2023年新高考数学大一轮复习讲义专题43 排列组合(原卷版)

专题43 排列组合
【题型归纳目录】
题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算 题型二：直接法 题型三：间接法 题型四：捆绑法 题型五：插空法
题型六：定序问题（先选后排） 题型七：列举法 题型八：多面手问题 题型九：错位排列 题型十：涂色问题 题型十一：分组问题 题型十二：分配问题 题型十三：隔板法 题型十四：数字排列 题型十五：几何问题
题型十六：分解法模型与最短路径问题 题型十七：排队问题
题型十八：构造法模型和递推模型 题型十九：环排问题 【考点预测】
知识点1、排列与排列数
（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示．
（2）排列数的公式：()()
()()
!
121!m
n n A n n n n m n m =---+=
-．
特例：当m n =时，()()!12321m
n
A n n n n ==--⋅⋅；规定：0!1=．
（3）排列数的性质：
①11m m n n A nA --=；②111m
m m
n n n n A A A n m n m
+-=
=--；③111m m m n
n n A mA A ---=+． （4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，()()A 11m n n n n m =-⋅⋅⋅-+常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用!
A ()!
m n n n m =
-．
知识点2、组合与组合数
（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示．
（2）组合数公式及其推导
求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ； 第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数m n A ；
根据分步计数原理，得到m m m
n n m A C A =⋅； 因此()()()
121!
m
m
n
n
m m n n n n m A C A m ---+==
．
这里n ，m N +∈，且m n ≤，这个公式叫做组合数公式．因为()!
!
m
n n A n m =
-，所以组合数公式还可表示
为：()!!!
m
n n C m n m =
-．特例：01n
n
n C C ==． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式(1)(2)(1)
C !
m n n n n n m m --⋅⋅⋅-+=常用于具体数字计算，
!
C !()!
m n n m n m =
-常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=．
（4）组合应用题的常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 知识点3、排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排
列”．
知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程 1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；
3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略． 【方法技巧与总结】
1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ，
，(2)n M n ，现取(2)k k 种颜色对
这n 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k --+-种．
2、错位排列公式1
(1)(1)!!i
n
n i D n n =-=+⋅∑ 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素
一起排列，共有1
1
n k n k A -+-+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k n k k
k A A -+-+⋅种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻
（1k n k ≤-+），求不同排法种数的方法是：先将（n k -）个元素排成一排，共有n k
n k A --种排法；然后把k 个元素插入1n k -+个空隙中，共有1k n k A -+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n k n k A --·1k n k A -+种．
【典例例题】
题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算
例1．（2022·山东·高密三中高三阶段练习）已知n ，m 为正整数，且n m ≥，则在下列各式中错误的是（ ） A ．36A 120=； B ．777
12127A C A =⋅； C ．111C C C m m m n n n ++++=； D ．C C m n m
n n
-=
例2．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知n ，m 为正整数，且n m ≥，则在下列各式中，正确的个数是（ ）
①36A 120=；②77712127A C A =⋅；③111C C C m m m n n n ++++=；④C C m n m n n -=
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
例3．（2022·全国·高三专题练习）若33
2A 10A n n =，则n =（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知21
2
1313C C x x -+=，则x 的值为（ ）
A ．3
B ．3或4
C ．4
D ．4或5
例5．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知23301A A 2
!4m
+=-，则m 的可能取值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
例6．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列等式正确的是（ ） A ．m
n m n
n
C C
-=
B ．!
m
m n n
A C n =
C ．22(2)(1)m m n n n n A A ++++=
D ．111r r r
n n n C C C ---=+
例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列等式中，正确的是（ ）
A ．11m m m
n n n A mA A -++=
B ．1
1r r n n rC nC --=
C ．111
111m m m m n n n n C C C C +--+--=++ D ．1
1m m n
n m C C n m
++=-
例8．（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程
(1)288A 6A x x -<
(2)567
117C C 10C m m m -=
例9．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：()2
97
3
100101101C C A +÷；
（2）计算：33
3
3410C C C ++
+；
（3）解方程：75
5
A A 89A n n
n
-=.
