以答案为：12．12.(2019·新乡一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，1以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接2DE、DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．8【答案】D.【解析】解：由作图方法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF，∴∠EAD＝∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EDA＝∠CAD，∴DE∥AC，同理，DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF，∵AF＝4，∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，由DE∥AC，得：BBBB CCCC，∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，∴BE＝8，故答案为：D．13.（2017·西华县一模）如图，△在ABC中，AB=AC，∠A=36°，且BC=2，则AB=．24【答案】 5 1．【解析】解：作∠ABC 的平分线交 AC 于 D ，∵AB =AC ，∠A =36°，∴∠ABC =∠C =72°，∴∠ABD =∠CBD =36°，∴DA=DB ，∴∠BDC =∠A +∠ABD =72°，∴BD=BC =2，∴AD=BC =2，∵∠CBD =∠A ，∠BCD =∠ACB ， ∴△BCD ∽△ABC ，∴BC ：AC =CD ：BC ，∴BC 2=AC CD ，即： 22 ACAC 2，解得：AC =1+ 5 或 AC =1－ 5 （舍）即 AB =1+ 5.1 14.（2019· 省实验一模）如图，点 A （m ，5），B （n ，2）是抛物线 C ：y ＝ x 2﹣2x +3 上的两点，将抛2物线 C 向左平移，得到抛物线 C ，点 A ，B 的对应点分别为点 A '，B '．若曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中1 1 2的阴影部分），则抛物线 C 的解析式是（ ）1A ．y ＝ （x ﹣5）2 2+11B ．y ＝ （x ﹣2）2+421C ．y ＝ （x +1）2 2+11D ．y ＝ （x +2）2 2﹣2【答案】C ．1 【解析】解：y ＝ x2 2﹣2x +3＝ 1 2（x ﹣2）2+1，∵曲线段 AB 扫过的面积为 9，A （m ，5），（n ，2） ∴四边形 ABB ’A ’为平行四边形，且 BB ’边上的高为 3，即 3BB ′＝9，∴BB ′＝3，1新函数图象是将函数 y ＝ （x ﹣2）2+1 的图象沿 x 轴向左平移 3 个单位长度得到，2∴新图象的函数表达式是 y ＝ 1 2（x +1）2+1．故答案为：C ．115.（2019· 郑州联考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点 A 和点 C 为圆心，以大于 AC 的长2为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N ，作直线 MN 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 CD ．若∠B ＝34°， 则∠BDC 的度数是（ ）A ．68°B ．112°C ．124°D ．146°2【答案】B ．【解析】解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝34°，∴∠A ＝56°，由作图方法可知：DE 是 AC 的垂直平分线，∴AD ＝CD ，∴∠DCA ＝∠A ＝56°，∴∠BCD ＝90°﹣56°＝34°，∴∠BDC ＝180°﹣34°﹣34°＝112°，故答案为：B ．16.（2019· 郑州联考）如图，在 ABCD 中，E 、F 分别是 AB 、DC 边上的点，AF 与 DE 相交于点 P ，BF与 CE 相交于点 Q ，若 S ＝16cm 2， ＝25cm 2，则图中阴影部分的面积为 △ △Scm 2．【答案】41．【解析】解：连接 EF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴S ＝S，S＝，△△△△S S＝S，S＝，△△△△S ∵S ＝16cm 2，S＝25cm 2，△△ ∴S＝41cm 2 四边形，故答案为：41．17.（2019· 安阳二模）如图，在△ABC 中，∠C ＝50°，∠B ＝35°，分别以点 A ，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M ，N ，直线 MN 交 BC 于点 D ，连接 AD ．则∠DAC 的度数为（）APD BQCEFC BCF EFQ BCQ EFD ADF EFP ADPAPD BQC EPFQA．85°B．70°C．60°D．25°【答案】C．【解析】解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，由作图可知MN为AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝35°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝60°，故答案为：C．18.（2019·枫杨外国语三模）如图，已知矩形AOBC 的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，E；②分别以1点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，2则点G的坐标为()4455A．(4，) B．(，4)C．(，4)D．(4，)3333【答案】A．【解析】解：由作图方法知，OG是∠BOC的平分线，过G作GH垂直AC于H，∴GH =BG ，由题意知：∠CBO =90°，BC =3，OB =4， 由勾股定理知：OC =5，∵OG =OG ，GH =BG ，∴ △R t OGH ≌ △R t OGB ，∴OB=OH =4，∴CH=1，设 G （4，m ），则 BG =m ，CG =3－m ，CH =1，∴(3－m)24 =m 2+1，解得：m = ，34即 G (4, )，答案为：A .319.