例10．（2022·全国·高三专题练习）利用组合数公式证明11
1m m m n n n C C C ++++=．
题型二：直接法
例11．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）种 A ．54 B ．72
C ．96
D ．120
例12．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出,,,,,A B C D E F 共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），A 和B 去询问成绩，回答者对A 说“很遗㙳，你和B 都末拿到冠军；对B 说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（ ） A ．720种 B ．600种
C ．480种
D ．384种
例13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ） A ．24种 B ．6种
C ．4种
D ．12种
例14．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（ ）． A ．10
B ．30
C ．40
D ．46
题型三：间接法
例15．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）．
A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种
例16．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）
A．21种B．231种C．238种D．252种
例17．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A．408种B．240种C．1092种.D．120种
例18．红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（）
A．96B．326C．336D．360
题型四：捆绑法
例19．（2022·四川·树德怀远中学高三开学考试（理））甲、乙等5人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有（）
A．12种B．24种C．48种D．120种
例20．（2022·四川成都·高三开学考试（理））某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（）种不同的排法
A．24B．144C．48D．96
例21．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（）A．72种B．60种C．48种D．36种
例22．（2022·全国·高三专题练习）3位教师和4名学生站一排，3位教师必须站在一起，共有（）种站
法．
A．144B．360C．480D．720
例23．（2022·全国·高三专题练习）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（）．
A．72B．96C．120D．144
题型五：插空法
例24．（2022·全国·高三专题练习）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（）A．24B．48C．144D．244
例25．（2022·全国·高三专题练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（）
A．72B．144C．48D．36
例26．（2022·全国·高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（）
A．18种B．24种C．36种D．72种
例27．（2022·全国·高三专题练习（理））马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（）种
A．15B．20C．10D．9
例28．（2022·全国·模拟预测）某等候区有7个座位（连成一排），甲、乙、丙三人随机就坐，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有（）
A．4种B．10种C．20种D．60种
例29．（2022·全国·高三专题练习）为迎接新年到来，某中学2022作“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为()
A ．36
B ．45
C ．72
D ．90
题型六：定序问题（先选后排）
例30．满足*
(1,2,3,4)i x i ∈=N ，且123410x x x x <<<<的有序数组()1234,,,x x x x 共有（ ）个.
A ．49C
B ．4
9P
C ．4
10C
D ．4
10P
例31．,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边，（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A ．120种 B ．90种
C ．60种
D ．24种
例32．DNA 是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像
是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA 中只有4种类型的碱基，分别用A 、C 、G 和T 表示，DNA 中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A -T ，或者是C -G ，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA 单链模型示意图，现在某同学想在碱基T 和碱基C 之间插入3个碱基A ，2个碱基C 和1个碱基T ，则不同的插入方式的种数为（ ）
A ．20
B ．40
C ．60
D ．120
例33．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A ．120种 B ．80种
C ．20种
D ．48种
例34．某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ） A ．36 B ．90
C ．360
D ．720
例35．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A ．2520
B ．5040
C ．7560
D ．10080
例36．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（ ）
A ．6
B ．10
C ．12
D ．24
题型七：列举法
例37．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ） A ．6种 B ．8种 C ．10种 D ．16种
例38．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．12种
例39．设1x ，2x ，{}31,0,1,2x ∈-，那么满足322
12308x x x ≤++≤的所有有序数组()123,,x x x 的组数为（ ）
A ．45
B ．46
C ．47
D ．48
例40．从集合{}1,2,3,4,,15中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）
个 A ．98 B ．56 C ．84 D ．49
例41．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续．．．．
固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
题型八：多面手问题
例42．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法． A ．675 B ．575
C ．512
D ．545
例43．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法
A．225B．185C．145D．110
例44．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）
A．26种B．30种C．37种D．42种
例45．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）
A．56种B．68种
C．74种D．92种
题型九：错位排列
例46．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）
A．10种B．20种C．30种D．60种
例47．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）
A．90B．135C．270D．360
例48．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）
A．20B．90C．15D．45
题型十：涂色问题
例49．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种
A．36B．48C．54D．72
例50．（2022·全国·高三专题练习）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（）
A．
64
125
B．
24
125
C．
64
625
D．
256
625
例51．（2022·全国·高三专题练习）无盖正方体容器的五个面上分别标有A、B、C、D、E五个字母，现需要给容器的5个表面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的染色方案有（）种．
A．420B．340C．300D．120
例52．（2022·全国·高三专题练习（文））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）
A．180B．240C．420D．480
例53．（2022·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）
A ．720种
B ．2160种
C ．4100种
D ．4400种
例54．（2022·全国·高三专题练习（理））用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种
A ．14400
B ．28800
C ．38880
D ．43200
例55．（2022·全国·高三专题练习（理）） 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,,9的9个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有
．48种 D ．36种
题型十一：分组问题
例56．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（ ）
A ．18种
B ．36种
C ．68种
D ．84种
例57．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ） A ．91
B ．101
C ．111
D ．121
例58．2019年实验中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4个，另两堆每堆2个，一共有多少种不同分堆方法（ ）
A ．422842C C C
B ．1238
C C
C．
42
84
2
2
C C
A
D．
422
842
3
3
C C C
A
例59．有12本不同的书.