（2019· 中原名校大联考）如图， △在ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步作图：①分别以点 A ，D1为圆心，以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，两弧交于两点 M ，N ；②作直线 MN 分别交 AB ，AC 于2点 E ，F ；③连接 DE ，DF ，若 BD ＝6，AE ＝4，CD ＝3，则 CF 的长是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C ．【解析】解：由作图方法知：EF 垂直平分 AD ，设 AD 、EF 交于 O ， ∴AE ＝DE ，AF ＝DF ，EF ⊥AD ，∵AD 平分∠BAC ，得：△AEO ≌△AFO ，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF＝4，∴四边形AEDF为菱形，∴DF∥AB，∴CF CD AF BD，∴CF＝2．故答案为：C．20.（2019·许昌月考）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A．△EGH为等腰三角形C．四边形EGFH为菱形B．△EGF为等边三角形D．△EHF为等腰三角形【答案】B．【解析】解：由作图方法知，GH是线段EF的垂直平分线，∵EG=EH，∴△EGH是等腰三角形．即A正确；∵EG=GF，∴△EFG是等腰三角形，由图知，EF不一定等于EG，即B错误．∵EG=EH=HF=FG，∴四边形EHFG是菱形．即C正确．∵EH=FH，∴△EFH是等腰三角形．即D正确．故答案为：B．30。
2013年全国中考数学试题分类解析汇编专题60代数几何综合(包含答案)
专题60代数几何综合一、选择题1. （2012浙江义乌3分）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在【 】A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间【答案】B 。
【考点】算术平方根，估算无理数的大小。
【分析】∵一个正方形的面积是15，∵9＜15＜164。
故选B 。
2. （2012浙江杭州3分）已知抛物线()3y k x 1x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是【 】A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 。
【考点】抛物线与x 轴的交点。
【分析】根据抛物线的解析式可得C （0，﹣3），再表示出抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，再根据ABC 是等腰三角形分三种情况讨论，求得k 的值，即可求出答案：根据题意，得C （0，﹣3）．令y=0，则()3k x 1x 0k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-，解得x=﹣1或x=3k。
设A 点的坐标为（﹣1，0），则B （3k，0）， ①当AC=BC 时，OA=OB=1，B 点的坐标为（1，0），∴3k =1，k=3； ②当AC=AB 时，点B 在点A 的右面时，∵AC B 1，0），∴311,k k 3+== ；③当AC=AB 时，点B 在点A 的左面时，B 0），∴3k k == 。
∴能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是3条。
故选B 。
3. （2012浙江湖州3分）如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】A C ．3 D ．4 【答案】A 。
【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
代数几何综合1-答案
2 【习题1】 如图， 已知抛物线 y ax bx c 与 x 轴交于 A 、 与 y 轴交于点 C ， B 两点，
直线 AD 交抛物线于点 E (2, 6) ， 且 ABE 与 ABC 的面积之比为 3∶2。 D 为 OC 的中点， （1）求直线 AD 和抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 F ，点 Q 为直线 AD 上一点，且 ABQ 与 ADF 相 似，直接写出 点 Q 点的坐标。 ．．． . 8
综上所述，满足题意的点 N 的横坐标为 x1
7 11 233 11 233 . , x2 , x3 4 8 8
5/5
①若△ABQ∽△AFD，
AD AF 5 1 ，即 ， AQ 2 5 ，Q（ 1 ，4） AQ 2 AQ AB
5 5 AD AF 5 5 3 2 ， AQ ②若△ABQ∽△ADF， ， 即 ，Q（ ,5 ） 。 5 AQ AB AQ 2 2
1/5
【习题2】 Rt ABC 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数 y
k (k 0) 在第一 x
象限内的图像与 BC 边交于点 D (4, m) ，与 AB 边交于点 E (2, n) , BDE 的面积为 2。 (1)求 m 与 n 的数量关系； (2)当 tan A
1 时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式； 2
(3)设直线 AB 与 y 轴交于点 F ， 点 P 在射线 FD 上， 在 （2） 的条件下， 如果 AEO 与 EFP 相似，求点 P 的坐标。
3 4
5 n， 4
13 5 nn2…，| AB |=| AD |3m= n…。 4 4 5 解，，得 n1=0(舍去)，或者 n2=2，将 n=2 代入 C(n, n2 n3)，得 C(2, 2)。 2
【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)
代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
7.11 代数与几何综合问题
§7.11 代数与几何综合问题（节选）浙江舟山南海实验学校初中部 张宏政（316021）1.专题说明聚焦近年来中考试题中的压轴题,大多是以代数几何综合题的形式出现.它覆盖面广,综合性强,其命题的主要结合点是方程与几何、坐标与几何,函数与几何等,解题关键点是充分借助几何直观,灵活运用数形结合思想,由形导数,以数促形.它既是对初中数学基础知识,基本技能的全面考查,也是对初中阶段重要的数学思想和数学方法掌握、运用的检验.2.学习要点代数与几何综合题考查的知识点众多,主要有方程、不等式的解法；用待定系数法求函数解析式,用配方法求二次函数的最大(小)值及相关函数图像的性质；几何中全等、相似,特殊三角形、四边形的性质与判定,解直角三角形及圆中的有关性质等等.解答这类试题,要善于应用一些重要的数学思想,如转化、数形结合、分类讨论及方程、函数思想等,这些思想是解代数与几何综合题的关键.3.典型例题选讲例1 （08年湖北恩施）如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角△ABC 和AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC 固定不动,∆AFG 绕点A 旋转,AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E(点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE=m ，CD=n .（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形,（2）求m 与n 的函数关系式,直接写出自变量n 的取值范围. （3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边BC 上找一点D 使BD=CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2＋CE 2=DE 2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2若成立,请证明,若不成立,请说明理由.解析:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA .∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA , 又∠B=∠C=45°∴∆ABE∽∆DCA.(2)∵∆ABE∽∆DCA, ∴CD BACA BE =由题意可知,CA =BA =2,∴n m 22=,即2m n =,其中1＜n ＜2.(3)由BD=CE 可得BE=CD,即m n =,∵2m n=,∴m n ==2 ∵OB=OC=21BC=1,∴OE=OD=2－1,即D(1－2, 0). ∴BD =OB －OD=2－2=CE, DE=BC －2BD=22－2,∵BD 2＋CE 2=2 BD 2=2(2－2)2=12－82, DE 2=(22－2)2= 12－82 ∴BD 2＋CE 2=DE 2 (4)成立.证明:由题意知,BD=2n -,CE=2m -,DE=2m n +-,则222222(2)(2)448BD CE n m m n m n +=-+-=+--+, 而2222(2)2444DE m n m n mn m n =+-=++--+. 由于2mn =,则222BD CE DE +=.评注:第(4)问也可以通过图形变换,使BD,CE,BD 构成一个直角三角形（请读者自行完成证明.）例2 （08年浙江绍兴）将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t =时，如图3，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图4．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．解析：（1）6OP t =-，23OQ t =+．图3（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图5，则53DQ QO ==，43QC =，1CD ∴=，(13)D ∴，． （3）①PQ 能与AC 平行．若PQ AC ∥，如图6，则OP OA OQ OC=，即66233t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤，149t ∴=．②PE 不能与AC 垂直．若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图7，则23335t QF OQAC OC +==．23QF t ⎫∴=+⎪⎭．EF QF QE QF OQ ∴=-=-2233t t ⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭21)1)3t =+． 又Rt Rt EPF OCA △∽△，PE OC EF OA ∴=，63261)3t t -∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，3.45t ∴≈，而703t ≤≤，t ∴不存在．例3 （08年浙江湖州）已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图7所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值， 最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折 后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在， 请说明理由．解析：（1）设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，图5图7由题意得11k y x =，22k y x =．1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==．12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 1111432234ECFS EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△， 11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形,2211122(6)31212OEF ECF ECF S S S k S k k k ∆∆∆∴=-=--=-+=--+.∴当6k =时，S 有最大值．且最大值为3．（3）设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N (如图8).由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=，ENM MBF ∴△∽△．EN EMMB MF ∴=，即343MB =，94MB ∴=． 222MB BF MF +=，222913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =．21432k BF ∴==． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例4(08年深圳)如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上 是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为 平行四边形？