(1)分给甲、乙、丙、丁四人，每人3本，有几种分法？
(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？
(3)若平均分成3堆，有几种方法（只要求列出算式）？
例60．已知有6本不同的书.
（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
题型十二：分配问题
例61．2022年北京冬奥会速度滑冰､花样滑冰､冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志自愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是（）A．18B．27C．36D．48
例62．现将5名志愿者全部分派到A、B、C三个居民小区参加抗击新冠病毒知识宣传，要求每个小区至少1人，志愿者甲安排到A小区，则不同的安排方法种数为（）．
A．56B．50C．62D．36
例63．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案
种数为________．（用数字作答）
例64．设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）.
(1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？
(2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？
(3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？
(4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？
(5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？
(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？
(7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？
(8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？
例65．(1)4个不同的小球放入编号为123,4，
，的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ (2)4个不同的小球放入编号为123,4，
，的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？
例66．将4封信全部投入3个邮筒：
(1)不加任何限制，有多少种不同的投法？
(2)每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？
题型十三：隔板法
例67．将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A ．16
B ．18
C ．27
D ．28
例68．()112x y z ++展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）
A ．12项
B ．24项
C ．39项
D ．78项
例69．7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A ．60种
B ．36种
C ．30种
D ．15种
例70．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ） A ．720种
B ．420种
C ．120种
D ．15种
例71．方程18x y z ++=的非负整数解有（ ）
A ．172组
B ．136组
C ．190组
D ．68组
例72．若方程12348x x x x +++=，其中2
2x =，则方程的正整数解的个数为 A ．10
B ．15
C ．20
D ．30
题型十四：数字排列
例73．（2022·重庆南开中学模拟预测）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926 3.1415927π<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个．
A ．600
B ．300
C ．360
D ．180
例74．（2022·河北·青龙满族自治县实验中学高三开学考试）用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A ．6
B ．12
C ．16
D ．18
例75．（2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个
不同的数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，则使得a ×b ×c ＋d 为奇数的不同排列方法有（ ）
A ．1224
B ．1800
C ．1560
D ．840
例76．（2022·全国·高三专题练习）数字“2016”中，各位数字相加和为9，称该数为“长久四位数”，则用数字0,1,2,3,4,5,6组成的无重复数字且大于2016的“长久四位数”有（ ）个
A ．39
B ．40
C ．41
D ．42
例77．（2022·全国·高三专题练习）用数字1、2、3组成五位数，且数字1、2、3至少都出现一次，这样的五位数共有（ ）个
A ．120
B ．150
C ．210
D ．240
例78．（2022·全国·高三专题练习）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A ．210个
B ．300个
C ．464个
D ．600个
题型十五：几何问题
例79．（2022·河南·鹤壁高中高三阶段练习（理））若一个正方体绕着某直线l 旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线l 的条数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．13
例80．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（ ）
A ．70
B ．64
C ．60
D ．58
例81．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A ．4812C -
B ．488-
C C ．486-C
D ．484-C
例82．在正方体的8个顶点中，以任意4个顶点为顶点的三棱锥，共有（ ）
A ．52个
B ．54个
C ．58个
D ．62个 例83．正方体1111ABCD A B C D -，()1
,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平
行的直线有几条（ ）
A．36B．21C．12D．6
题型十六：分解法模型与最短路径问题
例84．5400的正约数有（）个
A．48B．46C．36D．38
例85．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？
A．6B．8C．10D．12
例86．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有
A．10B．13C．15D．25
例87．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以
的方向行走至B，不同的行走路线有
A．6条B．7条C．8条D．9条
例88．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有（）条
A．40B．60C．80D．120
例89．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为
A．14B．15C．16D．17
例90．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A，2A，3A，4A是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（）
A．甲从M到达N处的走法种数为120
A到达N处的走法种数为9
B．甲从M必须经过
3
A处相遇的走法种数为36
C．甲，两人能在
3。