若存在，请求出点F （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径 的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．图8（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.解析：（1）由已知得：C （0，－3），A （－1，0）设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y 将C 点的坐标代入得：1=a ,故二次函数的表达式为=y （2）存在，F 点的坐标为（2，－3）理由：易得D （1，－4），故直线CD 的解析式为：3--=x y ，∴E 点的坐标为（－3，0）. 如以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形,则易知F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）,经检验，只有（2，－3）符合，∴存在点F ，坐标为（2，－3）. （3）如图11，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ）， 代入抛物线的表达式，解得2171+=R .②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0），则N （r+1代入抛物线的表达式，解得2171+-=r . ∴圆的半径为2171+或2171+-．（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．2213127(2)3()2228APG APQ GPQ S S S x x x ∆∆∆=+=-++⨯=--+, 当21=x 时，△APG 的面积最大,此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,21，827的最大值为APG S ∆． 评注:第(4)问也可以从图形的直观性考虑.由于△APG 的边AG 保持不变,则要使它的面积最大,即P 点到AG 边的高最长.则显然过P 点且与直线AG 平行的直线应与抛物线相切 (具体解答留给读者).4.课后作业1.(08年湖北荆门)某人定制了一批地砖，每块地砖（如图18所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图19所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图19中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料 费用最省？2.(08年浙江金华)如图20，已知双曲线(0)ky k x=>与直线y k x '=交于A ,B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题:（1）若点A 的坐标为（4,2）,则点B 的坐标为 ▲；若点A 的横坐标为m , 则点B 的坐标可表示为▲ ；（2）如图21,过原点O 作另一条直线l,交双曲线(0)ky k x=>于P,Q 两点,点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A,P 的横坐标分别为m,n, 四边形APBQ 可能是矩形吗? 可能是正方形吗?若可能, 直接写出m,n 请说明理由.3.(08年山东青岛)已知：如图22，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？（2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图23，连接PC ,并把PQC △沿QC 翻折,得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．图19AB图18D4.(08年北京)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点． （1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．5．（08年福州）如图24，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．课后作业参考答案1. 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图19可以看作是由四块图18所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的,故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形.因此四边形EFGH 是正方形. (2)设CE =x , 则BE =0.4－x ,每块地砖的费用为y ,那么 y =21x 2×30+21×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-21x 2-21×0.4×(0.4-x )×10]=10(x 2-0.2x +0.24) =10［(x -0.1)2+0.23］ (0＜x ＜0.4) ． 当x =0.1时,y 有最小值,即费用为最省,此时CE =CF =0.1． 答:当CE =CF =0.1米时,总费用最省. 2.解：（1）A （-4,-2）；B （-m ,－k'm ）或 （－m , km- ） （2）① 由勾股定理OA=OB==图24∴OA=OB.同理,OP=OQ ， 故四边形APBQ 一定是平行四边形. ②四边形APBQ 可能是矩形.m,n 应满足的条件是mn=k 四边形APBQ 不可能是正方形.∵点A,P 不可能达到坐标轴,即∠POA ≠900. 3.解：（1）在Rt △ABC 中，522=+=AC BC AB ，由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ， 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，∴=AC AQ AB AP ，即542t t -=，∴10=t ．（2）如图22,过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ，∴=BC PH AB AP ，即=3PH 55t -，∴PH =∴t t t t PH AQ y 353)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=． （3）若PQ 把△ABC 周长平分，则AP+AQ=6．∴(5)26t t -+=，解得：1=t ．若PQ 把△ABC 面积平分，则ABC APQ S S ∆∆=21， 即－253t ＋3t =3．∵ t =1代入方程不成立， ∴不存在这一时刻t ，把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． （4）如图23,过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，若四边形PQP ′ C 是菱形，则PQ ＝PC ．∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM=2t -,则AM=2t +.易知△APM ∽△ABC ．∴AP AM AB AC=，即5254t t -+=,解得:=t ∴当910=t 时，四边形PQP ′ C 是菱形. 此时37533=-=t PM ，829CM t =-=，在Rt △PMC 中，9505816494922=+=+=CM PM PC ，∴菱形PQP ′ C 边长为9505．4.解: ⑴y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，(03)C ∴，．设直线BC 的解析式为3y kx =+．(30)B ，在直线BC 上，330k ∴+=．解得1k =-．∴直线BC 的解析式为3y x =-+．抛物线2y x bx c =++过点B C ，，9303b c c ++=⎧∴⎨=⎩，．,解得b c =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为243y x x =-+．⑵ 由243y x x =-+．可得(21)(10)D A -，，，． 3OB ∴=，3OC =，1OA =，2AB =．图22BB x可得OBC △是等腰直角三角形．45OBC ∴∠=，CB =如图25，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，112AF AB ∴==．过点A 作AE BC ⊥于点E ．90AEB ∴∠=．可得BE AE ==，CE =． 在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=，ACE APF ∠=∠，AEC AFP ∴△∽△．AE CEAF PF∴==2PF =． 点P 在抛物线的对称轴上，∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，．⑶ 解法一：如图26，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(A '连结A C A D ''，，可得A C AC '==OCA OCA '∠=∠． 由勾股定理可得220CD =，210A D '=． 又210A C '=，222A D A C CD ''∴+=．A DC '∴△是等腰直角三角形，90CA D '∠=，45DCA '∴∠=．45OCA OCD '∴∠+∠=．45OCA OCD ∴∠+∠=．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45．解法二：如图27，连结BD ．同解法一可得CD =AC 在Rt DBF △中，90DFB ∠=，1BF DF ==， DB ∴．在CBD △和COA △中，1DB AO ==，3BC OC =CD CA = DB BC CDAO OC CA∴==．CBD COA ∴△∽△． BCD OCA ∴∠=∠．45OCB ∠=，45OCA OCD ∴∠+∠=．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45．5.解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在Rt △EBF 中,∠B=900，所以EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),其中n ＞0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a ≠0) ．①如图28,当EF=PF 时,EF 2=PF 2,所以12+(n-2)2=5,解得n 1=0(舍去),n 2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2． ②如图29,当EP=FP 时,EP 2=FP 2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=52-(舍去)． ③当EF=EP 时,由于E 点到y 而5＜3,故这种情况不存在.x图26x图27综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2． (3)存在点M 、N,使得四边形MNFE 的周长最小．由于四边形中EF 长度不变,只需MN+NF+ME 最短即可.由于“两点之间线段最短”,故考虑把这三边通过变换形成一条线段.所以如图30,作点E 关于x 轴的对称点E /,作点F 关于y 轴的对称点F /,连接E /F /,分别与x 轴、y 轴交于点M 、N,则点M 、N 就是所求.所以E /(3,-1)、F /(-1,2),NF=NF /,ME=ME /,所以BF /=4,BE /=3,所以FN+NM+ME=F /N+NM+ME /=F /E /=2243 =5.又。
代数几何综合题(含答案)
代数几何综合题1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长.3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0<x 2． (1)求m 的取值范围；(2)设点C 在y 轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m 的值；(3)在上述条件下，若点D 在第二象限，△DAB ≌△CBA ，求出直线AD 的函数解析式.4.一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
①求直线AC 的解析式；②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线285y x kx=-+上，求k 的值；③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。
1、已知抛物线)0(22>--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。
（1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）；（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。
代数几何综合问题
（2）当矩形ABCD沿直线折叠时， ① 求点的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式； ② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图2、3、4所示的三种情形， 请你分别写出每种情形时k的取值范围． （将答案直接填在每种情形下的横线上）
（图4） （图2） （图3）
k的取值范围是 ； k的取值范围是
；k的取值范围是
；
【分析：】
1、对折是一个操作性名词，它的数学实质就是轴对称。
2、能掌握轴对称的性质，把握好这两点就不难解决这个问题了。
[解] （1）如图答5，设直线与OD交于点E，与OB交于点F，连结，则
OE = b，OF = 2b，设点的坐标为（a，1）
因为，
所以．所以．
在图答6和图答7中求解参照给分． （3）图13﹣2中：； 图13﹣3中：≤≤；
图13﹣4中： （图答6） （图答5） （图答7）
【点评：】 这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等
知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。
题3、（吉林长春课改卷）如图①，正方形的顶点的坐标分别为，
代数几何综合问题
题1、（北京丰台）如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，
0），B（0，2），P（x，0），连结BP，过P点作交过点A的直线a于点 C（2，y）
（1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。
解：（1） A（2，0），C（2，y）在直线a上
，， （2），的最大整数值为 , 当时，，
是x轴上一动点(n＜0）以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限， 且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE．过点A的直 线y＝kx＋m 交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且 和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M． （1）求k的值；
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代数几何综合题x<0，连1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）()⊥交过点A的直线a于点C（2，y）结BP，过P点作PC PB（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。
2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO＋CD＝11，求AB的长.B3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0<x 2． (1)求m 的取值范围；(2)设点C 在y 轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m 的值；(3)在上述条件下，若点D 在第二象限，△DAB ≌△CBA ，求出直线AD 的函数解析式.4.一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
①求直线AC 的解析式；②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线285y x kx =-+上，求k 的值； ③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。
1、已知抛物线)0(22>--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。
（1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）；（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。
2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，其顶点为D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积；（3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．3、如图，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合）设PC=x ，点P 到AB 的距离为y 。
（1）求y 与x 的函数关系式；（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围。
4、如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E 与点A ，D 不重合)．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．(1)设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式；(2)当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大?最大值是多少?5．如图，已知：AB 是定圆的直径，O 是圆心，点C 在⊙O 的半径AO 上运动，PC ⊥AB 交⊙O 于E ，交AB 于C ，PC=5。
PT 是⊙O 的切线(T 为切点)。
(1)当CE 正好是⊙O 的半径时，PT=3，求⊙O 的半径； (2)当C 点与A 点重合时，求CT 的长；(3)设PT 2=y ，AC=x ，写出y 关于x 的函数关系式，并确定x 的取值范围。
TP O E C B A解：（1）ΘPC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO9090,ΘA （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BO PA ，∴=+||||||x y x 22， Θx y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2）Θx <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =-32，∴=CA 32ΘBO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287， ∴Q 点坐标为()870，答案： 练习1、（1）连结BC 交OA 于点E 略（2）∵CD ∥AO ，∴∠3＝∠4. ∵AB 是⊙O 的切线，DB 是直径， ∴∠BCD ＝∠ABO ＝90°∴△BDC ∽△AOB. ∴BD DC AO OB ＝ ∴6x y 3＝ ∴18y x＝ ∴0＜x ＜6（3）由已知和（2）知 x y 11xy 18⎧⎨⎩＋＝＝解这个方程组得：1212x 2x 9y 9 y 2⎧⎧⎨⎨⎩⎩＝＝（舍去）＝＝ ∴AB ＝22937262－＝＝.2．解：(1)由题意，得 22-4(m-3)=16-m>0①x 1x 2=m-3<O ． ② ①得m<4． 解②得m<3．所以m 的取值范围是m<3．(2)由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°.所以BC=2BO，AB=2BC=4BO．所以A0=3BO(4分)从而得 x1=-3x2．③又因为 x1+x2=-2．④联合③、④解得x1=-3，x2=1．代入x1·x2=m-3，得m=O．(3)过D作DF⊥轴于F．从(2)可得到A、B两点坐标为A(-3，O)、B(1，O)．所以BC=2，AB=4，OC=3因为△DAB≌△CBA，所以DF=CO=3，AF=B0=1，OF=A0-AF=2．所以点D的坐标为(-2，3)．直线AD的函数解析式为y=3x=333．4、5．（1）根据题意，C、C′两点关于直线DE成轴对称，DE是线段CC′的垂直平分线，故DC ＝DC ′，GC ＝EC ′，∠C ′EG ＝∠CEG 由C ′H ⊥DC ，BC ⊥DC 得：C ′G ∥CE ， ∴∠C ′GE ＝∠GEC ，∵∠C ′EG ＝∠CEG ， ∴∠C ′GE ＝∠C ′EG ，∴C ′G ＝C ′E ， ∴C ′G ＝C ′E ＝EC ＝GC ， ∴四边形CGCE 为菱形（2）解法一：由题意知：在△RtDCE 中， sin ∠CDE ＝DECE＝x 由（1）得：CC ′⊥CE ，又DC ⊥CE ， ∴Rt △C ′EF ∽Rt △DEC ′， ∴''EC EFDE E C =， 即EF DE E C •=2'∴222222121,)('x DE EF DE GE DE DE DG x DE CE DEE C DE EF -=-=-==== ∴221''x x DEDGDE E C DE DG E C -+=+=+，即122++-=x x y解法二：设DE ＝a ，由sin ∠CDE=DECE=x ，则CE=ax ，又DC ⊥CE ，CF ⊥DE ，∴△DCE ∽△CFE∴2)(22CE EF ,ax DECE DE FE CE aax ===∴=DG ＝DE -2EF ＝a-2ax 2，∴22212'x x aax a ax DE DG CE DE DG E C -+=-+=+=+∴y=-2x 2+x+1 （3）由（2）得：y=-2x 2+x+1＝89)41(22+--x 可见，当x=41时，此函数的图象达到最高点，此时87811212=-=-=x DE DG ∵GH ∥CE ，∴87==DE DG DC DH ，由DH ＝2，得DG ＝47在Rt △DHC ′中41516494''22=-=-=DH DC H C ∴BC ＝415能力训练 1、（1）所求对称轴为直线x ＝1 C （0，-m ） C ′（2，-m ） （2）满足条件的P 、Q 坐标为P （-1，3-m ），Q （1，3-m ）；P ′（3，3-m ）。
Q （1，3—m ）；P ″（1，-1-m ），Q ′（1,1-m ）。
（3）所求平行四边形周长为1024+或24。
2、解：（1）322++-=x x y（2）由（1）可知4)1(2+--=x y∴顶点坐标为D （1,4），设其对称轴与x 轴的交点为E ∵OC AO S AOC •=∆213121⨯⨯=23= ()OE DE DC S OEDC ⨯+=21梯形 ()14321⨯+=27= DE EB S DEB ⋅=∆214221⨯⨯=4= DEB OEDC AOC ABDC S S S S ∆∆++=梯形四边形42723++=9= （3）△DCB 与△AOC 相似证明：过点D 作y 轴的垂线，垂足为F∵D （1,4），∴Rt △DFC 中，DC ＝2，且∠DCF ＝45° 在Rt △BOC 中，∠OCB ＝45°，BC ＝23 ∴∠AOC ＝∠DCB ＝90° 12==CO BC AO DC ∴△DCB ∽△AOC3、（1）过P 作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ=y ， 312(04)55y x x =-+<< （2）令x ≤y ，得：31255x x ≤-+，解得：32x ≤∴当302x <<时，圆P 与AB 所在直线相离； 32x =时，圆P 与AB 所在直线相切； 342x <<时，圆P 与AB 所在直线相交 4．解：(1)连接ME ，设MN 交BE 于P ，根据题意，得MB=ME ，MN ⊥BE ．过N 作AB 的垂线交AB 于F ， 在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°， ∴∠MBP=∠MNF ．又AB=FN ，∴RT △EBA ≌Rt △MNF ，故MF=AE=x在Rt △AME 中，AE=x ，ME=MB=2-AM ，∴(2-AM)2=x 2+AM 2． 解得AM=2411x -所以四边形ADNM 的面积2212221224122AM DN AM AF S AD AM AE x x x x ++⎛⎫=⨯=⨯=+=-+ ⎪⎝⎭=-++ 即所求关系式为2212++-=x x s . (2) ()()22211515221122222S x x x x x =-++=--++=--+.∴当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积s 的值最大。
最大值是25. 5．解：（1）∵ MO ⊥AB ，∴ OA ＝OB.∵ A 点坐标为（－3，0），∴ B 点坐标为（3，0）.∵ CD 是⊙O 的切线，∴ CD 2＝CB ·CA ＝2×8＝16.∴ CD ＝4. （3）∵ AD 是直径，∴ DB ⊥AB ，∴ BD ＝DC 2－BC 2＝42－22＝2 3.AB CDEM xyO8－5图∵ DE ∥BA ，∴ AE ⌒＝DB ⌒. ∴ AD ＝DB, ∴ AE ＝2 3.6．。